PROBLEMAS DE TOPOGRAFÍA DE OBRAS (Tomo I)

Ricardo López Albiñana Luis Blanch Puertes

ÍNDICE Problema nº 1. Elementos de la curva circular. Cálculo de las coordenadas de un punto ..............4 Problema nº 2. Elementos de la curva circular. Cálculo de las coordenadas de un punto ..............7 Problema nº 3. Curvas en “S” con tramo recto intermedio ............................................................11 Problema nº 4. Circulares. Enlace de alineaciones circulares ......................................................14 Problema nº 5. Circulares. Curvas de dos centros .......................................................................17 Problema nº 6. Circulares. Curvas de dos centros .......................................................................22 Problema nº 7. Clotoides. Elementos de la clotoide .....................................................................31 Problema nº 8 Clotoides. Puntos de la clotoide ............................................................................33 Problema nº 9 Clotoides. Enlace en Punta..................................................................................35 Problema nº 10. Clotoides. Enlace con círculo central .................................................................40 Problema nº 11. Clotoides. Ovoide ...............................................................................................43 Problema nº 12. Clotoides. ...........................................................................................................49 Problema nº 13. Acuerdo vertical. Elementos del acuerdo ...........................................................54 Problema nº 14. Acuerdo vertical. Puntos secuenciales ...............................................................56 Problema nº 15. Acuerdo vertical. Punto de obligado paso ..........................................................58 Problema nº 16. Acuerdo vertical .................................................................................................64 Problema nº 16. Acuerdo vertical. Punto de obligado paso. Pendiente de un punto. ....................60 Problema nº 17. Acuerdo vertical .Intersección de calles .............................................................67 Problema nº 18. Transición al peralte ...........................................................................................72 Problema nº 19. Transición al peralte ...........................................................................................75

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CURVAS CIRCULARES

CURVAS CIRCULARES

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PROBLEMA Nº 1. Elementos de la curva circular. Cálculo de las coordenadas de un punto

El estado de alineaciones de un tramo de un camino rural queda determinado por los vértices VEA1, VEA-2 y VEA-3, de los que se conocen sus coordenadas. El giro se quiere efectuar por medio de una curva circular de radio R = 15,70 m. Se pide: 1.- Coordenadas planimétricas de tangente de entrada TE, tangente de salida TS y Centro(O) 2.- Coordenadas planimétricas de un punto p que dista 14 m en desarrollo dese la tangente de entrada, obtenidas a partir de la tangente de entrada y a partir del centro de la curva circular. 3.- Datos de replanteo de los puntos calculados: p, TE, TS y O desde un vértice exterior de coordenadas planimétricas: X =1000,000 ; Y = 1000,000 V. R.-1

VEA-2

TE

TS

VEA-1 VEA-3 R

O

DATOS: VEA-1 (1079.868 ; 924.276) - VEA-2 (1094.0087 ; 931.7614) - VEA-3 (1115.56 ; 921.20)

RESOLUCIÓN: Datos de interés para la resolución del problema: A partir de las coordenadas de los vértices del estado de alineaciones se obtienen los valores de acimut existentes entre ellos. θ21 = 269.0060g

θ23 = 129.0084g

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1º Cálculo de las coordenadas de la tangente de salida de la curva circular: Ángulo α = 200 - Vˆ2

(100 + 100 + Vˆ2 + α = 400g)

1 3 g g g Vˆ = θ2 - θ2 = 269.0006 -129.0084 ≈ 140

α = 200 - 140g = 60g - Cuerda = 2.R.sen α / 2 = 14.258 m α / 2 = 30g R = 15,70 m

- Desarrollo = 2. π R.δ / 400 = 14.798 m

- Tangente (Te-VEA2 = VEA2-Ts) = R.Tg α / 2 = 8 m.

Las coordenadas de la tangente de entrada (Te) y las de la tangente de salida (Ts) las obtenemos a partir de las coordenadas del vértice del estado de alineaciones VEA-2, el acimut correspondiente y la distancia que les separa, que no es mas que el valor de la tangente calculado.

VEA-2

X = 1094,0087 Y = 931,7614 θ2 = 269,006 1

g

Distancia (VEA2-TE) = 8 m. θ2 = 129.0084 3

g

XTE = 1086,938 YTE = 928,019

XTS = 1101.192 YTS = 928.241

Distancia (VEA2-TS)= 8 m

XTE = 1086,938 YTE = 928,019

XO = 1094,283

θTEO = θTEV +100 =169,006g

YO = 914.143

Distancia (Te-O)= Radio= 15.7 m

2º Calculo de las coordenadas del Punto p Para obtener sus coordenadas necesitamos conocer el acimut y la distancia existente desde tangente de entrada de la curva circular Te y el punto. Para ello calcularemos el ángulo tangente cuerda desde Te (ángulo polar) y la cuerda (distancia polar).

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El ángulo tangente cuerda (δ /2) es la mitad del ángulo central del arco considerado (δ) de 14 metros de desarrollo. como d = 2.π R. δ / 400  δ = 56.7686g;

δ /2 (ángulo polar) = 28.3816g

Cuerda = 2.R.sen δ / 2 ;

Distancia polar de TE a P= 13.5408 m

θTEP

=θ12 +

αP 2

= 97.39039g

Con estos dos valores calculados y las coordenadas de TE se obtiene las coordenadas del punto p XP = 1100,4674 YP = 928,5745 3º Datos de replanteo desde el vértice de coordenadas VR-1 (1000;1000): Con las coordenadas del vértice y la de los puntos a replantear se obtiene los siguientes datos de replanteo:

Punto p Tangente de entrada TE Tangente de salida TS Centro O

θVRp −1 = 139,3450 g TE g θVR −1 = 144,0259

p DVR −1 = 123,269m

TE DVR −1 = 112,869m

TS g θVR −1 = 139,2687

TS DVR −1 = 124,0530m

O g θVR −1 = 147,0243

O DVR −1 = 127.517 m

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PROBLEMA Nº 2. Elementos de la curva circular. Cálculo de las coordenadas de un punto

Datos de la curva de circular: Giro: 74g a derechas R: 93 m. XTE: 980.785 m.

YTE: 878.681 m. (Tangente de entrada)

XTS: 1069.089 m.

YTS: 929.972 m. (Tangente de salida)

Calcular: 1.- Los elementos de la curva circular (Tangente, cuerda, flecha, distancia al vértice) 2.- Las coordenadas del vértice. 3.- Las coordenadas de dos puntos que distan, en desarrollo a la tangente de entrada 30 y 90 m respectivamente. El cálculo se realizará a partir de la tangente de salida y a partir del centro de la curva circular 4.- Los datos de replanteo de dichos puntos desde la tangente de entrada.

RESOLUCIÓN 1.-Calculo de los elementos de la curva circular Cálculos auxiliares: TS TS Conocidas las coordenadas de TE y de TS calcularemos θ TE y DTE TS TS =66.50 g , DTE =102.1193m θ TE

Sabiendo que α=Giro=74 g y que V=200-α obtendremos

α 2

TS Para calcular θ E lo haremos de la siguiente forma θ E = θ TE -

=37 g . α 2

, como todos los datos son

conocidos obtendremos θ E =29.5 g Cálculo de la Tangente: T=R*tg

α 2

como todo es conocido obtendremos T=61.0895m

Cálculo distancia al vértice: VB=

R cos

α

− R de donde obtendremos VB=18.2696m

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Cálculo de la cuerda: Cuerda=2R*sen

α 2

que obtendremos un valor de cuerda=102.1182 m

Cálculo de la flecha: Flecha=R-R*cos

α 2

, obteniendo una flecha de 15.2699 m

2.-Calculo de las coordenadas del vértice V TS θ TE = θ TE −

α 2

= 29,5 g

V = T. DTE

V (1008.091 ; 933.329)

Coordenadas de TE

3.- Cálculo de las coordenadas de dos puntos que distan, en desarrollo a la tangente de entrada 30 y 90 m respectivamente, a partir del centro de la curva circular y desde la tangente de salida.

Calculo de las coordenadas de los puntos desde el centro: O = θ e + 100 = 129.50 θ TE

O DTE = R = 93

Coordenadas del centro desde TE : O (1063.9776;837.119)

Cálculos auxiliares: αp =

D ⋅ 400 donde D es el desarrollo sobre la curva ,R es el radio de la curva , α p es el 2 ⋅π ⋅ R

ángulo comprendido entre la tangente de entrada y el punto genérico P.

De esta forma obtendremos α 30 para el punto que dista 30 m y un α 90 para el que dista 90 m. α 30 =20.536 g α 90 =61.6083 g

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Coordenadas de los puntos: O θ OTE = θ TE + 200 = 329.50

g

θ O30 = θ OTE + α 30 = 350.036 g θ O90 = θ OTE + α 90 = 391.1083 g DO30 = DO90 = R = 93 m

Calculando desde el centro las coordenadas son las siguientes: P30 (998.2538 ; 902.9100) P90 (1051.0304 ;929.2062)

Coordenadas de los puntos desde TS: V V = θ TE + Giro + 200 = 303.50 g θ TS

g ´ α TS 30 = α − α 30 = 53.464 ´ α TS 90 = α − α 90 = 12.3917

g

Calculo de la cuerda de los puntos ( DTSP ): C´= 2 ⋅ R ⋅ sen

α´ 2

´ C30 = 75.8273 m ´ C 90 = 18.0735 m

θTS30 = θTSV −

´ α TS 30

θ TS90 = θ TSV −

2 ´ α TS 90

2

= 276.768 g = 297.3041g

Conocidos los acimuts y las distancias a los puntos desde la TS obtenemos las siguientes coordenadas:

P30 (998.2549 ; 902.9106) P90 (1051.031 ; 929.206)

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4.-Datos de replanteo de dichos puntos desde la tangente de entrada.

Obtenidos anteriormente tenemos, α 30 =20.536 g α 90 =61.6083 g

Calculamos la cuerda como hicimos anteriormente, C = 2 ⋅ R ⋅ sen

α 2

Obteniendo, C30 = 29.8699 m C90 = 86.5288 m

Estas serán las distancias de replanteo para los puntos que distan 30 y 90 metros.

