Práctica 3: Distribuciones de Probabilidad Binomial, Poisson y Normal Ejercicio 1: Todos los días se seleccionan de manera aleatoria 12 unidades de un proceso de manufactura, con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base a informaciones anteriores se sabe que la probabilidad de tener una pieza defectuosa es 0.05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de 12 unidades tenga dos o más defectuosas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos defectuosas? X: “Nº de piezas defectuosas en 12 unidades”; X → B(12 , 0.05) ! P[La producción se detenga] = P[X≥2] ! P[Haya dos defectuosas] = P[X=2] El cálculo de probabilidades en SPSS se hace a través de la calculadora del programa. SPSS ofrece la posibilidad de calcular valores de las funciones de densidad así como valores acumulados de la función de distribución. Para la función Binomial en concreto, utilizaremos las siguientes funciones: CDF.BINOM(cant, n, prob). Devuelve la probabilidad acumulada de que el número de éxitos en los n intentos, con una probabilidad de éxito prob para cada uno, sea menor o igual que la cantidad cant. PDF.BINOM(cant, n, prob). Devuelve la probabilidad de que el número de éxitos en n ensayos, con probabilidad de éxito prob en cada uno de ellos, sea igual a cant.

Atendiendo a la definición de esta función, las probabilidades que debemos calcular se reformularían del siguiente modo: P[La producción se detenga] = P[X ≥ 2] = 1- P[X < 2] = 1- P[X ≤ 1] = = 1 – CDF.BINOM(1, 12 ,0.05) = 1- 0.88 = 0.12

P[Haya dos defectuosas] = P[X = 2] = PDF.BINOM(2, 12, 0.05) = 0.1

Ejercicio 2: Un laboratorio descubre que en una población hay un 5% de probabilidad de padecer una cierta enfermedad. Si se seleccionan 8 miembros de esta población aleatoriamente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de dos padezcan esta enfermedad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún miembro en la muestra seleccionada que padezca la enfermedad? X: “Número de personas que padecen la enfermedad de entre los 8 individuos seleccionados”

X → B(8 , 0.05) ! P[X < 2] = P[X ≤ 1] =CDF.BINOM(1, 8 ,0.05) = 0.94 ! P[X = 0] = PDF.BINOM(0, 8 ,0.05) = 0.66

Ejercicio 3: Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro 2, calcular las siguientes probabilidades: P[X > 6 ] P[X < 4] P[X = 5] P[X ≤ 6 ] P[0 ≤ X < 4]

P[3 < X] P[5 > X] P[2 < X < 5] P[1 < X ≤3] P[1 ≤ X ≤ 6]

P[1 < X < 3] P[0 < X < 4] P[1 < X < 6] P[5 ≤ X ] P[2 < X ]

PDF.POISSON(cant,media) . Devuelve la probabilidad de que un valor de la distribución de Poisson, con el parámetro de tasa o media especificado, sea igual a cant. CDF.POISSON(cant,media). Devuelve la probabilidad acumulada de que un valor de la distribución de Poisson, con el parámetro de tasa o media especificado, sea menor o igual que la cantidad cant. " P[X > 6 ] = 1 - P[X ≤ 6 ] = 1 – CDF.POISSON ( 6, 2) = 1 – 1 = 0 " P[3 < X] = 1 - P[X ≤ 3 ] = 1 – CDF.POISSON ( 3, 2) = 1 – 0.86 = 0.14 " P[1 < X < 3] = P[X = 2] = PDF.POISSON ( 2, 2) = 0.27 " P[X < 4] = P[X ≤ 3] = CDF.POISSON ( 3, 2) = 0.86 " P[5 > X] = P[X ≤ 4] = CDF.POISSON ( 4, 2) = 0.95 " P[0 < X < 4] = P[X ≤ 3] - P[X = 0] = CDF.POISSON ( 3, 2) – PDF.POISSON ( 0, 2) = = 0.86 – 0.14 = 0.72 " P[X = 5] = PDF.POISSON ( 5, 2) = 0.04 " P[2 < X < 5] = P[X ≤ 4] - P[X ≤ 2] = CDF.POISSON ( 4, 2) – CDF.POISSON ( 2, 2) = = 0.95 – 0.68 = 0.27 " P[1 < X < 6] = P[X ≤ 5] - P[X ≤ 1] = CDF.POISSON ( 5, 2) – CDF.POISSON ( 1, 2) = = 0.98 – 0.41 = 0.57

