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´ PRACTICA 11 FACTOR DE CALIDAD Y FACTOR DE ACOPLAMIENTO DE CIRCUITOS RESONANTES

1.

Objetivos

El primer objetivo de esta pr´actica es introducir el concepto de factor de calidad (o, su inverso, la tangente de p´erdidas o factor de disipaci´on) de un sistema el´ectrico resonante y disipativo, as´ı como t´ecnicas para su medida. De este modo, se obtendr´a el factor de calidad de forma directa a partir de medidas de la frecuencia de resonancia y del ancho de banda 3 dB de la l´ınea de resonancia. Se introducir´a un m´etodo m´as elaborado, el denominado m´ etodo de Pauli, para extraer el factor de calidad intr´ınseco (unloaded Q factor en la literatura anglosajona) de un circuito resonante simple. Por otra parte, se estudiar´a el comportamiento de circuitos oscilantes id´enticos acoplados, y se ver´a c´omo es posible extraer de algunos par´ametros de la respuesta de tales circuitos el coeficiente de acoplo inductivo. Los conceptos que se ilustran en esta pr´actica con el caso particular de circuitos LC-paralelo son aplicables a cualquier sistema de osciladores arm´onicos disipativos y/o acoplados sea cual fuere su naturaleza.

2. 2.1.

Fundamento te´ orico Factor de calidad

Consideremos un circuito resonante con p´erdidas formado por la asociaci´on en paralelo de una autoinducci´on de valor L (medida en henrios = H) y una capacidad de valor C (medida en faradios = F). La disipaci´on de energ´ıa puede modelarse mediante la conexi´on en paralelo con el circuito resonante de una conductancia Gp (medida en siemens = S = Ω−1 ) que da cuenta de las p´erdidas en el circuito resonante debidas a cualquier causa (p´erdidas por efecto Joule en la bobina, p´erdidas diel´ectricas en el aislante del condensador o p´erdidas por radiaci´on). Si los circuitos externos de excitaci´on y/o medida tambi´en introducen p´erdidas, ´estas aparecer´an incluidas en Gp , salvo que sean expl´ıcitamente extra´ıdas en el proceso de medida o porque se conoce la contribuci´on de los elementos externos. Supongamos que el circuito LC es excitado por una fuente de tensi´on sinusoidal (de frecuencia f y frecuencia angular ω = 2πf ) cuyo equivalente Norton se muestra en la figura 1 (observe que la conductancia del equivalente Norton de la fuente es Gps ; si este par´ametro es peque˜ no, esto es, si la correspondiente resistencia es muy elevada, el generador se comporta casi como una fuente ideal de intensidad). La relaci´on entre los fasores de la tensi´on, V , y de la intensidad, I, para el circuito resonante viene dada por: V (ω) =

(1 −

iωL I = Z(ω) I + iωLGp

ω 2 LC)

donde Z es la impedancia, compleja y dependiente de ω, del circuito, y Gp = Gpp + Gps (esto es, la conductancia paralelo total es la suma de las contribuciones del generador, Gps , y del circuito resonante

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|V|max

|V|

I cos(wt)

0,7 |V|max

Gpp Gps

C

2

+

V -

L

Dw

w- w0 w+

w

Figura 1: Circuito LC resonante con p´erdidas (Gp ) y respuesta t´ıpica. √ que se mide, Gpp ). La frecuencia angular ω0 = 1/ LC es la denominada frecuencia (angular) de resonancia. A esta frecuencia, la impedancia del circuito LC-paralelo se hace real (y usualmente grande, pues t´ıpicamente, aunque no siempre, Gp es una conductancia relativamente peque˜ na) y la amplitud de la respuesta (tensi´on en este caso) se hace m´axima. Introduciendo un par´ametro adimensional (y t´ıpicamente peque˜ no) denominado tangente de p´ erdidas o factor de disipaci´ on: r L tan δk = a = Gp C y la frecuencia normalizada ω ¯=

ω f = ω0 f0

podemos escribir:

ω ¯a

|V (ω)| = p

(1 −

ω ¯ 2 )2

+

ω ¯ 2 a2

1 |I| Gp

En la gr´afica que aparece al lado del circuito en la figura 1 se muestra el aspecto t´ıpico de la dependencia con la frecuencia de la amplitud de la tensi´on medida en el circuito que nos ocupa. Es evidente que, a la frecuencia de resonancia, la amplitud de la tensi´on es m´axima y vale |V |max =

