LA RECTA INTRODUCCIÓN.

En la vida diaria es común escuchar o exclamar alguna de las siguiente frases “ esta calle está muy inclinada “ ó bien la siguiente “ esta calle tiene mucha pendiente “ en las que siempre tomamos como referencia la horizontal. En forma intuitiva nos estamos refiriendo al ángulo que forma la calle con la horizontal y se usa la palabra pendiente para referirnos a la inclinación, lo cual lleva implícito el hecho del ángulo que forma la “calle “ con la horizontal. Así mismo los conceptos de paralelismo y perpendicularidad los tenemos presentes al hacer referencia a calles paralelas o calles que se cruzan o que son perpendiculares, diagonales, etc. En Geometría Analítica se tienen 2 definiciones que nos permiten determinar numéricamente los conceptos de inclinación y pendiente. Primeramente, consideremos el siguiente hecho: Dos rectas dirigidas, al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice los cuales forman parejas de ángulos suplementarios, 2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos opuestos por el punto de intersección de las rectas. Consideremos a una recta L del plano cartesiano, definimos su Angulo de inclinación. “ Al ángulo  formado por una recta L y con el Eje X en su dirección positiva”. Y

L

.m



X

Pendiente de la recta L . La pendiente ( m ) de una recta se define como la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.

.

m  tan( )

Si el ángulo  está comprendido entre 0o y 90o la pendiente es positiva y si el ángulo está entre 90o y 180o la pendiente es negativa. El ángulo de inclinación de una recta está comprendido entre 0o & 1800 , El tomar ángulos  mayores de 180 o como ángulos de inclinación trae como consecuencia el tomar como ángulo de inclinación al obtenido de la operación     180o . Por lo tanto siempre consideraremos al ángulo de inclinación con valores dentro del intervalo antes mencionado.

Toda recta paralela al eje Y es perpendicular al eje X, por lo tanto su ángulo de inclinación es igual a 90 grados, como la tangente trigonométrica del ángulo de 90 grados es indeterminada (ó infinita) entonces diremos que una recta vertical no tiene pendiente (en vez de decir que tiene pendiente infinita), adicionalmente toda recta horizontal tiene pendiente cero y su ángulo de inclinación es o bien cero grados ó 180 grados dependiendo de cómo se considere la dirección de la recta L.

Consideremos a una recta L del plano que pasa por los puntos P(x1,y1) & Q(x2,y2) la pendiente de L es:

m

y2  y1 x2  x1

x1  x2

Tracemos la recta en el plano así como a los puntos P & Q de acuerdo a la grafica 5. El ángulo de inclinación de la recta L es  y el ángulo del vértice P del triángulo formado por BQP es igual al ángulo de inclinación  , los catetos del triángulo BQP son: Cateto opuesto = y2 - y1 & cateto adyacente = x2 - x1 por lo tanto

Tg 

y 2  y1 x 2  x1

por lo tanto la pendiente de la recta es m 

m

y 2  y1 x 2  x1

y 2  y1 x 2  x1

y

y2

Q(x2, y2) Tan( a ) = (cateto opuesto) / (cateto adyacente) Tan (a ) = (y2 - y1 ) / ( x2 - x1 )

y2 - y1

a

P(x1, y1)

y2 - y1 cateto opuesto x2 - x1 y1 cateto adyacente

B(x2, y1)

x2 - x1

a x1

x

x2

Ejemplo 1.- Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos dados. a.- L1: P(2, 1) Q( 6, 5)

b.- L2: A(-3, -2) D(4, 2)

c.- L3: S(-4 5)

T( 4, -3).

Respuestas: a.- Para L1; aplicamos la formula de la pendiente: m 

y 2  y1 5  1 4   1 x 2  x1 6  2 4

La pendiente es m = 1 para obtener el ángulo de inclinación aplicamos la tangente inversa

  tg 1 (m)  a tan(m)  a tan(1)  45o por lo tanto el ángulo de inclinación es de 45 grados. b.- Para L2;

m

y 2  y1 2  (2) 4   y el ángulo de inclinación es x 2  x1 4  (3) 7  4 7

  a tan   a tan(0.5714)  (29.74)o

m

c.- Para L3;

35 8   1 y el ángulo de inclinación es: 4  (4) 8

  a tan 1  135o el trazado de los puntos y las rectas se presentan en la siguiente gráfica.

