PROBLEMAS

DE ONDAS.

Funci´on de onda, energ´ıa.

Autor: Jos´e Antonio Diego Vives Documento bajo licencia Creative Commons (BY-SA)

Problema 1 Escribir la funci´on de una onda arm´onica que avanza hacia x negativas, de amplitud 0,01 m, frecuencia 550 Hz y velocidad 340 m/s. ¿Qu´e distancia hay entre los dos puntos m´as pr´oximos que tienen un desfase de 60o ? ¿Cu´al es la diferencia de fase entre dos desplazamientos del mismo punto en un intervalo de tiempo de 10−3 s?

Funci´on de onda: La funci´on que describe una perturbaci´on ’y’ viajera de tipo arm´onico simple que se desplaza por el medio hacia x positivas (’−ct’ en la f´ormula) o x negativas (’+ct’ en la f´ormula) es:

y = y0 sin(k(x ∓ ct)) y = y0 sin(kx ∓ ωt) Perturbaci´on propag´andose hacia x positivas.

Donde y0 es la amplitud de la onda, k el n´umero de onda, c la velocidad de la onda y ω = kc su frecuencia angular. Para las ondas arm´onicas se cumple: ω = k c,

f=

ω , 2π

T =

1 , f

λ=

c , f

k=

2π , λ

siendo f la frecuencia de la onda, T su periodo y λ la longitud de onda.

Encontrar la funci´on de onda

Como la onda avanza hacia x negativas, la funci´on de onda tendr´a el t´ermino +ωt: y = y0 sin(kx + ωt) Con los datos que proporciona el enunciado del problema obtenemos los par´ametros de esta ecuaci´on: y0 = 0,01 m, 2πf 2π 550 Hz 2π = = = 10,16 m−1 , k= λ c 340 m/s ω = 2πf = 2π 550 Hz = 1100π rad/s La funci´on de onda es por lo tanto (en metros y segundos):

y = 0,01 sin(10,16 x + 1100π t)

¿Qu´e distancia hay entre los dos puntos m´as pr´oximos que tienen un desfase de 60o ?

Existe una relaci´on lineal entre la distancia entre dos puntos, relativa a la longitud de onda, y el desfase entre e´ stos. Es decir, dos puntos separados una longitud de onda, λ, presentar´an un desfase de 2π rad; si est´an separados λ/2 tendr´an un desfase de 2π/2 rad, etc.

λ → ∆φ = 2π ∆x → ∆φ = 2π

∆x λ Desfase entre puntos seg´un su separaci´on.

Exigiendo que el desfase entre dos puntos sea ∆φ = 60o = π/3 rad, y sustituyendo el resto de datos del problema, obtenemos la distancia ∆x entre los puntos:

∆x =

c ∆φ λ ∆φ = = 0,103 m 2π f 2π

¿Cu´al es la diferencia de fase entre dos desplazamientos del mismo punto en un intervalo de tiempo de 10−3 s?

El desfase vendr´a dado por:   10,16 x + 1100π t1 ) → ∆φ = 1100π (t2 − t1 ) 10,16 x + 1100π t2 ) − ( ∆φ = φ2 − φ1 = (

Sustituyendo t2 − t1 = 10−3 s, queda finalemte:

∆φ = 3,456 rad

Problema 2 Atamos un alambre al extremo de un diapas´on para generar ondas transversales. La frecuencia del diapas´on es f = 440 Hz y lo hacemos oscilar con una amplitud A = 0,5 mm. El alambre tiene una densidad lineal µ = 0,01 kg/m y est´a sometido a una tensi´on F = 1000 N. Para este sistema se pide: (a) (b) (c) (d) (e)

Encontrar el periodo y la frecuencia de las ondas en el alambre. ¿Qu´e velocidad tienen las ondas? Escribir la funci´on de la onda que se propaga por el alambre. Calcular la velocidad y aceleraci´on m´aximas de un punto del alambre. ¿Qu´e potencia debemos suministrar al diapas´on para que oscile con amplitud constante?

(a) Encontrar el periodo y la frecuencia de las ondas en el alambre.

Diapas´on que genera ondas en un alambre

El diapas´on generar´a un perturbaci´on arm´onico simple en la cuerda con la frecuencia propia del diapas´on. Por lo tanto las ondas generadas tendr´an una frecuencia f = 440 Hz y un periodo T = 1/f .

f = 440 Hz,

T =

1 = 2,273 × 10−3 s f

(b) ¿Qu´e velocidad tienen las ondas?

