p´agina 1

NUMEROS ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES Eugenio P. Balanzario. Julio, 2003. Instituto de Matem´aticas, UNAM-Morelia. Apartado Postal 61-3 (Xangari). 58089, Morelia Michoac´an, MEXICO. e-mail address: [email protected]. §1. Introducci´ on. Este trabajo est´a dedicado a los n´ umeros algebraicos√y trascendentes. Despu´es de revisar las pruebas de que n´ umeros como 2, π y ζ(3) son irracionales, vamos a enfocar nuestra atenci´on a demostrar la trascendencia de n´ umeros como el n´ umero e de Euler. Mencionaremos tambi´en sin demostraci´on un profundo teorema de K.F. Roth sobre las aproximaciones a n´ umeros algebraicos mediante n´ umeros racionales. Aplicaremos el Teorema de Roth al estudio de una clase de ecuaciones diofantinas. §2. N´ umeros Irracionales. Definici´ on 1. Un n´ umero irracional es un n´ umero real que no es de la forma a/b para algunos enteros a y b 6= 0. El siguiente resultado era conocido ya en tiempos de Pit´agoras (570-490 A.C.). Teorema 2. El n´ umero

√

2 es irracional.

Demostraci´ on. Supongamos lo contrario. Entonces existen dos enteros positivos a, b tales que (3)

√

2 =

a , b

o bi´en,

2b2 = a2 ,

y adem´as a, b no tienen ning´ un factor primo en com´ un: (a, b) = 1. La ecuaci´on (3) muestra que 2|a2 y por lo tanto 2|a. Escribiendo a = 2α obtenemos que b2 = 2α2 . Pero esta ecuaci´on muestra que 2|b. Por lo tanto (a, b) ≥ 2, lo cual contradice que (a, b) = 1.

p´agina 2 Ejercicio 4. Demuestre que toda soluci´on real de la ecuaci´on xm + cm−1 xm−1 + · · · + c0 = 0,

con

cj ∈ Z,

es un n´ umero entero o bien un n´ umero irracional. √ Ejercicio 5. Pruebe que m n es irracional siempre que n no sea una m-´esima potencia de un entero. √ √ Ejercicio 6. Pruebe que 2 + 3 es irracional. Sugerencia. Considere el polinomio x4 − 10x2 + 1. El hecho de que π es un n´ umero irracional fue demostrado por primera vez en 1770 por J.H. Lambert. La demostraci´on que se presenta aqu´ı se debe a I. Niven. Teorema 7 (Lambert). El n´ umero π es irracional. Demostraci´ on (Niven). Supongamos lo contrario. Entonces existen enteros positivos a, b tales que π = a/b. Sea xn (a − bx)n f (x) = n! ¢ 1¡ = a0 xn + a1 xn+1 + · · · + an x2n , n! en donde claramente los coeficientes a0 , a1 . . . , an son n´ umeros enteros. Definamos tambi´en la funci´on F (x) = f (x) − f 00 (x) + f (iv) (x) − · · · + (−1)n f (2n) (x) en donde el entero n queda como un par´ametro libre cuyo valor se determinar´a m´as adelante. Es claro que f (0) = f 0 (0) = · · · = f (n−1) (0) = 0. Si n ≤ k ≤ 2n, entonces tambi´en se cumple que n

f

(k)

1 X (x) = (n + `)(n + ` − 1) · · · (n + ` − k + 1) a` xn+`−k n! `=0 n

1 X (n + `)! = a` xn+`−k . n! (n + ` − k)! `=0

p´agina 3 Por lo tanto f (k) (0) =

1 · k! ak−n . n!

Vemos pues que para 0 ≤ j ≤ 2n cada uno de los n´ umeros f (j) (0) son enteros: f (j) (0) ∈ Z. Puesto que f (x) = f (π − x) entonces tanto F (0) como F (π) son n´ umeros enteros. Por otro lado ª © ª d © 0 F (x) sen x − F (x) cos x = F 00 (x) + F (x) sen x = f (x) sen x. dx Por lo tanto Zπ

h iπ f (x) sen x dx = F 0 (x) sen x − F (x) cos x = F (π) + F (0) 0

0

es un n´ umero entero. Pero para 0 < x < π 0 < f (x) sen x <

π n an →0 n!

cuando

n → ∞.

