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pREpARA TU SElECTIVIDAD 1

Se considera la función f ( x ) = ( x 2 + a) ⋅ e ax siendo a un parámetro real. a) Razone a qué es igual el dominio de f ( x ). b) Determine el valor de a para que la gráfica de f(x) pase por el punto (0, -4). c) Para a = -2, determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f ( x ). ¿Existen máximos y mínimos relativos de f ( x )? En caso afirmativo, decir dónde alcanzan y su valor. (Aragón. Junio 2006. Opción B. Cuestión 2)

a) Dom f = R ya que se trata del producto de una función polinómica y una exponencial. b) f ( 0 ) = -4 → ae 0 = a = -4 c) f ( x ) = ( x 2 - 2)e-2 x  x = -1 f '( x ) = 2 xe-2 x + ( x 2 - 2)(-2)e-2 x = 0 → 2 x - 2 x 2 + 4 = 0 →   x = 2 • En (-` , -1) ∪ ( 2, + ` ) → f '( x ) < 0 → f ( x ) decreciente • En (-1, 2) → f '( x ) > 0 → f ( x ) creciente En x = -1 se alcanza un mínimo cuyo valor es f (-1) = -e 2 y en x = 2 se alcanza un máximo cuyo valor es f (2) = 2e -4. 2

Estudia y representa la función: f ( x ) =

x2 ( x − 2 )2

(Navarra. Junio 2007. Ejercicio 2. Opción A)

Dominio = R - {2} x2 = 0 → x = 0 → ( 0, 0 ) ( x - 2 )2 • Corte con el eje Y: x = 0 → y = 0 → (0, 0)

• Cortes con el eje X : f ( x ) = 0 →

lim

x→2

x2 = ` → Asíntota vertical: x = 2 ( x - 2)2

x2 = 1 → Asíntota horizontal: y = 1 x → ` ( x - 2 )2 No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas. lim

y' =

-4 x =0→ x=0 ( x - 2)3

• En (-` , 0 ) ∪ ( 2, + ` ) → y' < 0 → Función decreciente • En (0, 2) → y' > 0 → Función creciente En x = 0 se alcanza un mínimo.

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Representación de funciones 8x + 8 = 0 → x = -1 ( x - 3) 4 • En (-` , 0 ) → y" < 0 → Función convexa y" =

• En ( 0, 2) ∪ ( 2, + ` ) → y" > 0 → Función cóncava En x = -1 se alcanza un punto de inflexión. Y

y=1

2 1

3

x=2

X

t 2 −t + 1 representa la concentración de oxígeno en un estanque t2 + 1 contaminado por residuos orgánicos en un tiempo t (medido en semanas).

La función f (t ) =

a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( t ) para t ≥ 0 así como los instantes donde la concentración de oxígeno es máxima y mínima. b) De forma razonada, y conforme a los datos anteriores, representa gráficamente la función para t ≥ 0, estudiando con todo detalle sus asíntotas. (La Rioja. Junio 2008. Parte C. Problema 1)

a) Estudiamos la función para t ≥ 0. t = 1 t2 - 1 y' = 2 = 0 →  t +1 t = -1 (no válida) • En (1, + ` ) → f '(t ) > 0 → f (t ) creciente • En ( 0, 1) → f '(t ) < 0 → f (t ) decreciente En t = 1 se alcanza un mínimo. La concentración de oxígeno es máxima cuando t = 0 y vale 1, y es mínima 1 si t = 1 y vale . 2 b) Asíntotas verticales: no tiene. t2 - t + 1 lim =1 x→` t2 + 1 → Asíntota horizontal: y = 1

Y

Posición de la curva respecto de la asíntota: t2 - t + 1 -t -1= 2 0 → f (t ) creciente En (0, 1) presenta un mínimo y en (2, 3), un máximo. • En (2, 6): f '(t ) = 0 → t = 4 En ( 2, 4 ) → f '(t ) < 0 → f (t ) decreciente En ( 4 , 6 ) → f '(t ) > 0 → f (t ) creciente En los puntos (2, 3) y (6, 3) presenta dos máximos y en (4, -1), un mínimo. Y Cortes con el eje X :  t = 3 t 2 - 8t + 15 = 0 →  t = 5 -3