Calculo de los acimuts de replanteo: 30 θ TE =θE +

90 θ TE =θE +

α 30 2

α 90 2

= 39.768 g = 60.3041g

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PROBLEMA Nº 3. Curvas en “S” con tramo recto intermedio

Dado el trazado en Planta del proyecto de una Vía Férrea, del cual se conoce:

Algunos datos geométricos del Eje en Planta del Trazado, coincidente a la vez con el Eje de la vía derecha (visto en sentido de avance del proyecto). Ver croquis adjunto.

Se pide: Calcular las coordenadas de la T.S. de la Curva Circular de R=-1950m.; y la T.E. de la Curva Circular de R=190m. y del PK 0+743 desde la Te2

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PLANIMETRIA TS

Az= 97.6612 X=735.58m Y=95.60m

TE

O1

Az=

R1

c

192 .197 3

=1

95

0m

TS a

b Az= 94.1098

O2

a R2=190m

TE X=661.09m Y=88.02m

Coordenadas

O 1 - O2 :

O1 g g θTE 1 = θ E − 100 = 394,1098

θ TSO 22 = θ S + 100 g = 197,6612 g

D = R1 = 1950m

D = R2 = 190m

Xo1 = 480.927 m Yo1 = 2029.679 m

Xo2 = 742.559 m Yo2 = -94.272 m

DO1-O2 =2140.004m θO1-O2 =192.1973g

b2 + a 2 = c 2

α = 0.123088g

• Coordenadas

a2 = c2 – b2

cosα = 2140 / 2140.004

α = 0.12309g

TS : desde O1

θO1-TS = θO1-O2 + α DO1-TS =1950 m

• Coordenadas

a = 4.13763m

XTS = 715.587 m YTS = 93.850 m

TE : desde O2

θO2-TE = θO2-O1 + α DO2-TE =190 m

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XTE = 719.695 m YTE = 94.347 m

θTS-TE = 92.335g

(redondeo) debe ser: 92.320388g

DTE-TS = 4.138 m • Coordenadas

Pk0+743 :

α1 = θ OTE1 1 + θ OTS1 1 = 1,7894 g

θ OTE1 1 = 194,1098 g θ OTS1 1 = 192,3204 g

Desarrollo de la C.C.1., obtengo el PK de la TE2. D=

2 * π * R1 * α1 2 * π * 1950 * 1,7894 = = 54,810m 400 400

Distancia de TS1 a TS2 TE 2 DTS 1 = 4,138m

PK TE1 = 0 + 674,325m

PK TE1 = PK TE1 + D1 = 729,135m TE 2 PK TE 2 = PK TS 1 + DTS 1 = 733,273m

Ahora, con el PKTE2 puedo calcular el desarrollo hasta PK 0+743: D=743-733,273=9,727m Y con el desarrollo obtengo δ para luego sumárselo al θ OTE2 2 y obtener las coordenadas del Pk 0+743: D=

2 * π * R2 * δ 400

9,727 =

θ OPK2 0+743 = θ OTE2 2 + δ = 395,5798 g

2 * π * 190 * δ 400

δ = 3,2592 g

DOPK2 0+743 = R2 = 190m

X0+743 = 729.376 m Y0+743 = 95.270 m

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PROBLEMA Nº 4. Circulares. Enlace de alineaciones circulares

Se quiere realizar el estudio del enlace de dos alineaciones circulares exteriores con el mismo sentido de curvatura. Se propone el enlace mediante dos soluciones: 1.- Utilizando una alineación recta 2.- Utilizando una curva circular de radio R3= 850 m Datos: Curva circular 1 R1 = 190 m Coordenadas del centro C1 (2990.5989; 904.5324) Curva circular 2 R2 = 420 m Coordenadas del centro C2 (3759.2879; 1149.1444) Calcular: -

Coordenadas de los puntos de tangencia

-

Longitud de los tramos utilizados

RESOLUCIÓN

1.-Utilizando una alineación recta. T2

C2 T1

C1

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Conocidas las coordenadas de C1 y de C 2 obtenemos su distancia y su orientación:

θ cc12 = 80.3866 g

Dcc12 = 806.672082m

Según el dibujo obtenemos:

senα =

C 2 P R2 − R1 = C1C 2 Dcc12

cos α =

DP C1 P = cc12 C1C 2 Dc1

α=18.4068 g Conocido α obtenemos Dcp1 =773.1869m y θ cp1 = θ cc12 − α = 61.97976 g

Cálculo de las coordenadas de T1 desde C1 .

θ cTE1 = θ cp1 − 100 = 361.97976 g DcTE1 = R1 = 190m

Obteniendo las coordenadas de T1(2883.753;1061.644)

Cálculo de las coordenadas de T2 desde C 2 .

θ cTS2 = θ cTE1 = 361.97976 g DcTS2 = R2 = 420m

Obteniendo las coordenadas de T2(3523.102;1496.443)

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2.-Utilizando una curva circular de radio R3 = 850m T2

C2

T1 C1

C3

Dcc12 = 806.67082m Dcc32 = R3 − R2 = 430m Dcc31 = R3 − R1 = 660m Resolviendo el triangulo con los lados conocidos, obtendremos:

α = 35.73436 g β = 103.39083g Calculo de C3 :

θ cc13 = θ cc12 + α = 116.1209 g Dcc31 = R3 − R1 = 660m Las coordenadas de C3 (3629.551; 739.183)

Cálculo de las coordenadas de T1desde C1 .

θ cTE1 = θ cc13 + 200 = 316.1209 g DcTE1 = R1 = 190m

Obteniendo las coordenadas de T1(2806.658;952.133)

Cálculo de las coordenadas de T2 desde C3 .

θ cTS3 = θ cTE1 + β = 19.5117308 g DcTS3 = R3 = 850m

Obteniendo las coordenadas de T2(3886.007;1549.572)

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PROBLEMA Nº 5. Circulares. Curvas de dos centros

Datos: Estado de alineaciones: -

VEA-1: (x=832.707; y=1075.834)

-

VEA-2: (x=852.314; y=1176.210)

-

VEA-3: (x=1090.645; y=1183.121)

T3: (x=868.178; y=1160.563). VEA-2

VEA-3

T4

T3

T2

R2 R2 O1

VEA-1 O2

Calcular las coordenadas planimétricas de T2 T4 y de los puntos kilométricos 1+425 y 1+450, sabiendo que la tangente de entrada T2 es el Pk 1+372,972

RESOLUCIÓN Son datos conocidos: -Las coordenadas de los vértices:

Vértice

X

Y

VEA-1 832.707

1075.834

VEA-2 852.314

1176.210

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VEA-3 1078.653 1182.773 -Las coordenadas del punto de tangencia T3, en la curva circular de 2 centros.

Punto T3

X

Y

868.178 1160.563

T2 -Distancia DVEA − 2 = 57.255 m

-Acimuts: T7 θVEA− 1 = 150.7973 T7 θ VEA − 3 = 209.5979

Partiendo de las coordenadas de los vértices, calculo acimuts y distancias:

Vértices

Distancia Acimut

VEA-1 – VEA-2 102.273

12.2808g

VEA-2 – VEA-3 226.434

98.1546g

Para calcular los puntos T1 y P1, necesito conocer el radio R1. R1 lo calculo resolviendo la curva circular correspondiente:

Conozco las coordenadas de VEA-2, el acimut de la alineación VEA-2 a VEA-1 y la distancia de VEA-2 a T2. Calculo las coordenadas de T2:

Punto T2

X

Y

841.338 1120.017

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Conocidos T2 y T3, calculo distancia y acimut:

Punto Distancia (cuerda) Acimut 37.2257g

T2-T3 48.625

α1

2

= θ TT23 − θ VV12 = 24.945

α 1 = 49.8898

C=2*R1*Sen (α1/2) R1=63.665 m COORDENADAS DE LOS PUNTOS P2, P3 Y T4

Para hallar las coordenadas de estos puntos debemos resolver el triangulo que se forma en la curva circular de dos centros. T2VA = R1*Tg α 1 2 =26.306 m En el triángulo VA- VEA2- VB. El giro en VEA2 es de 85.8741, luego V= 114.1262 Conocido α 1 , podemos saber α 2 =35.984

VA-VEA2=30.949 m

Senα 2 SenV ; = VAVEA2 VAVB

VAVB= 56.365 m

T3 VB=VAVB-VAT3=30.059 m

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VEA2VB Senα 1

=

VAVEA2 ; Senα 2

VEA2 VB=40.787 m

VEA2 T4=40.787+30.059= 70.846 m Conocido el acimut y la distancia de VEA2 a T4 podemos obtener sus coordenadas.

Punto T4

X

Y

923.133 1178.263

Calculamos los desarrollos de las 2 curvas:

D= π*R*α/200 Desarrollo C1= 49.892 m Desarrollo C2= 58.513 m

Situación de los puntos P2 1+425 y P3 1+450: Primero calcularemos que PK le corresponde al punto T3, que será el PK de inicio más la longitud de la clotoide más el desarrollo de la curva circular de radio 1.

T3= PK(250+122.972+49.892)= PK 1+422.864

Luego P2 está a 2.136 m en desarrollo de T3 y P3 está a 27.136 de T3. Calcularemos las coordenadas de estos puntos desde O2.

