UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO “LOS PIRINEOS DON BOSCO” INSCRITO EN EL M.P.P.L N° S2991D2023 RIF: J-09009977-8

GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICA 5to LINEA RECTA - CIRCUNFERENCIA

Asignatura: Matemática Año Escolar: 2013-2014 Lapso: 2do Año: 5to Secciones: A-B-C Docente: Lcdo. Molero G. Renso M.

INSTRUCCIONES: 1) La guía de ejercicios se desarrollará en el cuaderno respectivo a la asignatura. 2) Los ejercicios se deben realizar de la manera en que se desarrollan en la Guía

NOTA: Esta guía está basada en los objetivos 2 y 3 dados en las clases del 2° Lapso

FORMULARIO DE MATEMATICA GEOMETRIA EN EL PLANO LINEA RECTA: 1) Longitud de un Segmento

2) Punto Medio de un Segmento

P1 (x1,y1)

𝑃𝑚 = (𝑃𝑚𝑥 ; 𝑃𝑚𝑦 )

P2 (x2,y2)

𝑥1 +𝑥2 2

 

Punto Medio en Y Punto Medio en X

𝑦1 +𝑦2 2

2 2 𝑑̅̅̅ 𝑃1 ̅̅̅ 𝑃2 = √(𝑥2 − 𝑥1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 )

𝑃𝑚𝑥 =

3) Ecuación Punto Pendiente

4) Pendiente de una Recta

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

𝑚=

3) Ecuación General de la Recta

3) Distancia de la Recta a un Punto

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑑=

𝑃𝑚𝑦 =

𝑃𝑚𝑦 𝑃𝑚𝑥

5) Pendiente entre Rectas Paralelas o Perpendiculares

𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1

m1 pendiente de L1 m2 pendiente de L2 Cuando L1 y L2 son Paralelas m1 = m2 Cuando L1 y L2 son Perpendiculares m1 x m2 = -1

|𝐴.𝑥1 +𝐵.𝑦1 +𝐶| √𝐴2 +𝐵2

CIRCUNFERENCIA: 1) Ecuación de la Circunferencia

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2

Centro C:(h,k) PPunto en la Circunferencia P:(x,y) h

2) Ecuación Canónica de la Circunferencia

3) Ecuación General de la Circunferencia

(𝑥 )2 + (𝑦)2 = 𝑟 2

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

4) Completación de cuadrados:

𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑏 2

5) Producto Notable. Cuadrado de una Suma o Resta:

𝑎2 ± 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 ± 𝑏)2 𝑏 2

𝑥 2 + 𝑏𝑥 + ( ) = ( ) + 𝑐 2 2

GUIA DE EJERCICIOS LINEA RECTA - CIRCUNFERENCIA NOTA: Esta guía está basada en los objetivos 2 y 3 dados en las clases del 2° Lapso. I.- Parte: Analiza con cuidado cada uno de los ejercicios y calcula lo requerido en cada ejercicio: Ejercicio Propuesto.- Encontrar en cada caso las longitudes de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos dados. (Objetivo 2.1): A (3,2), B (7,-1), C (-4,5). 𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ¿ ? ; 𝑑̅̅̅̅ 𝐵𝐶 =¿ ? ; 𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = ¿ ? Se escribe la fórmula de la 2 2 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 ̅̅̅̅ = √(𝑥2 − 𝑥1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 ) Longitud de un 𝑑𝐵𝐶 Segmento 2 2 Sustituye los 𝑑𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = √((−4) − 7) + (5 − (−1)) valores en la = √(7 − 3)2 + ((−1) − 2)2 fórmula 2 2 2 2 = √(4) + (−3) = √16 + 9 = √25 Se resuelven las 𝑑𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = √(−11) + (6) = √121 + 36 operaciones respectivas 𝑑̅̅̅̅ 𝑑𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 5 ̅̅̅̅ = √157

CALCULAR: 𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐵

𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐵

2 2 𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = √(𝑥2 − 𝑥1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 )

2 2 𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = √((−4) − 3) + (5 − 2)

2 2 𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = √(−7) + (3) = √49 + 9

Se escribe la fórmula de la Longitud de un Segmento Sustituye los valores en la fórmula