7

y

m= 1

L1

6

Q(6, 5)

5

S(-4, 5)

L2 m= 4 / 7

4 3 2

B(4, 2)

P(2, 1 ) 1

x

O(0,0) -17

-16

-15

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

-1

A ( -3, -2)

-2 -3

T(4 -3 )

-4 -5

m= - 1

-6

L3

-7

ANGULO ENTRE 2 RECTAS. Consideremos a 2 rectas L1 & L2 con ángulos de inclinación 1 &  2 respectivamente, consideremos al ángulo 

que forma la recta L1 con L2 ( recordemos que los ángulos de inclinación

no son mayores de 180 grados) es igual a:

   2  1 Llamemos a L1 recta inicial y a

( 1 ) ángulo de inclinación inicial;

L2 recta final y a  2

ángulo de inclinación final entonces podemos expresar que: “ El ángulo que entre 2 rectas es igual al ángulo de inclinación de la recta final menos el ángulo de inclinación de la recta inicial”.

En términos de las pendientes m1 & m2 tenemos:

tan( )  tan( 2  1) 

tan  2  tan 1 m2  m1  1  (tan 1)(tan  2) 1  m1m2

m1m2  1

y el ángulo formado por las dos rectas es:

 m2  m1    1  m1m2 

  tan 1 

y

m2

L2:m2

m1

Ejemplo

Angulo

L1:m1

O(0,0)

x



Ejemplo 2 .- Determina el ángulo que forman las rectas:

a.- L1: con pendiente m1 = 8 / 7 y

L2: con pendiente m2 = - 3 /4

b.- L1 con ángulo de inclinación de 35 o y

L2: con ángulo de inclinación de 150 o

Respuestas:

Para resolver estos problemas, aplicamos la fórmula para determinar el ángulo entre las 2 rectas:

tan 

m2  m1 1  m1m2

 m2  m1    1  m1m2 

o bien   tan 1  

a).- El ángulo que forman las rectas L1 & L2 es:

 3 8   4 7   tan 1    8   3    1     7  4  

   31  24    55       28   tan 1  28   tan 1   55   tan 1 (13.75)   tan 1    28  24   4   4       28 28     

  180o  tan1 (13.75)  180o  85.84030  94.1596o   94.1596o

b).- En este problema conocemos a 1  35o

&

 2  150o

por lo tanto:

  150o  35o  115o Ejemplo 3.- Determina el ángulo que forman las rectas que pasan por los puntos: P( -3, 5) ; Q(2, -4) & A(-3, -6); B( 4,5)

Asignamos L1 la recta que pasa por P&Q

y L2 la recta que pasa por A&B

Antes de aplicar la formula para determinar el ángulo entre L1 & L2 debemos determinar sus pendientes m1 & m2, para esto aplicamos la formula de la pendiente:

m

y 2  y1 x 2  x1

Para la recta L1;

m1 

45 9 9   2  (3) 5 5

Para la recta L2;

m2 

5  (6) 11  4  (3) 7

Ahora si aplicamos la fórmula del ángulo:

L1: m1 

9 5

L2: m2 

11 7

 11   9    55  63   118          7 5     tan 1  35   tan 1  35   tan 1   118   tan 1   59    tan 1         9  11   64  32   1  99    64           1  35    35    5  7  

  180  tan1 (1.8437)  118.4742o por lo tanto el ángulo entre L1 & L2 es:

  118.4742o

Cuando en ángulo inicial 1 es MAYOR que el ángulo final  2 , el ángulo que forman las rectas L1 con L2 corresponde al ángulo suplementario de la recta L1 sumado al ángulo de L2 (Ver gráfica.) por lo que se tiene:

   2  (180o  1)   2  1  180o por lo tanto:

  ( 2  1)  180o por lo tanto:





tan  tan ( 2  1)  180o 

tan( 2  1)  tan(180o )  1  tan( 2  1) tan(180o )

 tan( 2  1)

tan 

m2  m1 1  m1m2 ---------- ( VI ).

Y

180o  1

1

2 X

   2  (180o  1)

Gráfica

Del análisis de la fórmula  

m2  m1 1  m1m2

obtenemos la siguiente información:

a).- Dos rectas son paralelas si el ángulo que forman es de “cero grados” en este caso el numerador de la fórmula VI

es igual a cero es decir: m2 - m1 = 0

por lo tanto la forma de

identificar si dos rectas son paralelas la hacemos si sus pendientes son iguales m1 = m2. Rectas Paralelas:

m1  m2

b.- Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de 90 grados, en este caso la tangente de 90 grados es indeterminado ó infinita lo cual ocurre si el denominador de la fórmula es cero, es decir,

1 + m1m2 = 0

por lo tanto, dos rectas son perpendiculares si:

m1* m2  1

1 m1  m2

o bien : ó

m2 

1 m1

PROBLEMAS 1.- Determina las coordenadas (x,y) de los punto que dividen al segmento AB

A(3,1) & B(9,7) en 3 partes

iguales. 2.- El segmento AB

A(2,1) & B(3,3) se prolonga hasta un punto C(x, y), sabiendo que BC  3 AB

determina las coordenadas del punto C.