1 |I| Gp

donde, no olvidemos, |I| es independiente de la frecuencia. La curva de resonancia puede ser m´as o menos aguda dependiendo del valor de a = tan δk . Una medida de la anchura de esta curva puede ser el denominado ancho de banda 3 dB ( ∆ω ), cuyo significado debe quedar claro por inspecci´on de la curva de respuesta que aparece en la figura 1. Existen dos valores de frecuencia, por debajo y por encima de la de resonancia, a los cuales la potencia disipada en Gp es la mitad (3 dB por debajo) que en el m´aximo. Para que la potencia sea la mitad, la amplitud de la tensi´on aplicada a √ Gp debe caer en un factor 1/ 2 respecto del m´aximo. Los dos valores de frecuencia a los cuales se cumple esa condici´on se obtienen de resolver la siguiente ecuaci´on: ω ¯a

p

(1 −

ω ¯ 2 )2

+

ω ¯ 2 a2

1 =√ 2

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esto es, ω ¯ 4 − (a2 + 2) ω ¯2 + 1 = 0 cuyas soluciones son: 2 ω ¯± =

de manera que:

i p 1 h 2 a + 2 ± (a2 + 2)2 − 4 2 p 2 2 ω ¯+ −ω ¯− = a a2 + 4

Si admitimos que el ancho de banda relativo (esto es, el ancho de banda partido por la frecuencia central) es peque˜ no, esto es, la curva de resonancia es bastante aguda, podemos realizar las siguientes aproximaciones: ω+ + ω− ≈ 2 ω0 y a2 ¿ 4. Entonces podemos escribir: 2 2 ω ¯+ −ω ¯− = (¯ ω+ − ω ¯ − )(¯ ω+ + ω ¯−) ≈ 2

∆ω = 2a ω0

⇒

tan δk =

∆ω ω0

expresi´on que permite determinar la tangente de p´erdidas a partir de medidas de la frecuencia de resonancia y del ancho de banda 3 dB. Se define el factor de calidad, Q, de un circuito resonante como la inversa de la tangente de p´erdidas: 1 ω0 Q= = tan δk ∆ω Cuanto mayor sea el factor de calidad de un circuito resonante, m´as aguda ser´a la curva de resonancia. Pero existe una interpretaci´on en t´erminos energ´eticos muy clarificadora del significado de este par´ametro. Si calculamos, a la frecuencia de resonancia, la energ´ıa electromagn´etica (promedio) almacenada en bobina y condensador as´ı como la potencia disipada en Gp , obtenemos: ¯ ¯2 1 1 ¯¯ V (ω0 ) ¯¯ 1 |I|2 2 hWe i = C |V (ω0 )| = hWm i = L ¯ = C 2 ¯ 4 4 jω0 LGp 4 Gp y hPd i =

1 1 |I|2 Gp |V (ω0 )|2 = 2 2 Gp

Entonces,

2

1 |I| ω0 (hWe i + hWm i) 1 2 C G2p C 1 ω0 C 1 √ =√ = = = =Q 2 hPd i Gp LC Gp a LC 12 |I| G p

Esto es, el factor de calidad es 2π veces el cociente entre la energ´ıa electromagn´etica almacenada en los elementos reactivos en resonancia y la energ´ıa disipada en un ciclo. As´ı, un factor de calidad elevado nos dice que la energ´ıa disipada por ciclo es peque˜ na frente a la energ´ıa almacenada, de manera que si dejamos al sistema evolucionar libremente, se producir´an muchas oscilaciones antes de alcanzarse el estado estacionario. El sistema es poco disipativo. Por el contrario, si el factor de calidad es peque˜ no, el sistema disipar´a toda su energ´ıa en unos pocos ciclos. Este concepto, por supuesto, puede ser generalizado a cualquier oscilador arm´onico, no s´olo a osciladores electromagn´eticos.

2.2.

Circuitos oscilantes acoplados inductivamente.

