Resuelve ecuaciones lineales II

Métodos algebraicos: suma y resta, sustitución, igualación y determinantes Los métodos algebraicos de solución de un sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas que abordaremos en este curso son: suma y resta, sustitución, igualación y determinantes. Para cualquier método que se aplique, la solución del sistema es la misma, por lo cual, para encontrar la solución de un sistema, se sugiere elegir el método que conduzca a procesos algebraicos más simples. A continuación se describe cada uno de estos métodos y se indica cuándo elegir cada uno, según el sistema de ecuaciones planteado. Método de suma y resta

Un pastor le dijo a otro: «Si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si tú me das una de las tuyas tendríamos las mismas». ¿Cuántas ovejas tenían cada uno?

Si se tiene el sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas de la forma: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 donde x y y son las incógnitas y aa11,a ,a22,b ,b11,b ,b22,c ,c11,c , c22,∈  entonces, la solución (x, y) que satisface simultáneamente cada una de las ecuaciones puede encontrarse por medio del método algebraico de suma y resta, de la forma siguiente: 1. Observamos si en el sistema se tienen términos simétricos para la misma variable; si es así, continuamos al paso dos. De otra manera, debemos multiplicar por un número una de las ecuaciones del sistema, o ambas, de tal manera que se obtengan coeficientes simétricos para una de las incógnitas. 2. Efectuamos la suma de las ecuaciones, atendiendo que los términos simétricos se anulen, para obtener así una ecuación de primer grado con una incógnita. 3. Resolvemos esta ecuación y encontramos así el valor de una incógnita. 4. Sustituimos el valor de la incógnita encontrado en el paso anterior en alguna de las ecuaciones del sistema, y obtenemos nuevamente una ecuación de primer grado, pero con la otra incógnita, la cual también debe resolverse, para encontrar el valor de la otra incógnita. 5. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 3 y 4, formando la pareja (x, y); con ellos, haremos la comprobación, verificando que ambas ecuaciones se satisfacen simultáneamente.

Si al efectuar la suma de las ecuaciones se obtiene:

a1x + b1y = c1 a x +b y = c

2 2 2 ____________________

0x + 0y = c ,c ≠ 0 el sistema no tiene solución. Si resulta

a1x + b1y = c1 a x +b y = c

Ejemplos A continuación se resuelven dos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas, por el método de suma y resta, siguiendo cada uno de los pasos antes citados.

2 2 2 ____________________

0x + 0y = 0 el sistema tiene una infinidad de soluciones.

251

B7

 x + y = 10 − − − (1) I.   x − y = 2 − − − ( 2 ) 1. Se observa que los coeficientes de la variable y son simétricos. Luego se efectúa el siguiente paso. 2. Se suman las ecuaciones en donde se anulan los términos de la variable y.

x + y = 10 x− y =2 2x

= 12

3. Resolviendo la ecuación 2x = 12, tenemos: x=

12 =6 2

4. El valor de x = 6 se sustituye en (1):

Donde:

(6) + y = 10 y = 10 – 6 = 4

5. La solución del sistema es la pareja ordenada (6, 4). Comprobación: 6 + 4 = 10   6−4=2

 3x − y = 1 (1 ) II.   x + 4 y = 9 (2) 1. Para que los términos con la variable y tengan coeficientes simétricos, se multiplica (1) por 4, de donde: 12x − 4 y = 4 (1 )   x + 4 y = 9 (2)

2. Se suman las ecuaciones en donde se anulan los términos de la variable y. 12x − 4 y = 4



x + 4y = 9 13x

= 13

3. Resolviendo la ecuación 13x = 13, tenemos:

x= 252

13 =1 13

Resuelve ecuaciones lineales II

4. El valor de x = 1 se sustituye en (1): 3(1) – y = 1 Donde:





– y = 1– 3 –y= –2 y=2

5. La solución del sistema es la pareja ordenada (1, 2). Comprobación:  3 (1) − 2 = 1  1+ 4 ( 2 ) = 9 Este método de suma y resta debe elegirse cuando el sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas tenga coeficientes simétricos en los términos de la misma incógnita.

Método de sustitución Si se tiene el sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas de la forma: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 donde x y y son las incógnitas y aa11,a ,a2,b ,b11,b ,b22,c ,c11,c , c22,∈  entonces, la solución que corresponde al par ordenado (x, y) que satisface simultáneamente cada una de las ecuaciones puede encontrarse por medio del método algebraico de sustitución de la forma siguiente: 1. Elegimos una de las ecuaciones del sistema y despejamos en ella una de las variables (se prefiere, si la hay, la de coeficiente uno). 2. El despeje obtenido del paso anterior lo sustituimos en la otra ecuación del sistema, quedando una ecuación con una incógnita, la cual se resuelve para encontrar el valor de una incógnita. 3. El valor encontrado es sustituido en el despeje obtenido en el primer paso, encontrando así el valor de la otra incógnita.

Si al efectuarse el paso 2 y resolverse la ecuación en una sola variable se obtiene 0x = c o 0y = c, con c ≠ 0, entonces el sistema no tiene solución y si resulta 0x = 0 o 0y = 0, el sistema tiene una infinidad de soluciones. .

4. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 3 y 4, formando la pareja (x, y); con ellos haremos la comprobación, verificando que ambas ecuaciones se satisfacen simultáneamente.

253

B7

 Ejemplos A continuación se resuelven dos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas, por el método de sustitución, siguiendo cada uno de los pasos arriba citados. (Con la finalidad de mostrar que la solución del sistema es la misma al aplicar cualquier método, se resuelven los mismos sistemas de los ejemplos anteriores). x + y = 10 − − − (1) I.   x − y = 2 − − − ( 2 ) 1. Se elige despejar x en la ecuación (1), donde: x = 10 – y 2. Sustituyendo este despeje en la ecuación (2), se obtiene: (10 – y) – y = 2 Resolviendo la ecuación tenemos: 10 – 2y = 2 – 2y = 2 – 10 −8 =4 −2 3. Sustituyendo y = 4 en el despeje obtenido en el primer paso, se tiene: x = 10 – (4) = 6

y=

4. La solución del sistema es la pareja ordenada (6, 4). Comprobación:

6 + 4 = 10   6−4=2

 3x − y = 1 (1) x + 4y = 9 ( 2 )

II. 

1. Se elige despejar x en la ecuación (2), de donde: x = 9 – 4y 2. Sustituyendo este despeje en la ecuación (1) se obtiene: 3(9 – 4y) – y = 1 Al resolver esta ecuación tenemos: 27 – 12y – y = 1 –13y = 1 – 27

254

y=

−26 =2 −13

Resuelve ecuaciones lineales II

3. Sustituyendo y = 2 en el despeje obtenido en el primer paso, se tiene: x = 9 – 4(2) = 9 – 8 = 1 4. La solución del sistema es la pareja ordenada (1, 2). Comprobación:  3 (1) − 2 = 1  1+ 4 ( 2 ) = 9

Este método de sustitución debe elegirse cuando el sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas tenga, en alguna de las ecuaciones, por lo menos, un término con coeficiente uno. Método de igualación Si se tiene el sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas de la forma: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 donde x y y son las incógnitas y aa11,a ,a2,b ,b11,b ,b22,c ,c11,c , c22,∈  entonces, la solución (x, y) que satisface simultáneamente cada una de las ecuaciones puede encontrarse por medio del método algebraico de igualación, de la forma siguiente:

Si al efectuar el paso 2 y resolver la ecuación en una sola variable se obtiene 0x = c o 0y = c, con c ≠ 0, el sistema no tiene solución y si resulta 0x = 0 o 0y = 0, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

1. Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Los despejes obtenidos se igualan entre sí, quedando una ecuación en una incógnita, la cual se resuelve para encontrar el valor de la incógnita. 3. El valor encontrado se sustituye en uno de los dos despejes obtenido en el primer paso, encontrando así el valor de la otra incógnita. 4. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 2 y 3, formando la pareja (x, y); con ellos haremos la comprobación, verificando que ambas ecuaciones se satisfacen simultáneamente Ejemplos Ahora resolvemos los sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas, por el método de igualación, siguiendo cada uno de los pasos indicados en el procedimiento anterior. (Nuevamente, para reafirmar que la solución del sistema es la misma aplicando cualquier método, se resuelven los mismos sistemas de los ejemplos anteriores). x + y = 10 − − − (1)  x − y = 2 − − − ( 2 )

I. 

1. Despejamos x en las ecuaciones (1) y (2): 255

B7

 De (1): x = 10 – y De (2): x = 2 + y 2. Igualamos estos despejes entre sí, obteniendo la ecuación: 10 – y = 2 + y Resolviendo la ecuación tenemos: – 2y = 2 – 10 −8 =4 y= −2 3. Sustituyendo y = 4 en el despeje obtenido de la ecuación (1) en el primer paso, se tiene: x = 10 – (4) = 6 4. La solución del sistema es la pareja ordenada (6, 4). Comprobación: 6 + 4 = 10   6−4=2  3x − y = 1 (1) II.  x + 4y = 9 ( 2 ) 1. Despejamos x en las ecuaciones (1) y (2): De (1): x = 1+ y 3 De (2): x = 9 – 4y 2. Igualamos estos despejes entre sí, obteniendo la ecuación: 1+ y = 9 − 4y 3 Resolviendo la ecuación tenemos:

 1+ y   = 3[9 − 4 y ] 3  3  1 + y = 27 – 12y 13y = 26 y=

256

26 =2 13

Resuelve ecuaciones lineales II

3. Sustituyendo y = 2 en el despeje obtenido de la ecuación (1) en el primer paso, se tiene: x=

1+ 2 3 = =1 3 3

4. La solución del sistema es la pareja ordenada (1, 2). Comprobación:  3 (1) − 2 = 1  1+ 4 ( 2 ) = 9 Este método de igualación se elige cuando el sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas tenga los coeficientes de los términos de ambas ecuaciones distintos de uno.