Cálculo de las coordenadas de O2: Desde T4: VEA3 θ TO42 = θ VEA 2 + 100 = 198.1546

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Distancia = R2= 103.5185 m

Punto O2

X

Y

926.134 1074.788

Cálculo de las coordenadas de P2 y P3:

Conocido su desarrollo desde T3, calculo el ángulo β1 y el ángulo β2 en la curva:

D=2.136 = π*R*β1 /200; β1=1.3136 D=27.136 = π*R*β2 /200; β2= 16.688

Conocido el acimut θ OT 23 = 362.1709 y que la distancia a todos los puntos en la curva circular es R2, calculo las coordenadas de P2 y P3:

θ OP22 = θ OT 23 + β 1 = 363.4845

θ OP23 = θ OT 23 + β 2 = 378.8589

Punto

X

Y

P2

869.960 1161.740

P3

892.386 1172.651

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PROBLEMA Nº 6. Circulares. Curvas de dos centros

Dado el estado de alineaciones determinado por las coordenadas de los vértices: V1,V2,V3 y V4, encajar el siguiente diseño geométrico de carreteras. O3 V4 V2

O2

β1

R3

β T1

R2 T2

O4

V1

α

R1

T3

β2

R4

V' T4

O1 I

II

T3' T5

V''

V3

Curva I: Curva circular de radio R1= 117.9383 m A partir de la tangente de salida de Curva I,T2, tramo recto hasta T3. Curva II: En un principio se había proyectado una sola curva circular de radio R2= 147.4022 m. En su trayectoria hay una edificación de interés artístico que se pretende conservar, lo cual obliga a modificar el trazado, optando por dos curvas circulares. Sin modificar el estado de alineaciones. Se conservarán los puntos de obligado paso: -T3, punto de salida del tramo recto. -T4, punto de coordenadas conocidas. ESTADO DE ALINEACIONES Las coordenadas de los vértices son: VÉRTICE V1 V2 V3 V4

X 342.1059 478.7639 663.6712 969.6336

Y 360.8236 458.2610 262.6088 491.9259

Las coordenadas del punto de paso obligado son: PUNTO T4

X 679.956

Y 298.6627

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CALCULAD: A) Coordenadas de T1, T2, T3, T5. B) Sabiendo que a T1 le corresponde el Pk. 2+300, calcular las coordenadas de los Pks 2+400, 2+500, 2+600

RESOLUCIÓN a)Cálculo de las coordenadas de T1,T2,T3 Y T5:

A partir de las coordenadas de los vértices del estado de alineaciones se obtienen los valores de acimuts y distancias entre ellos:

ACIMUTS V1-V2 V2-V3 V3-V4

Cent. 60.5678 151.797 59.054

DISTANC. V1-V2 V2-V3 V3-V4

METROS 167.837 269.2034 382.3602

T1=? , T2=?

Vˆ2 = θ VV 21 − θ VV 23 = 108.7708

α = 200 − Vˆ2 = 91.2292 Tangente de entrada y salida:

T1V 2 = T2V 2 = R1 * Tg

α 2

= 102.7144m

Coordenadas de T1 y T2 desde V2:

X T1 = X V 2 + (T1V2 * Senθ VV12 ) = 395.1310

YT1 = YV 2 + (T1V 2 * Cosθ VV12 ) = 399.6305

23

PROBLEMAS CIRCULARES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

X T 2 = X V 2 + (T2V 2 * Senθ VV12 ) = 549.3151

YT 2 = YV 2 + (T2V2 * Cosθ VV12 ) = 383.6100 T3=?

Vˆ3 = 200 − θ VV 23 + θ VV34 = 107.257

β = 200 − Vˆ3 = 92.743 T3V3 = R2 * Tg

β 2

= 131.489m

Coordenadas de T3 desde V3:

X T 3 = X V 3 + (T3V3 * Senθ VV32 ) = 573.3556

YT 3 = YV 3 + (T3V3 * Cosθ VV32 ) = 358.1726

T5=? R3=?β 1=?

T4T3 = 2 R3 * Sen

β1 2

T4T3 = ∆X 2 + ∆Y 2 = 122.0863

θ TT34 = 132.4139

Ο3 V4 V2

β1 R3 O4 T3

200−β1

β1/2 V''

β1

β2

R4 T5

T4

V''

V3

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β1 2

= θ VV 23 − θ TT34 = 19.3831

β1 = 38.7662 R3 = 203.6220

β2 = ?

β 2 = β − β1 = 53.9768 T4V ' ' = ? O2

β2 V'

β1

R2

T4

T5

β2

V''

V3

T3V ' = T4V ' = R3 * Tg

β1 2

= 63.986m

Coordenadas de V’ desde T3:

X V ' = X T 3 + (T3V '*Senθ VV 23 ) = 617.3056 YV ' = YT 3 + (T3V '*Cosθ VV 23 ) = 311.6686

V 'V3 = ∆X 2 + ∆Y 2 = 67.5028

T4V ' ' = V 'V ' '−V 'T4

25

PROBLEMAS CIRCULARES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

V 'V ' ' = ?

Por el Teorema del Seno:

V 'V ' ' V 'V3 = SenVˆ3 Sen β 2

⇒ V 'V ' ' = 89.4351

T4V ' ' = 25.4491 T4V ' ' = R4 * Tg

β2

= 63.986m

2

R4 = 56.391

V3T5 = V3V ' '−V ' 'T5

Por el Teorema del Seno:

V3V ' ' V 'V ' ' = Sen β1 SenVˆ3

⇒ V3V ' ' = 51.4908

V3T5 = 76.940 Coordenadas de T5 desde V3:

X T 5 = X V 3 + (T5V3 * Senθ VV34 ) = 725.238 YT 5 = YV 3 + (T5V3 * Cosθ VV34 ) = 308.753

b)Cálculo de Pk. 2+ 400, 2+500 y 2+600:

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Calculamos los desarrollos de las curvas I y II:

Desarrollo de la curva I: D1 = π * R1 *

α 200

= 169.008

-Desarrollo de la curva II: La curva II está compuesta por dos curvas, de radios R3 y R4, luego el desarrollo total, será la suma de D2 y D3: D2 = π * R3 * D3 = π * R4 *

β1 200

β2 200

= 123.993 = 47.812

El punto de tangencia de entrada de la curva I, T1, se encuentra en el P.k. 2 + 300, a partir de este dato y conociendo los desarrollos de las curvas y la longitud del tramo recto, podemos situar los P.k. en sus tramos correspondientes:

P.k. 2 + 400, pertenece a la curva I. P.k. 2 + 500, pertenece al tramo recto. P.k. 2 + 600 pertenece en la curva II, a la curva de radio R3.

CÁLCULO COORDENADAS DEL P.k. 2 + 400.

Pk T1=2+300 D1 = 169.008 m D p = π * R1 *

αp 200

Dp= 100 m D p = π * 117.9383 *

αP 2

αp 200

= 100 ⇒ α p = 53.979

= 26.9895

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PROBLEMAS CIRCULARES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

C p = 2 * R1 * Sen

αP 2

= 97.031

Conocida la distancia T1 al P.k. 2 + 400, necesitamos el acimut:

θ TP1.K .2+400 = θ VV12 +

αP 2

= 87.5573

X P.K .2+ 400 = X T 1 + (C P * Senθ TP1.K .2+ 400 ) = 490.3146 YP.K .2+ 400 = YT 1 + (C P * Cosθ TP1.K .2+ 400 ) = 418.4746

COORDENADAS DEL P.k. 2+500:

P.k .T2 = P.k .T1 + D1 = 2 + 469.008

T2T3 = V2V3 − V2T2 − V3T3 = 35 m P .k .T2 P .k .2 + 500 = 500 + 469.008 = 30.992

θ TP2.k .2+500 = θ VV 23 Conocido azimut y distancia podemos calcular las coordenadas:

X P.K .2+500 = X T 2 + ( P .k .T2 P .K .2 + 500 * Senθ TP2.K .2+500 ) = 570.6025 YP.K .2+500 = YT 2 + ( P .k .T2 P .K .2 + 500 * Cosθ TP2.K .2+500 ) = 361.0856

COORDENADAS DEL P.k.2+600:

P.k .T3 = P.k .T2 + T2T3 = 2 + 504.008 P.k .T4 = P.k .T3 + D2 = 2 + 628.001

Luego el P.k. 2+600 está en la curva de radio R3.

θ TP3.k .2+600 = θ VV 23 −

βp 2

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PROBLEMAS CIRCULARES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

DP = 95.992 = π * R3 *

βP 2

⇒ β P = 30.0117

θ TP3.k .2+600 = 136.7911 La distancia medida sobre la cuerda:

C P = 2 * R3 * Sen

βP 2

= 95.1056

Las coordenadas de P.k.2+600 serán:

X P.K .2+600 = X T 3 + (C P * Senθ TP3.K .2+600 ) = 653.0165 YP.K .2+600 = YT 3 + (C P * Cosθ TP3.K .2+600 ) = 306.2186

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TRANSICIÓN EN PLANTA. CLOTOIDES

CURVAS DE TRANSICIÓN EN PLANTA. CLOTOIDES

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PROBLEMA Nº 7. Clotoides. Elementos de la clotoide

Calcular los elementos de la clotoide que enlaza con un círculo de radio “R”, con la alineación recta CV por medio de un arco de transición de desarrollo “L”. Datos: R= 100m → (radio en “F”, es positivo, porque la curva gira a derechas) L= 100m → (longitud de transición, en metros) C = (1000;1000) → Coordenadas del punto de comienzo de la clotoide. θE =325.4220g → Acimut de entrada Se pide: Calcular los elementos que definen la clotoide. Obtened las coordenadas absolutas del punto F y del centro del circulo osculador O

RESOLUCIÓN: Se trata de obtener:

Α → Parámetro de la clotoide σ→ Ángulo polar

τ→ Ángulo girado

(XO,YO) → coords. Absolutas del centro de la curva circular tangente a la clotoide en el punto F

(XF,YF) → Coords. punto final absolutas y coordenadas relativas (Xf,Yf) TL→ Tangente larga ΔR→ retranqueo de la curva

Tc→ Tangente corta

SL→ Cuerda o distancia polar. Aplicando la Ley de Curvatura :

A2 = L*R = lp*rp El valor del parámetro A :

A2 = L*R = 100*100 → A= 100

τ→

½* (A2/ R2) = ½*(1002/1002) = 0.5 radianes 

hay que pasar a grados → 31.8310g

σ→ 10.5877g

SL→ 98.8933 m

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ΔR→ 4.1297 m

TL→ 67.5611 m

Tc→ 34.1480 m

(Xf,Yf) → (97.5288; 16.3714) m coordenadas relativas (XF,YF) → Coordenadas Absolutas , desde C : XF = Xc + SL* sen θCF= 903.7794 m YF = Yc + SL* cos θCF = 1022.8358 m θCF= θE- σ = 325.4220g - 10.5877g =3 14. ΔR = Yf + R*cosτ - R = 16.3714 + (100*cos 31.8310) – 100 = 4.1297m

σ = arctg (Xf / Yf) =

arctg ( 16.3714/97.5288) = 10.5877g

Tc = Yf / sen τ = 16.3714 / sen (31.8310) = 34.1480 m TL = Xf – Tc * cos τ

= 97.5288 – 34.1480* cos ( 31.8310)= 67.5611 m.