Se deduce entonces que la integral anterior es positiva pero menor que 1/2 siempre que n sea suficientemente grande. Esto contradice que F (π)+F (0) sea un entero y por lo tanto π es irracional. §3. La Irracionalidad ζ(3). Para cada x > 1, se escribe ζ(x) =

∞ X 1 . x n n=1

En 1734, L. Euler pudo evaluar ζ(2n), para cada n ∈ N, en t´erminos de potencias de π. El siguiente resultado aporta informaci´on sobre la naturaleza aritm´etica de ζ(3). Teorema 8 (Apery). El n´ umero ζ(3) es irracional. Demostraci´ on (Beukers). Sea pn (x) =

1 dn n x (1 − x)n . n n! dx

p´agina 4 Entonces pn (x) es un polinomio de grado n con coeficientes enteros. Afirmaci´ on 10. La integral Z1 Z1 (11) 0 0

pn (x)pn (y) log(xy) dx dy 1 − xy

es una combinaci´ on lineal, con coeficientes enteros, de expresiones de la forma j X 1 ζ(3) − , 3 m m=1

j−k 1 X 1 , j − k m=1 (k + m)2

k−j 1 X 1 , k − j m=1 (j + m)2

con j, k = 0, 1, · · · , n. En efecto, la integral (11) es una combinaci´on lineal, con coeficientes enteros de expresiones de la forma Z1 Z1 (12) 0 0

xj y k log(xy) dx dy 1 − xy

± con j, k = 0, 1, · · · , n. Expresando 1 (1 − xy) como una serie geom´etrica, vemos que (12) es igual a (13)

∞ X

∞ X 1 1 − − . 2 2 (j + m + 1) (k + m + 1) (j + m + 1)(k + m + 1) m=0 m=0

Si j = k, esta suma se simplifica a −2

j X 1 1 = −2ζ(3) + 2 . 3 3 (j + m + 1) m m=0 m=1 ∞ X

Si j > k, entonces (13) es igual a j−k ∞ o 1 1 X 1 1 Xn 1 − = . 2 2 k − j m=0 (k + m + 1) (j + m + 1) k − j m=1 (k + m)2

El caso j < k es similar. Esto prueba la Afirmaci´on 10.

p´agina 5 Supongamos ahora que ζ(3) = a/b con a y b naturales. Sea n un n´ umero natural mayor que b. Entonces podemos escribir An = M3n

(14)

Z1 Z1 0 0

pn (x)pn (y) log(xy) dx dy 1 − xy

en donde An es un entero y Mn es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 1, 2, . . . , n. Puesto que Z1 dz log w = − 1−w 1 − (1 − w)z 0

entonces vemos que la integral en el lado derecho de (14) es igual a Z1 Z1 Z1 (15) 0 0 0

pn (x)pn (y) dx dy dz. 1 − (1 − xy)z

Integrando por partes con respecto a x, vemos que (15) es igual a Z1 Z1 Z1 0 0 0

xn y n z n (1 − x)n pn (y) ¡ ¢n+1 dx dy dz. 1 − (1 − xy)z

Con el cambio de variable z 7→ (1 − z)/(1 − wz), se cumple que Z1 0

z n dz = (1 − wz)n+1

Z1 ³ 0

1 − z ´n dz . 1−w 1 − wz

Con w = 1 − xy, la integral (15) se puede escribir como Z1 Z1 Z1 0 0 0

(1 − x)n (1 − z)n pn (y) dx dy dz. 1 − (1 − xy)z

Integrando por partes, ahora con respecto a y, se tiene que (15) es igual a Z1 Z1 Z1 n 0 0 0