Método por determinantes Si se tiene el sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas de la forma: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 donde x y y son las incógnitas yaa11,a ,a2,b ,b11,b ,b22,c ,c11,c , c22,∈  entonces, la solución (x, y) que satisface simultáneamente cada una de las ecuaciones puede encontrarse por medio del método algebraico por determinantes, de la forma siguiente:

D=

a1 b1 c b a c = a1b2 − a2b1 , D x = 1 1 = c1b2 − c2b1 , D y = 1 1 = a1c2 − a2 c1 a2 b2 c 2 b2 a2 c2

Si D ≠ 0, la solución del sistema es única y se encuentra al efectuar las divisiones: x =

Si D = 0, Dx ≠ 0 y Dy ≠ 0 el sistema no tiene solución. Si D = 0, Dx = 0 y Dy = 0 el sistema tiene una infinidad de soluciones.

D Dx y = y D D

Ejemplos De nueva cuenta, se resuelven los mismos sistemas del ejemplo anterior, aplicando el método por determinantes. x + y = 10 I.   x−y =2 Se resuelven los determinantes: 1 1 D ℵℵℵℵ 1 −1

(1)( 1) (1)(1)

1 1

2

257

B7

 Dx =

10 1 = (10 )( −1) − ( 2 )(1) = −10 − 2 = −12 2 −1

Dy =

1 10 = (1)( 2 ) − (1)(10 ) = 2 − 10 = −8 1 2

Efectuando las divisiones indicadas, se tiene: x =

D y −8 D x −12 = =4 = = 6 y = −2 D −2 D

Luego, la solución del sistema es la pareja ordenada (6, 4). 6 + 4 = 10 Comprobación:   6−4=2  3x − y = 1 (1) II.  x + 4y = 9 ( 2 ) Se resuelven los determinantes: D=

Manos y dedos. En una mano hay cinco dedos, en dos manos hay 10 dedos. ¿Cuántos dedos hay en 10 manos?

3 −1 = ( 3 )( 4 ) − (1)( −1) = 12 + 1 = 13 1 4

Dx =

1 −1 = (1)( 4 ) − ( 9 )( −1) = 4 + 9 = 13 9 4

Dy =

3 1 = ( 3 )( 9 ) − (1)(1) = 27 − 1 = 26 19

Efectuando las divisiones indicadas, se tiene: x =

D y 26 D x 13 = = 1 y = = =2 D 13 D 13

La solución del sistema es la pareja ordenada (1, 2). 3 1 −2 =1 Comprobación:  ( ) 1+ 4 ( 2 ) = 9

El método por determinantes puede aplicarse en todo sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas. Otra forma de obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales es a partir de la gráfica del sistema en el plano cartesiano, como veremos a continuación.

258

Resuelve ecuaciones lineales II

Interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que son paralelas La gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se obtiene trazando en un mismo plano cartesiano ambas ecuaciones. Existen tres casos de solución del sistema: • Cuando las rectas trazadas se intersectan (cortan) en un punto, la solución del sistema es la coordenada (x, y), punto de intersección. • Cuando las rectas trazadas son paralelas, el sistema no tiene solución. • Las rectas pueden ser coincidentes (las mismas); en este caso, el sistema tiene una infinidad de soluciones. Ejemplos Representar gráficamente los sistemas que se indican, mismos que coinciden con los sistemas que se han resuelto en los ejemplos anteriores al aplicar los diferentes métodos algebraicos y que ahora, con el método geométrico, podemos visualizar: x + y = 10 I.   x−y =2

→

y = 10 − x − − − (  1 )   y = x − 2 − − − (  2 )

Las rectas se trazan utilizando el método de tabulación. Tabulación: x 4 5 6

y = 10 – x y = 10 – (4) = 6 y = 10 – (5) = 5 y = 10 – (6) = 4

P(x, y)

7

y = 10 – (7) = 3

(7, 3)

x 4 5 6 7

y=x–2 y = (4) – 2 = 2 y = (5) – 2 = 3 y = (6) – 2 = 4 y = (7) – 2 = 5

P(x, y) (4, 2) (5, 3) (6, 4) (7, 5)

(4, 6) (5, 5) (6, 4)

Puede visualizarse que el punto de intersección de las rectas trazadas a partir de cada una de las ecuaciones del sistema es (6, 4), el cual es la solución del sistema. Comprobación: 6 + 4 = 10   6−4=2

259

B7

 x + 4y = 9 II.   3x − y = 1

→

9−x  − − − ( 1 ) y = 4  y = 3x − 1 − − − (  2 ) 

Las rectas se trazan utilizando el método de tabulación. Tabulación: x –3 1 3 5

y = (9 – x )/4 y = (9 – (–3) )/4 = 3 y = (9 – (1) )/4 = 2 y = (9 – (3) )/4 = 1.5 y = (9 – (5) )/4 = 1

P(x, y) (–3, 3) (1, 2) (3, 1.5) (5, 1)

x 0 1 2 3

y = 3x – 1 y = 3(0) – 1 = –1 y = 3(1) – 1 = 2 y = 3(2) – 1 = 5 y = 3(3) – 1 = 8

P(x, y) (0, –1) (1, 2) (2, 5) (3, 8)

Puede visualizarse que el punto de intersección de las rectas trazadas a partir de cada una de las ecuaciones del sistema es (1, 2), el cual es la solución del sistema. III. El sistema que se presenta a continuación se resuelve por los métodos algebraicos de suma y resta e igualación, observa que no tiene solución:  2x + 3y = 7 − − − (1)  4x + 6y = 10 − − − ( 2 ) Método de suma y resta Se multiplica por –2 la ecuación (1), para obtener: −4x − 6y = −14 − − − (1)   4x + 6y = 10 − − − ( 2 ) Niños y moscas. Si tres niños cazan tres moscas en tres minutos. ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta moscas?

