EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA 1.

En una C(O; r) se trazan un diámetro AB y un radio OC perpendicular a AB ; se

7.

prolonga AB a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: OFC=OGC. 2.

Un ABC está inscrito en una C(O; r); sus alturas se cortan en H. Demostrar que la recta que une el punto medio N de AH con el punto medio P de AB es paralela a la recta que une O con el punto medio Q de Demostrar que OPNQ es un AC . paralelogramo.

3.

Desde el vértice A de un ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan DB y DC . Demostrar que la recta que une el punto medio del radio AB con el punto medio de DC es perpendicular a la recta que une el punto medio AC con el punto medio de DB .

4.

En una C(O;r) un diámetro AB y una cuerda AC forman un ángulo de 30°; se traza la tangente en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el ACD es isósceles.

5.

6.

En una semicircunferencia de radio dado R inscribir una circunferencia de radio dado r. ¿ Cuál condición deben cumplir los radios R y r para que exista una única solución?, ¿Para dos soluciones?. En una C(O;r) se trazan por los extremos de un diámetro AB dos cuerdas paralelas

AC y BD . Probar que ACO=BDO.

GEOMETRÍA

Por el punto medio O de un segmento AB  se traza una recta cualquiera XY ; se toma  B' simétrico de B con respecto a XY y se traza B'N  OB' con el punto N sobre  XY . Probar que NB es tangente a la circunferencia de diámetro AB .

8.

Por el punto de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriores se traza una cuerda BAC . Demostrar que las tangentes en B y en C son paralelas.

9.

Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la cuerda AN  AM . Probar que OM  O'N .

10. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros AC y AD . Demostrar que C, B y D están alineados. 11.

Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la mayor en C y D. Demostrar que AC = BD y AD = BC .

12. En una C(O;r) se traza una cuerda AB y se toman los puntos medios M del arco mayor  y N del arco menor AB  . Se trazan las AB bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F; se traza DF que corta a MN en H. Demostrar que:

 a. El punto I está sobre la recta MN . b. DH=HF. 13. En una C(O; r) se trazan dos radios OA y

OB y una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del AOB; MN corta a OA en F y a OB en G. Demostrar que: MF=NG y FA=GB. C.A.V.A

2

EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

22. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r) 14. Se trazan dos circunferencias concéntricas. Demostrar que todas las cuerdas de la mayor que son tangentes a la menor son iguales. 15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de OO' y se traza la perpendicular a

AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC. 16. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y una cuerda cualquiera CD ; De A se traza la cuerda AE perpendicular a la dirección de CD y de B se traza la cuerda BF

CD ; AE y BF prolongados cortan a CD o a sus prolongaciones en G y H. Demostrar que: EG=BH y HC=DG. perpendicular

a

17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto. 18. Considerar un cuarto de circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se trazan cuerdas iguales AM=BN; estas cuerdas se cortan en el punto C. Demostrar que OC  AB . 19. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares OA y OB y en el mismo sentido con respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son perpendiculares.

se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y AN ; después las cuerdas BM'  AM y BN'  AN . Demostrar que MN'  M'N . 23. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC' y DD' perpendiculares a un diámetro AB ; se trazan CD y C'D' . Probar que la recta que une los puntos medios de CD y C'D' es perpendicular al diámetro AB . 24. Se hace pasar una circunferencia por los puntos medios de los tres lados de un triángulo rectángulo. Demostrar que el arco exterior a la hipotenusa es la diferencia de los arcos exteriores a los catetos. 25. En un ABC acutángulo se traza las alturas AD y BE . Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el BAC=64°, calcular el ADE. 26. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC tal que el BAC=20° y se traza la tangente XDY  AC Calcular el valor del ADX y el del BDY. 27. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes BAC y B'AC' . Probar que BB'  CC' . 28. Construir un triángulo rectángulo si se conocen la hipotenusa y un cateto.

20. En una C(O; r) se traza una cuerda AB sobre la que se toma un punto D que se une con un punto cualquiera C de la circunferencia. Por los puntos medios de

29. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna posición.

AD y CD se levantan perpendiculares que se cortan en M. Demostrar que OM  AC .

30. En un ABC inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F. Demostrar que DI=DB.

21. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles. GEOMETRÍA

C.A.V.A

EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

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31. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un ABC, rectángulo en A. Probar que BC es el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B, I y C. 32. En un ABC inscrito en una circunferencia se trazan las alturas AD y BF que se cortan en H; se prolonga AD hasta que corte a la circunferencia en M. Demostrar que HD=DM. 33. Por un extremo A de un diámetro AB de una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por el extremo B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del CAB que corta a la cuerda BC en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y FH=HD.

a. Inscrito. b. Circunscrito. 37. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito ABCD, cuyos lados AB , BC , y DA , son tangentes a la CD circunferencia respectivamente en N, P, R y M. a. b.

Demostrar que AD+BC=DC+AB.  miden 110° y  , MR Si los arcos MN 120° y el MIN=95°, siendo I el punto donde concurren las diagonales del MNPR, calcular los ángulos de los dos cuadriláteros.

34. Sobre una circunferencia se toman consecutivos y en un mismo sentido de rotación los puntos A, B, C, D y E, tales  midan  , CD  y DE  , BC que los arcos AB respectivamente 90°, 60°, 45° y 105°. Encontrar: a. b. c.

d.

e.

. La medida del arco EA El valor de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB. El valor de los ángulos que se forman en el punto H, intersección de las cuerdas EB y AD . El valor de los ángulos que se forman en el punto I, intersección de las cuerdas ED y BC . El valor de los ángulos que se forman en el punto B, al trazar la recta tangente FBT .

35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace con los lados AB y AD ángulos de 45° y con la diagonal BD un ángulo de 70°. 36. Construir un triángulo conociendo el radio del círculo: GEOMETRÍA

equilátero C.A.V.A

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EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

COMPLEMENTO A LOS EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA (extraídos del texto geometría euclidiana de Rodolfo Londoño U. de A. por Carlos A. Ríos)

Para cada uno de los gráficos siguientes encuentre los ángulos y arcos pedidos.

1.

3.

2. 4.

5.

GEOMETRÍA

C.A.V.A

2

EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

6.

9.

7.

10.

8.

GEOMETRÍA

11. C.A.V.A

EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

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12. 15.

13. 16.

14. GEOMETRÍA

C.A.V.A