Se escribe la fórmula de la Longitud de un Segmento Sustituye los valores en la fórmula Se resuelven las operaciones respectivas

𝑑̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = √58 Ejercicio 1.- Encontrar en cada caso las longitudes de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos dados: A (0,3), B (3,0), C (0,0). Ejercicio 2.- Encontrar en cada caso las longitudes de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos dados: A (-5,0), B (5,0), C (0,0). Ejercicio Propuesto.- Hallar las coordenadas del punto medio en el siguiente par de puntos. (Objetivo 2.2): a) P(6,2), Q(8,-2) CALCULAR: a) 𝑃𝑚𝑃𝑄 = ¿ ? de P(6,2), Q(8,-2); 𝑥1 + 𝑥2 𝑃𝑚𝑃𝑄 (𝑥) = Se escribe la fórmula del Punto Medio de un Segmento 2 6+8 Sustituye los valores en la fórmula y Se resuelven las 𝑃𝑚𝑃𝑄 (𝑥) = =7 respectivas operaciones 2 𝑦1 + 𝑦2 2 2 + (−2) 𝑃𝑚𝑃𝑄 (𝑦) = =0 2 𝑷𝒎𝑷𝑸 = (𝟕, 𝟎) 𝑃𝑚𝑃𝑄 (𝑦) =

Se escribe la fórmula del Punto Medio de un Segmento Sustituye los valores en la fórmula y Se resuelven las respectivas operaciones Se escriben las coordenadas del Punto Medio

Ejercicio 3.- Hallar las coordenadas del punto medio en los siguientes pares de puntos: a) A(4,8), B(2,6) b) C(-1,3), D(2,4)

Ejercicio Propuesto.- Calcular la ecuación general de la recta que satisface la siguiente condición. (Objetivo 2.5 - 2.6): a) Tiene pendiente m=1/2 y pasa por el punto P(2,-6).

CALCULAR: a) 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 con m=1/2 y P(2,-6); a) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 1 (𝑥 − 2) 2 𝑥 𝑦+6= −1 2 𝑥 𝑦 = −1−6 2 𝒙 −𝒚−𝟕=𝟎 𝟐

𝑦 − (−6) =

Se escribe la fórmula de la Ecuación Punto Pendiente Sustituye los valores en la fórmula Se resuelven las respectivas operaciones Se despeja a “y” Se escribe de manera que quede como la ecuación general de la recta

Ejercicio 4.- Calcular las ecuaciones generales de las rectas que satisfacen las siguientes condiciones: a) Tiene pendiente m= -1/2 y pasa por el punto P(3,-3) R: a) -1/2x - y - 3/2 = 0 b) Tiene pendiente m= 2 y pasa por el punto P(-2,-4) R: b) 2x - y = 0

Ejercicio Propuesto.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos Q(2,-1) y R(5,7). (Objetivo 2.3 - 2.4 - 2.5 - 2.6):

CALCULAR: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 de L1 que pasa por P(3,-2); m1 = m2 m1 es pendiente de L1 y m2 es pendiente de L2 ; L2 pasa por los puntos Q(2,-1) y R(5,7) Se escribe la fórmula Se escribe la 𝑦2 − 𝑦1 𝑚2 = fórmula de la 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) de la Ecuación Punto 𝑥2 − 𝑥1 Pendiente Pendiente

𝑚2 =

7 − (−1) 8 = 5−2 3

𝑚1 = 𝑚2 = 8⁄3

Sustituye valores en fórmula y resuelven respectivas operaciones Según la Condición de Paralelismo

los la 8 se Sustituye los valores 𝑦 − (−2) = (𝑥 − 3) en la fórmula las 3

𝑦+2=

8𝑥 24 − 3 3

𝑦+2=

8𝑥 −8 3

Se resuelven respectivas operaciones

las

Se escribe de manera que quede como la ecuación general de la recta 𝟖𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟑 Ejercicio 5.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(5,4). Ejercicio 6.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos C(1,-1) y D(3,-5).