Al sumar estas ecuaciones se tiene:

Lo cual indica, por una de las observaciones antes dada, que el sistema no tiene solución. 260

Resuelve ecuaciones lineales II

Método de igualación Se despeja x, en ambas ecuaciones:

De (1): x =

7 − 3y 2 En el sistema

De (2): x = 10 − 6y

3x + y = 5  9 x + 3y = 15

4

Al igualar estos despejes, tenemos:

ambas ecuaciones representan la misma recta. luego todos los puntos de una coinciden con los puntos de la otra teníendo así, una infinidad de soluciones

7 − 3y 10 − 6y = 2 4  7 − 3y 10 − 6y  = 4 4   2 Donde: 14 − 6y = 10 − 6y 0y = −4

Lo cual indica, por una de las observaciones antes dada, que el sistema no tiene solución. A continuación se hace la representación geométrica del sistema anterior.   2x + 3y = 7  4x + 6y = 10 

7 − 2x  − − − ( 1 ) y=  3  y = 10 − 4x − − − (  ) 2 6 

→

Las rectas se trazan utilizando el método de tabulación. Tabulación: x –4 –1 0 2

y = (7 – 2x )/3 y = (7 – 2(–4) )/3 = 5 y = (7 – 2(–1) )/3 = 3 y = (7 – 2(0) )/3 = 2.3 y = (7 – 2(2) )/3 = 1

P(x, y) (–4, 5) (1, 2) (0, 2.3) (2, 1)

x –2 0 1 4

y = (10 – 4x)/6 y = (10 – 4(–2) )/6 = 3 y = (10 – 4(0) )/6 = 1.6 y = (10 – 4(1) )/6 = 1 y = (10 – 4(4) )/6 = –2

P(x, y) (-2, 3) (0, 1.6) (1, 1) (4, –2)

261

B7

 Como puedes observar las rectas son paralelas (no hay punto de intersección), por lo cual se concluye que el sistema no tiene solución. IV. Resolver la situación que a continuación se indica, al aplicar un método algebraico, y hacer la representación gráfica del sistema visualizando la solución. Daniel fue al almacén y pagó por tres camisas y cinco trajes $4180.00, mientras que su papá pagó por nueve camisas y ocho trajes $6940.00. Si los trajes y las camisas que compró cada uno tienen el mismo precio, ¿cuánto debió pagar el abuelito que en ese momento los acompañaba por dos camisas y dos trajes? Planteamiento algebraico Costo de cada camisa: x Costo de cada traje: y Se pagó por tres camisas y cinco trajes $4180.00: 3x + 5y = 4180 Se pagó por nueve camisas y ocho trajes $6940.00: 9x + 8y = 6940 3x + 5y = 4180 Sistema de ecuaciones que modela la situación:  9x + 8y = 6940 Por el método de igualación: 4180 − 3x  − − − (1)  y = 3x + 5y = 4180 5 →   9x + 8y = 6940 y = 6940 − 9x − − − ( 2 )  8 Se igualan los despejes (1) y (2) y se resuelve la ecuación: 4180 − 3x 6940 − 9x = 5 8  4180 − 3x 6940 − 9x  = 40   5 8   33440 − 24x = 34700 − 45x 21x = 1260 x = 60 Se sustituye x = 60 en y =

4180 − 3x , se obtiene: 5 y=

4180 − 3 ( 60 )

5 4180 − 180 y= 5 4000 y= = 800 5 262

Resuelve ecuaciones lineales II

3 ( 60 ) + 5 ( 800 ) = 4180 Comprobación:  9 ( 60 ) + 8 ( 800 ) = 6940 Respuesta: se ha encontrado que una camisa cuesta $60.00 y un traje $800.00. Luego, después de hacer la operación 2(60) + 2(800) = 1720, el abuelito debió pagar por dos camisas y dos trajes $1720.00.

Gráfica del sistema. 4180 − 3x  − − − ( 1 ) y= 3x + 5y = 4180  5 →   9x + 8y = 6940 y = 6940 − 9x − − − (  ) 2  8

Las rectas se trazan utilizando el método de tabulación. Tabulación x –100 60 400

y y = 896 y = 800 y = 2980

P(x, y) (–100, 896) (60, 800) (400, 2980)

900

y = 296

(900, 296)

x –200

y y = 1092.5

P(x, y) (–200, 1092.5)

60

y = 800

(60, 800)

500 770

y = 305 y = 1.25

(500, 305) (770, 1.25)



Puede visualizarse que el punto de intersección de las rectas trazadas a partir de cada una de las ecuaciones del sistema es (60, 800), el cual es la solución del sistema.

Actividad I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas lineales, y elige para cada uno de ellos, el método algebraico más apropiado, y para cada uno de los sistemas construye la gráfica y verifica la solución.

