AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA

AYUDA 1: Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable “x”, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: x y

-2 -8

-1 -5

0 -2

1 1

El proceso: Para x= -2 Para x =-1 Para x = 0

Figura 3-3

Para x = 1

Nos genera las siguientes coordenadas:  2,8,  1,5, 0,2 y 1,1 . Luego se ubican en el plano cartesiano. NOTA: Es importante que tengas en cuenta que para graficar una línea recta basta con obtener dos puntos de ella y luego con una regla prolongarlos hasta el infinito.

AYUDA 2: Graficar la función

Solución: Se debe escoger dos números que representen a la variable “x”, para obtener dos valores de “y”, así: x y

0 1

2 0

El proceso: Para x = 0

Figura 3-4

Para x = 2

Así se obtiene las coordenadas AYUDA 3: Calcular la distancia entre los puntos A2,3 y B 2,3

Solución: Se ubican los puntos en el plano cartesiano. Se asocian los puntos, es decir, Ax1 , y1  y Bx2 , y 2  , con x1  2 y1  2 , x2  2 y 2  3, finalmente se reemplaza en la fórmula de distancia entre dos puntos:

Nos queda

Distancia entre los dos puntos

Figura 3-6 Figura 3-7 AYUDA 4: Hallar las coordenadas del punto medio dado por Solución: Se nombran los puntos A 2,3 y B4,2, luego y luego se reemplaza en

.

Donde el punto del medio del segmento formado por comprobar que

es

; se puede

, analizando: = =

=

= 3,9 Ahora = =

=

=

= 3,9 Se concluye que son iguales las distancias, por lo tanto M si es el punto medio. AYUDA 5: Halle la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une los puntos A 5,3 y B2,3. Solución: Reemplacemos en la fórmula de la Ax1 , y1  y pendiente y tenemos que

y 2  y1  3  3  6    0.85 m  0.85 x2  x1 25 7 y  y1 Ahora para calcular el ángulo de dirección tenemos Tan  2 x 2  x1 6 6 Tan   Luego   Tan 1    , entonces   40.6º 7  7 Figura 3-9

Bx2 , y 2  entonces: m 

Este ángulo se desplaza en dirección negativa porque rota en el mismo sentido de las manecillas del reloj. Por lo tanto, para hallar el ángulo de dirección  (obtuso), entonces, su respectivo valor en forma positiva es:

  180º

  180º40.6º  139.39º

  139.4º

AYUDA 6: Hallar la ecuación de la recta que pasa por y su pendiente es 2. Solución: El punto conocido y la pendiente m = 2, entonces sustituyendo en la ecuación se tiene: y  4  2 x   3 y  4  2x  6 y  2x  6  4 y  2 x  10

AYUDA 7: Halla la ecuación de la recta que pasa por Solución: Sea A 1,3 y B2,0 03 3   1 . Luego se escoge cualquier punto 2   1 3 por ejemplo A 1,3  x1  y1  , entonces reemplazando en la ecuación de la recta:

Se calcula la pendiente m 

 y  y1   mx  x1   y  3  1x   1 y  x 1  3 y  x  2

AYUDA 8: Dada la ecuación ordenada del intercepto con el eje y b  .

. Calcular la pendiente ( m ) y la

Solución: Se reconocen los coeficientes A  5 ; B  8 ; C  10

 10 10 5 5   ; b 8 8 4 4 5 5 Luego se puede escribir y   x  8 4 AYUDA 9: Hallar la ecuación de la recta que pasa por  2,3 y es paralela a la recta 5 m ; 8

b

Solución: La recta dada es y  2 x  1 , entonces la pendiente m1  2 , por el criterio de paralelismo m2  2 . Se utiliza el punto (-2, -3) y lo sustituimos en la ecuación

y  y1  mx  x1 

y   3  2x   2 y  3  2( x  4) y  2 x  4  3 y  2 x  7 AYUDA 10: Hallar la ecuación de la recta que pasa por  2,3 y es perpendicular a Solución: La recta dada es y  2 x  1 , entonces la pendiente m1  2 , por el 1 criterio de perpendicular m2  2 Se utiliza el punto (-2, -3) y lo sustituimos en la ecuación

y  y1  m x  x1  y   3 

1 x   2 2 1 1 1 y  3  x  2  x  2 2 2 2 1 y  x 1 3 2 1 y  x2 2

TALLER SOBRE LA LINEA RECTA

Ejemplo 1: Grafique en un plano cartesiano los puntos: A(3, 0), B(1, 2), C(0, 1), D(-2, 2), E(-3, 0), F(-1, 2), G(0, -2) Ejemplo 2: Será que los puntos H(-2, 5), F(4, 4), L(1, 2), N(-2, 0) pertenecen a la recta 2X-3Y+4=0? Ejemplo 3: Dados los puntos A(5, 3), B( -2, 6), C(1, -2). Halle: a. La longitud del segmento AB b. Las coordenadas del punto M (Punto medio del segmento AB) c. Distancia de C a la recta que pasa por A y por B. d. El angulo 1 con respecto a la horizontal de la recta AB. e. Ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas X= - 4 y Y= 3; y por el punto M. f. El angulo 2 con respecto a la horizontal de la recta anterior. g. Grafique todo lo anterior. Ejemplo 4: Demuestre que los puntos T(9, 2), G(11, 6), I(3, 5), J(1.1) son los vértices de un paralelogramo Ejemplo 5: Demuestre de dos formas que el triángulo con vértices S(2, 2), M(4, 0), K(-4, -4) es rectángulo. Ejemplo 6: Halla la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas X+7Y-23=0 y 7X-4Y-2=0 y es perpendicular a la recta X+2Y+8=0. Grafique las cuatro rectas. Ejemplo 7: ¿Cuál es el valor de x si la distancia entre P (8, -1) y Q (x, 3) es 4

?

