Profr. Efraín Soto Apolinar.

Problemas geométricos y algebraicos Aquí empezamos a estudiar los conceptos que más vamos a utilizar en los cursos de matemáticas. Los temas de esta unidad son los conceptos de álgebra que no debes olvidar.

Reglas de los exponentes En el álgebra, uno de los temas que más utilizaremos para simplificar expresiones algebraicas son las reglas de los exponentes. Leyes de los exponentes Ejemplo

Ley

(i) x5 · x3 = x5+3 = x8

(i) am · an = am+n (ii)

am = am−n an

(ii)

q9 = q 9−4 = q 5 q4

(iii)

1 = a−m am

(iii)

1 = r −5 r5

(iv) a0 = 1

( a 6 = 0)

(iv) 190 = 1

(v) ( am )n = am·n

(v) (m3 )5 = m3·5 = m15

(vi) ( a · b)m = am · bm (vii)

 a m b

=

Definición 1

(vi) (u · v)7 = u7 · v7  3 x3 x = 3 (vii) y y

am bm

¿Por qué x5 · x3 = x5+3 = x8 ? Primero debemos recordar qué significa x3 . El número 3 que está en el superíndice de la literal x nos indica que debemos multiplicar al número x por sí mismo 3 veces. De manera semejante, la expresión: x5 nos indica que debemos multiplicar el número x por sí mismo 5 veces. Entonces, al multiplicar: x5 · x3 = (|x ·{z x · x}) · (|x · x ·{z x · x · x}) 3 factores

5 factores

Y en total terminamos multiplicando 8 veces el número x, por eso debemos sumar los exponentes: x 5 · x 3 = x 5+3 = x 8 De manera semejante podemos justificar las demás leyes de los exponentes. Por ejemplo, si consideramos el ejemplo dado para la segunda ley, tenemos: q9 = q 9−4 = q 5 q4 lo que pasa es que en realidad tenemos: q9 = q · q · q · q · q · q · q · q · q | {z }

y también,

9 factores

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q4 = q · q · q · q | {z } 4 factores

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por eso: q9 q·q·q·q·q·q·q·q·q = q·q·q·q q4 De las 9 q’s que aparecen en el numerador de la fracción, 4 de esas se «cancelan» con las que aparecen en el denominador: q9 q4


q ·
q ·
q ·
q · q · q · q · q · q
q ·
q ·
q ·
q q·q·q·q·q 1 5 q

= = =

y por eso debemos restar los exponentes. Considera ahora el caso cuando tenemos: a4 a4

a 6= 0

En este caso, si aplicamos la segunda ley de los exponentes, obtenemos: a4 = a 4−4 = a 0 a4 Pero si a 6= 0, debemos poder hacer la división. Por ejemplo, supongamos que a = 2. Entonces, a4 = 24 = 16. Y al sustituir este valor en la expresión anterior obtenemos: a4 24 16 = = = 1 = a0 4 4 16 a 2 Esta es la cuarta ley de los exponentes1 . Para deducir la tercera ley de los exponentes, consideramos el caso cuando el exponente del denominador es mayor que el exponente del numerador. Por ejemplo: a4 = a 4−9 = a −5 a9 Pero si desarrollamos la expresión de acuerdo a la definición de potencia (como multiplicaciones abreviadas), obtenemos: a4 a9

= =

1·a·a·a·a a·a·a·a·a·a·a·a·a 1 ·
a ·
a ·
a ·
a a · a · }a
a ·
a ·
a ·
a · |a · a ·{z 5 factores

= =

1 a·a·a·a·a 1 a5

Pero ambos resultados son equivalentes. Es decir, 1 = a −5 a5 1 Por

la propiedad de transitividad de la igualdad, 1 = a0

⇒

a0 = 1.

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Así hemos obtenido la tercera ley de los exponentes. Debes observar que en realidad, la cuarta ley es un caso especial de la tercera ley de los exponentes. Para justificar la quinta ley de los exponentes, basta aplicar la primera ley de los exponentes varias veces. Por ejemplo, en el siguiente caso: 

x4

3

= x4 · x4 · x4

Y ahora podemos aplicar la primera ley de los exponentes que nos dice: «cuando dos factores tengan la misma base, suma los exponentes para encontrar el resultado». En este caso debemos sumar: 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12. Observa que se repite el sumando 4 un total de 3 veces. Por eso podemos multiplicar los exponentes al aplicar la segunda ley:  3 x4 = x4 · x4 · x4 = x (3)(4) = x12 Las siguientes (y últimas) dos leyes son muy sencillas de justificar. Para esto simplemente aplicamos la definición de potencia. Por ejemplo,