3.- Determina las coordenadas del punto medio de los segmentos cuyos extremos son los puntos dados. a.- A( 5, 3) & B( 8, -2)

b.- P( -2, 6) & Q( 3, 4)

4.- Un extremo de un diámetro de una circunferencia es el punto A(2, 6)

c.- T( 8, 2) W( -3, - 5) y el centro es el punto C(- 4, 1), halla

las coordenadas del otro extremo. 5.- Determina el ángulo los ángulos que forman las rectas de acuerdo a la información dada. a.- L1: Pasa por el punto A( 2, 3) y tiene un ángulo de inclinación Q(-3, -2) &

  450

c.- L1: Pasa por los puntos: S( -7, 3) & T( 4, - 6 ) 6.- Determina el ángulo que forman las rectas &

L2: pasa por el punto

  1350

b.- L1: Pasa por el punto P( 2, -5) y

T(-1, -1 )

  30 0

L2: Pasa por los puntos Q ( 4, 3) & R ( -5, - 4).

L2: pasa por A( 1,2) & (3, -4 ) .

L1 : pasa por S( 2,3) y m  3/2 & L2 : pasa por el punto

m =- 4/3

7.- Determina los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A( 3, 2) B( 5, -4) & C( -3, 3)

LA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO. ¿Que representa un lugar geométrico (LG)? , lo podemos definir como el conjunto de puntos (x, y ) del plano que cumplen con una condición geométrica C(x ,y).

Todo punto del plano ce coordenadas (x, y)

que cumple con la condición geométrica pertenece al

lugar geométrico ( LG) y recíprocamente, todo punto del lugar geométrico (LG) cumple con la condición C(x,y)

En términos de conjuntos podemos expresar este hecho en la siguiente forma:





LG = P( x, y) ( x, y)..cumple..con..C ( x, y)

La expresión algebraica obtenida mediante la transformación de la condición C(x ,y) representa la Ecuación del Lugar Geométrico. La gráfica del lugar geométrico es la traza en el plano XY del conjunto de puntos P(x, y ), el trazado de los puntos la hacemos mediante la asignación de valores para x

y a partir de la ecuación obtenemos

los correspondientes valores de y, para la cual formamos un tabla como se indica en la figura siguiente.

x x1 y= Ecuación y1

x2 y2

x3 x4 x5 x6 y3 y4 y5 y6

x7 y7

..... ....

xn yn

Lo cual define a los puntos P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )..........Pn ( xn , yn ) .

Como ejemplo consideremos el siguiente enunciado de lugar geométrico: “ El conjunto de puntos (x, y) del plano que equidistan de los puntos A(3,2) & B(-4,5)” . El lugar geométrico corresponde de los puntos P del plano tal que sus distancias a los puntos A & B son iguales, entonces, la condición geométrica de LG es d(P, A) = d(P, B), la representación de este enunciado en términos de conjuntos es: Dados los puntos A(3,2) & B(-4,5);





LG = P( x, y) d ( P, A)  d ( P, B)

Aplicando las fórmulas de la distancia transformamos la condición geométrica en una expresión algebraica.

( x  3)2  ( y  2)2  ( x  (4))2  ( y  5)2 simplificando los radicales:

( x  3)2  ( y  2)2  ( x  4)2  ( y  5)2

( x  3)

2

 

Agrupando términos:



 ( x  4)2  ( y  2)2  ( y  5)2  0

desarrollamos los binomios y obtenemos:

x 2  6 x  9  y 2  4 y  4  x 2  8 x  16  y 2  10 y  25 ( x 2  x 2 )  (6 x  8 x)  ( y 2  y 2 )  (4 y  10 y)  (9  4  16  25)  0 simplificando obtenemos la expresión:

 14 x  6 y  28  0 por lo que la ecuación queda: 14 x  6 y  28  0

Gráficamente tenemos:



y

       x     















































  

Observamos que en particular, el punto medio PM( - ½, 7/2 ) del segmento AB pertenece al Lugar Geométrico ya que d(PM(AB), A ) = d(PM(AB), B ) y sus coordenadas satisfacen (cumplen con ) la ecuación de la recta, para comprobar esto sustituimos x = - ½ & y = 7/2 en

14 x – 6y +28 = 0:

14 (- ½ ) -6 ( 7/2 ) + 28 = - 7 - 42/2 + 28 = - 7 – 21 + 28 = -28 + 28 =

0

Podemos definir la recta como Lugar Geométrico de acuerdo al siguiente enunciado: Dado un punto Q(x1, y1 ) y la pendiente m de la recta,

