Práctica 7. La transformada de Laplace En la primera parte de esta práctica se mostrará cómo calcular la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace de distintas funciones utilizando Mathematica. En la segunda parte se aplicarán estas transofrmadas para resolver ecuaciones diferenciales y daremos condiciones de existencia de la transformada de Laplace. 1. Transformada de Laplace 2. Transformada inversa de Laplace 3. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales 4. Resolución de ecuaciones diferenciales 5. Teorema de existencia de la transformada de Laplace 6. Ejercicios

1. Transformada de Laplace ¶

Se define la transformada de Laplace de una función como L[f(t)]=F(s)=Ÿ0 e-st f HtL „ t, donde la integral impropia se entiende como su valor principal, M

L[f(t)]= lím Ÿ0 e-st f HtL „ t, cuando existe. M Ø+¶

La función de Mathematica que calcula la transformada de Laplace es: LaplaceTransform[función[variable1],variable1,variable2], que calcula la transformada de Laplace de "función" y la expresa como una función de "variable2" LaplaceTransform @f@tD, t, sD

De esta forma podemos escribir: LaplaceTransform @Exp@a ∗ tD, t, sD 1 −a + s

Mathematica conoce las propiedades de la transformada de Laplace:

2

Pr7MatII.nb

H∗1∗LLaplaceTransform @c ∗ a@tD + d ∗ b@tD, t, sDH∗ linealidad ∗L c LaplaceTransform @a@tD, t, sD + d LaplaceTransform @b@tD, t, sD H∗2∗LLaplaceTransform @Integrate @h@uD, 8u, 0, t 0, y '@0D → 0<

−9 LaplaceTransform @y@tD, t, sD + s2 LaplaceTransform @y@tD, t, sD  −

−2 s

−s +

s

s

p3 = Solve@p2, LaplaceTransform @y @tD, t, sDD

::LaplaceTransform @y@tD, t, sD →

−2 s H−1 + s L s I−9 + s2 M

>>

p3@@1, 1, 2DD

−2 s H−1 + s L s I−9 + s2M InverseLaplaceTransform @%, s, tD 1

−3 H2+tL J−I6 − 3 t M HeavisideTheta @−2 + tD + 3 I3 − 3 t M HeavisideTheta @−1 + tDN 2

18

2

FullSimplify @%D 1 9

H−H−1 + Cosh@6 − 3 tDL HeavisideTheta @−2 + tD + H−1 + Cosh@3 − 3 tDL HeavisideTheta @−1 + tDL

5. Teorema de existencia de la transformada de Laplace Diremos que una función f es de orden exponencial a cuando t tiende a infinito, si existen unas constantes a, k,T positivas, tales que: |f( t)|< k‰at , para todo t> T Si una función verifica la condición para un cierto a, también la verificará b > a . Al valor a más pequeño que verifica esta expresión, se le llama abcisa de convergencia de f. Teorema: Dada una función f (t), 0 § t < ¶, si satisface : 1) La restricción de f a cada intervalo finito es continua a trozos, 2) f es de orden exponencial a0 , entonces la transformada de Laplace F(s) existe para todo s, s = a + bi , tal que a> a0 . A las funciones que cumplen 1) y 2) del teorema anterior se les llama funciones admisibles. A continuación vamos a analizar algunos ejemplos en los que las funciones no cumplen con 1) o 2) del teorema. aL Consideremos la función f HtL = ‰t

5

Pr7MatII.nb

9

f@t_D := Exp@t ^ 5D

Limit@Exp@−a ∗ tD ∗ f@tD, t → InfinityD

ComplexInfinity

La función no es de orden exponencial, ya que el ímite estudiado no resulta finito para ningún valor de a. Esta función verifica 1) Plot@f@tD, 8t, 0, 2.5