xyz(1 − x)(1 − y)(1 − z) on dx dy dz . 1 − (1 − xy)z 1 − (1 − xy)z

p´agina 6 Esta u ´ltima integral es positiva y por lo tanto An es distinta de cero. Afirmaci´ on 16. Para cada x, y, z ∈ (0, 1) se cumple que ¡√ ¢4 xyz(1 − x)(1 − y)(1 − z) ≤ 2−1 . 1 − (1 − xy)z Afirmaci´ on 17. Para n grande, se cumple la desigualdad Mn ≤ 3n . Si las Afirmaciones 16 y 17 se cumplen, entonces tenemos que existe una constante K tal que n √ on ³ 4 ´n 4 ·K ≤ ·K < 1 0 < |An | ≤ 27( 2 − 1) 5 cuando n es suficientemente grande. Esto contradice el hecho de que An es un entero y por lo tanto ζ(3) es irracional. La prueba de la Afirmaci´on 16 se reduce a un ejercicio en el c´alculo diferencial de varias variables. Para probar la Afirmaci´on 17, usaremos el teorema de los n´ umeros primos: π(n) ± = 1 n→∞ n log n lim

en donde π(n) es el n´ umero de primos que no exceden a n. Entonces, se cumple que n log 3 π(n) ≤ log n para cada n suficientemente grande. Por lo tanto, Mn ≤ nπ(n) ≤ 3n . Esto termina de demostraci´on. §4. N´ umeros Trascendentes. Definici´ on 18. Un n´ umero complejo que satisface la ecuaci´on (19)

a0 + a1 x + · · · + an xn = 0,

an ∈ Z,

p´agina 7 se llama n´ umero algebraico. Un n´ umero que no es algebraico se llama trascendente. Por lo tanto un n´ umero trascendente no satisface ninguna ecuaci´on de la forma (9). En 1874 G. Cantor demostr´o la existencia de los n´ umeros trascendentes a partir del hecho de que el conjunto de todos los n´ umeros algebraicos tiene la misma cardinalidad que la del conjunto de los n´ umeros naturales, mientras que el conjunto de todos los n´ umeros reales no es numerable. De lo anterior se ve que casi todo n´ umero real es trascendente. Por otro lado, decidir si un n´ umero particular es o no trascendente es un problema m´as dif´ıcil. En 1844 J. Liouville construy´o ciertos n´ umeros trascendentes particulares (ver la secci´on §5). En 1873 Ch. Hermite pudo demostrar que el n´ umero e de Euler es trascendente. Un poco m´as adelante, en 1882, F. Lindemann demostr´o la trascendencia de π. Este resultado de Lindemann resolvi´o el problema de probar que no se puede construir un cuadrado cuya ´area sea la de un c´ırculo dado. La construci´on de dicho cuadrado se entiende en el sentido de que s´olo se permite usar regla y comp´as. Este es el famoso problema griego de la cuadratura de c´ırculo. §4. La Trascendencia de e. Teorema 20 (Hermite). El n´ umero e es trascendente. Demostraci´ on (Hilbert). Sea k un entero positivo. Integrando por partes se obtiene que Z∞ k −x

x e

h dx =

k −x

−x e

i∞ 0

Z∞ +k

Z∞ x

k−1 −x

e

0

0

de manera que si Ik :=

R∞

xk−1 e−x dx,

dx = k 0

xk e−x dx entonces

0

Ik = k·Ik−1 = k(k − 1)·Ik−2 = · · · = k!·I0 = k! Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros y con t´ermino constante p(0). Entonces, para m ≥ 0 Z∞ xm p(x) e−x dx ≡ p(0) m!,

(21) 0

mod (m + 1)!

p´agina 8 Por lo tanto la integral en (21) no es igual a cero si (m + 1) no divide a p(0). Supongamos ahora que e es algebraico. Entonces existen n´ umeros enteros a0 , . . . , an con a0 6= 0, tales que a0 + a1 e + · · · + an en = 0.