“ la recta es el lugar geométrico de los

puntos P(x, y) del plano tales que la pendiente m1 del punto P(x, y) con Q(x1, y1) es siempre igual a la pendiente dada m “. En términos de notación de conjuntos tenemos: Recta = La pendiente m1(P, Q) =

P( x, y)

m1( PQ)  m

y  y1 por lo tanto la condición Geométrica se transforma en: x  x1

y  y1  m de donde obtenemos la expresión algebraica y  y1  m( x  x1) que representa a x  x1 la ecuación del lugar geométrico “ recta ”. A la ecuación:

y  y1  m( x  x1) Ecuación --------------- ( I ) Se le llama Ecuación Punto – Pendiente de la recta.

Ejemplo 4.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto Q( 3, - 4 ) y tiene una pendiente m = 4. Las coordenadas del punto Q son x1 = 3 & y1 = - 4, para obtener la ecuación sustituimos estos datos en la formula de la recta Punto – Pendiente:

y  (4)  4( x  3)  y  4  4 x  12  4 x  y  16  0  la ecuación de la recta que pasa por Q(3, -4) y tiene pendiente m = 4 es:

4 x  y  16  0

y       

















        



x 



























ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR 2 PUNTOS La ecuación de una recta que pasa por 2 puntos Q1( x1, y1 ) & Q2( x2, y2 ) la obtenemos a partir de la ecuación ( I ) en donde primeramente calculamos la pendiente a partir de Q1 & Q2;

m( PQ ) 

y 2  y1 x 2  x1

Entonces la ecuación I se transforma en:

y  y1 

y 2  y1 ( x  x1) x 2  x1 --------

Ecuación ( II )

A esta ecuación se le llama ecuación de la recta que pasa por 2 puntos dados. Si en vez de tomar al punto Q1(x1, y1) como base para determinar la ecuación II tomamos al punto Q2 (x2, y2), obtenemos la ecuación II’ :

y  y2 

y 2  y1 ( x  x2) x2  x1

------

Ecuación ( II’ )

La ecuación resultante es la misma.

Ejemplo 5.-

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( 5, -2 ) & B( 4, 4 ).

Primeramente tomemos al punto A( 5, - 2) como base para aplicar la fórmula II Entonces: A(5, -2 ) corresponde a x1 = 5 & y1 = - 2, aplicamos la fórmula:

4  (2) ( x  5) 45 y  2  (6 /  1)( x  5) y  (2) 

y  2  6( x  5)  y  2  6 x  30 pasamos todo al lado izquierdo:

6 x  y  28  0

Ecuación de la recta.

Si tomamos al punto B( 4, 4) como base para obtener la ecuación de la recta tenemos x2 = 4 & y2 = 4, entonces:

4  (2) ( x  4) 45 y  4  6( x  4) y  4  6 x  24 y4 

6 x  y  28  0

por lo tanto la ecuación resultante es:



es la misma que la ecuación anterior.

y

       

 

 

 





x 

















 

 



        

Gráfica del ejemplo 5

Toda recta no paralela a los ejes coordenados X & Y corta a dichos ejes en puntos de coordenadas Q1 (0, b ) & Q2 (a , 0 ); a “b” se le llama Ordenada al Origen & a “a” se le llama Abscisa al Origen, las ecuaciones de las rectas que pasan por estos puntos tienen una característica especial la cual se detalla a continuación.

Consideremos primeramente a la recta que pasa por el punto Q1 ( 0, b) y tiene una pendiente conocida m y determinaremos su ecuación aplicando la fórmula ( I ) de Punto-Pendiente

y  y1  m( x  x1) sustituyendo y1 = b y m obtenemos:

y  b  m( x  0) y  b  mx despejando a y tenemos:

y  mx  b

-----

Ecuación

( III )

A esta ecuación se le llama ecuación Pendiente –Ordenada la Origen. Determinamos ahora la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q1 ( a, 0 ) & Q2 ( 0, b ) aplicando la fórmula

y  y1  y0 

y 2  y1 ( x  x1) sustituyendo las coordenadas de Q1 & Q2 x 2  x1

b0 b ( x  a) de donde tenemos: y   ( x  a) 0a a

ay  bx  ab

por lo tanto:

bx  ay  ab ;

dividiendo por ( ab ) tenemos:

x y  1 a b

Ecuación ( IV )

A esta ecuación se le llama forma simétrica de la recta. En particular, las rectas paralelas a los ejes coordenados cumplen con las siguientes definiciones de lugares geométricos: *





