POSTULADOS SOBRE LA RECTA POSTULADO 1 Existen infinitos puntos Existen infinitas rectas Existen infinitos planos Es decir: En una recta existen infinitos puntos. En un plano existen infinitas rectas. En el espacio existen infinitos planos. POSTULADO 2: ( DE LA DISTANCIA)

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS POSTULADO 15:(POSTULADO LAL) Toda correspondencia LAL es una congruencia. B — —

A

‫׀׀‬

A cada par de puntos diferentes corresponde un número positivo único.

E —

POSTULADO 3: (DE LA REGLA) Podemos establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales de manera que:

C

—

D

‫׀׀‬

F

POSTULADO 16: (POSTULADO ALA) - A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real.

Toda correspondencia ALA es una congruencia.

- A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta. - La DIASTANCIA entre dos puntos cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia de sus números correspondientes. - La distancia entre dos puntos cualesquiera es ÚNICA. POSTULADO 4: (DE LA COLOCACIÓN DE LA REGLA) Dados dos puntos A y B de una recta, se puede escoger un sistema de coordenadas de tal manera que la coordenada de A sea cero y la coordenada de B sea positiva. POSTULADO 5: (DE LA RECTA) Dados dos puntos A y B distintos, existe una y sólo una recta que contiene a ambos.

C

A

E

‫׀׀‬

‫׀׀‬

B

D

F

‫׀׀‬

PROFESOR MIGUEL AGIP MEGO POSTULADO 17: (POSTULADO LLL) Toda correspondencia LLL es una congruencia. D

E

‫׀׀‬

B —

—

≡

≡ F

A

‫׀׀‬

C

Trabajo hecho por MAM/

P A

DEMOSTRACIÓN FORMAL DE UN TEOREMA

O B

JJJG JJJG 8) Datos: 1) En la figura, GA es opuesto a GE . JJJG JJJG 2) GB ⊥ GC Demostrar que ( AGB es complementario con

SEMI-INSCRITO

m arcPB 2

m∡APB =

( EGC. Solución

A P

DEMOSTRACIÓN AFIRMACIONES/ RAZONES JJJG JJJG A1) GA opuesto a GE R1) Dato A2) ( AGB suplemento de ( BGE R2) Postulado 12. A3) m ( AGB + m ( BGE = 180º R3) Ángulos suplementarios JJJG JJJG A4) GB ⊥ GC R4) Dato A5) m ( BGC = 90º

O B EX-INSCRITO

m∡APB =

m arcAB 2

A

R5) Definición de perpendicular y ( recto.

O P

A6) m ( BGE = m ( EGC + 90º R6) Adición de ángulos A7) m ( AGB + m ( EGC + 90º = 180º R7) Sustitución de la afirmación 6 en la 3. A8) m ( AGB + m ( EGC = 90º R8) Reducción en 7 A9) ( AGB es complemento de ( EGC

B

EXTERIOR

m∡APB = 180 – m arc AB

A

R9) Def. de (s complementarios en 8

C P O

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

D B

A

EXTERIOR

O B

m∡APB =

CENTRAL

m arcAB - m arcCD 2

m∡AOB = m arcAB A P

A

O

C O

B

P B

INSCRITO

m∡APB =

m arcAB 2

EXTERIOR m∡APB =

m arcAB - m arcBC 2

Trabajo hecho por MAM/

TEOREMA VI-5

C A O

P B

Las parejas de tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia son congruentes. D

D

INTERIOR m∡APB =

m arcAB + m arcCD 2

B

A

TEOREMAVI-1 En toda circunferencia, rectas secantes paralelas intersecan arcos congruentes. B

L1

C

A

L2

D

DA = DO

TEOREMA VI-6 Los arcos de intersección determinados por dos circunferencias secantes y congruentes, son congruentes. B

L1//L2 ↔ AB = CD

P∙

TEOREMA VI-2 En toda circunferencia, a cuerdas congruentes le corresponden arcos congruentes.

R

Q∙

R

A

B

L1

BPA = BOA

C

A

L2 D

AB=CD↔arc AB=arc CD

TEOREMA VI-3 Todo radio es perpendicular a una recta tangente en su punto de tangencia.