Conocida la tensi´on en la cuerda y la densidad lineal podemos calcular la velocidad de la onda:

c=

s

F = µ

r

1000 = 316,2 m/s 0,01

(c) Escribir la funci´on de la onda que se propaga por el alambre.

La onda se propaga en el alambre hacia x positivas, por lo que su funci´on de onda ser´a del tipo: y = A sin(kx − ωt) Podemos determinar los par´ametros de esta ecuaci´on con los datos del problema: A = 5 × 10−4 m, 2π 2πf k= = = 8,742 m−1 , λ c ω = 2πf = 2π 440 Hz = 880π rad/s Y sustituyendo:

y = 5 × 10−4 sin(8,742 x − 880π t) en m y s

(d) Calcular la velocidad y aceleraci´on m´aximas de un punto del alambre.

Cada punto x del alambre realiza un MAS de frecuencia angular ω = 880π. Su velocidad y aceleraci´on ser´a por lo tanto: dx = − ωA cos(− ωπ t) → vmax = ωA dt dv a= = ω 2 A sin(− ωπ t) → amax = ω 2 A dt v=

Sustituyendo los datos del problema:

vmax = 1,382 m/s,

amax = 3819,9 m/s2

(e) ¿Qu´e potencia debemos suministrar al diapas´on para que oscile con amplitud constante?

Densidad de energ´ıa y potencia de la onda: Una cuerda por la que se propaga una onda mec´anica tiene una cierta energ´ıa asociada con el movimiento de los puntos. Adem´as, a medida que la onda se propaga, hay nuevos puntos del medio en movimiento por lo que el emisor debe suministrar una cierta energ´ıa por unidad de tiempo (potencia) para mantener el movimiento ondulatorio. La densidad lineal de energ´ıa η (energ´ıa por unidad de longitud) de la onda y la potencia P suministrada por el emisor es: 1 µ ω 2 y02 2 1 P = η c = µ ω 2 y02 c 2 η=

Movimiento de los puntos de la cuerda.

Donde y0 es la amplitud de la onda, µ la densidad lineal de la cuerda, c la velocidad de la onda y ω su frecuencia angular.

Podemos obtener la potencia que suministra el diapas´on sustituyendo directamente los datos del problema en la f´ormula de teor´ıa:

P =

1 µ ω 2 A2 c = 3,02 W 2

Problema 3 Una barra de acero transmite ondas longitudinales generadas mediante un oscilador acoplado en un extremo. La barra tiene un di´ametro D = 4 mm. La amplitud de las oscilaciones es A = 0,1 mm y la frecuencia es f = 10 oscilaciones por segundo. Para este sistema se pide: (a) Funci´on de la onda que se propaga por la barra. (b) Energ´ıa por unidad de volumen en la barra. (c) Potencia media que se propaga a trav´es de una secci´on cualquiera de la barra

(a) Funci´on de la onda que se propaga por la barra.

Tenemos que determinar los par´ametros de la funci´on de onda arm´onica, que es del tipo: y = A sin(kx − ωt) De acuerdo con los datos del problema: A = 0,1 mm y ω = 2πf = 20π rad/s. Para determinar k = ω/c necesitamos determinar la velocidad de las ondas de presi´on longitudinales en el acero (c), que viene dada por: s E c= , ρ donde E es el m´odulo de Young del acero y ρ su densidad. Obteniendo estos valores a partir de las tablas nos queda: s s c=

E = ρ

2 × 1011 N/m2 = 5096,5 m/s 7700 kg/m3

Finalmente, k = ω/c = 0,01233 m−1 y la funci´on de onda queda:

y = 1 × 10−4 sin(0,01233 x − 20π t) en m y s

(b) Energ´ıa por unidad de volumen en la barra.

La densidad de energ´ıa por unidad de longitud en ondas unidimensionales viene dada por: η=

1 ∆E = µ ω 2 y02 , ∆l 2

donde y0 es la amplitud de la onda, µ la densidad lineal del medio y ω la frecuencia angular de la onda. Podemos relacionar la densidad de energ´ıa por unidad de longitud (∆E/∆l) con la densidad volum´etrica (∆E/∆V ) conociendo la secci´on de la barra S. Considerando un segmento de la barra ∆l de volumen ∆V :

∆E ∆E µ ω 2 y02 = = ∆V ∆l S 2S Relaci´on entre ∆l y ∆V .