Recta paralela al eje X = P( x, y)  XY y  k.. & ..x  R es el conjunto de puntos del plano tales

que su Ordenada es siempre constante ( k ), esta situación indica que x puede tomar todos los valores del conjunto de números reales, por lo tanto, un punto P(x, y) pertenece a la recta paralela al eje X si su ordenada es igual a k. Ecuación: *

y=k





Recta paralela al eje Y = P( x, y)  XY x  h.. & .. y  R , es el conjunto de puntos del plano tales

que su Abscisa es siempre constante ( h ), esta situación indica que y puede tomar todos los valores del conjunto de números reales, por lo tanto un punto Q(x, y) pertenece a la recta paralela al eje Y si su abscisa es igual a h Ecuación:

x = h

En particular, las ecuaciones de los ejes coordenados X & Y son Eje Y: x = 0 & Eje X: y = 0.

y

.x = 0 .y = k

(h, k)

x

.y = 0 .x = h

Ejemplo 6.- Determina la ecuación de la recta cuya Ordenada al Origen es 4 y su pendiente es m = -3. Primeramente trazamos la recta en el plano cartesiano:

Y

      X

    





































    

Para determinar la ecuación de la recta aplicamos la fórmula y = -3x + 4 Expresada en la forma general tenemos: 3x + y - 4 = 0.

y = mx + b y obtenemos:











Ejemplo 7.- Determina la ecuación de la recta cuya Abscisa al Origen es – 5 y Ordenada al Origen es 6. Aplicamos directamente la formula de la ecuación simétrica de la recta .

x y  1 a b x y  1 5 6

y obtenemos:

de la cal obtenemos la forma general:

 6x  5 y 1 30 sacando común denominador  6 x  5 y  30   6 x  5 y  30  0 de donde tenemos la ecuación general:

6 x  5 y  30  0 Y

      X

    













































    

Gráfica del ejemplo 7.

Ejemplos 8.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -2, 3) y es paralela a la recta L1: cuya pendiente es m1 = -3 Como las 2 rectas son paralelas las pendientes son iguales entonces, m2 = m1 implica que m2 = - 3 Por lo tanto la ecuación es:

y - y1 = m2 ( x – x1) y- 3 = -3(x–(-2)) y – 3 = - 3x - 6



3x + y + 3 = 0

Ejemplo 9.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto B ( 3, - 5) y es perpendicular a la recta cuya pendiente es m1 = 2 / 3. Como las rectas son perpendiculares entonces:

m2 

1 1  3   m1 2 2 3

entonces la ecuación de la recta es:

y  y1  m( x  x1) 3 ( x  3) 2 2 y  10  3 x  9 y  (5) 

3x  2 y  1  0

PROBLEMAS 1.- Determina la Ecuación de la recta de acuerdo a la información que se te presenta: a.- A( 5, 3) & m = 4/3

b.- P( -2, 6) &

  30 0

c.- W( -3, - 5) m = - 3/2

d.- Q( -3, -8 ) m = 14 /15.

2.- Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados: a.- A( -2, -2 ) & B( 4, 1)

b.- Q(3, -2) T( -2, 1)

c.- R( -1 –3) y es paralela a 4x –

8y –5 = 0 d.- W( 0, 3 ) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C( 3,-2) & D( -1, 2). e.- Z( -3, -5) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos: A( 2,2) & B( 4, 3).

3.- Determina la ecuación simétrica de las restas del problema 2. 4.- Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas cuyas ecuaciones se te presentan: a.- x - 2y - 5 =0

b.- 13x – 8 y – 1 = 0

c.- 4x + 3 y + 7 = 0 5x + y + 9 = 0

5.- Determina la pendiente y Ordenada al Origen de cada una de las siguientes rectas cuya ecuación general se te presenta. a.- L1: 6x - 3y - 1 = 0 =0

b.- L2: 9x + 12y + 4 = 0

c.- 4x – 8y –5 = 0

d.- 13x – 8 y – 1

6.- Determina la distancia del punto ya la recta de acuerdo a la información que se te presenta. a.- Punto P( 2, -4)

L1: 6x - 3y - 5 = 0

c.- Punto R( 3, 7) L2: 13x - 8 y + 4 = 0

b.- Q( -2, 4) L2: 9x + 12y - 4 = 0

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Toda ecuación de la recta la podemos expresar en la forma: A x + B y + C = 0 ------------------------ (V ). En donde A, B & C son números reales. A esta ecuación se le llama Ecuación General de la Recta por lo tanto,” toda recta tiene una ecuación de la forma V y recíprocamente, toda ecuación de la forma V representa a una recta en el plano cartesiano. Para verificar o demostrar si un punto Z( x1, y1) del plano pertenece a una recta dada cuya ecuación está dada en la forma (V) debemos sustituir los valores de las coordenadas x1 & y1 en la ecuación y si esta se cumple (o satisface ) entonces el punto pertenece a la recta, en caso contrario el punto no pertenece a la recta. A partir de la ecuación de la recta podemos determinar sus características tales como: 

Pendiente



Ordenada al Origen



Abscisa al Origen



Angulo de inclinación



2 o mas puntos por donde pasa la recta.