263

B7

  3x + y = 11 1.  x + 4y = −11 2.  −x + y = 0  x + 4y = 15  x − 5y = 5 3.  −2x + 5y = −15 4. 4x − 5y = 22   x + 7y = −11 5.  2x − 6y = 0  5x + 3y = 18 10x − 12y = 1 6.   6x + 3y = 4  −8x + 5y = 4 7.  4x − 10y = −5  −4x + y = 5  8. 4x − y = −5 9.  7x + 2y = 1 14x + 4y = 1 10.  11x + 12y = 1  −11x + 4y = 15

11.

 2x + 4 y = 6  − x − 2 y = −3

12. 21x + 40y = 14   14x − 10y = 2 13.  1 x + 1 y = 20  2 3  1  x − 1y = 0  4 6 x y 1 14.  + = 5 2 5  x − y = 1  4 8 10

264

2x + 5y = −20 15.  8x + 3y = −46 x + 4y = 500 16.  2x + y = 300  2x + y = 1100 17. y − 2x = −100 

 x = 78 − y 18.  2y = 113 − x 40x − 1190 = −34y 19.   11y − 301 = −8x  x + 3 y 21 20.  2 + 5 = 5   x + 2y + 1 = 2  5 3  3x + 1 y − 1 + = 13 21.   2 3   4x − 8 − 3y + 4 = 0  4 5  2 ( x + 4 ) 6 ( 3y − 4 ) + = −51  2 22.  3  5 ( x − 4 ) − 2 ( 3 − 6y ) = −3  2 12  x y 8  7 + 2 = 7 23.  x − y = − 6  7 2 7 x y 1  + = 24.  2 9 2 x + 2y = 1  9 4  3x y 1 25.  4 + 3 = 7  − 3x − y = − 1  8 6 14

Resuelve ecuaciones lineales II

II. Encuentra la solución a las situaciones que modelaste antes por un sistema de ecuaciones; utiliza el método algebraico más apropiado, comprueba la solución y responde correctamente cada una. 1. Paola tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de ocho años, la edad de Paola doblará la edad de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una? 2. El papá de Julio pesa 42 kg más que Julio; si los dos juntos pesan 138 kg, ¿cuánto pesa cada uno? 3. La edad de un hijo más la tercera parte de la edad del padre suman 22 años. Dentro de seis años, la edad del padre excederá en diez años el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? 4. Un cohete y su combustible pesan juntos 5200 kg. Después de que se haya gastado una cuarta parte del combustible, el cohete y el combustible restante pesan 4600 kg. ¿Cuál es el peso, en kilogramos, del cohete? 5. Dentro de la ciudad, un automóvil rinde 6 km/litro; en cambio, en carretera rinde 8.5 km/litro. Si el automóvil consumió 90 litros en un recorrido de 690 km, ¿qué parte del recorrido hizo en la ciudad? 6. Santiago es cuatro veces mayor que Juan, y en cuatro años más sólo tendrá el doble de edad. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? 7. En una alcancía hay $1305.00 en 150 monedas de $5.00 y $10.00. ¿Cuántas monedas son respectivamente de $5.00 y $10.00? 8. Hace seis años la edad de Ricardo era

3 de la edad de su novia y 2

dentro de 6 años, cuatro veces la edad de Ricardo será cinco veces la edad de su novia. ¿Cuáles son las edades actuales de cada uno? 9. Pedro le da a Juan tres canicas para tener ambos el mismo tanto, porque si Juan le da a Pedro tres canicas, éste tendría cuatro veces las de Juan. ¿Cuántas canicas tiene cada uno? 10. La suma de las dos cifras de un número es nueve, pero si la cifra de las decenas se aumenta en uno y la de las unidades se disminuye en uno, las cifras del número se invierten. ¿Cuál es el número?

265

B7

 Autoevaluación Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas, determinando en cada una de ellas: sistema de ecuaciones, método de solución y gráfica. Elije la opción que muestra el resultado correcto a cada una. 1. Jessy le dice a su hermano Julio: “ Si me das $50.00 de tu dinero, yo tendré el doble de dinero que tendrás tú”, si entre ambos hermanos tienen $600.00, ¿cuánto tiene cada uno? a) Julio: $250 Jessy: $350

c) Julio: $200 Jessy: $300

b) Julio: $350 Jessy: $250

d) Julio: $300 Jessy: $200

2. La cantidad de dinero que tienen Isela y Ricardo suma $4500, la diferencia de lo que tiene Isela con el doble de lo que tiene Ricardo es $2100. ¿Cuánto tiene cada uno? a) Isela: $800 Ricardo: $5300

c) Isela: $800 Ricardo: $3700

b) Isela: $3700 Ricardo: $1800

d) Isela: $3700 Ricardo: $800

3. Ana y Paola pesaban 5 kg y 6 kg, respectivamente. El peso de cada una se ha incrementando 1 kg cada mes durante 5 meses. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que representa esta situación? Observa la tabla. Mes (x) Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto A =5-n P =6-n A =5+n b) P =6+n a)

Ana 6 7 8 9 10

Paola 7 8 9 10 11 c) A =5+n P =6-n d)

A =5-n P =6+n

4. Karen compra 1 chocolate y dos paletas con $4.00; Karime compra 3 chocolates y una paleta con $7.00. Al llegar a casa su hermana Luz del Carmen les pregunta, ¿cuánto costó cada dulce? a) Chocolate: $1 c) Chocolate: $4 Paleta: $2 Paleta: $2 b) Chocolate: $2 d) Chocolate: $3 Paleta: $1 Paleta: $1 266