Y tambi´en podemos relacionar la densidad lineal de masa µ con la densidad volum´etrica ρ: µ=

 ρS ∆l ∆m =ρS =  ∆l ∆l 

Utilizando esta relaci´on y sustituyendo los datos del problema queda finalmente:

2 2 ρS ∆E  ω y0 = = 0,1520 J/m3 ∆V 2 S

(c) Potencia media que se propaga a trav´es de una secci´on cualquiera de la barra.

De acuerdo con la teor´ıa, la potencia media que transmite una onda unidimensional viene dada por: P =

1 µ ω 2 y02 c 2

Utilizando que µ = ρ S y que, conocido el di´ametro D, S = πD 2 /4, nos queda: P =

ρ π D 2 ω 2 y02 c 8

Sustituyendo los datos del problema obtenemos finalmente:

P = 9,7334 × 10−3 W

Problema 4 Dos alambres de diferente densidad se sueldan uno a continuaci´on del otro y se someten a una cierta tensi´on. La velocidad de la onda en el primer alambre es el doble que en el segundo. Cuando la onda arm´onica se refleja en la uni´on entre ambos alambres, la onda reflejada tiene la mitad de amplitud que la onda transmitida. Para este sistema se pide: (a) Suponiendo que no hay perdidas de energ´ıa, ¿qu´e relaci´on hay entre las amplitudes de las tres

ondas? (b) ¿Qu´e fracci´on de la potencia de la onda se transmite y qu´e fracci´on se refleja?

Soluci´on (a) Suponiendo que no hay perdidas de energ´ıa, ¿qu´e relaci´on hay entre las amplitudes de las tres ondas?

Tendremos tres ondas arm´onicas que se propagan por los alambres; yi : onda incidente desde el alambre 1, yt : onda transmitida al alambre 2 y yr : onda reflejada en el alambre 1.

yi = Ai sin(k1 x − ωt) yt = At sin(k2 x − ωt) yr = Ar sin(k1 x + ωt) Ondas que se propagan en los alambres

donde se ha tenido en cuenta que ω depende s´olo de la onda (no del medio), que k depende del medio y que la onda reflejada avanza hacia la izquierda. La potencia de cada una de estas ondas viene dada por las expresiones:

1 Pi = µ1 ω 2 A2i v1 2 1 Pt = µ2 ω 2 A2t v2 2 1 Pr = µ1 ω 2 A2r v1 2

Adem´as por conservaci´on de la energ´ıa se debe cumplir que Pi = Pt + Pr : 1 1  µ1 ω 2 A2i v1 =  µ2 ω 2 A2t v2 + 2 2  

1  µ1 ω 2 A2r v1 → µ1 A2i v1 = µ2 A2t v2 + µ1 A2r v1 2 

Introduciendo ahora que, de acuerdo con el enunciado, v1 = 2v2 y que Ar = At /2:

2 µ1 A2i 2 v v 2 = µ2 At  2 + µ1

2µ1 A2t A2t = 2 v 2 → 4 A2i µ2 + 12 µ1

(∗)

Podemos encontrar una relaci´on entre las densidades lineales de los alambres teniendo en cuenta que v1 = 2v2 y que los dos alambres est´an sometidos a la misma tensi´on:

v1 = 2v2 →

s

s T T T T =2 → =4 → µ2 = 4µ1 µ1 µ2 µ1 µ2

y sustituyendo esta relaci´on en At /Ai queda finalmente:

At 2 A2t 2 µ 4 1 → = = = 1 9 A 3 A2i 4 µ µ i 1 + 2 1

Operando de forma an´aloga a partir de la ecuaci´on (∗), pero sustituyendo ahora At = 2Ar , obtenemos para Ar /Ai :

1 Ar = Ai 3

(b) ¿Qu´e fracci´on de la potencia de la onda se transmite y qu´e fracci´on se refleja?

Calculamos los cocientes Pt /Pi y Pr /Pi :

1
2 A2 v µ2 ω Pt µ2 A2t v2 t 2 =
21 = 2 A2 v Pi µ1 A2i v1
ω i 1
2 µ1 1
2 A2 v µ ω Pr A2  1 1 =
21 2 r = r2 Pi Ai
µ ωA2i  v 1 1
2

Teniendo en cuenta las relaciones encontradas anteriormente para Ar /Ai y At /Ai , y que µ2 = 4µ1 y v1 = 2v2 , queda finalmente:

8 Pt = , Pi 9

Pr 1 = Pi 9