Coordenadas relativas del centro de la curva circular tangente a la clotoide en el punto “F”, (Xo,Yo) : Yo =R+ ΔR = 100+4.1297 =104.1297 m.

Xo = Xf –NH = 97.5288-47.9425 = 49.5862 m. NH = R * sen τ = 100* sen (31.8310) = 47.94256 m SL=

Xf 2 + Yf 2

=

(97.522) 2 + (16.3714) 2 = 98.8933 m.

Coordenadas absolutas del centro, para ello calcularemos las coordenadas del punto N y a partir de este sacaremos las del centro. Coordenadas de N: desde C podemos sacarlas ya que tenemos el acimut= θE =325.4220g y la distancia que será Xo =49.5862m XN = 954.3151164m YN = 1019.279073m Ahora ya podemos sacar las coordenadas absolutas del centro: θNO = θE - 100 =225.4220g y la distancia será Yo= 104.1297m XO = 954.3151164m YO = 1019.279073m

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PROBLEMA Nº 8 Clotoides. Puntos de la clotoide

A partir de los datos y croquis que se adjuntan, CALCULAR: 1- El parámetro “A”. 2- Las coordenadas absolutas de un punto “P” que dista desde C (comienzo de clotoide) en desarrollo 66,42m. 4-Datos para efectuar el replanteo del punto “P” desde V. El sistema es simétrico y centrado respecto a la bisectriz V-O.

Datos:

C'

F-F’ (en desarrollo)= 58,32m. O ( X= 310 ; Y= 410). R=100m

F'

V ( X= 464,1326 ; Y= 398,0717).

V

O

θVC = 257,0446 g

F

θVC ' = 352,7892 g C

RESOLUCIÓN:

V=95,7446g.

ω = α + 2τ = giro total. ω = 200 − V ; d = 2τ * R −

τ=

τ

Giro total= 104,2554g.

α 400

;

α = 37,1276 g .

104,2554 − 37,1276 = 33,5638 g . 2

L ; 2R

R*L=A2;

L=105,444m. A=102,6664m.

Con el programa:

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PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Xf=102,551

∆R = 4,587

X0=52,237

Yf=18,166

SL=104,147

Y0=104,587

TC=36,106

TL=71,348

σ = 11,161

T=X0+Y0*tang

ω 2

= 164,0595

C=(336,024;295,584) 2) 66,42*rp=102,66642

→

rp=158,693 →

σ p = 4,439 .

→

Slp=66,291.

θ CP = θ Cv − σ = 52,6060 g DCP = Sl P

P=( 384,778; 340,501).

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PROBLEMA Nº 9. Enlace en Punta Se pretende replantear una serie de puntos pertenecientes a un tramo de carretera. Su geometría queda determinada por un sistema compuesto por un tramo recto y dos ramas de clotoide en punta, de vértice común, y simétricas respecto a la bisectriz (ver croquis adjunto). El tramo de la carretera está formado por dos carriles en el sentido de avance, y uno en sentido contrario. Sabemos que el ancho de cada carril es de 3,5 m. El arcén es de 1 m de ancho y tiene una pendiente de -0.04. El eje de la carretera coincide con el eje que separa ambos sentidos de circulación. La rasante de la carretera está 20 cm por encima del terreno en el origen del tramo (Pk 0+000) y tiene una pendiente longitudinal de 1% descendente en sentido de avance y un bombeo del 2%.La cuneta tiene un talud de 1,5 (3/2) Las coordenadas planimétricas del Pk 0+000 son: X=100; Y=100. El tramo recto tiene una longitud de 54 m. Se pide: Calcular los datos de replanteo del eje de los Pks 0+058, 0+062, 0+066, y 0+072 desde un vértice de coordenadas (110;110;50) y el fondo de la cuneta, correspondiente a los ( puntos 1,2,3,4,5,6,7 y 8 representados en el croquis adjunto) y el Pk 0+000. Calcular la profundidad de excavación en los puntos replanteados.

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PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

RESOLUCIÓN: Planimetría Datos de partida: R = 16m (Radio de la clotoide) Coordenadas del Pk 0+000: (100; 100) Coordenadas del vértice de replanteo VR: (110; 110; 50) Longitud del tramo recto es de 54m. Acimut de entrada=ϑ E = 20g; V = 136.3380 g es el ángulo en el vértice. ¡OJO! No confundir con el ángulo girado Se trata de un tramo de de una carretera, en cuyo eje se sitúa el Pk 0+00 de coordenadas conocidas, el acimut de la alineación de entrada es conocido y sabemos que la distancia del tramo recto antes de entrar en la clotoide es de 54 m. Por lo tanto, conocemos la situación del punto de entrada del primer ramal de clotoide que se sitúa en el Pk 0+054= C = Te. Podemos calcular las coordenadas del Pk 0+054, a partir de las coordenadas del Pk 0+00 y sabiendo el acimut de entrada y la distancia entre los dos puntos, que resultarán:

ϑ E = ϑ Pk0+00 Pk 0+054 =20g D = 54m.

Pk 0+00 = (100; 100)

Obtenemos: XPk 0+054 = 116.6869177m ≈ 116.687m. YPk 0+054 = 151.3570519m ≈ 151.357m.

Queremos obtener los datos de la clotoide, para ello necesitamos conocer al menos 2 datos. Tenemos el radio R=16m, necesitaremos saber “L”(longitud de la clotoide) o “τ”(ángulo de giro de la clotoide). Podemos sacar τ

: 200 g = V +2τ

C

200 g = 136.338g +2 τ

V 2τ

2 τ =63.6662g

τ =31.831g

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PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Con τ y R sacamos los parámetros necesarios de la clotoide: A = 16m

τ =31.831g

σ = 10.588g

Sl=15.823m

R = 16m es el desarrollo de la clotoide. Con estos datos podemos calcular las coordenadas del Pk 0+058, a partir del punto de entrada de la clotoide 1 (”C”) situado en el Pk 0+054 que ya conocemos. Necesitaremos saber el acimut de entrada y la distancia entre los dos puntos, Pk 0+054 y Pk 0+058 para ello, obtendremos los datos que necesitamos que resultarán:

Aplicando la ley de curvatura de la clotoide en ese punto, sacaremos el radio en ese punto:

A2 = R*L = rp*lp

Para A=16m y lp= 4m ;

rp= A2/ rp

rp= 64m.

Particularizando para estos datos (rp y lp , obtendremos los valores necesarios para σ y Sl en ese punto.

σ = 0.6631 g y

Sl = 3.9998m

Así obtenemos las coordenadas del Pk 0+058:

ϑ Pk0+054 Pk 0+058 = ϑ E + σ = 20g + 0.6631 g = 20.6631 g D = SL Pk 0+058 = 3.999m. XPk 0+058 = 117.9623059m ≈ 117.962m. YPk 0+058 = 155.1471973m ≈ 155.147m.

Del mismo modo podemos calcular las coordenadas de los Pks que faltan, teniendo en cuenta, el particularizar en cada caso para cada punto.

Así las coordenadas de los Pks siguientes serán:



Pk 0+062 :

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PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Para A= 16m y lp= 8 m ;

σ = 2.6522 g y

rp= A2/ rp

rp= 32 m.

Sl = 7.994m ≈ 8m.

Obtenemos las coordenadas del Pk 0+062 :

ϑ Pk0+054 Pk 0+058 = ϑ E + σ = 20g + 2.6522 g = 22.6522 g D = SL Pk 0+058 = 7.999m ≈ 8m XPk 0+062 = 119.4719216 m ≈ 119.472 m. YPk 0+062 = 158.8506402 m ≈ 158.850 m. 

Pk 0+066 :

Para A= 16m y lp= 12 m ;

σ = 5.9644 g y

rp= A2/ rp

rp= 21.3333 m.

Sl = 11.958m ≈ 12m.

Obtenemos las coordenadas del Pk 0+066 :

ϑ Pk0+054 Pk 0+058 = ϑ E + σ = 20g + 5.9644 g = 25.9644 g D = SL Pk 0+058 = 11.958m ≈ 12m. XPk 0+066 = 121.4299567 m ≈ 121.430 m. YPk 0+066 = 162.3341638 m ≈ 162.334 m. Pk 0+070 :

Para A= 16m y lp= 16 m ;

σ = 5.9644 g y

rp= A2/ rp

rp= 21.3333 m.

Sl = 11.958m ≈ 12m.

Obtenemos las coordenadas del Pk 0+066 :

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PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

ϑ Pk0+054 Pk 0+058 = ϑ E + σ = 20g + 5.9644 g = 25.9644 g D = SL Pk 0+058 = 11.958m ≈ 12m. XPk 0+066 = 121.4299567 m ≈ 121.430 m. YPk 0+066 = 162.3341638 m ≈ 162.334 m. FALTAN LAS COORDENADAS DE C’ 

Pk 0+072 :

Para A= 16m y lp= 14 m ;

σ = 8.11342 g y

rp= A2/ rp

rp= 18.2857 m.

Sl = 13.909 m

Obtenemos las coordenadas del Pk 0+072:

ϑ Pk0+086 Pk 0+072 = ϑ s + 200-σ0+072 = 83.662g + 200 - 8.11342 g = 275.5486 g D = SL Pk 0+072 = 13.909 m.

XPk 0+066 = 121.4299567 m ≈ 121.430 m. YPk 0+066 = 162.3341638 m ≈ 162.334 m.