Angulo que forman 2 rectas L1 & L2.

Además de la traza de su gráfica en el plano cartesiano. Esta información la obtenemos mediante la transformación de la ecuación (V) a las formas :

y  mx  b x y  1 a b para transformar a la ecuación ( V ) Ax  By  C  0 a la forma y  mx  b despejamos a la variable y

y

A C A C de donde : la pendiente es m  y su ordenada al origen es: b  x B B B B

por lo tanto, a partir de la ecuación general de la recta obtenemos su pendiente y su ordenada al origen mediante su transformación a la forma pendiente - ordenada al origen. De la misma forma, mediante la transformación de la ecuación general de la recta a la forma simétrica:

x y   1 podemos determinar la Abscisa y Ordenada al Origen y por lo tanto los puntos de a b intersección de la recta con los ejes coordenados X & Y A( a , 0 ) & B( 0 , b ), para esto , primeramente pasamos al término constante al segundo lado de la igualdad y después dividimos por el término constante:

Ax  By  C  0 Ax  By  C A B x y 1 C C tomamos los inversos de los coeficientes de x & y a fin de poder expresar la ultima expresión en la forma:

x y  1 A B C C de donde obtenemos que la Abscisa al Origen es a 

A y la Ordenada al Origen es C

b

B por C

lo tanto, los puntos en donde la recta corta a los ejes coordenados son:

B  A   A ,0  & B 0,  . C  C  

Ejemplos.- Determina la ecuación de la recta de acuerdo a la información que se presenta. 10.-

Pasa por el punto A ( 2, - 5 ) y es paralela a la recta cuya ecuación es 3x - 7 y + 18

= 0. Para determinar a la recta que pasa por el punto A ( 2, - 5) debemos conocer a su pendiente m2 y esta recta es paralela a la recta 3x – 7y + 18 = 0 de la cual, obtenemos el valor de la pendiente m1 despejando a la variable y entonces,

y = - 3/(- 7) x - 18/(- 7) o bien, y = 3/7 x + 18/7

de

donde obtenemos que m1 = 3/7, además, la condición de rectas paralelas indican que m2 = m1 = 3/7. De lo anterior, contamos con la información necesaria para obtener la ecuación de la recta solicitada: Datos: Punto A ( 2, - 5)

m2 = 3/7 aplicamos la fórmula y - y1 = m ( x – x1 ):

y  (5) 

3 ( x  2) de donde 7

y5 

3 ( x  2) 7

multiplicamos en ambos lados de la igualdad por ( 7 ) obtenemos:

7 y  35  3x  6 pasando los términos del primer miembro al segundo miembro tenemos:

0  3x  6  7 y  35

simplificando obtenemos la ecuación de la recta.:

3x  7 y  41  0 . 3x-7y+18=0 (x,y) = (2,-5) 3x-7y-41=0



Y

    

X

                



















       

       

Gráfica rectas paralelas.

11.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto B ( -3, -2) y es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 3y - 15 = 0. Determinamos la pendiente de la recta cuya ecuación nos dan, para esta despejamos a la variable y & obtenemos: 3y = - 5x + 15 y = - (5 / 3) x + 5 de donde tenemos

m2 = - ( 5 / 3 ).

La condición de rectas perpendiculares es m1 

1 por lo tanto la pendiente de la recta que pasa por B m2

es:

m1 

1 3  5 5  3

;

m1 

3 5

Ahora ya conocemos el punto B( - 3, -2 ) y la pendiente m1 = 3 / 5, aplicando la fórmula punto-pendiente: y – y1 = m ( x – x1 ).

 3 y  (2)   ( x  (3))  5

su ecuación la obtenemos

5 y  10  3x  9 3x  5 y  1  0

5x+3y-15=0 (x,y) = (-3,-2) 3x-5y-1=0



Y

    

                

X 

















       

       

Gráfica: Rectas Perpendiculares.