Dos circuitos resonantes pueden acoplarse entre s´ı a trav´es del flujo magn´etico que interceptan las bobinas, una parte del cual puede ser com´ un (acoplamiento inductivo). La situaci´on se muestra esquem´aticamente

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en la figura 2. Un generador de intensidad excita un circuito resonante LC-paralelo (con p´erdidas), y parte del flujo magn´etico que atraviesa su bobina, atraviesa una segunda bobina — que supondremos id´entica a la primera — que forma parte de un segundo circuito oscilante, el cual, por simplicidad, consideraremos id´entico al primario. Llamando I1 al fasor intensidad de la bobina del primer circuito e I2 al fasor intensidad de la bobina del segundo circuito, podemos relacionar las tensiones el´ectricas en ambos circuitos resonantes como sigue: V1 = jωLI1 + jωM I2 V2 = jωM I1 + jωLI2 donde L y M son la autoinducci´on y la inductancia mutua entre bobinas.

Figura 2: Circuitos resonantes LC con p´erdidas (Gp ) y acoplados (M ) y respuesta t´ıpica.

Por otra parte, I = I1 + (Gp + jωC)(jωLI1 + jωM I2 ) = £ ¤ ¡ ¢ (1 − ω 2 LC) + jωLGp I1 + jωM Gp − ω 2 M C I2 y I2 + (Gp + jωC) (jωM I1 + jωLI2 ) = 0

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Combinando las ecuaciones anteriores, podemos escribir: V2 (ω) =

jωM [(1 − ω 2 C(L + M )) + jωGp (L + M )] [(1 − ω 2 C(L − M )) + jωGp (L − M )]

A tenor de lo visto en el caso del circuito simple, la expresi´on anterior nos habla de la posibilidad de definir dos frecuencias de resonancia: 1 1 ; ω+ = p ω− = p C(L + M ) C(L − M ) y dos factores de calidad asociados: r

Q− = Gp

1

;

L+M C

r

Q+ = Gp

1 L−M C

en funci´on de los cuales es posible expresar V2 :  V2 (ω) =

 1 Rp I   2



 1 1 µ ¶− µ ¶ ω ω− ω ω+  1 + jQ− − 1 + jQ+ − ω− ω ω+ ω

(1)

donde Rp = G−1 p . Puede demostrarse que, siempre que el factor de calidad sea suficientemente elevado, la amplitud de la respuesta presenta sendos picos de resonancia a las frecuencias ω− y ω+ , las cuales se encuentran por debajo y por encima de la frecuencia de resonancia del circuito resonante aislado, ω0 . A la frecuencia ω0 la respuesta pasa por un m´ınimo local, como puede verse en la curva de resonancia que se muestra en la figura 2. Es posible obtener el factor de acoplamiento inductivo, definido como kL = M/L, a partir de los principales par´ametros de la curva de resonancia de doble pico. Si en la expresi´on (1) suponemos kL peque˜ no y hacemos las aproximaciones siguientes kL kL kL kL ) ; ω− ≈ ω0 (1 − ) ; Q+ ≈ Q0 (1 + ) ; Q− ≈ Q0 (1 − ) 2 2 2 2 donde Q0 es el factor de calidad del circuito aislado, obtenemos las siguientes aproximaciones para la amplitud de la respuesta en las frecuencias ω+ , ω− y ω0 : ¸ · 2jQ0 kL 1 V2 (ω0 ) ≈ Rp I − 2 Q2 2 1 + kL 0 · ¸ · ¸ 1 2jQ0 kL 1 2jQ0 kL V2 (ω+ ) ≈ Rp I − y V2 (ω− ) ≈ Rp I − 2 1 + j2Q0 kL 2 1 − j2Q0 kL de manera que, para factores de calidad relativamente altos, ω+ ≈ ω0 (1 +

|V2 (ω0 )| = |V |min = Entonces, si llamamos x =

2Q0 kL 1 Rp |I| 2 Q2 2 1 + kL 0

y

|V2 (ω+ )| ≈ |V2 (ω− )| = |V |max ≈

1 Rp |I| 2

Vmax , Vmin

x=

2 2 1 + kL Q0 2Q0 kL

⇒

kL =

i p 1 h x + x2 − 1 Q0

Esta expresi´on permite obtener valores del coeficiente de acoplamiento mutuo, kL = M/L a partir de la medida del factor de calidad del circuito resonante aislado y de las amplitudes de la respuesta del circuito acoplado en las resonancias y en el punto de m´ınimo, que coincide con la frecuencia de resonancia del circuito aislado.

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3.

