PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Integración por partes. Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la función y = Ln (1 + x) Calcular una primitiva de una función, es hallar su integral indefinida. Por ello utilizaremos el método de integración por partes

 u·dv = u·v -  v·du haciendo el siguiente cambio

Aplica el método de integración por partes a la determinación de una primitiva de la función f(x) = x · Ln x

Utilizar la integración por partes para hallar una primitiva de la función x.sen x

Cambio de variable. (No entra en Selectividad) Hallar las primitivas de la función cos 2x (utilizar la relación 1 + cos A = 2. cos2 A/2)

INTEGRACION FRACCIONES SIMPLES.

x3 - 1  x2 + 2x 3 2 - x - 2x x-2 ________ - 2x2 -1 + 2x2 + 4x ____________ 4x – 1

PROBLEMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS (PRIMITIVAS) Calcular la primitiva de la función f(x) = 1 + tg2 x – por el punto (,0)

0

-3

4

0 1

-1

3

0

+ tg x que pase

Para obtener la G(x) integraremos de nuevo la G'(x)

Para calcular C y D tenemos en cuenta las dos condiciones G(0) = 1 y G(1) = 0

Las constantes C, D y E se determinan a partir de las condiciones.

Para ver si el extremo (1,0) es máximo o mínimo, calculamos la f´´(x)

PROBLEMAS DE AREAS

Area comprendida entre las curvas

Corte gráfica:

e

;

.

;

Área limitada por el eje de abscisas y la curva y = x3 - 2x2. Dibújala .

Calcular el área del recinto limitado por abcisas. Dibuja la gráfica.

;

y el eje de

y´ = 2x - 4; y´ = 0 => 2x – 4 = 0; x = 2 posible máx. o mín.

y´´= 2 ; y´´(2) > 0

Mín. (2, -4)

4

4

0

0

Calcular el área encerrada entre las graficas de las funciones y = x2 + 2x - 1 e y = 2x + 3, representando esquemáticamente dichas graficas. Para dibujar y = x2 + 2x - 1 x y _____ -2 -1 -1 -2 0 -1 1 2 2 5

Para dibujar y = 2x + 3 x y _____ 0 3 1 5 2 7

x2 + 2x – 1 = 2x + 3  x2 – 4 = 0  x =  2 2

-2

  

Calcular el área limitada por la grafica f(x) = Ln x, el eje OX y la recta tangente a dicha grafica en el punto de abscisa x = e Para calcular la recta tangente, esta será de la forma y – yo = m ·(x – xo) yo = Ln e = 1 pasa por (e,1) m = y´(xo)



Para calcular los limites de integración a y b se hallan los puntos de corte entre las dos funciones Sabiendo que la tangente corta al eje OX en (0, 0) y en (e, 1) y que la y = Ln x lo corta en

n x = 0  x = e0  x = 1  (1, 0)

Dibujamos la curva y su tangente

Sabiendo que  Ln x dx = x·Ln x – x por integración por partes y aplicando la regla de e

e

0

1

;

Barrow nos queda que:

PAU Junio 1998

=

0

2π

-π

0

Considérese la región acotada que determinan las curvas y = ex e y = e2x y la recta x = a; a) Hallar el área de dicha región para a = 1 b) Hallar un valor de a > 0 para que el área de la región sea 2. a) Si a = 1 ==> la recta será x = 1 y este será el límite superior. ex = e2x ==> 1 = ex ==> Ln 1 = Ln ex ==> 0 = x 1

0

a

0

Hallar el area comprendida entre las curvas .

Corte gráfica:

e

;

;

1

-1

Hallar el área finita limitada por la curva de ecuación y = x2 - 4x y el eje y = 0 La recta y = 0 corresponde al eje de abscisas OX Si calculamos

:

Estos dos valores de x, son los límites de integración 4

4

0

0

Hallar el área limitada por la grafica de la función y = cos x y el eje OX en el intervalo [0,2] Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX

con lo que los intervalos [0, /2), (/2, 3/2), (3/2, 2) serán los limites de integración en la que se divide el área

π/2 0

Hallar el área limitada por la grafica de la función y = sen 2x y el eje OX en el intervalo [0,2] Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX

Los intervalos [0, /2), (/2, ), (, 3/2), (3/2, 2] serán los limites de integración en los que se divide el área

/2

= 0

= 2 · [ ( - cos  - ( - cos 0) ] = 2 · ( 1 + 1) = 4 u2

Hallar el área limitada por la grafica de la función eje OX en el intervalo [-1, 1]. Dibujar la grafica.

1

-1

Domínio

R . No existen asíntotas verticales.

No existen AH ni AO ya que el límite cuando x ->  de f(x) y de m son 0 Corta al eje OY Para x = 0  Máximos y mínimos:

Posibles Puntos de inflexión:

(0, 1)

y el

Por ultimo y(-1) = ½

e y(1) = ½

Hallar el valor de a para que el area limitada por las graficas

Hallamos los cortes entre las dos funciones.

a

0

La función y = x3 - ax2 + 4x + b corta al eje de abcisas en x = 3 y tiene un P.I en x = 2/3. Hallar a y b. Calcular el área que forma la curva entre x = 2/3 y x = 3 . Dibujar la grafica Si corta al eje y = 0 en x = 3 es que pasa por (3,0) Si tiene un P.I en x = 2/3 es que y´´(2/3) = 0 y´= 3x2 - 2ax + 4;

y´´= 6x - 2a

Si pasa por (3,0);

0 = 33 – a·32 + 4·3 + b

Si hay P.I en x = 2/3

0= 6· – 2a 

0 = 27 – 9a + 12 + b;

b = - 27 + 9·2 - 12

La curva tiene de ecuación



4 – 2a = 0;

2a = 4;

b = - 21

y = x3 - 2x2 + 4x - 21 3

2/3

a=2

Representar f(x) = |x2  1|. Calcular el área entre x =  1 y x = 1.  

Sabiendo que el área comprendida entre la curva y =  x y la recta y = bx, es 1, a) Hallar b. b) Para b = 1, calcular el área que forma la curva con la recta. a)

2 1/b

0

b)

Se considera el recinto limitado por las curvas y = x2, x = 1, x = 2, y = 5x. Hallar el área de dicho recinto, dibujándolo previamente Para dibujar la parábola y = x2

Para dibujar la recta y = 5x

x y ______ -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4

x y _____ 0 0 1 5 2 10

2

1

Sea la función y : a) Representarlo. b) Área de la figura encerrada entre la curva y el eje y = 0.

Posibles máximos o mínimos:

A