Resuelve ecuaciones lineales II

Evaluación Formativa Resuelve correctamente la siguiente situación. En un examen de 40 preguntas, Lucía ha obtenido 7 de calificación. Cada acierto vale 1 punto y cada error le resta 2 puntos. A partir de esta situación realiza lo que se pide: ¿Cuál es el sistema que modela la situación planteada? a)

x + y = 40 3x − 2y = 10

b) x + y = 24 x − 4y = 16

c) x + y = 33 x − 2y = 8 d) x + y = 40 x - 2y = 7

¿Cuántos aciertos y errores tuvo Lucy? Aciertos:__________ Errores:__________ En un plano cartesiano, grafica las rectas del sistema.

Escala de Rango Nombre del alumno: Escala de valoración: 0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio Aspectos observables Comprendió la situación planteada Eligió el sistema correctamente Contestó correctamente las preguntas Realizó la gráfica

Sí        

       

No

TOTAL: Observaciones: Nombre de quien revisó:

         

Estimación

Cal =

Total×10 = 12

267

Resuelve ecuaciones lineales III

BLOQUE

8

Saberes

» Conocimientos

• Comprende los métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3x3). • Método numérico por determinantes. • Método algebraico de sustitución. • Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 3x3.

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales y expresiones algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico.

» Habilidades

• Obtiene la solución de sistemas de ecuaciones lineales 3x3. • Aplica el método numérico por determinantes para resolver sistemas 3x3. • Utiliza el método de sustitución para resolver un sistema 3x3. • Representa y soluciona situaciones diversas utilizando sistemas 3x3. • Expresa ideas y conceptos de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas empleando representaciones en lenguaje común, simbólico o gráfico. • Ejecuta instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de la solución de una ecuación de 3x3.

»

SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

UNIDAD DE COMPETENCIA

»

• Reconoce o describe, mediante lenguaje oral o escrito, situaciones que pueden modelarse mediante sistemas de ecuaciones lineales 3x3. • Asocia los puntos de intersección con las soluciones de un sistema 3x3. • Reconoce gráficamente cuándo un sistema 3x3 tiene una, ninguna o infinitas soluciones. • Resuelve por medio de determinantes, sistemas de ecuaciones 3x3. • Resuelve por sustitución algunos sistemas 3x3. • Reconoce en una gráfica la solución de un sistema de ecuaciones 3x3. • Resuelve o formula problemas de su entorno, u otros ámbitos, que pueden representarse y solucionarse mediante un sistema de ecuaciones 3x3. • Efectúa las correspondientes conversiones de unidades, en situaciones modeladas con sistemas lineales 3x3 donde se presentan distintas unidades de medición.

» Actitudes y valores

• Aprecia la simplicidad de los métodos numéricos para resolver sistemas 3x3. • Valora la utilidad de los sistemas 3x3 para representar y solucionar diversas situaciones. • Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, en las actividades que le son asignadas. • Asume una actitud propositiva que favorece la solución de problemas en distintos ámbitos. • Promueve el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.

B8

 INTRODUCCIÓN En este bloque abordaremos el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, también llamado sistema 3x3, con los cuales modelaremos diversas situaciones, aplicando para la solución del sistema el método algebraico de sustitución y el método numérico por determinantes.

Evaluación diagnóstica Efectúa en tu cuaderno los siguientes ejercicios y subraya la opción que muestra el resultado correcto. 1. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa que la suma de tres números enteros consecutivos es 72?

a) x ( x+1)( x+2 ) =72 b) x + y + z = 72 c) x+ ( x+1) + ( x+2 ) =72 d) xyz = 72 2. El valor de x en la ecuación a) 4

3 ( 4x − 7 ) = 2x − 5 es: 7

b) 5

c) 6

d) 7

3. Al sumar dos números, obtenemos un resultado cuatro veces mayor que el número menor. Además, cuando al número menor le sumamos 15 y al mayor le restamos 13 se tienen resultados iguales. ¿Qué números son? a) 14 y 42

b) 24 y 41

c) 20 y 35

d) 15 y 53

4. Una pareja hace su lista de lo que necesita y calcula gastar entre los dos $850. Ella elimina un artículo cuyo costo era la novena parte de su pedido y él, a su vez, elimina otro equivalente a un octavo del importe de su lista. Así ellos podrán gastar $100 menos. El importe original de cada uno era: a) Ella: $400 Él: $450

270

b) Ella: $450 Él: $400

c) Ella: $500 Él: $350

d) Ella: $350 Él: $500

Resuelve ecuaciones lineales III

5. Una tina de baño se llena en media hora con la llave del agua caliente y en 15 min con la llave de agua fría. Si la tina se desagua en 60 min, ¿en qué tiempo se llena la tina con las dos llaves y el desagüe abierto? c) 13 min d) 15 min a) 10 min b) 12 min 6. ¿Cómo representarías un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas? 7. ¿Qué entiendes por resolver un sistema de ecuaciones lineales 3 x 3?_______________ ____________________________________________________________________

Actividad introductoria Modelando con sistemas de ecuaciones. Organizados en equipos de tres integrantes y monitoreados por su profesor, realicen los cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar el sistema de ecuaciones que modela la situación planteada, así como su respuesta correspondiente. 1. En la siguiente figura se tenía un entero en cada cuadrado, cada número de la segunda, tercera y cuarta fila era igual a la suma de los números colocados en los dos cuadrados que están inmediatamente arriba de él. Los números fueron borrados con el tiempo. ¿Qué número estaría en el cuadrado marcado con la letra A?

a) 2

b) 3

c) 5

d)7

Al finalizar elíjase uno de los equipos para exponer sus resultados frente al grupo.

SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS Corresponde en este bloque abordar los sistemas de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas, los cuales también son llamados sistemas de dimensiones 271

B8

 3 x 3. En general, una ecuación lineal con tres incógnitas es una igualdad de la forma ax + by + cz = d y el sistema 3 x 3 es representado por tres de estas igualdades. Si existen los tres valores x, y, z que satisfacen simultáneamente las ecuaciones del sistema dado, el sistema tiene solución: es la terna (x, y, z) de números reales; en este caso se dice que el sistema es compatible. De otro modo, el sistema puede tener una infinidad de soluciones, y el sistema es compatible indeterminado; si el sistema no tiene solución se dice que es incompatible. Se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas, si consideramos tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas como sigue: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d3 a3x + b3y + c3z = d3 donde x, y y z son las incógnitas y a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 , c2 ,c3 ∈  Hay múltiples situaciones que conducen a plantear ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo En cierta heladería,  por una copa de helado, dos horchatas y cuatro galletas, cobran $34  un día. Al siguiente día, por cuatro copas del mismo helado y cuatro galletas, cobran $44; y al tercer día son $26 por una horchata y cuatro galletas. ¿Tienes motivos para pensar que en alguno de los tres días se presentó una cuenta incorrecta? Solución Planteamiento: Precio de la copa de helado: x Precio de la horchata: y  Precio de la galleta: z  Por una copa de helado, dos horchatas y cuatro galletas se cobró $34: x + 2y + 4z = 34 Por cuatro copas de helado y cuatro galletas se cobró $44: 4x + 4z = 44 Por una horchata y cuatro galletas se cobró $26: y + 4z = 26

272

Resuelve ecuaciones lineales III

 x + 2y + 4 z = 34    = 11 Sistema de ecuaciones que modela la situación:  x + z   y + 4 z = 26  

Observa que los valores de dos de las variables x, y, ó z determinan el valor de la tercera.

Actividad Encuentra el sistema de ecuaciones que modela cada una de las situaciones siguientes. 1. Se tienen tres recipientes con cierta cantidad de agua. Si se vierte 1/3 de agua del primero en el segundo y luego 1/4 de agua del segundo en el tercero y, por último, extraemos 1/10 del agua del tercer recipiente para verterla en el primer recipiente, y se obtienen nueve litros en cada recipiente, ¿qué cantidad de agua tenía cada uno de ellos? 2. Tres amigos fueron a la dulcería. Miguel gastó $27 y compró un caramelo y dos paletas. Luis gastó $41 y compró un caramelo y dos chocolates. Hugo pagó $34 por un caramelo, una paleta y un chocolate. ¿Cuál es el precio de cada golosina? 3. Un grupo de veinte personas entre hombres, mujeres y niños se reúne para celebrar el cumpleaños de uno de ellos. El número de hombres y mujeres asistente resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera asistido la mamá de Carlitos, el número de mujeres sería igual al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños asistieron a la reunión? 4. En una competencia deportiva participan cincuenta atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, juveniles y veteranos. El doble del número de atletas infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de juveniles y, por otra, coincide con el quíntuplo del número de veteranos. Determina el número de atletas que hay en cada categoría. 5. La Sra. Julia compró para su despensa 5 kg de azúcar, 3 kg de arroz y 4 kg de frijol; para su mamá compró 4 kg de azúcar, 5 kg de arroz y 3 kg de frijol; y para su suegra 2 kg de azúcar, 5 kg de arroz y 5 kg de frijol. Si pagó por separado cada cuenta con un importe de $151, $141 y $149 respectivamente, ¿cuánto cuesta cada artículo?

273

B8

 Ecuaciones simultáneas de tres por tres, con y sin solución Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas lineales con tres incógnitas, podrán aplicarse los métodos algebraicos vistos en el sistema 2 x 2: suma y resta, sustitución, igualación o determinantes; sin embargo, en este bloque enfocaremos nuestro estudio al método algebraico de sustitución y al método numérico por determinantes. Nuevamente, para el sistema 3 x 3, para cualquier método que se aplique, la solución del sistema es la misma. Método algebraico de sustitución Si al efectuar el paso 2 y resolver la ecuación en una sola variable se obtiene 0x = c, 0y = c, o 0z = c con c ≠ 0, el sistema no tiene solución y si resulta 0x = 0, 0y = 0 o 0z = 0 el sistema tiene una infinidad de soluciones

Para aplicar este método se siguen los siguientes pasos: 1. Se elige una de las ecuaciones del sistema, en la cual se despeja una de las incógnitas. 2. Se sustituye el despeje obtenido en las otras dos ecuaciones del sistema, quedando dos ecuaciones con dos incógnitas, es decir, un sistema 2 x 2 que ya sabemos resolver. 3. Los valores encontrados para dos de las incógnitas se sustituyen en el despeje obtenido en el primer paso, encontrando así el valor de la tercera incógnita. 4. La solución del sistema son los valores obtenidos de las tres incógnitas, es decir, la terna (x, y, z), comprobando con ellos que se verifican las tres igualdades.