(22)

Sea r un n´ umero entero positivo. Sea Zc Ibc =

n or+1 e−x dx xr (x − 1)(x − 2) · · · (x − n)

b

con 0 ≤ b ≤ c ≤ ∞. Multiplicando (22) por I0∞ , obtenemos P1 + P2 = 0, en donde ( (23)

P1 = a0 I0∞ + a1 e I1∞ + · · · + an en In∞ + a1 e I01 + · · · + an en I0n

P2 =

Obtendremos una contradicci´on al mostrar que P1 /r! es un entero distinto de cero mientras que |P2 |/r! < 1 cuando r es suficientemente grande. Haciendo el cambio de variables y = x − k obtenemos Z∞ ak ek Ik∞ = ak k Z∞

= ak 0

=

n or+1 xr (x − 1) · · · (x − n) e−(x−k) dx or+1 ¡ ¢r n y+k (y + k − 1) · · · (y + k − n) e−y dy  R∞ r   a y p0 (y)e−y dy 0   0

si k = 0

 R∞    ak y r+1 pk (y)e−y dy

si 0 < k ≤ n,

0

en donde p0 (y), · · · , pn (y) son ciertos polinomios con coeficientes enteros. Por lo tanto, todos los t´erminos que contribuyen a P1 en (23) son n´ umeros enteros y todos estos t´erminos menos el primero son multiplos de (r + 1)!. Por lo tanto P1 ≡ a0 p0 (0) r! ≡ a0 (−1)n(r+1) (n!)r+1 r!

mod (r + 1)!

p´agina 9 Por lo tanto P1 = a0 (−1)n(r+1) (n!)r+1 r! + q·(r + 1)!

(con q ∈ Z)

es un m´ ultiplo de r! Adem´as P1 = 0 implica que a0 (−1)n(r+1) (n!)r+1 + q·(r + 1) = 0. Pero esto es imposible siempre que (r +1) contenga un factor primo que no divida a a0 n! Por lo tanto, si r es suficientemente grande, entonces P1 6= 0. Para obtener una cota superior de |P2 |, sean M = max |x(x−1) · · · (x−n)|,

y

0≤x≤n

N = max |(x−1) · · · (x−n)e−x |. 0≤x≤n

Entonces para 1 ≤ k ≤ n Zk |ak I0k |

M r N dx = k|ak |M r N.

≤ |ak | 0

Por lo tanto n o 2 n |P2 | ≤ |a1 |e + 2|a2 |e + · · · + n|an |e M r N. Puesto que

Mr = 0 r→∞ r! lim

entonces

(M es constante) |P2 | < r!

si r es suficientemente grande. Esto termina la demostraci´on. §5. N´ umeros de Liouville. En esta secci´on vamos a mostrar que ciertos n´ umeros son trascendentes. La existencia de estos n´ umeros trascendentes especiales es consecuencia de un teorema de Liouville sobre el grado en que un n´ umero real algebraico de deja aproximar mediante n´ umeros racionales. Definici´ on 24. Se dice que un n´ umero ξ es algebraico de grado n si ξ es ra´ız de un polinomio con coeficientes enteros y de grado n, pero no es ra´ız de ning´ un polinomio de grado menor que n con coeficientes enteros.

p´agina 10 Teorema 25 (Liouville). Si ξ es un n´ umero real algebraico de grado n entonces para cada δ > 0 y A > 0 la desigualdad ¯ ¯ ¯ξ − p ¯ < A q q n+δ

(26)

s´olo tiene un n´ umero finito de soluciones en n´ umeros enteros p, q. Demostraci´ on. Supongamos que ξ satisface la ecuaci´on f (ξ) = an ξ n + an−1 ξ n−1 + · · · + a0 = 0

con

aj ∈ Z.