Ejercicio Propuesto.- Calcular la distancia de la recta de ecuación 4x + 3y - 5 = O al punto (-3,5). (Objetivo 2.3 - 2.4)

CALCULAR: Distancia “d” de L1: 4𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 al punto P(-3,5) A = 4 ;B = 3 ;C = -5 ; x1 = -3 ; y1 = 5 𝑑= 𝑑=

|𝐴. 𝑥1 + 𝐵. 𝑦1 + 𝐶|

√𝐴2 + 𝐵 2 |(4. (−3)) + (3.5) + (−5)|

𝑑=

√42 + 32 |(−12) + (15) − 5|

√16 + 9 |−2| 2 𝑑= = → 𝑑 = 2⁄5 √25 5

Determina los valores de las constantes y coordenadas Se escribe la fórmula de la Distancia de la Recta a un Punto Sustituye los valores en la fórmula Se resuelven las respectivas operaciones Se resuelven el valor absoluto, las operaciones respectivas y se identifica el valor de la distancia

Ejercicio 7.- Calcular la distancia de la recta de ecuación 2x + 4y - 3 = 0 al punto (2,2).

II.- Parte: SECCIONES CONICAS. LA CIRCUNFERENCIA. Analiza con cuidado cada uno de los ejercicios y calcula lo requerido en cada ejercicio: Ejercicio Propuesto.- Escribir la ecuación de la circunferencia en su forma reducida con: (Objetivo 3.1)  Centro en (3,-1) y que pasa por P(3,4).

CALCULAR: La Ecuación (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 con Centro C(3,-1) y pasa por P(3,4) Centro C(h,k)  C(3,-1) ; P(3,4)  x=3 ; y=4 𝑟 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑟 = √(3 − 3)2 + (4 − (−1))2 𝑟 = √(0)2 + (5)2 𝑟 = √25 = 5  𝑟 2 = 25 (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟐𝟓

Identifica los valores de “h”, “k”, “x” y “y” Se escribe la fórmula de la Ecuación de la Circunferencia con el Radio en su forma despejada Sustituye los valores en la fórmula Se resuelven las respectivas operaciones Se escribe de manera que quede como la ecuación de la circunferencia

Ejercicio 8.- Escribir la ecuación de la circunferencia en su forma reducida con:

a) centro en (-1,2) y que pasa por el punto (3,4).

R: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 20

b) centro en (0,0) y que pasa por el punto (2,2).

R: (x)2 + (y)2 = 8

Ejercicio Propuesto.- Determinar las coordenadas del Centro y radio de cada Circunferencia dada su Ecuación General. (Objetivo 3.1): a) x2 + y2 - 4x + 2y - 31 = 0 CALCULAR: a) Centro C(h,k) y Radio de 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝟏 = 𝟎

𝑏 2 𝑏 2 𝑥 + 𝑏𝑥 + ( ) = ( ) + 𝑐 2 2 2

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝟏 = 𝟎 4 2 2 2 4 2 2 2 2 𝑥 − 4𝑥 + ( ) + 𝑦 + 2𝑦 + ( ) = ( ) + ( ) + 31 2 2 2 2 2

𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 4 + 1 + 31 𝑎2 ± 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 ± 𝑏)2

Se escribe la fórmula Completación de cuadrados

de

la

Se ordenada la Ecuación para aplicar Completación de cuadrados Se escribe la aplicación de la Completación de cuadrados en la Ecuación Se resuelven las respectivas operaciones Se escribe la fórmula del Producto Notable Cuadrado de una Suma o Resta

𝑥 2 − 2. 𝑥. 2 + 22 + 𝑦 2 + 2. 𝑦. 1 + 12 = 36 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 62 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 -h = -2 ; -k = 1 ; r2 = 36 h = 2 ; k = -1 ; 𝑟 = √36 = 6

Se aplica la fórmula del Producto Notable mencionado

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(2, −1) 𝑦 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠 6

Se escriben las coordenadas del Centro y el valor del Radio de la Circunferencia

Se escribe la fórmula de la Ecuación de la Circunferencia, luego se despeja e identifica el valor de: h, k y r.

Ejercicio 9.- Determinar las coordenadas del Centro y radio de cada una de las Circunferencias dada su Ecuación General:

a) x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0

R: Centro (3,-1) Radio = 4

b) x2 + y2 - 8x + 4y - 5 = 0

R: Centro (4,-2) Radio = 5