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PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PROBLEMA Nº 10. Clotoides. Enlace con círculo central

Se desea unir el vial principal de un polígono industrial con una carretera secundaria. Con el trazado se pretende utilizar un paso superior existente formado por un tramo de curva circular. Vial

Tras el estudio de la situación se opta por realizar el enlace mediante un sistema simétrico y centrado respecto a la bisectriz O-V.

C

B

De los proyectos existentes se extraen los siguientes datos: XO = 1000,000 m XVE = 950,000 m

θ A =150,2641g B

YO = 1000,000 m YVE = 1050,000 m Para poder calcular el encaje, se obtiene a partir del vértice VE, perteneciente a una red de bases materializadas en el terreno, los siguientes datos de campo:

θE = 120,4833g

θ E = 137,4050g

F DE =

F' DE =

F

Vertice Exterior

F'

158,114 m

O

R

F Puente

168,360 m

F'

V

Calculad: 1.- Coordenadas absolutas de un punto “Q” que dista, en desarrollo, 70 m del punto C (origen de la clotoide de entrada). 2.- Coordenadas absolutas de un punto “P” que dista, en desarrollo, 70 m del punto C’ (origen de la clotoide de salida). 3- Calcular las coordenadas de V 4.- Longitud total del enlace. C'

RESOLUCIÓN

1º El problema consiste en resolver un encaje tipo clotoide-curva circular-clotoide simétrico respecto a la bisectriz O-V. A partir de los datos de campo se obtienen las coordenadas de F y F’: XF = 1100,000 m

XF’ = 1090,126 m

YF = 1000,000 m

YF’ = 956,673 m

Con estas coordenadas y las del centro de la curva circular se obtiene:

θO = 100,0000g F

θO = 128,5282g F'

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PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes F

DO = R = 100,000 m

El ángulo

F'

DO = R = 100,000 m

τ es el ángulo que forma la alineación A-B con la tangente de la curva en el punto F.

Puesto que dicha tangente es perpendicular a la dirección de O-F, se tendrá:

τ = θFO + 100g

B - θA = 100g + 100g - 150,2641g = 49,7359g

Dado que ya se conoce τ y R se pueden determinar los parámetros de la clotoide:

CLOTOIDE C-F

τ =49,7359g

R= 100 m

L=156,250 m

∆R

9,954 m

A

125

xF

146,979 m

SL

152,052 m

xo

76,562 m

TL

107,704 m

yF

38,950 m

σ=

16,4917g

yo

109,954 m

TC

55,314 m

Partiendo de las coordenadas del punto F y calculando el acimut θ F y la distancia D F , se C

C

determinarán las coordenadas del punto C, origen de la clotoide:

θ F = θ A + σ + 200g = 150,2641g + 16,4917g + 200g = 366,7558g C

B

C

D F = SL = 152,052 m Así: XC = 1024,159 m YC = 1131,788 m El punto Q dista 70 m en desarrollo del punto C, luego:

R

100,000 m L

A

125,000 m lP 69,828 m SLP

70,000 m

3,652 m σ P

3,3267g

xP yP

156,250 m

69,924 m

Con estos datos:

41

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

θ C = θA + σ P = 153,5808g Q

B

C

D Q = SLP = 69,924 m

Con todo, se pueden calcular fácilmente las coordenadas de Q desde C, respondiendo al primer apartado:

XQ = 1070,736 m YQ = 1079,636 m 2º XV = 1200,074 m YV = 954,405 m

3º En el tercer apartado se pide determinar la longitud total del enlace y para ello se procederá a calcular el ángulo de la curva circular:

Cu = 44,438 m α = θ O - θO = 128,5282 - 100,0000 = 28,5282g F'

F

Y, con ello:

g

LTOTAL = 2·LCLOTOIDE + LCÍRCULO = 2·156,25 + 28,5282 *·R·2π·/400 = 357,312 m

42

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PROBLEMA Nº 11. Clotoides. Ovoide. Se pretende encajar el siguiente diseño de carreteras, tal y como muestra el croquis que se adjunta, enlazando el círculo número 1 con el círculo 2 a través de una clotoide continuando con un círculo para terminar enlazando mediante otra clotoide con el círculo 3. Datos: O2=(5000,5000);

θO2 = 95,000 g

R1=500m

A1=250m.

R2=1200m

Desarrollo circular=300m.

R3=400m

A2=300m.

2

Se pide: 1-Calcular la longitud total del sistema (puntos del 1al 4). 2-Coordenadas de los puntos de tangencia 1,2,3,4. 3-Coordenadas de los centros O1 y O3. 4-El punto de tangencia número 1 pertenece al PK 1+000, calcular las coordenadas y los datos de replanteo de los PK 1+060, PK 1+130, PK 1+420 desde O2. Ci rc ul 3 ar

0

1200

m

2

O1 O2

1

r1 Circula

( 5000 ; 5000)

R3= 500 m

Clotoide 1

R2 =

3 r2 Circula

O3

e2

=4

t oid

R1

Clo

4 0m

43

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

RESOLUCIÓN 1) Clotoide 1: A2=R*L → el punto 1).

(250)2=500*L1

A2=R*L → (250)2=1200*L2 punto 2).

→ →

L1=125m. (L1 va desde el comienzo de la clotoide hasta

L1=125m. (L2 va desde el comienzo de la clotoide hasta el

Longitud clotoide 1 =L1-L2=72,917m. (distancia en desarrollo entre 1 y 2).

Clotoide 2:

A2=R*L →

(300)2=400*L3

→

L3=225m. (L3 va desde el comienzo de C’

→

L4=75m. (L4 va desde el comienzo de C’

hasta el punto 4). A2=R*L →

(300)2=1200*L4

hasta el punto 3). Longitud clotoide 2 =L3-L4=150m. (distancia en el desarrollo entre 3 y 4).

Curva circular: D=300m. Longitud total del sistema=72,917+300+150=522,917m.

2) X2=6196,301m. Y2=5094,151m.

D=

2 *π * R *α ; 400

300 =

2 * π * 1200 * α ; 400

α = 15,9155 g .

θ O3 2 = θ O2 2 − α = 79,0845 g

X3=6135,817m. Y3=5387,194m.

44

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Clotoide 1:

τ 2 = 1,3815 g

σ 2 = 0,4605 g Sl2=52,082m.= DC2 . Si θ O2 2 = 95 g

→

θ 2 = θ O2 2 + 100 g = 195 g .

θ EClotoide1 = θ 2 − τ 2 = 193,6185 g .

θ C2 = θ EClotoide1 + σ 2 = 194,0790 g

θ 2C = 394,0790 g .

XC=6191,464m. YC=5146,008m. Con el programa “Elementos de la clotoide” obtengo los elementos de la clotoide 1 en el punto1. Punto 1:

τ 1 = 7,9577 g σ 1 = 2,6522 g Sl2=124,913m.

θ C1 = θ EClotoide1 + σ 1 = 196,2707 g X1=6198,777m. Y1=5021,309m.

Clotoide 2:

R2= 1200 m

3

Si θ O3 2 = 79,0845 g

→

θ 3 = θ O3 2 + 100 g = 179,0845 g . τ 3 = 1,9894 g , σ 3 = 0,6631g Sl2=74,997m.= D3C ' .

θ EClotoide 2 = θ 3 + τ 3 + 200 g = 381,0793 g . C'

Y

R1= 500 m

2 C.C. 2 C.C. 3 Cl.

O3

F

X

Punto 3:

θ C3 ' = θ EClotoide 2 − σ 3 = 380,4108 g  θ 3C ' = 180,4108 g

45

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

XC’=6158,532m. YC’=5315,720m. Con el programa “Elementos de la clotoide” obtengo los elementos de la clotoide 2 en el punto4.

τ 4 = 17,9049 g σ 3 = 5,9643 g Sl2=224,210m.

θ C4 ' = θ EClotoide 2 − σ 4 = 375,1096 g X4=6073,087m. Y4=5523,010m. 3) Coordenadas de O1:

θ1O1 = θ EClotoide1 + τ 1 + 100 g = 301,5762 g . D1O1 = R1 = 500m. XO1=5698,930m. YO1=5033,687m. Coordenadas de O3:

θ 4O 3 = θ EClotoide 2 − τ 4 − 100 g = 263,1690 g . D4O 3 = R3 = 400m.

XO3=5738,182m. YO3=5304,289m.

4) Localización de los puntos PK 1+060 → 1ª clotoide. PK 1+130 → Curva circular. PK 1+420 → 2ª clotoide. Si no hubiésemos calculado las longitudes de las clotoides, tendríamos que haberlo hecho para saber dónde está cada PK.

46

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PK 1+060: Sabiendo que el punto 1 es el PK 1+000, calculo la distancia que hay entre PK 1+060 y C.

L1 = 125 m (desde C hasta el punto 1 (PK 1+000)). PK 1+ 060 DPK 1+ 000 = 60m. 0+ 060 = 125-60 = 65m. LPK C

Con el programa “Tabla de clotoides” obtengo:

τ 1+060 =2,1518g. Sl1+060 = 64,997 m.

σ 1+060 = 0,7173 g

θ C1+060 = θ EClotoide1 + τ 1+060 = 194,3358 g . X1+060=6197,239m. Y1+060=5081,268m.

PK 1+130: Como la longitud de la clotoide 1 es 72,917m, sabemos que entre este PK está en la curva circular. Necesitamos saber a qué distancia de 2 está el PK 1+130.

130-72,917=57,083m. D=

2 *π *α ; 400

57,083 =

2 * π * 1200 * α ; 400

α = 3,0283 g .

θ O1+2130 = 95 g − 3,0283 g = 91,9717 g . DO1+2130 = R2 = 1200m.

X1+130=6190,471m. Y1+130=5150,929m

PK 1+420:

47

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

420-72,917-300=47,083m. L4=75m. L1C+'420 = 75 + 47,083 = 122,083m.

Con el programa “Tabla de clotoides” obtengo:

τ 1+ 420 = 5,2713 g . Sl1+420=122,0458Mm.