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Instrumental

Para la realizaci´on de esta pr´actica utilizaremos el siguiente instrumental: 2 generadores de funciones que pueden proporcionar a la salida tensiones peri´odicas con formas sinusoidal, triangular o cuadrada de frecuencia variable. Un osciloscopio de rayos cat´odicos. Un frecuenc´ımetro digital. Un conjunto de bobinas de 150, 75, 50 y 35 vueltas. Cajas de conexiones. Un condensador de 470 pF. Condensadores ajustables de 8 a 500 pF. Conjunto de resistencias. Conjunto de cables y elementos de conexi´on. Regla graduada para medir distancias de separaci´on entre las bobinas acopladas.

4.

Procedimiento y resultados Comenzaremos la pr´actica midiendo el factor de calidad asociado a los circuitos resonantes LC que se obtienen con las cuatro bobinas de que se dispone (150, 75, 50 y 35 vueltas) y el condensador de capacidad fija de 470 pF. Para minimizar el efecto de la impedancia de entrada del osciloscopio, que se encuentra conectado en paralelo con el circuito resonante, coloque la sonda de medida en la posici´ on × 10. Busque la frecuencia de resonancia, fres , y las frecuencias de 3 dB, f− y f+ que corresponden a los valores de frecuencia a los cuales la amplitud cae √ respecto del m´aximo en un factor 1/ 2 ≈ 0.7.

´ ATENCION:

LA MEDIDA DE LA FRECUENCIA DEBE HACERSE CON EL FRECUENC´IMETRO. NO TOME LA LECTURA DEL DISPLAY DEL GENERADOR

Anote las frecuencias medidas en la Tabla P1 y calcule a partir de ellas el factor de calidad, que deber´a anotar tambi´en en esa tabla. La conductancia total Gp = Gpp + Gps del circuito que aparece en la figura 1 puede determinarse de forma bastante precisa mediante el m´ etodo de Pauli. Este m´etodo consiste en medir la amplitud de la respuesta en resonancia para un conjunto de resistencias conocidas conectadas en paralelo con el circuito resonante, cuya conductancia desconocida se quiere determinar. La amplitud de la tensi´on

P1

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a la frecuencia de resonancia como funci´on de la resistencia conocida, G−1 Z , conectada en paralelo con el circuito LC puede escribirse como sigue: |Vmax | =

|I| Gp + GZ

⇒

1 1 = (Gp + GZ ) |Vmax | |I|

donde Gp es desconocida y GZ la conocemos. Si mantenemos constante la intensidad, la expresi´on de la inversa de la amplitud resonante como funci´on de GZ corresponde a una recta de pendiente 1/|I|. Cuando se representa 1/|Vmax | frente a GZ , a partir de la pendiente y de la ordenada en el origen de la recta obtenida, se puede determinar el valor de Gp . Una vez conocida Gp , es posible obtener la conductancia debida a las p´erdidas del circuito resonante LC, Gpp , ya que en nuestro caso la conductancia del equivalente Norton del generador es conocida y vale Gps = (106 Ω)−1 . El efecto del osciloscopio es despreciable en nuestro caso gracias a que la sonda est´a en la posici´on × 10. Bas´andonos en el procedimiento descrito, vamos a proceder a medir la Gp del circuito resonante formado por el condensador de 470 pF y la bobina de 75 vueltas. Realice las medidas pertinentes para completar la Tabla P2, utilizando los valores de G−1 Z = 1 MΩ, 100 kΩ, 82 kΩ, 47 kΩ y 22 kΩ.

