2 Preguntas Propuestas

Geometría Polígonos

5. En un octógono equiángulo ABCDEFGH, AH=BC=3; AB = 2 2; CD = 5 2; DE=1 y GF=5. Calcule AF.

1. Calcule la suma de lados de dos polígonos si se sabe que las sumas de las medidas de sus ángulos interiores difieren en 540º y el número de diagonales del polígono de mayor número de lados es cinco veces el número de lados del otro. A) 17

A) 5 5 B) 5 2 C) 8 D) 10 E) 5 3

6. Uno de dos polígonos regulares tiene tres lados más que el otro, pero su ángulo central mide 27º menos que el ángulo central del primero. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono de mayor número de lados?

B) 10 C) 15

D) 12 E) 13

2. En un polígono, la suma del número de diagonales posibles que se pueden trazar desde un vértice con el número de triángulos formados es 3/2 del número de diagonales totales. Calcule el número de lados del polígono. A) 3

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

7. En un polígono equiángulo ABCDEF, si DE=6 m y EF=2 m, calcule la distancia entre AF y CD.

B) 4 C) 5

A) 2 B) 2 3 C) 3 3 D) 4 3 E) 6

D) 6 E) 7

3. ¿En qué polígono la diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de medidas de ángulos interiores es igual al número de vértices?

8. Calcule la razón numérica entre el número de diagonales y la medida del ángulo central del polígono regular ABCDE... que se muestra.

A) cuadrilátero B) triángulo

B

C) pentágono

C

D) octógono

A

E) decágono D

4. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 17 diagonales desde 4 vértices consecutivos?

...

A) pentágono B) hexágono C) heptágono D) nonágono E) octógono

E

4 A) 7

5 4 B) C) 7 9

6 5 D) E) 11 9

2

Geometría 13. Si A, B, C y D, en ese orden, pertenecen a una

Cuadriláteros

la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

recta, hacia un mismo lado de la recta se trazan los cuadrados ABMN y CDPQ, cuyas longitudes de sus lados difieren en 4 cm. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de DN y BQ.

A) 3 B) 4 C) 5

A) 2 cm

D) 6 E) 5 2

B) 2 2 cm

9. En un trapecio ABCD (BC // AD), si la m ABC=90º+m ADC, AB=6 y CD=8, calcule

C) 3 2 cm

10. Del gráfico, calcule AD, si AB=3 y PE=2.

D) 4 2 cm E) 4 cm

B

C

E

14. Si ABCD es un paralelogramo de centro O, exteriormente se trazan los triángulos equiláteros ADE y CDF. Si M y N son puntos medios de AF y CE, calcule la m OMN. Considere que ED=2(DF) y la m ABC=60º.

P α

α

α α

A



D

A) 60º

B) 30º C) 90º

D) 45º E) 120º A) 5 B) 7 C) 8 D) 4 3 E) 6 2

11. En un cuadrilátero convexo ABCD, M y N son puntos medios de las diagonales AC y BD. MN AB CD = = , calcule la medida del ángu2 4 3 lo que forman las rectas AB y CD.

Si

A) 90º

15. Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC, se construyen exteriormente los cuadrados ABDE y BCFG, de modo que AG=10. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC  y  GD. A) 5 B) 10 C) 5 2 D) 4 2 E) 5 3

B) 45º C) 30º

D) 60º E) 75º

12. Dado un paralelogramo ABCD, por B se traza una recta L  perpendicular a BC y en ella se ubica el punto E. Si EC=10, calcule la distancia entre los puntos medios de AB y ED.

16. En un paralelogramo ABCD, en BC se ubica el punto M. Si AB=BM; m ADB=2(m BDM) y m BCD=5(m BDA), calcule la m ABD. A) 40º B) 50º C) 60º

A) 3 B) 4 C) 5

D) 70º

D) 6 E) 10

E) 80º

3

Geometría Circunferencia I

B

 = 80º. Calcule 17. En el gráfico, m  AB = 60º y mCD . m MN

A B α

α

θ

C

P

N

θ

C

T

Q

M

R

A

A) 45º B) 60º C) 70º D) 65º E) 80º

D

M

N



. 20. En el gráfico, MO=ON y OC // AB. Calcule mPQ A) 65º B) 70º C) 75º D) 85º E) 90º M

18. Según el gráfico, B, C y D son puntos de tan =140º, calcule x. AB = 45º  y  m MN gencia. Si m 

O P

x A D C B

C

A) 21º/2 B) 23º/2 C) 25º/2 D) 27º/2 E) 29º/2 N

21. Según el gráfico, calcule x.



...