σ 1+ 420 = 1,7570 g .

θ C1+' 420 = θ EClotoide 2 − σ 1+ 420 = 379,3169 g . X1+420=6119,574m. Y1+420=5431,381m

Solo falta calcular los datos des replanteo desde O2 para cada PK

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PROBLEMA Nº 12. Clotoides.

Se pretende solucionar la intersección de dos carreteras mediante un paso inferior. El trazado geométrico para llegar al paso inferior consiste en dos clotoides de curvatura contraria, unidas en forma de “S” y una curva circular. El trazado comienza en el punto de tangencia “F1” (punto final de la clotoide 1) y pasa por el punto “C” (tangente de entrada común a ambas clotoides y además está alineado con los centros O1 y O2), el trazado continúa por “F2” (punto final de la clotoide 2 y tangente de entrada de la curva circular con centro O2 y termina en el punto de intersección “I” (intersección de la curva circular con la carretera principal), A partir de aquí la carretera sigue el trazado mediante un tramo recto que es tangente a la curva circular en el punto “I”. El eje del tramo de carretera principal queda definido por la recta PQ que además es tangente a la clotoide 1 en el punto F1. Datos conocidos: τ1 = τ2 = 30g6400 O1 = (5000 ; 5000) O2 = (4229.951 ; 4783.123) P = (4923.369 ; 3930.482) Q = (3930.482 ; 4946.642) Se pide: calcular las coordenadas de los puntos F1, C ,F2, I y longitud del itinerario desde F1 hasta I.

Re c ta

Curva Circular

tan ge

F2

O1

nte

RA

ot

oid

e

I

rec to

Q

2

C" n" se de toi

Cl

c lo

PR INC IPA L

as

E TE

mb

mo

C

Tr a

RR

aa

CA

O2

Cl

ot

oid

e

1

F1 P

49

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

RESOLUCIÓN El radio R1 es la distancia desde O1, a la recta PQ 1ª Calcularemos el acimut de la recta PQ , mediante el incremento de coordenadas: Acimut de la alineación ⇒ 324g 436485 (PQ) Dist = 1070.809

Re cta

Curva Circular

tan ge

F2

O1

nte aa

RR ETE

AL

Cl ot

oid

e

2

mo rec to

C" n"

Q

e es

I

oid

RIN CIP

lot sc

RA P

a mb

CA

Tra

C

O2

Cl ot

oid

e

1

F1 P

Como además podemos conocer de la misma manera la distancia desde O1 hasta el punto P, resultando: θ = 210g 6368 dist = 460.783m Como la tangente a el punto F1 es perpendicular a O1, (por ser el punto final de clotoide), el acimut de F1 a O1, su valor será: Acimut de la alineación ⇒ 324g 436485 (PQ) + 100g = 24g 436485, obviamente el acimut de O1 a F1 será 224g 436485, obteniendo el ángulo α, como la resta de los dos acimuts con un valor de 13g 7997 O1 α

F1

P

50

PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Aplicando el teorema del seno obtenemos la distancia de P a F1 ⇒ 99.1013, ya estamos en condiciones de dar las coordenadas de F1 ⇒ (4831.479 ; 4582.747) Con las coordenadas de F1 y O1, obtenemos el radio de la primera clotoide. Su valor es de R1 = 449.99988 ≈ 450m

Solución de la primera Clotoide. Teniendo dos de los parámetros de la clotoide podemos calcular el resto de los parámetros entrando en tablas, como en este caso tenemos R1 = 449.9997 ≈ 450 m, y el ángulo τ1 = 30g6400, es fácil obtener el resto de datos necesarios. L / R = 0.96258399 obteniendo una long. ⇒ L1= 433.165795 El resto de parámetros se calcula de la misma forma. xf1 = 423.2359575 yf1 = 68.35122116 xO1 = 214.9198055 yO1 = 467.2301261 Tc = 147.650814 Tl = 292.358637 Nota ⇒ No es necesario calcular todos los parámetros, solo los que nos hagan falta. 

Cálculo de las coordenadas del punto C:

Nota ⇒ El punto m1, que se va a calcular, se encuentra en la recta PQ, y no en la clotoide como indica el dibujo. Coordenadas del punto m1 ⇒ El acimut es el de la recta PQ, y su distancia la tangente corta de la clotoide 1. 324g 4365 y con la distancia = 147.650814, tenemos las coordenadas del punto m1 ⇒ (4694.573 ; 4638.041). Con estas coordenadas las coordenadas del punto C se obtienen: siendo el acimut de m1 a C, el acimut de la alineación PQ más τ1 = 30g6400, y la distancia antes dela tangente larga = 292.358637 C ⇒ (4504.968 ; 4860.580)



Solución de la clotoide 2:

Primero calcularemos los acimuts de m1 a C, de m2 a O2, de O2 a F2 y de O2 a C. El acimut de m1 a C ⇒ 355g076376 (por coordenadas) El acimut de m2 a O2 ⇒ 355g076376 – 100g = 255g076376, puesto que nuestro punto m2, es perpendicular al centro O2. El acimut de O2 a F2 ⇒ El acimut de O2 a m2 menos Tau2 ⇒ 55g076376 – 30g64 ⇒ g 24 436376 Tau2, es el ángulo que forma F2 O2 m2. El acimut de O2 a C ⇒ 82g5227 y una distancia de 285.7165m (Por coordenadas).

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PROBLEMAS CLOTOIDES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

m2

α = (θ02 a C - θ02 a F2) - τ = 27g44632

C β

β = α − 100 =72g55368

F2 α O2

Con el teorema del seno, obtenemos la distancia de C a m2 ⇒ 119.39916, con lo que ya tenemos los dos parámetros de la clotoide, en este caso tenemos el ángulo τ y Xo al igual que antes y entrando en tablas, obtenemos solo los parámetros que nos hagan falta. Xo / R = 0.47759957 ⇒ R2 = 250 Yo=259,57229 L2= 240.645997 Como conocemos el acimut y la distancia de O2 a F2, podemos obtener las coordenadas de F2 ⇒ (4323.573 ; 5014.931) 

Cálculo de las coordenadas de I:

Calculamos primeramente el punto m3 (por intersección de rectas (PQ y O2 F2)), obtenemos un punto con coordenadas m3 (4244.723 ; 4819.722), calculamos su acimut y su distancia, como tenemos dos distancias y el ángulo entre las dos alineaciones, obtenemos el ángulo β = 10g09361025 y α = 100 - β = 89.90638975 I

m3 α O2



Punto I:

Siendo el acimut de O2 a I, sumando el acimut de O2 a F2, menos el ángulo α resultando ⇒ 334g 530056 Distancia de ⇒ 250m I ⇒(4015.833 ; 4912.171) Longitud total del enlace Desarrollo de la curva circular = 353.0617 Lt = L1 + L2 + L cc = 433.162795 + 240.645997 + 353.0617 = 1026.870513 m

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TRANSICIÓN EN ALZADO. ACUERDOS VERTICALES

CURVAS DE TRANSICIÓN EN ALZADO. ACUERDOS VERTICALES

PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PROBLEMA Nº 13. Acuerdo vertical. Elementos del acuerdo A partir de los datos del croquis encajar un acuerdo parabólico de Kv=2000 1. Calcular la Distancia al origen y cota del vértice “V”. 2. Elementos del acuerdo (giro, L, bisectriz).

Cotas

3. Calcular la cota roja del punto P, sabiendo que este punto se corresponde con el Pk 0+170

Pterreno 324,6

V

giro

Prr P 1=

rc

Zrr p

4%

Prc

T'

B

Yp

321,8

P2= 3%

T

321 A

Xp

10 0

0,0

170

330 Do Distancia origen

Recta 1:

Recta 2:

m= 0,04

m= -0,03

x=100

x=330

y=321

y=321,8

X=210m Punto intersección:

Y=325,4m=Z

Giro= P2 −P1 = − 3%− 4% = − 7% = 0,07 . L=Kv* θ =2000*0,07=140m → 70m a cada lado de V.

d=

Kv * θ 2 ; 8

d=

2000 * (0,07) 2 = 1,225m. 8

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PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Calcular la cota roja del punto P en el terreno:

ZT1=Zv-T*0,03=325,4-70*0,03=322,6m. XT1=Xv-T=110-70=40m.

ZT2=Zv-T*0,03=325,4-70*0,03=323,3m. XT2=Xv+T=110+70=180m.

DTP1 = 70 − 40 = 30m.

∆Z P =

X2 30 2 = = 0,225m. 2 * Kv 2 * 2000

Z PRC = Z PRR − ∆Z P Z PRR = Z T 1 + 0,04 * 30 = 322,6 + 0,04 * 30 = 323,8m. Z PRR =323,8-0,225=323,575m.