(5 a)3 = (5 a) · (5 a) · (5 a) = 5 · 5 · 5 · a · a · a = 53 · a3 De manera semejante, para la última ley, tenemos:  3       5 5 5 5·5·5 53 5 = · · = = 3 a a a a a·a·a a Muchas de las expresiones más complejas y difíciles que te puedes imaginar, pueden fácilmente simplificarse a través de las reglas de los exponentes y otras herramientas algebraicas que aprenderemos más adelante. No importa qué tan compleja se vea una expresión, es casi seguro que hay alguna forma de expresarla de una manera equivalente, pero mucho más sencilla. El procedimiento que se utiliza en esas expresiones muy complejas es exactamente el mismo que se utiliza con los ejemplos que se dan en la definición. Evidentemente, algunas veces tendremos que aplicar varias reglas de los exponentes simultáneamente, o algunas otras propiedades de las expresiones algebraicas. Simplifica: 

t5 r 3 s7

2

Ejemplo 1

=

• En este caso, basta aplicar la ley (v) de los exponentes:  2 t5 r 3 s7 = t 5·2 r 3·2 s 7·2

= t10 r6 s14

Simplifica: x 2 y5 = x3 y

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Ejemplo 2

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• Empezamos aplicando la ley (ii) de los exponentes: x 2 y5 x3 y

= x 2−3 y 5−1 = x −1 y 4 y4 x

=

En el álgebra, como en cualquier otra cosa, aprendes mejor las reglas mientras más las practiques. Así que la recomendación es que trates de justificar cada paso de la solución de cada ejemplo para que comprendas por qué se realiza de esa manera. Es muy recomendable que resuelvas todos los ejercicios de tarea que se incluyen al final de cada tema para que adquieras destreza en la resolución de los mismos. Simplifica: m −1 n 5 w 6 = m 7 n −6 w

Ejemplo 3

• En este caso empezamos convirtiendo todos los exponentes negativos en positivos, aplicando la ley (iii): m −1 n 5 w 6 m 7 n −6 w

n5 w6 n6 m7 w m n 5+6 w 6−1 m 7+1 11 n w5 m8

= = =

Simplifica: a4 b7 c12 a7 b5 c8

Ejemplo 4

!3

=

• En este caso, tenemos que aplicar simultáneamente varias leyes. • Empezamos simplificando la fracción que está dentro de los paréntesis: a4 b7 c12 a7 b5 c8

!3

=



a4−7 b7−5 c12−8

=



a −3 b 2 c 4

3

3

• Ahora expresamos todos los exponentes negativos como positivos aplicando la ley (iii): 

a

−3 2 4

b c

3

=

b2 c4 a3

!3

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• Finalmente, vamos a aplicar las leyes (v) y (vii) !3 b 2·3 c 4·3 b6 c12 b2 c4 = = 3 3 · 3 a a a9 • Entonces, a4 b7 c12 a7 b5 c8

!3

=

b6 c12 a9

¿Observas qué diferente se ven las dos expresiones, a pesar de que se trata de la misma? Simplifica: x 5 y7 z2

!

z7 x 3 y4

! Ejemplo 5

• Primero debemos multiplicar ambos factores y después simplificamos, aplicando las leyes de los exponentes en ambos casos:    ! ! 5 y7 7 x3 7 3 5 7 x z z x x y

= z2 y4 z2 y4 x 5+3 y 7 · z 7 z2 · y4

=

= x 8 y 7−4 z 7−2 = x 8 y3 z5 • Entonces, x 5 y7 z2

!

z7 x 3 y4

!

= x 8 y3 z5

• Identifica qué ley de los exponentes se aplicó en cada caso.

Algunas veces se requerirá aplicar la ley distributiva, como en el siguiente caso: Desarrolla el siguiente producto:   7 x3 · 3 x2 + 5 x5

Ejemplo 6

• Primero recordamos la ley distributiva para los números reales: a · (b + c) = a · b + a · c • Ahora aplicamos esta misma ley a la expresión que queremos desarrollar:         7 x3 · 3 x2 + 5 x5 = 7 x3 3 x2 + 7 x3 5 x5

= 21 x3+2 + 35 x3+5 = 21 x5 + 35 x8 www.aprendematematicas.org.mx

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• Observa que empezamos multiplicando los números conocidos y después multiplicamos las literales, aplicando las leyes de los exponentes. • Entonces, al desarrollar, obtenemos:   7 x3 · 3 x2 + 5 x5 = 21 x5 + 35 x8 Las leyes de los exponentes pueden generalizarse para incluir también a los radicales. El siguiente ejemplo sugiere esta generalización. Considerando que:

√ √ 4× 4 = 4 √ √ 9× 9 = 9 √ √ 25 × 25 = 25

Ejemplo 7

Justifica por qué

√

x = x1/2

• Dados los ejemplos, sabemos que si multiplicamos √ • Ahora suponemos que x = x k .