Existe una constante M > 0 tal que |f 0 (y)| < M siempre que |y − ξ| ≤ 1. Sea p/q un n´ umero racional tal que q > 0. Supongamos que |p/q − ξ| ≤ 1 y que f (p/q) 6= 0. Entonces n n−1 ¯ ¡ p ¢¯ q + · · · + a0 q n | 1 ¯ = |an p + an−1 p ¯f ≥ n n q q q

ya que todos los coeficientes aj ∈ Z. Por el teorema del valor intermedio del c´alculo diferencial existe un n´ umero η entre p/q y ξ tal que ¡p¢ ¡p¢ ¡p ¢ f = f − f (ξ) = − ξ f 0 (η). q q q Por lo tanto

¯ ¯ ¯p ¯ ¯ − ξ ¯ = ¯¯ f (p/q) ¯¯ > 1 . q f 0 (η) M qn

Si δ > 0 y A > 0 son constantes, entonces 1 A < δ q M siempre que q sea suficientemente grande y por lo tanto la ecuaci´on (26) s´olo tiene un n´ umero finito de soluciones en p y q. Teorema 27 (Liouville). El siguiente n´ umero ξ es trascendente ξ =

1 1 1 + 2! + 3! + · · · . 10 10 10

Demostraci´ on. Escribamos k X p 1 = , j! q 10 j=1

y

q = 10k! .

p´agina 11 Entonces tenemos que ∞ X ¯ ¯ 1 ¯ξ − p ¯ = q 10j! j=k+1

=

³

1 10(k+1)! ≤

+

10(k+1)!

1 10(k+1)!

Por lo tanto

´k+2

1

³ +

1

´(k+2)(k+3)

10(k+1)!

+ ···

³ ´ 1 1 2 · 1 + 2 + 3 + ··· < (k+1)! 10 10 10 . ¯ ¯ ¯ξ − p ¯ < 2 . q q k+1

Puesto que esto ocurre para todo k = 1, 2, . . . , entonces ξ no puede ser algebraico. §6. Teorema de Roth y Aplicaciones. El teorema de Liouville se puede mejorar de manera substancial. En efecto, denotemos mediante λ = λ(n) el menor n´ umero positivo para el cual se cumple la siguiente propiedad: dado cualquier n´ umero real algebraico ξ de grado n ≥ 2 y dado cualquier v > λ, la desigualdad ¯ ¯ ¯ξ − p ¯ < 1 q qv s´olo tiene un n´ umero finito de soluciones en enteros p, q. Por el Teorema de Liouville, sabemos que λ ≤ n. Posteriormente A. Thue, C.L. Siegel y F.J. Dyson probaron respectivamente que λ ≤

n + 1, 2

λ ≤ min

0 0. ªSean a1 , . . . , an las raices de la ecuaci´on f (x, 1) = 0 y sea M = max |grs | . Puesto que |x| ≤ |y| entonces |xr y s | ≤ y r+s . Adem´as la ecuaci´on y r+s = y j tiene a lo m´as (j + 1) soluciones. De la ecuaci´on (30) se obtiene que |b0 (x − a1 y) · · · (x − an y)| ≤ M (1 + 2y + · · · + (n − 2)y n−3 ) ≤ M n2 y n−3 .

(31) Por lo tanto, existe ν tal que

3

|x − aν y| < c1 y 1− n en donde c1 , c2 , . . . denotan constantes positivas. Si µ 6= ν y y es mayor que una constante c2 , suficientemente grande, entonces |x − aµ y| = |(aν − aµ )y + (x − aν y)| ≥ |aν − aµ |y − |x − aν y| (32)

3

≥ c3 y − c1 y 1− n ≥ c4 y.

p´agina 13 Por (31) y (32) vemos que |x − aν y| < |aν −

c5 o bien y2

x c5 | < 3. y y

Por el Teorema de Roth, esta desigualdad s´olo tiene un n´ umero finito de soluciones. El caso y ≤ c2 es claro. El teorema esta probado. El siguiente es un caso particular del Teorema 29. Teorema 33 (Thue). Sea n ≥ 3. Sea f (x, y) = b0 xn + b1 xn−1 y + · · · + bn y n un polinomio homogeneo irreducible con coeficientes enteros. Sea m un entero: m ∈ Z. Entonces la ecuaci´on f (x, y) = m s´olo tiene un n´ umero finito de soluciones en n´ umeros enteros x, y.