12- Determina la pendiente, ángulo de inclinación y Ordenada al Origen de la recta cuya ecuación es: 4x + 9 y - 25 = 0. Despejamos a la variable y en la Ecuación General:

9 y  4 x  25 y

4 25 x 9 9

de donde obtenemos: pendiente m = - 4 / 9 por lo tanto, el ángulo de inclinación es:

  4 o 1  4  o o o   180  tan    180  23.9624  156.0375  9  9

  tan1 

y la Ordenada al Origen es b = 25 / 9. Para dos rectas paralelas L1: A1 x + B1 y + C1 = 0 & L2: A2 x + B2 y + C2 = 0 se cumplen las siguientes relaciones entre los valores de A1, A2, B1, B2 , C1 & C2:

1.  A1B 2  A2 B1  0 2.  A1  kA2.... & ...B1  kB2...k  0 3.  C1 & C 2..tienen ..signos..iguales ..si..las..rectas..es tan ..del ..mismo..lado..del ..origen. 4.  C1 & C 2..tienen ..signos..contrarios..si..las..rectas..es tan ..en..lados..opuestas..del ..origen.

4x+3y-12=0 4x+3y-21=0

4x+3y-12=0 4x+3y+21=0

y 























        

x 

















       

x 

































C1 & C2 con Signos iguales contrarios.

y 

C1 & C2 con signos









4x-3y-12=0 4x-3y-21=0

y

4x-3y+12=0 4x-3y-21=0

 

y  

















        



x 















       



x 





































C1 & C2 con mismo signo

C1 & C2 con signos

contrarios.

ANGULO ENTRE 2 RECTAS A PARTIR DE LA ECUACIÓN GENERAL Consideremos a las rectas L1: A1x + B1y + C1 = 0 y L2: A2x + B2y + C2 = 0, determinaremos la expresión para determinar el ángulo



que forma L1 con L2 expresados en términos de los

coeficientes de sus Ecuaciones, para esto, las pendientes de las rectas las obtenemos mediante la transformación de cada ecuación en la forma

Para L1: A1x + B1y + C1 = 0;

y = mx + b entonces:

y = (- A1 / B1 )x + (-C1/ B1)

de donde:

m1 = (- A1 / B1 )

Para L2: A2x + B2y + C2 = 0; y = (-A2 / B2 )x + (C2 / B2)

de donde:

m2 = ( -A2 / B2 )

Conocidas las pendientes, aplicamos la formula:

tan 

m2  m1 1  m1m2

sustituimos las pendientes en término de sus coeficientes y obtenemos:





 A2   A1   A2 B1  A1B 2   A1B 2  A2 B1 B 2  B1  B1B 2 tan    B1B 2  A1A2 A1A2  B1B 2   A1  A2  1    B1B 2  B1  B 2  de donde tenemos la fórmula del ángulo entre las 2 rectas expresada en término de los coeficientes de sus ecuaciones.

tan 

A1B 2  A2 B1 A1A2  B1B 2

De donde obtenemos las condiciones que deben cumplir estos coeficientes para rectas paralelas y rectas perpendiculares: a).- Dos Rectas son paralelas si sus coeficientes cumplen con: A1B2 – A2 B1 = 0 de donde se obtiene :

A1 B1  k A2 B 2

esto indica que A1 es múltiplo de A2 y

B1 es Múltiplo de B2 con k como constante de multiplicidad.

b).- Dos rectas son perpendiculares si sus coeficientes cumplen con la condición A1A2 + B1B2 = 0.

Ejemplo 13.- Determina el ángulo que forman las rectas L1: 3x -7 y + 25 = 0 & L2: 5x + 8 y - 21 = 0. Para determinar el ángulo 

usaremos los 2 métodos, el correspondiente a las pendientes y el de la Tabla

I.

a).- Uso de las pendientes: determinamos las pendientes m1 & m2 de las rectas despejando a la variable y en cada una de las ecuaciones:

Para L1:  7 y  3x  25 ;

Para L2: 8 y  5x  21 ;

y

y

3 25 x de donde 7 7

5 21 x 8 8

Aplicamos la formula de las pendientes y obtenemos:

de donde

y

3 25 x 7 7

m2 

5 8

entonces m1 

3 7

5 3  35  24  m2  m1  59 8 7 56 tan t     56  15 1  m1m2  3   5  41 1     56  7  8    59  o 1  59  o 1 o o o   180  tan    180  tan (1.4390)  180  55.3039  124.7960  41   41 

  tan1

entonces   124.7960o

3x-7y+25=0 5x+8y-21=0

y          x

   







































 

Gráfica

El estudiante podrá aplicar cualquiera de los 2 procedimientos para determinar el ángulo entre las dos rectas.



DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Consideremos A la recta L con ecuación general Ax  By  C  0 y un punto P( x1,y1 ) del plano, se define la distancia del punto P a la recta L como la Mínima de todas las distancias existentes entre el punto P( x1, y1 ) y cada Punto de la recta, esta distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular a la recta L y que tiene extremos a P (x1, y1 ) y el punto correspondiente a la recta Q (x0, y0 ). A continuación se señalan los pasos que se tienen que seguir para obtener la fórmula correspondiente y en el APÉNDICE ,1 se presenta la demostración correspondiente.

Paso1.- Se determina la pendiente de la recta L: m1 = - A / B Paso 2.-El segmento perpendicular a L tiene pendiente m2 = B / A

(m2 = -1/ m1).

Paso 3.- Se determina la ecuación de la recta correspondiente al segmento que pasa por Q(x1, y1). .

y - y1 = m2 ( x - x1)

Paso 4.-Se obtiene el punto de intersección de las 2 rectas perpendiculares el cual corresponde a Q ( x0, y0). Paso 5.- Se determina la distancia entre los puntos P(x1, y1 ) y Q ( x0, y0).

La fórmula resultante es:

d ( P : L) 

Ax1  By1  C A2  B 2 --------( VII

)

Ejemplo 14.- Determina la distancia del punto P( -3, -5 ) a la recta L: 5x + 4 y - 20 = 0.

Aplicamos la fórmula VII

d ( P : L) 

donde X1 = -3 y1 = -5 A = 5 & B = 4;

(5)(3)  (4)(5)  20 5 4 2

2



 15  20  20 25  16



 55 41



55 55 41  Unidades. 41 41

d ( P : L) 

55 41 U. 41 y

(x,y) = (-3,-5) 5x+4y-20=0

     x

   







































     

DISTANCIA DE UNA RECTA AL ORIGEN

Tomemos como caso especial el cálculo de la distancia de un punto a una recta cuando el punto es el Origen O( 0,0) y la recta L : Ax1 + By1 + C = 0, en esta caso la distancia queda determinada por :

C

d ( L, O) 

A2  B 2

Ejemplo 15: Determina la distancia de la reta L: 4x – 10 y -25 = 0 al Origen O( 0, 0) Aplicamos la formula y obtenemos:

d ( L, O) 

 25 4  (10) 2

2



25  10.77 unidades. 116



DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS Los coeficientes de las ecuaciones de 2 rectas paralelas L1: A1x + B1y + C1 = 0 & L2: A2x + B2y + C2 = 0 Cumplen con la relación:

A1B2  A2 B1  0...........ó..bien...      (1) A1 B  1  k .........entonces .........    (2) A2 1 B2 A1  kA2........ & .......B1  kB2 ...      (3) Aplicando la relación 3 en las ecuaciones de las rectas L1 ó L2,

las podemos representar de tal

forma que sus coeficientes siempre sean iguales, por lo tanto las ecuaciones quedan:

L1 : Ax  By  C1  0 L 2 : Ax  By  C21  0 donde...C21 

1 C2 k

para determinar la distancia entre las 2 rectas, consideremos la distancia dirigida del Origen a cada una de las rectas L1 & L2, (la distancia dirigida puede ser positiva o negativa dependiendo del signo del termino C1 & C2 de las ecuaciones.) entonces la distancia la obtenemos a partir de la fórmula:

d ( L1, L2) 

C2'  C1 A2  B1

Ejemplo 16: determina la distancia entre las rectas paralelas dadas: 1.- L1: 3x + 5y + 25 = 0 & L2 : 3x + 5y - 15 = 0 Estas rectas son paralelas ya que A1B2 - A2B1 = 0 (3)(5) - (3)(5) = 0. Entonces: d ( L1, L2) 

 15  25 3 5 2

2



 40 34



40 40 34  ...unidades 34 34

Ejemplo 17.- L1: 5x – 4y - 18 = 0 & L2: 10x - 8 y + 42 = 0. Las rectas son paralelas ya que cumplen con: A1B2 - A2B1 = 0. En este caso antes de aplicar la fórmula, debemos transformar a las ecuaciones de tal forma que los coeficientes )

A & B sean iguales, esto lo obtenemos ya sea multiplicando a la ecuación de L1 por ( 2

ó dividiendo la ecuación de L2 por ( 2 ) . hagamos el primer caso y obtenemos:

L1: 10 x - 8 y - 36 = 0 & L2: 10 x – 8 y + 42 = 0, aplicamos la fórmula:

d ( L1, L2) 

42  (36) 100  64

entonces, la distancia entre las rectas L1 & L2 es:



78 78  164 164 164

d ( L1, L2) 

78 164  6.0908..Unidades 164

y

5x-4y-18=0



10x-8y+42=0

     x 

























      

