√

x·

√

x=x

• Lo que deseamos determinar es el valor de k. • Para eso, vamos a utilizar las leyes de los exponentes. • En particular, usaremos la primera ley de los exponentes: √ √ x · x = x k · x k = x k+k = x2 k √ √ • Pero ya sabemos que x · x = x1 , entonces, x2 k = x1 • Y para que se cumpla la igualdad se requiere que 2 k = 1. • Esta última igualdad nos dice: «pensé un número, lo multipliqué por 2 y obtuve como resultado 1. ¿Qué número pensé?» • Obviamente pensó

• y

√

1 . Entonces, 2

x2 k = x2×0.5 = x1

x = x1/2 , supuesto que sea posible calcular la raíz del número x.

Entonces, podemos considerar a los radicales como exponentes fraccionarios. √ √ También podemos utilizar el procedimiento anterior para mostrar que 3 x = x1/3 , 4 x = x1/4 , etc. Y como los radicales son exponentes, podemos aplicarles las leyes de los exponentes. En otras palabras, las leyes de los exponentes también se aplican a los radicales. Ejemplo 8

Simplifica la siguiente expresión: q 4

x8 y12 z20

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• Para empezar, ya sabemos que

√ 4

a = a1/4 .

• Entonces, en lugar de escribir el signo de radical, podemos escribir en su lugar el exponente 1/4. q  1/4 4 x8 y12 z20 = x8 y12 z20 • Ahora podemos aplicar las leyes (v) y (vi) de los exponentes: 

x8 y12 z20

1/4

= x8/4 y12/4 z20/4 = x 2 y3 z5

• Entonces, al simplificar, obtenemos: q 4

x8 y12 z20 = x2 y3 z5

Simplifica: s 3

m4 n7 w11 w2 n4 m

Ejemplo 9

• De nuevo, empezamos convirtiendo el signo radical en un exponente fraccionario: s !1/3 4 7 11 m4 n7 w11 3 m n w = w2 n4 m w2 n4 m • Ahora podemos aplicar las leyes de los exponentes. • Empezamos simplificando lo que está dentro de los paréntesis: m4 n7 w11 w2 n4 m

!1/3

=



m4−1 n7−4 w11−2

=



m3 n3 w9

1/3

1/3

• Y finalmente podemos aplicar las leyes (v) y (vi) de los exponentes: 

m3 n3 w9

1/3

= m3/3 n3/3 w9/3 = m1 n1 w3 = m n w3

• Por tanto, s 3

m4 n7 w11 = m n w3 w2 n4 m

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Pero no siempre tendremos una solución así, de forma que todos los factores queden sin signo de radical. Algunas veces tendremos en el resultado signos de radical. Esto ocurrirá cuando uno de los exponentes del argumento del radical no sean múltiplos del índice del radical. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos. Simplifica:

√ 4

Ejemplo 10

u7 v6 w11

• Empezamos escribiendo el signo de radical como un exponente fraccionario:

√ 4

 1/4 u7 v6 w11 = u7 v6 w11

• Ahora aplicamos las leyes de los exponentes: u7/4 v6/4 w11/4 • Lo único que podemos hacer es expresar las fracciones impropias (las que tienen un cociente mayor a 1), que aparecen en los exponentes como suma de un entero más una fracción propia (con cociente menor a 1). • Por ejemplo, la fracción: 4 3 3 7 = + = 1+ 4 4 4 4 • Lo que nos permite escribir: u7/4 = u1+(3/4) = u1 · u3/4 • Ahora aplicamos este principio a todos los factores del resultado: u7/4 v6/4 w11/4

= u1 · u3/4 · v1 · v2/4 · w2 · w3/4 = u · u3/4 · v · v2/4 · w2 · w3/4 = u v w2 · u3/4 · v2/4 · w3/4

• Pero ya sabemos que un exponente fraccionario en realidad representa un radical, con lo que podemos reescribir la expresión de una manera equivalente como sigue: √ 4 u v w2 · u3/4 · v2/4 · w3/4 = u v w2 · u3 · v2 · w3 • Entonces,

√ 4

u7 v6 w11 = u v w2 ·

√ 4

u3 · v2 · w3

• O de manera semejante, sin escribir radicales en el resultado: √ 4 u7 v6 w11 = u v w2 · u3/4 · v2/4 · w3/4

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Créditos Albert Einstein

Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 22 de agosto de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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