PROPIEDADES PARTICULARES DE LOS TRIÁNGULOS 1) Los lados de un Δ ABC miden AB = 12cm, BC = 14cm y AC = 16 cm. En el interior del Δ se toma un punto O. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser igual a OA + OB + OC? a) 20cm b) 21cm c) 20 2 cm d) 42cm e) 46cm Solución

O

B

C

12

L

P

A

L:Tangente ↔OP ⊥ L

TEOREMA VI-4 Si un radio es perpendicular a una cuerda, entonces dicho radio biseca tanto a la cuerda como al arco que subtiende

A

D

14

C

16

Por el Teorema IV-5: En Δ COA: OA + OC > 16 En Δ AOB: OA + OB > 12 En Δ BOC: OB + OC > 14 ______________________ 2 OA + 2 OB + 2 OC > 42 OA + OB + OC > 21 (1) B

O H

O

14

12 O

B

OD ⊥ AB → AH = HB y arc AD = arc DB

A

C 12 + 14 > OA + OC

Trabajo hecho por MAM/

75 > OA + OB + OC + OD

B

Además: OA + OB >10

O A

De donde:

C 14 + 16 > OA + OB

2( OC + OB + OA + OD) > 50 OA + OD > 15; OD + OC > 13

B

OC + OB + OA + OD > 25 12

O

A

OC + OB > 12 C

16

Por consiguiente:

16 + 12 >OB + OC

Sumando miembro a miembro las desigualdades de las tres gráficas auxiliares tenemos:

3) En la figura: AD = 28cm, hallar BC.

84 > 2 OA + 2 OB + 2 OC; es decir: 42 > OA + OB + OC

25 < OA + OB + OC + OD < 75

(2) B

De (1) y (2) tenemos:

30º

21 < OA + OB + OC < 42

Por lo tanto OA + OB + OC puede ser igual a 20 2 2) Los lados de una figura de cuatro lados ABCD miden AB = 10cm; BC = 12cm; CD = 13cm; AD = 15 cm. Si en el interior de la figura se toma un punto O. Hallar los límites en que varía la suma OA + OB + OC + OD. B

x

20º A

28cm

D

C

B 20º 14 20º A

30º

40º 14

M

14

x

D

40º

C

Solución

10 12

A O

C

15

13

D

Solución Por Teorema IV-5: AB + BC + CD > OA + OC BC + CD + AD > OA + OB AB + AD + CD > OB + OC

Trazamos la mediana referente a la hipotenusa del Δ rectángulo ABD. Como BM es mediana del Δ rectángulo ABD, por el Teorema IV-16: 1 BM = AD = 14cm 2 Como m ∡ ABM = 20º; m ∡ MBD = 70º. Como Δ MBD es isósceles, m ∡ MDB = 70º y m ∡ BMD = 40º. Por consiguiente: Δ MBC es isósceles, y x = 14 cm.

AD + AB + BC > OD + OC 150 > 2( OA + OB + OC + OD)

Trabajo hecho por MAM/

4) En la figura AD = 15cm; ED = 17 cm. Hallar BE. C

B

α

α

x

6) En el ΔPQR, acutángulo. p = 25 , q = 20. Hallar “r”. Si la proyección de q sobre p mide 15. Solución

P

E 17

A

r=?

q = 20

D

15

15

Q

R

p = 25

Solución B x

r 2 = p 2 + q 2 − 2 p (15)

C α

α

E

r 2 = 252 + 20 2 − 2(25)(15)

r 2 = 625 + 400 − 750 r 2 = 16,58 r = 275

17

17

A

H

15

r =16,58

D

GEOMETRÍA CARTESIANA

Trazamos DH ⊥ BC ΔECD ≅ ΔCHD; por consiguiente ED = DH = 17cm

PLANO CARTESIANO y

En Δ rectángulo EAD, por Teorema de Pitágoras. Tenemos: EA2 = 172 − 152 → EA = 8cm x + EA = 17 x + 8 = 17

x

P(x,y)

-2 1 Q(-2,-2)

S(5,1) -2

x

5

x

x = 9cm 5) En el Δ ABC, recto en B. La hipotenusa mide 10cm y el cateto mayor mide 8cm. ¿Cuánto mide la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa? B c=?

m

H

n

b = 10

Solución

b a 10 8 64 →m = = → = a m 8 m 19 m = 6,4cm

Eje X: eje de las abscisas. Eje Y: eje de las ordenadas. Para el punto P:

a=8

C

Las rectas perpendiculares se llaman ejes cartesianos.

A

Abscisa → x Ordenada → y El par ordenado (x,y) constituye las coordenadas del punto P. Las rectas reales perpendiculares en el plano constituyen un sistema de coordenadas. Las coordenadas de Q son: Abscisa: -2 Ordenada: -2 Las coordenadas de S son: Abscisa: 5 Ordenada: 1

Trabajo hecho por MAM/

ESPACIO CARTESIANO

Z z P(x,y,z) Y

y

x

M

X

Y Las

coordenadas de P son: x, y, z.

Z

M X

X

y=–p

5 P

F(0,p)

P(x,y)

-3

x 2 = 4py

Y

p>0

4

Las coordenadas de P son: 4, -3, 5

Y

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE EN UN EJE COORDENADO

A y=–p V

L X P(x,y)

F(0,p)

L

Y

A

P(x,y) V

X

F(p,0)

x 2 = 4py p0

X

F(p,0) P(x,y)

A x=–p

y 2 = 4px p< 0

Trabajo hecho por MAM/