Q

B



A M

N

A) 20º B) 25º C) 30º D) 15º E) 35º

x



19. En el gráfico, P, T y Q son puntos de tangencia.  =2(m  BCM = 150º y mAB Si BN=R 2, m  AN ), . calcule mCM

A) 30º B) 45º C) 53º D) 60º E) 75º

4

Geometría A) 10º

22. Si ABCD es un cuadrado, calcule la m GBF. A

B) 20º C) 30º

D) 40º E) 60º

Considere que G es punto de tangencia. B

Circunferencia II

F

25. En el gráfico, EL=DM. Calcule m  AB. A G

D



C

B

A) 34º 30' B) 35º C) 33º D) 26º 30' E) 18º 30'

23. Si F, G y C son puntos de tangencia, PA=PD y 2(AB)=3(BC), calcule la m GDF. A

G

B

A) 37º

E

D

M

B) 45º C) 53º

D) 60º E) 74º

F

26. En la prolongación del diámetro AB de una se-

P



L



D

C

A) 37º B) 53º/2 C) 30º D) 23º E) 60º

micircunferencia se ubica D, y de este se traza una recta secante que corta a dicha semicircunferencia en los puntos M y L (M ∈ DL), tal .  = 3 (m ADL) . Halle m ML que AL=MD y m AL A) 60º B) 80º

24. Según el gráfico, calcule la medida del ángulo

C) 90º

que forman las rectas DA y CB.  = 40º y A, B, C y D son puntos de Si m  AB − m CD tangencia.

D) 100º E) 120º

27. Se tiene un cuadrado ABCD. Tomando como centro A, se traza un cuadrante de extremos B y D, y en este se ubica P, tal que m BPC = 135º. CD . Halle PC

A

D

B

C

A) 3

B) 2 C) 5

D) 3 E) 5/3

5

Geometría 28. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcule



B

M

2x

C

A

N E T

A

D

A) 50º B) 55º C) 60º D) 70º E) 75º

L

H

D x



P



C

B

mTL, si E, M, N, P, H y T son puntos de tangencia.

31. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. Si P, Q y T A) 45º

. son puntos de tangencia, calcule mCE

B) 60º C) 75º

D) 90º E)

127º 2

E P

B

29. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia, además, las regiones sombreadas son con-

O

Q

 gruentes. Calcule m AC .  m DE

A

A

C

D

T

E

C

A) 15º B) 30º C) 37º D) 45º E) 53º

B D

32. En el gráfico, D y E son puntos de tangencia.

. Si PE=EB, calcule m DE



...

D

C A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 D) 3/4 E) 1

30. Según el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule x.

P E O

A

A) 100º B) 110º C) 120º D) 130º E) 135º

6

B

Geometría Circunferencia III

33. En el gráfico, A, B, C, P y T son puntos de tanA

gencia. Calcule m PAB. P

A B 60º



B C

A) 60º B) 90º C) 120º D) 150º E) 135º T

O

36. Según el gráfico, A, B, C y D son puntos de tan = θ, calcule la medida del ángencia. Si m BC     gulo determinado por AB y CD.

A) 53,5º B) 59,5º C) 60º D) 63,5º E) 67,5º

A) θ/4 B) θ/3 C) θ/2 D) 2q E) θ

34. Según el gráfico, P, T y Q son puntos de tan-

B

 = 35º; mCD  = 15º y m DE  = 60º, gencia. Si m BC calcule x. A

B P C x

T

C

D

37. Del gráfico se sabe que P, Q y T son puntos de tangencia. Si AB=7, BC=10 y AM=MC, calcule TM.

D

B Q Q

E



P

A) 117,5º B) 119,5º C) 123,5º D) 126,5º E) 136,5º

A

T

M

35. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Calcule la medida del ángulo entre las circunferencias. 7

A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 3,5

C

Geometría 38. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Si

A) 160º B) 170º C) 180º D) 190º E) 200º

PT=2(OH), calcule m OPT.

40. Las circunferencias son tangentes exteriores.

A) 15º B) 30º C) 37º D) 45º E) 53º

Calcule x. O M H P

70º

T

x

39. En el gráfico, las circunferencias son con.  + mQBP gruentes. Calcule la m QAP Q

A

50º

B P

130º A) 35º B) 20º C) 15º D) 30º E) 45º

40º



Claves ...

01 - A

06 - D

11 - D

16 - C

21 - B

26 - D

31 - C

36 - C

02 - B

07 - D

12 - C

17 - B

22 - A

27 - C

32 - C

37 - A

03 - D

08 - B

13 - B

18 - B

23 - D

28 - D

33 - E

38 - B

04 - E

09 - C

14 - C

19 - B

24 - B

29 - B

34 - A

39 - B

05 - D

10 - D

15 - C

20 - A

25 - C

30 - C

35 - C

40 - B

8