• Introducción. Nacido en el siglo 300 a.C., fue el matemático más famoso de todos los tiempos a pesar del hecho que poco se sabe de su vida, y lo poco que se sabe es gracias a un historiador griego llamado Proclo. Se sabe que enseño en Alejandría, Egipto. Los elementos de Euclides, un trabajo introductorio a la geometría elemental y otros tópicos, y otros trabajos de su género a tal magnitud que ahora se saben sólo por referencia indirecta. Los elementos empiezan por definiciones, postulados, y axiomas, incluso el famoso quinto postulado que una y solo una línea recta puede ser dibujada a través de un punto a una paralela dada. La decisión de Euclides de hacer de esta suposición indemostrable lo llevó a la geometría euclidiana. No fue hasta el siglo XIX que se modificó el quinto postulado para desarrollar la geometría no−euclideana. Los elementos se dividen en 13 libros. Los primeros 6 son sobre la geometría plana; los libros del 7 al 9 son sobre la teoría del número; el libro 10 se trata de la teoría de Eudoxus y del 11 al 13 sobre la geometría sólida, finalizando con una discusión de las propiedades de los cinco poliedros regular y una prueba de que pueden haber más que estos cinco. Los elementos de Euclides son notables por la claridad con que los teoremas y problemas son seleccionados y ordenados. Las proposiciones proceden lógicamente y rigurosamente. Euclides no es conocido por haber hecho descubrimiento muy originales y los elementos se basan en el trabajo de sus predecesores, se asume que alguna son suyas propias y que es responsable por su excelente arreglo. Sobre miles de ediciones de su trabajo se ha publicado desde la primera impresión en 1482. Los otros trabajos incluyen datos, en divisiones de figuras, phaenomena, ópticas, sitios de la superficie, porisms, la sección cónica, libro de falacias y elementos de música. Solo los primeros cinco sobreviven. • Quinto postulado de Euclides: El libro de la geometría (y podemos decir de las matemáticas) más importante es sin duda Elementos y su autor es Euclides. Este libro se utilizaba hasta hace poco en Inglaterra como libro de texto. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones matemáticas más controvertidas de la historia de las matemáticas. Euclides parte de 23 axiomas (axioma es una proposición tan clara y evidente que no necesita demostración) y 5 postulados (postulado es una proposición no evidente que se admite sin probar) y demuestra muchos teoremas (teorema es una proposición no evidente que se demuestra a partir de los axiomas y postulados). El quinto postulado dice: que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están (ángulos) menores que dos rectos.| Esta formulación, que original es confusa por lo que se suele enunciar el quinto postulado de esta forma: por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a dicha recta. El quinto postulado de Euclides afirma dos cosas: la existencia de una recta que pasa por el punto y que es paralela a la recta dada; y que esta recta es única. Por lo tanto el quinto postulado puede negarse totalmente o negar sólo la segunda parte. El quinto postulado de Euclides es muy famoso. Muchos matemáticos han tratado de demostrar con teoremas, 1

pero no han conseguido (y no conseguirán). Saccheri (1667−1733), Lambert (1728−1777), Legendre y Gauss fueron algunos de los matemáticos que estudiaron el postulado. El primero en sospechar fue Gauss pero no se atrevió a publicar nada. Lobachewski(1792−1856) matemático ruso formulo una nueva geometría (en su libro Nuevos elementos de la geometría en 1855) partiendo del postulado de que por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una paralela a ella, demostró que el quinto postulado no se puede probar y que la geometría que se desarrolla, partiendo de este nuevo quinto postulado es consistente. La geometría que obtenía (aunque consistente) le parecía tan contraria que la califico de imaginaria. A esta geometría se le llama hoy geometría hiperbólica. Bolyai (1802−1860) también demostró la imposibilidad de probar el quinto postulado y la existencia de geometría no euclideas. El padre de Bolyai envío el trabajo a Gauss de su hijo y Gauss albando el trabajo de su hijo y diciéndole que el había llegado hacia tiempo a la misma conclusión pero que no sé atrevía a publicar nada por miedo de ser mal interpretado. Bernhard Riemann (1826−1866) partiendo del postulado por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela desarrollo la geometría elíptica. A estas se les llamaba geometría no euclideas. A la euclideas se le llamaba también geometría parabólica. En la geometría euclidea la suma de los ángulos de un triángulo es 180°, en la elíptica la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180° y en la hiperbólica, es menor que 180°. • Los elementos de Euclides: Poco se sabe del origen del autor de los Elementos para el estudio de la geometría, ya que su vida fue tan oscura que no existe asociado a su nombre ningún lugar de nacimiento. Sin embargo, es conocido por Euclides de Alejandría debido a que fue llamado por Ptolomeo I, como profesor de la escuela o instituto conocido como Museo, establecida por este gobernante de ese imperio hacia 306 a.C. Los elementos están divididos en trece libros o capítulos, los cuales tratan sobre la geometría plana elemental, teoría de números, los inconmensurables y geometría de sólidos y están integrados por su autor de acuerdo a lo siguiente: Libro I: Las 48 proposiciones que contempla este libro, se dividen en tres grupos. Las primeras 26 tratan principalmente de las propiedades de los triángulos, de la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Las proposiciones restantes de este primer libro tratan de paralelogramo, triángulos, cuadrados, el teorema de Pitágoras y su inverso que se establecen en las proposiciones en la 47 y 48 respectivamente. En este libro se observan entre otras las siguientes definiciones iniciales: − Un punto es lo que no tiene parte ni dimensión − Una línea es una longitud sin anchura − Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección − Una superficie es la que tiene solo longitud y anchura − Un ángulo plano es la inclinación entre sí de dos líneas de un plano, si estas se cortan y no están en una misma recta 2

− Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, se dice que el ángulo es rectilíneo − Un círculo es una figura plana contenida en una línea, llamada circunferencia, tal que todas las rectas que van desde un punto particular hasta puntos de ella, quedando dentro de la figura son iguales − Figuras rectilíneas son las contenidas entre rectas, figuras son las contenidas entre tres rectas (triángulos), cuadrilaterales o cuadriláteros son los contenidos entre cuatro y los multilaterales o polígonos son las contenidas entre más de 4 rectas. − Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongándolas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido. • Postulados de Euclides: 1. − Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro. 2. − Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida. 3. − Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia. 4. − Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 5. − Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos. Libro II: El libro II trata de la transformación de áreas y el álgebra geométrica griega de la escuela pitagórica. En ese libro se establece la equivalencia geométrica de diversas identidades algebraicas y una generalización del teorema de Pitágoras conocido como la ley de los cosmos. Libro III: Este libro trata de aquellos teoremas relativos a circunferencias, cuerdas, tangente y la medición de ángulos. Libro IV: Contempla las exposiciones de las construcciones pitagóricas, con regla y compás de polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis y quince lados. Libro V: Contiene una exposición magistral de la teoría de la proposición aplicable a magnitudes inconmensurables y conmensurables. Teoría que resolvió un escándalo lógico creado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales. Libro VI: Se aplica la teoría eudoxiana de la proposición a la geometría plana, se establecen los teoremas fundamentales de unos triángulos semejantes y construcciones que dan la tercera, la cuarta y media proporcionales. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuadráticas y la proposición de que la bisectriz interna de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados. Libro VII, VIII y IX: Estos libros tratan de la teoría elemental de los números. Libro X: En este libro se trata de los irracionales, esto es de segmentos rectilíneos que son inconmensurables respecto al segmento rectilíneo dado. Gran parte del contenido de este libro se cree es debido a Theaetetus, pero lo extraordinariamente completo, la clasificación y el acabado se acreditan a Euclides.

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Libro XI, XII Y XIII: Los restantes libros tratan de la geometría sólida o del espacio, cubriendo la mayor parte del material. Las definiciones, los teoremas acerca de rectas y planos en el espacio y los teoremas relativos a los paralelepipedos se encuentran en el libre XI, los volúmenes se tratan hábilmente en el libro XII y las construcciones de los cinco poliedros regulares se tratan en el libro XIII. Ptolomeo preguntó una vez a Euclides si había un camino más corto para el conocimiento de la geometría que el de los Elementos, a quien, según se dice Euclides aseguro que no existe ningún camino real a la geometría. Asimismo, existe una leyenda acerca de él que dice que cuando uno de sus alumnos le pregunto que utilidad tenia el estudiar geometría, Euclides ordenó a su esclavo que le diera unas monedas, ya que debe ganar algo necesariamente de lo que aprende. • Teorema Un arco abarca el mismo ángulo visto desde cualquier punto de la circunferencia. A B • Conclusiones: • Conocimos la vida de uno de los más importantes matemáticos de la historia. • Conocimos sus famosos postulados, teoremas y axiomas que él nos presenta. • Supimos que en los trece libros que Euclides escribió se expresan los diferentes matices de la geometría euclidiana. • Aprendimos también que existe una geometría llamada no−euclideana la cual se basa en postulados de Euclides transformados por diferentes matemáticos. • Conocimos los elementos que son la base de la teoría de la geometría euclidiana. •

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