" P[ X ≤ 6] = CDF.POISSON ( 6, 2) = 0.995 " P[ 1 < X ≤ 3 ] = CDF.POISSON(3, 2) – CDF.POISSON(1, 2) = 0.45 " P[ 5 ≤ X ] = 1 – CDF.POISSON(4, 2) = 0.05 " P[0 ≤ X < 4] = CDF.POISSON(3, 2) = 0.86 " P[1 ≤ X ≤ 6] = CDF.POISSON(6, 2) – CDF.POISSON(0, 2) = 0.86 " P[2 < X ] = 1 – CDF.POISSON(2, 2) = 0.32

Ejercicio 4 Se cree que el peso de las crías de cierta raza de perro es una variable aleatoria normal de media 2.5 kg. y desviación típica 1. Se han tomado datos de 10 camadas, obteniéndose los siguientes resultados: Camada Pesos (kg)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.64 2.83 3.11 2.19 2.48 2.60 2.45 2.51 2.39 2.50 2.14 2.18 2.67 2.31 1.63 2.51 2.62 3.02 2.51 2.23 2.52 2.51 2.62 2.44

a) Representar gráficamente estos datos y comparar con la forma de la distribución normal. ¿Se puede admitir gráficamente que estos datos se distribuyen según una normal? b) Calcular la probabilidad de que el peso de un cachorro sea mayor que 2 kilos. c) ¿Qué peso tendrá el 20% de los cachorros que más pesan?

Seleccionamos

abriéndose entonces la ventana de diálogo:

Se obtienen los siguientes resultados: En primer lugar se indican los detalles del contraste referentes a la distribución utilizada y el procedimiento empleado para representar los datos, así como los parámetros estimados a partir de los datos de la muestra MODEL: MOD_1. Distribución contrastada: Normal Fórmula de estimación de la proporción utilizada: Blom Rango asignado a empates: Media _

Para variable PESO ... Parámetros de la distribución normal estimado: ubicación = 2.48375 y escala = .29823849

Y a continuación SPSS ofrece el gráfico Q-Q.

Normal gráfico Q-Q de PESO 3.2

3.0

2.8

Valor Normal esperado

2.6

2.4

2.2

2.0 1.8 1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

Valor observado

Representamos los datos junto con la curva normal

10

8

6

4

2 Desv. típ. = .30 Media = 2.48 N = 24.00

0 1.63

1.88 1.75

PESO

2.13 2.00

2.38 2.25

2.63 2.50

2.88 2.75

3.13 3.00

X: “ Peso de las crías de una cierta raza de perro”; X → N (2.5; 1) CDF.NORMAL(cant,media,desv_típ). Devuelve la probabilidad acumulada de que un valor de la distribución normal, con la media y desviación típica especificadas, sea menor que la cantidad cant. P[X > 2] = 1 - P[X ≤ 2] = 1 – CDF.NORMAL(2, 2.5, 1) = 1 – 0.31 = 0.69 IDF.NORMAL(prob,media,desv_típ). Devuelve el valor de la distribución normal, con la media y la desviación típica especificadas, para el cual la probabilidad acumulada es prob. P[X ≥ k] = 0.20 1 – P[X < k] = 0.20 P[X < k] = 0.80 k = IDF.NORMAL(0.80, 2.5, 1) = 3.34

Ejercicio 5 Simular una muestra de tamaño 50 de una distribución Binomial de parámetros n = 5 y p = 0.95 RV.BINOM(n,prob). Devuelve un valor aleatorio de la distribución Binomial, con el número de intentos y el parámetro de probabilidad especificados. (Para simular K datos es necesario haber introducido K valores en una variable)

Ejercicio 6 Simular una muestra de tamaño 50 de una distribución de Poisson de parámetro λ = 4 RV.POISSON(media). Devuelve un valor aleatorio de la distribución de Poisson, con el parámetro de media especificado

Ejercicio 7 Simular una muestra de 50 valores de una distribución Normal N(14; 4). Representar estos datos junto con la curva normal RV.NORMAL(media,desv_típ). Devuelve un valor aleatorio de la distribución normal, con la media y desviación típica especificadas.