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PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PROBLEMA Nº 14. Acuerdo vertical. Puntos secuenciales Se pretende encajar un acuerdo vertical parabólico de tangentes iguales entre dos rasantes rectas. DATOS: Pentrada=1.21%

;

Psalida=-5.99%

Pk tangente de entrada= 0+197.008 Pk tangente de salida= 0+ 340.992 Cota tangente de salida = 627.682 m SE PIDE: Calcular las cotas de los puntos secuenciales cada 20 metros desde el Pk 0+180 hasta el final del acuerdo. Las cotas de los Pks 0+280 y 0+320 se obtendrán a partir de la tangente de entrada y a partir de la tangente de salida RESOLUCIÓN: Longitud del acuerdo = 143.984 m T=71.992 m Cota del vértice = 631.9943 m Cota tangente de entrada = 631.123 m Pk vértice=0+269 El Pk 0+200 se encuentra a 2.992 m del comienzo del acuerdo

∆Z 0+ 200 =

X 02+ 200 =0.00224 2 Kv

Cota rasante recta del Pk 0+200

Crc0+200= 631.159

Cota rasante curva del Pk 0+200

Crc0+200= 631.1569

Cota rasante curva del Pk 0+280

Crc0+280= 630.4053

Se repite para el resto de puntos. ¡OJO! Cuando se sobrepasa el vértice, es decir a partir del Pk 280 hasta el Pk 340 el cálculo se puede realizar desde la tangente de entrada o desde la tangente de salida. El cálculo desde la tangente de entrada se obtendrá de la misma forma que los Pks anteriores utilizando como X del Pk la distancia a al tangente de entrada y como pendiente para el cálculo de la cota en rasante recta la pendiente de entrada. Si calculamos la cota del Pk desde la tangente de salida utilizaremos como X del Pk la distancia a la tangente de salida y como pendiente para el cálculo de la cota en rasante recta la pendiente de salida. Ver resultados en el perfil longitudinal:

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PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PROBLEMA Nº 15. Acuerdo vertical. Punto de obligado paso

Se pretende encajar un acuerdo vertical parabólico de tangentes iguales entre dos rasantes rectas. Este acuerdo vertical corresponde a la parte superior del tablero de un puente, cuyo espesor es de 80cm. La rasante AV tiene una pendiente del –1% y la rasante VB tiene una pendiente del –3.5%. El acuerdo vertical parabólico tiene un punto de paso obligado que se encuentra a un gálibo de 5m por encima de un punto del terreno cuya posición es (PK 1+500 y una cota de Z=124m)

Datos conocidos: -

Espesor del tablero del puente = 0.80m

-

P1= -1%; P2=-3.5%

-

Punto de paso obligado del terreno (1+500; 124m)

-

Gálibo=5m

-

Posición de V (1+480; 133m)

Calcular: Los elementos que definen el acuerdo vertical y las posiciones de los puntos de tangencia.

RESOLUCIÓN: L = Kv ⋅ θ

θ = 0.025

2T = 0.025 Kv

Cálculo a partir de la tangente de salida

2)

T = X 1+1500 + 20

 T = 0.0125Kv

 X P =0.0125Kv-20

Crr1+500= 133-(20 *3.5)= 132.30 m Crc1+500= Cota terreno + 5 m de gálibo + 0.80 m del espesor tablero

Crc1+500= 124+5+0.8 = 129.80 m ∆Z = 132.30-129.80 =2.5 m

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PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

∆Z =2.5 m

∆Z =

X 1+2 1500  2 Kv

∆Z ⋅ 2 Kv = X 2



2.5*2 Kv = (0.0125Kv-20)2

5Kv = 0.000156Kv2-2*0.0125Kv*20 + 400 5Kv = 0.000156Kv2-0.5Kv + 400

0 = 0.000156Kv2-5.5Kv + 400

α = 35127,1



L = 878.18 m

β = 72,878



L =1.821 m Con esta L el punto de obligado paso quedaría fuera del acuerdo

Por tanto

L = 878.18 m T = 439.09 m Te (1040.91 ; 137.391) Ts (1919.09 ; 117.632)

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PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PROBLEMA Nº 16. Acuerdo vertical. Punto de obligado paso. Pendiente de un punto

Se pretende encajar un acuerdo vertical parabólico de tangentes iguales entre dos rasantes rectas.

El acuerdo vertical parabólico tiene un punto de obligado paso

Datos conocidos: Punto de la primera rasante A(300;604) Punto de la segunda rasante B(610;606) Vértice (450;610) Punto de paso obligado del acuerdo vertical P(400; 607,20)

Calcular: a) Los elementos que definen el acuerdo vertical b) Puntos de tangencia. c) Cota y pendiente de un punto Q que dista del origen 500 m d) Punto de pendiente nula*

*(En acuerdos con rasantes de distinto signo se corresponde con el punto de mayor o menor cota del acuerdo)

RESOLUCIÓN:

Cálculo de las pendientes de las rasantes

6 −604 P1 = 610 450−300 = 150 = 0,04

θ = 0,04 − (−0,025) = 0,065 = 6,5%

−606 4 P2 = 610 450−610 = −160 = −0,025

Cálculo DZp

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PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

CrrP= Cota A+ P1*DPA= (604+0,04*(400-300)=608 m

∆Z P = 608-607,20=0,8 m CrcP= 607,20 m

∆Z P =0,8 m 2

X ∆Z P = P 2 Kv



∆Z P ⋅ 2 Kv = X 2 P

0,8*2 Kv = X2p

L = Kv ⋅ θ  2T = 0.065 Kv T = 0.0325Kv

0,8*2 Kv=(0,0325 Kv-50)2 XP= 0,0325Kv-50

P ) T = X P + 50 (T=XP+ D VORIGEN - D ORIGEN

1,6Kv= 0,00105625 Kv2-2*0,0325 Kv*50+502

1,6Kv= 0,00105625 Kv2-3,25 Kv+2500

0 = 0.00105625Kv2-4,85Kv +2500

Kv = 4000m 

L = 260 m.

Kv = 591.716m  L =38,462 m. Con esta L el punto de obligado paso quedaría fuera del acuerdo

Por tanto

a)

L = 260 m T = 130 m

b)

Te (320 ; 604,8) Ts (580; 606,75)

C) Cálculo a partir de la tangente de entrada:

61

PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Un punto con Dorigen = a 500m dista de Te 180,04 m por tanto

∆Z Q =

XQ

2

∆Z Q =

2 Kv

180 2 2 * 4000

∆Z Q = 4.05m

CrrQ= Cota Te+ P1*DTeQ = 604,799 +(0,04*180)= 612,000 m

CrcQ= CrrQ-DZQ=607,95 m

Cálculo a partir de la tangente de salida:

Un punto con Dorigen= a 500m dista de Ts 80 m por tanto

∆Z Q =

XQ

2

80 2 ∆Z Q = 2 * 4000

2 Kv

∆Z Q = 0,80m

Q

CrrQ= Cota Te+ P2*DTs = 606.749+(0,025*80)= 608.75 m.

CrcQ= CrrQ-DZQ= 607,95 m.

Q (500 ; 607,95)

d) Cálculo de la pendiente de un punto L = Kv ⋅ θ (diferencia de pendientes)para el punto Q X Q = Kv ⋅ θ Q  θ Q =

XQ Kv

La pendiente en el punto Q será la pendiente inicial, menos (por ser un acuerdo convexo en el que se pasa de pendiente P1 positiva a P2 negativa) el giro de pendientes producido desde el comienzo del acuerdo hasta la posición del móvil en ese punto.

PQ = P1 −

XQ Kv

 PQ = 0,04 −

180.04 4001.11

 PQ = −0,005 =-0,5%.

En el punto Q ya se ha sobrepasado el punto de curvatura nula

62

PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Cálculo del punto con pendiente nula L punto del acuerdo estudiado con cota máxima Cálculo a partir de la tangente de entrada:

Pnulo = 0 = P1 −

X nulo Kv

 X nulo = P1 Kv  X nulo = 0.04 * 4000 = 160m.

X nulo = 160m ∆Z nulo =

160 2 ∆Z nulo = 3,20m 2 * 4000

Crr0= Cota Te+ P1*DTe0 = 604,799 +(0,04*160.044)= 611,2007 m Crc0= Crr0-DZ0=608,000 m

Por tanto

Punto de P nula (480; 608)

63

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PROBLEMA Nº 16. Acuerdo vertical

Dado el trazado en Alzado del proyecto de una Vía Férrea, del cual se conoce: Algunos datos del perfil longitudinal correspondiente a un tramo que se pretende estudiar compuesto por dos acuerdos verticales de tangentes iguales. Ver croquis adjunto.

Se pide: 1. Calcular los elementos que definen los dos acuerdos verticales y completar las casillas vacías de los PK que están dentro de los acuerdos verticales.

ALTIMETRIA

ACUERDO 1:

P1= 0.331% P2= -2.5% θ= 2.831%= 0.02831

64

PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

COTA DE V DESDE PK1+200 44.558+(37*0.00331)=44.68m

COTA DE V DESDE PK1+300 43.105+(63*0.025)=44.68m

Pk1+220 :

Cota rasante recta : 44.558+(20*0.00331)=44.6242m Cota rasante curva : 44.556m

YRr-Rc = 0.0682= (X1+220)2 / 2*KV ; KV= (X1+220)2 / 0.1364

Pk1+260 :

Cota rasante recta desde Pk1+200 : 44.558+(60*0.00331)=44.7566m YRr-Rc = 0.6826= (X1+260)2 / 2*KV ; KV= (X1+260)2 / 1.3652 = (X1+260+40)2 /1.3652

X2 = 0.1364*(X2+402+80*X) / 1.3652 0.0999*X2 + 159.8594 + 7.993*X = X2 0.9*X – 7.993*X – 159.8594 ≠ 0

X1+220 = 18.4883

T= X1+220 + 17=35.4883 L= 70.9766 KV= 2507.12 ≅ 2500 (consecuencia del redondeo en las cotas de rasante)

Pk1+240 : Cota rasante recta desde Pk1+220 : 44.558+(40*0.00331)=44.6904m Cota rasante curva: Y= X2 / 2*KV

TE=Pk1+201.5117

Y= 38.48832 /2*2500 = 0.2962

CRc = 44.3946m = 44.395m

65

PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Y= 38.48832 /2*2507.12 = 0.2954

CRc = 44.3937m = 44.394m

Pk1+280 : se encuentra en rasante recta Pk TS = 1272.4883 Cota rasante recta Pk1+280 : 43.105+(20*0.025)=43.605m

ACUERDO 2:

66

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PROBLEMA Nº 17. Acuerdo vertical .Intersección de calles

Definidas dos calles con distinta anchura, se pide dar solución geométrica al trazado en alzado en la zona de la intersección. Respecto a la Avda. Diputación: -

El ancho total es de 25m, está definida por la sección tipo.

-

Consta de una rasante recta que pasa por los puntos A y B.

-

El punto “A” pertenece al eje de la calle y la rasante pasa a 0.20m. por debajo de este punto.

-

El punto “B” también pertenece al eje y la rasante coincide con la cota del terreno en este punto. ZB= 10.10m.

Respecto a la C/. Marines: -

El ancho total es de 15m., está definida por la sección tipo.