P2

Represente en papel milimetrado la recta 1/|Vmax | frente a GZ . Realice el an´alisis de regresi´on lineal y anote sus par´ametros en la Tabla P2. Deduzca el valor de Gp con su error y el valor del factor de calidad asociado a ese Gp (que puede obtenerse a partir de la frecuencia de resonancia medida, ω0 , de Gp y de C). An´otelo en la Tabla P2 y comp´arelo con el medido de forma directa a partir del ancho de banda y la frecuencia de resonancia. Medida del factor de acoplamiento. Vamos a determinar el factor kL de acoplamiento inductivo entre dos circuitos resonantes supuestamente id´enticos mediante el procedimiento sugerido en la secci´on de teor´ıa de este bolet´ın: a partir del factor de calidad de los circuitos aislados (ya determinado en la secci´on anterior) y de las amplitudes de los m´aximos y m´ınimo local de la curva de resonancia. Utilizaremos s´olo las bobinas de 75 vueltas. Uno de los circuitos (el primario) estar´a formado por una de las bobinas de 75 vueltas y el condensador de 470 pF. El circuito resonante acoplado estar´a formado por la otra bobina de 75 vueltas conectada en paralelo con un condensador ajustable. Monte de nuevo el circuito de la figura 1 con la nueva bobina y el condensador variable, y ajuste cuidadosamente el valor de la capacidad de este u ´ ltimo hasta que consiga la misma frecuencia de resonancia que en el circuito primario. En estas condiciones se supone que los dos circuitos son id´enticos. Ahora estamos en condiciones de proceder a la medida de kL . La determinaci´on de kL se har´a para distancias de separaci´on entre bobinas que vayan desde 1 cm hasta 8 cm a intervalos de 1 cm. Realice las medidas necesarias para rellenar la Tabla P3, esto es, mida las frecuencias de resonancia f− y f+ y las amplitudes de los dos m´aximos y el m´ınimo local. Observe que las amplitudes de las dos resonancias no son id´enticas, de manera que en nuestros c´alculos + usaremos como |V |max la media aritm´etica de los dos m´aximos que se miden, |V |− max y |V |max . Rellene la columna con ese valor medio y rellene tambi´en la columna que nos da la separaci´on entre m´aximos, ∆f = f+ − f− , que tambi´en depende de la distancia entre bobinas (y, por tanto, del factor de acoplamiento). Finalmente calcule los kL (utilizando el valor del factor de calidad obtenido en la tabla P2 para el resonador aislado) y anote los valores obtenidos en la columna correspondiente. Para finalizar, represente en papel milimetrado el factor de acoplamiento, kL , en funci´on de la distancia de separaci´on entre bobinas, s, y tambi´en la separaci´on entre m´aximos, ∆f , frente a la distancia entre bobinas s. Comente los resultados.

P3

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IMPORTANTE: SI DESEA OBSERVAR UNA CURVA DE RESONANCIA T´IPICA DE UN CIRCUITO RESONANTE Y DE UN PAR DE CIRCUITOS ACOPLADOS, PIDA AL PROFESOR QUE SE LA MUESTRE. ´ OBSERVAR QUE PARA FACTORES DE CALIDAD ALTOS EXISTEN RESONANCIAS DOBLES, PODRA ´ MIENTRAS QUE PARA FACTORES DE CALIDAD BAJOS SOLO HAY UN PICO DE RESONANCIA. ´ ´ DE FILTROS PASO DE ESTE SISTEMA CONSTITUYE UN BLOQUE BASICO PARA CONSTRUCCION BANDA.

5.

Cuestiones

Responda brevemente a las siguientes preguntas: 1. ¿Cu´al es la funci´on de la resistencia de 1 MΩ que se intercala entre el generador y el circuito resonante?. 2. ¿Por qu´e se aconseja colocar la sonda de medida en la posici´on × 10? (piense en los elementos par´asitos que introduce el osciloscopio y si ´estos pueden influir decisivamente en la medida). 3. ¿Por qu´e se usa el frecuenc´ımetro en lugar de usar la lectura de frecuencia que ofrece la pantalla de cristal l´ıquido del generador?.

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´ PRACTICA 11 FACTOR DE CALIDAD Y FACTOR DE ACOPLAMIENTO DE CIRCUITOS RESONANTES HOJA DE RESULTADOS NOMBRE: NOMBRE: NOMBRE: GRUPO:

FECHA:

L1: 150 vueltas

Tabla (P1) C = 470 pF L2: 75 vueltas L3: 50 vueltas

L4: 35 vueltas

f− f+ f0 Q

RZ (Ω) 106 105 82×103 47×103 22×103

Tabla (P2) C = 470 pF ; L2=75 vueltas ; Gps = 1 × 10−6 Ω−1 GZ (Ω−1 ) |V |max (V ) 1/|V |max (V −1 )

fres =

Q= r

s (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8

2

f− (KHz)

ordenada origen

f+ (KHz)

Gp

Tabla (P3) C = 470 pF ; L2=75 vueltas ∆f (KHz) |V |− |V |+ max max

Gpp

|V |max

|V |min

kL