§7. El Problema Siete de Hilbert. En el a˜ no 1900, D. Hilbert elabor´o una lista de 23 problemas que ´el creia ser´ıan de importancia para la matem´atica del siglo XX. El problema n´ umero siete dice as´ı: La expresi´on αβ para una base α algebraica y un exponente β irracional √ 2 algebraico, e.g., los n´ umeros 2 ´o eπ = i−2i , siempre representan n´ umeros trascendentes o al menos n´ umeros irracionales. En 1929, el matem´atico ruso A.O. Gelfond prob´o la trascendencia de eπ y observ´o que su m´etodo de prueba pod´ıa usarse para resolver el problema de Hilbert cuando β yace en un campo cuadr´atico imaginario. En 1930, R.O. Kusmin us´o el m´etodo de Gelfond para resolver el problema cuando √ β yace en un campo cuadr´atico real y en particular prob´o que 2 2 es trascendente. En 1934, Gelfond y T. Schneider, independientemente uno del otro, dieron la soluci´on completa al problema siete de Hilbert. En la actualidad, todav´ıa se desconoce si son o no trascendentes n´ umeros como e + π, eπ, ζ(2n + 1), (en donde ζ(x) es la funci´on zeta de Riemann y n ∈ N) y la constante de Euler ¡ ¢ 1 1 γ = lim 1 + + · · · + − log n . n→∞ 2 n

p´agina 14 En una de sus clases, estando Siegel presente como alumno (1919), Hilbert dio su opini´on sobre el grado de dificultad de tres problemas de la teor´ıa de n´ umeros. Sobre la hip´otesis de Riemann, Hilbert dijo que probablemente ´el vivir´ıa para ver la soluci´on, esto en vista de los recientes progresos en la materia. Sobre el u ´ltimo teorema de Fermat, Hilbert dijo que algunos de sus alumnos m´as jovenes, vivir´ıan lo suficiente como para ver resuelto el problema. Sin embargo, con respecto al problema n´ umero siete, Hilbert pens´o que ninguno de sus alumnos ahi presentes vivir´ıa para ver resuelto el problema. §8. Ejercicios. Ejercicio 34. Demostrar que el conjunto de todos los n´ umeros real algebraicos es numerable. ∞ X 1 es trascendente. Ejercicio 35. Sea a ≥ 1 un entero. Entonces n! a j=1 ∞ X 1 Ejercicio 36. Sea a ≥ 1 un entero. Entonces es trascendente. 3n a j=1

Ejercicio 37. Sea f : N → R una sucesi´on tal que lim f (n+1)/f (n) > 2. n→∞ Sea a ≥ 1 un entero. Demuestre que el siguiente n´ umero es trascendente ∞ X j=1

1 af (n)

.

¡√ √2 ¢√2 Ejercicio 38. Usar la identidad 2 = 2 para probar que un n´ umero irracional elevado a una potencia irracional puede se racional. √

√ ( 2+1)

¡√

√ 2 ¢√

Ejercicio 39. Usar la identidad 2 = 2 2 para probar que un n´ umero irracional elevado a una potencia irracional puede se irracional. BIBLIOGRAFIA Para la redacci´on de estas notas hemos usado algunas de las fuentes que se listan a continuaci´ on. La demostraci´on del Teorema de Roth, la puede encontrar el lector en LeVeque 1956.

p´agina 15 Baker, A. 1990. Transcendental number theory. Cambridge, 1990. Beukers, F. 1979. A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London. Math. Soc. 11 (1979) 268-272. Hua, L.K. 1982. Introduction to number theory. Springer, 1982. Jones, J.P. & Toporowski, S. 1973. Irrational numbers. Amer. Math. Month. 80 (1973) 423-424. LeVeque, W.J. 1956. Topics in number theory. Vol. II. Addison Wesley, 1956. Rose, H.E. 1994. A course in number theory. Second Edition. Oxford, 1994.