Ejemplo 8: Dibuja y halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-2, -1) y Q (3,5). Señala el ángulo de dirección  que se forma entre el eje positivo de las x y la recta, y resuelve las siguientes preguntas: La pendiente es positiva, negativa, no existe o es cero. ¿Por qué? ¿Cuál es la ecuación de la recta? ¿Cuál es el intercepto con el eje y? ¿Cuál es el valor del ángulo  ? Ejemplo 9: Calcula la amplitud del ángulo  que forma la recta r con la dirección positiva del eje x si sabes que pasa por los puntos: A(4, 3), B(-1, 4) C(2.5, 2), D(1.5, ) E( , 2.6), F( , 1.3) G(3, 8), H(-3.4, 2 )

Ejemplo 10: Demuestre que el cuadrilátero con vértices P(1, 2), Q(4, 4), R(5, 9) y S(2, 7) es un paralelogramo, mostrando que su diagonales se bisecan entre sí. Ejemplo 11: Trace el rectángulo con vértices A(1, 3), B(5, 3), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo. Ejemplo 12: Grafique el paralelogramo de vértices A(1, 2), B(5, 2), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo. Ejemplo 13:Grafique los puntos A(0, 1), B(5, 0), C(4, 3) y D(2, 3) en un plano de coordenadas. Trace los segmentos AB, BC, CD Y DA. ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD y cuál es su área? Ejemplo 14:. Grafique los puntos los puntos P(5, 1), Q(0, 6) y R(-5, 1) en un plano de coordenadas. ¿Dónde debe estar el punto S a fin de que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado? Determine el área de éste. Ejemplo15: Demuestre que el triángulo de vértices A(0, 2), B(-3, -1) y C(-4, 3) es isósceles. Ejemplo 16: Determine el área del triángulo de vértices A(-2, 1), B(4, 1) y C(7, 4). Ejemplo 17: Demuestre que el triángulo de vértices C(-3, -3), D(3, 1) y E(2, 2) es rectángulo utilizando el recíproco del teorema de Pitágoras. Ejemplo 18:Grafique el paralelogramo de vértices A(-2, -1), B(4, 2), C(7, 7) y D(1, 4), obtenga los puntos medios de sus diagonales y concluya que estas se intersecan en su punto medio. Ejemplo 19: Halla el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D(0, 0), E(1, 7) y F(7, -1). Utiliza solo el concepto de distancia entre dos puntos. OD  OE  OF y Origen O(x, y) Ejemplo 20: Prueba que los triángulos de vértices G(3, 5), H(1, 1), I(-1, 2), y J(0, -1), K(2, 3), L(4, 2) son rectángulos y congruentes. Ejemplo 21: Hallar la ecuación canónica y general de la recta que pasa por el punto (-4, 3) y tiene pendiente Ejemplo 22: Hallar la pendiente m y el intercepto con el eje y de la recta cuya ecuación es 2y-3x=6

Ejemplo 23: Demostrar que los puntos (3,6), (5,4), (-4,-1) y (-2,-3) son vértices de un rectángulo: calcular luego su perímetro, área y la longitud de cada una de sus distancias. Ejemplo 24: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cumple la condición siguiente: a) Es paralela a la recta 2x+37-5=0 b) Es perpendicular a la recta 4x+5y-20=0 Ejemplo 25: Hallar la distancia d desde: La recta 8x+15y-24=0 al punto (-2, -3) La recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7) Ejemplo 26: Dado el triángulo de vértices A(-2, 1), B(5, 4) y C(2, -3) hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo. Ejemplo 27: Hallar la distancia d del punto de intersección de las rectas x+3y-4=0, 5xy+6=0 a la recta 4x-y-3=0 Ejemplo 28: Los puntos A(1,1), B(5,3), C(3,7) y D(-1,5), tomados en ese orden, son los vértices de un cuadrado: a) Halla su área. b) Halla el centro y el radio de la circunferencia circunscrita. Ejemplo 29: Dado el triángulo cuyos vértices son D(-5,-5), E(1,7) y F(5,1): a) Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por sus vértices y son paralelas al lado opuesto, b) Halla las coordenadas del ortocentro, c) Halla las coordenadas del circuncentro. Ejemplo 30:Las ecuaciones de los lados de un triangulo son: 3x -y-7=0, x+y-5=0 y 2x-y7=0. Halla las coordenadas de sus vértices. Ejemplo 31: Dado el triángulo de vértices A(-2,1), B(5,4) y C(2,-3), hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo. Respuesta:

y 20

Ejemplo 32: ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2x-3y+7=0 y que pasa por el punto medio del segmento de esta comprendido entre los ejes coordenados?

Respuesta: 36x+24y+35=0 Ejemplo 33: Los puntos A(1,-1), B(5,1) y C(1,5) son vértices de un triángulo. Clasifica dicho triángulo según la longitud de sus lados. Calcula su área, perímetro y ángulos interiores. Calcula las coordenadas del circuncentro, del ortocentro y del baricentro. Halla la ecuación de la recta de Euler. Respuestas: Escaleno Area= 12 u 2 Ángulos interiores: 45°, 71.6° y 63.4° 7 5  3 3

Circuncentro: (2,2), Ortocentro: (3,1) y Baricentro:  , 

---------------------------------------------------------------------------------------"Aunque sientas el cansancio, aunque una traición te hiera, aunque el triunfo te abandone, aunque un dolor queme tus ojos, aunque la incomprensión corte tu risa Y todo parezca nada ! Vuelve a empezar!". -------------------------------------------------------------------