-

Forma un ángulo respecto a la Avda. Diputación de 76.0604 g.

-

Consta de dos rasantes rectas, cuyo vértice es el punto de intersección de las dos calles.

-

El punto “C” se encuentra donde acaba la acera. A partir de este punto hay que hallar el eje de la C/. Marines en función de la sección tipo que se adjunta.

Calculad: 1. El punto de intersección en planta de ambas calles 2. Las coordenadas del punto “C” referidas al eje de la calle Marines (C’) 3. La pendiente del tramo de la C/. Marines que falta por definir hasta el punto de intersección. 4. La cota de final de acera que le correspondería a la parte izqda. del punto “A” según la sección tipo que se adjunta (A’). 5. Las coordenadas en planta de la tangente de entrada y salida de un acuerdo vertical a encajar en la calle Marines. El acuerdo vertical es de tangentes iguales, cuya tangente de salida se encuentra en el eje y enfrente de la tangente de salida de la fachada de la curva “2”. 6. Las cotas rojas de dos puntos situados en la calle Marines, a 6m. a ambos lados del punto de intersección (m1 y m2) 7. Lecturas de mira para el replanteo de los 2 puntos del apartado anterior.

67

PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Datos: A( 1000; 1000; 10)

B( 1060; 1000;

)

C (final de acera) ( 1020; 980; 9.50) P3 (pendiente) = -1.03 % VR-1 (1020; 1040; 12 ) Plano de comparación = 13.50m.

1) Punto intersección I

XI = 1035,960m D AB = 35,96m

YI = 1000,000m ZI =

9,9798m



Pendiente AB =

10,10 − 9,80 = 0,5% 60

ZI = 9,8 + (0,005*35,96)= 9,9798m 2) Coordenadas de C’

68

PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

XC = 1020m

XC’= 1026,976m

YC =

980m

YC’= 977,246m

ZC =

9,50m

ZC’ =

9,43m (9,50 – 0,04 – 0,03)

θ CC ' = 123,9396 g DCC ' = 7,50

3)

PendienteCI ' = 0,0225

D = 24,463 m I C'

∆Z CI ' = 9,9798 − 9,43 = 0,55 m

24,463m → 0,55m I  → x = PC ' = 2,25% 100m → x 

4) Cota A’ = Cota A -0,06 + (2,5*0,02) = 9,79m Cota A’= 9,79 m 5)

(27.5*sen 23.9396)

10,099

7,5

Ts

B

12,5

32,5

R2 0

45,7 99

(42. 599

/sen

76.0 604 )

27,5

TCurva circular = R*tan ( α /2) = 29.399 Tacuerdo = 45.799 (ver dibujo)

69

PROBLEMAS ACUERDOS VERTICALES Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

TS = (1052.779 ; 1042.599) TE = (1019.141 ; 957.401)

(9.508) Ts

V (9.9798)

3 -0.010

m2

m1

-0.0 225

45.799

Te

(8.949)

6) Zv = 9.9798 ZTe = 9.9798 – (45.799*0.0225) =8.949 ZTs = 9.9798 – (45.799*0.0103) =9.508

θ= 0.0103+0.0225 =0.0328 Kv 2T/θ Kv =2792.622 Xm1 = 45.799-6 = 39.799

Ym1 = X2m1/2Kv = 0.2836 Ym1 = 0.2836 CRRm1= 9.9798 –(6*0.0225) =9.8448 ; CRCm1= CRRm1 -Y m1 =9.561

CRRm2= 9.9798 –(6*0.0103) =9.918 ; CRCm2= CRRm2 -Y m1 = 9.634

7)

Lectura m1 = Plano comparación (13.50) - CRCm1 ⇒ Lectura m1 = 3.939 Lectura m2 = Plano comparación (13.50) - CRCm2 ⇒ Lectura m2 = 3.866

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TRANSICIÓN AL PERALTE

TRANSICIÓN AL PERALTE

PROBLEMAS TRANSICIÓN AL PERALTE Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PROBLEMA Nº 18. Transición al peralte En un tramo de carretera, perteneciente al grupo 2 de la I.C., se pasa de una alineación recta a una curva circular con giro a izquierdas mediante una curva de transición de L=63m.

Datos conocidos: -

Cota de la rasante en el punto de comienzo de la curva de transición = 98.37m

-

Pendiente longitudinal del tramo de la recta a la curva = -3%

-

La calzada tiene una anchura de 7m y una pendiente transversal única del 2% con sentido contrario al peralte.

-

Peralte máximo del 7%

-

La transición al peralte se realiza girando alrededor del eje.

Calcular y dibujar: -

1º) La transición al peralte.

-

2º) La sección transversal de un punto del eje que se encuentra en la curva de transición y dista 37m del punto de comienzo de dicha curva.

-

3º) Representar el diagrama de peraltes correspondiente.

RESOLUCIÓN:

Variación del peralte por metro =

7% = 0.1111% 63

La variación del 2% de peralte desde la Te de la clotoide la alcanzo a los 18 m (X m *0.11% = 2%) por lo tanto si se cumple la exigencia de las carreteras del grupo 2 de la I.C. de alcanzar el 2% de peralte a una distancia máxima de 20 m desde el inicio de la transición en planta.

En consecuencia el desvanecimiento del bombeo también lo efectuaré en 18 m

La cota de la rasante en la TE es 98.37 m Como la pendiente longitudinal es de un -3% en 18 m el incremento es - 0.54 m

(A) P-1 Cota de la rasante en el eje 98.91

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PROBLEMAS TRANSICIÓN AL PERALTE Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Cota B.I.= Cota eje + 2% *3.5 Cota B.D.= Cota eje - 2% *3.5 B.D. 7%

Cota B.I.= 98.98 m Cota B.D.= 98.84 m B.I.

11

4.1

(TE) P-2 Comienzo de la transición Cota de la rasante en el eje 98.37

%

B.D.

B.I. 2%

B.D.

Cota B.I.=Cota B.D.= 98.37 m B.I.

(B) P-3

Cota de la rasante en el eje 97.83

B.D.

B.I.

7m

Cota B.I.= Cota eje - 2% *3.5 Cota B.D.= Cota eje + 2% *3.5 B.I.

Cota B.I.= 97.76 m Cota B.D.= 97.90 m

B.D.

P-37

Cota de la rasante en el eje =98.37 –(0.03*37)= 97.26 Cota B.I.= Cota eje - 4.111% *3.5 Cota B.D.= Cota eje + 4.111% *3.5

Cota B.I.= 97.116 m Cota B.D.= 97.404 m

(TS) P-4 Cota de la rasante en el eje =98.37 –(0.03*63) = 96.48 m

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PROBLEMAS TRANSICIÓN AL PERALTE Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Cota B.I.= Cota eje - 7% *3.5 Cota B.D.= Cota eje + 7% *3.5

Cota B.I.= 96.235 m Cota B.D.= 96.725 m

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PROBLEMAS TRANSICIÓN AL PERALTE Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

PROBLEMA Nº 19. Transición al peralte

En un tramo de carretera perteneciente al grupo 2 de la I.C. se pasa de una alineación recta a una curva circular con giro a izquierdas mediante una curva de transición de R= 350 y A= 200. Datos: Ancho de la plataforma= 7m Bombeo = 2% Peralte máximo =l 7% La pendiente longitudinales el eje es del 2.8% en sentido de avance Longitud del tramo recto= 800 El inicio del tramo recto se corresponde con el PK 3+000 y su cota en el eje es igual a 100 m Se pide: - Calcular y dibujarla transición al peralte: Calcular y dibujar las secciones transversales en los Pks P k 3+792, P k 3+814 y P k 3+850

CURVA CIRCULAR

CLOTOIDE RECTA = 800 m

Averiguamos cuando se produce el peralte del 2% :

A= 200 → A partir de estos datos obtenemos estos valores L= 114.2857

ι= 1.3938

R= 350 →

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PROBLEMAS TRANSICIÓN AL PERALTE Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

114.2857

→

7%

X

→

2%

X= 32.653 m

Según I.C. como máximo se ha de producir a los 20m, luego forzamos para que se produzca un incremento del 2% en los 20m ( puesto que es el grupo 2.).

2%

2%

PK 780

2%

0%

PK 800 PK 820

2%

7% PK 3 + 780

Zeje = 100+ ∆Z

2%

2%

0.02 * 3.5 = 0.07

ZBI = ZBE =

Zeje -0.07 = 100 +21,84-0.07=121.77m

PK 3 + 800

Zeje = 100 +

∆Z

2%

0%

∆Z = 800 * 0.028 = 122.4 m ZBI

= Zeje - 0.07 = 122.33 m

PK 3 + 792

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PROBLEMAS TRANSICIÓN AL PERALTE Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

ZEJE = 100 + (792 * 0.028 ) = 122.176m

20m → 2%  → x = 0,8% 8m → x 

0.02 – 0.012 = 0.08 = 0.8% = P %

0.08 * 3.5 = 0.028 m = ∆Z

ZBI = ZEJE -0.07 = 122.106 m

ZBD = ZEJE -0.028 = 122.148 m

PK 3 + 814

20m → 2%  → x = 1,4% 14m → x 

ZEJE =ZPK3+800 + 0,028*14=122,792m

ZBI =ZEJE - 0,02 *3,5=122,722m

ZBD = ZEJE +0,014*3,5=122,841m

PK 3 + 850

114.2857 -20 = 94.2857 94,2857 m → 5%  → x = 1,59% 30m → x  En PK 3 + 820 → 2 %, luego : 0.02 +0.01591 = 0.0359 = 3.59 % = P %

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PROBLEMAS TRANSICIÓN AL PERALTE Autores: Ricardo López Albiñana - Luis Blanch Puertes

Zeje = 100 + ( 850 * 0.028 ) = 125.8m

ZB − I = Zeje - ΔZ = 123.6744m

ZBE = Zeje + 0.1256 = 123.9256m

+7%

M.D.

+2%

EJE -2%

-2%

-2%

+7%

20 m

20 m

M.I.

94,29 m

Recta TE cl

TE cc

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