Ejemplo En seguida, se resuelve un sistema de ecuaciones 3 x 3 por el método de sustitución, siguiendo los pasos arriba descritos.  2x + y − z = 1 (1)   x − 5y + 2z = − 3 ( 2 )  4x + 3y − 5z = −5 ( 3 )  1. Se elige despejar y en la ecuación (1) donde: y = 1 – 2x + z O bien, y = –2x + z + 1 2. Sustituyendo el despeje anterior en la ecuación (2) se obtiene:

x – 5(–2x + z + 1) + 2z = –3 Se simplifica, x + 10x – 5z – 5 + 2z = –3

274

Resuelve ecuaciones lineales III

11x – 3z = –3 + 5 11x – 3z = 2 (4) Al sustituir el mismo despeje, ahora en la ecuación (3) se obtiene: 4x + 3(–2x + z + 1) – 5z = –5 se simplifica: 4x – 6x + 3z + 3 – 5z = –5 – 2x – 2z = –5 – 3 – 2x – 2z = –8 x + z = 4 (5) De las ecuaciónes (4) y (5) se tiene el sistema 2 x 2 siguiente: 11x − 3z = 2 ( 4 )   x + z = 4 ( 5 ) Ahora se resuelve este sistema, aplicando el método más adecuado. Atendiendo a las sugerencias del bloque anterior, se elige resolver por el método de sustitución: • Se elige despejar x en la ecuación (5), donde: x=4–z •

Al sustituir este despeje en la ecuación (4), se obtiene: 11(4 – z ) – 3z = 2

Al resolver la ecuación tenemos: 44 – 11z – 3z = 2 – 14z = 2 – 44

z= •

−42 =3 −14

Al sustituir z = 3 en el despeje obtenido en el primer paso, se tiene: x = 4 – (3) = 1

• La solución del sistema obtenido 2 x 2 son los valores z = 3 y x = 1

3. Al sustituir estos valores x = 1 y z = 3 en el despeje obtenido en el primer paso, se encuentra así el valor de la variable y. y = –2x + z + 1 y = –2(1) + (3) + 1 y = –2 + 3 + 1 y=2 275

B8

 4. Así, la solución del sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3) es la terna (1, 2 ,3):  2 (1) + ( 2 ) − ( 3 ) = 1 (1) Comprobación:  (1) − 5 ( 2 ) + 2 ( 3 ) = − 3 ( 2 )  4 (1) + 3 ( 2 ) − 5 ( 3 ) = −5 ( 3 )  Donde observamos que se verifican las igualdades.

Cuando en un sistema 3 x 3, una de las ecuaciones no tiene una variable, el coeficiente considerado para ella al momento de resolver el determinante es cero.

Método numérico por determinantes Abordaremos ahora el método por determinantes, observa con atención cómo se forman y resuelven los determinantes. Dado un sistema de ecuaciones 3 x 3: a1x + b1y + c1z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3

Para encontrar la solución del sistema se desarrollan cuatro determinantes, formados de la siguiente manera: El primer determinante lo denotaremos con la letra D y se forma con los coeficientes de las incógnitas: horizontalmente (las filas) contienen a los coeficientes de cada ecuación en el orden de x, y, z y verticalmente (las columnas) corresponden a los coeficientes de una misma variable. a1 b1 c1 D = a2 b2 c2 a3 b3 c3

El determinante 3 x 3 así obtenido se resuelve como se muestra en el siguiente esquema: se aumentan las dos primeras filas, y se multiplican los tres coeficientes que se tienen en diagonal (anotando los resultados del producto en la derecha e izquierda). A la suma de los productos obtenida de la derecha se le resta la suma de los productos obtenidos a la izquierda.

276

Resuelve ecuaciones lineales III

Los tres determinantes restantes se denotan por Dx , Dy , Dz y se forman al cambiar la columna de la variable del determinante que se busca por la columna formada por los segundos miembros de las ecuaciones, es decir, si se busca

Dx se cambia la columna de los coeficientes de x por los segundos miembros de las ecuaciones, y así sucesivamente para Dy y Dz . Una vez formado cada determinante, se resuelve tal como se procedió en el determinante D.

Para desarrollar cada uno de los determinantes, se aumentaron las dos primeras filas.

Si D = 0, Dx ≠ 0, Dy ≠ 0 y Dz ≠ 0 el sistema no tiene solución. Si D = 0, Dx = 0, Dy =0 y D = 0 el sistema z tiene una infinidad de soluciones.

Si D ≠ 0, la solución del sistema es única y se encuentra al efectuar las siguientes divisiones: x=

Dy Dx D y= z= z D D D

Ejemplos Resolvamos el mismo sistema 3 x 3 del ejemplo anterior, ahora con el método por determinantes y observemos que la solución es la misma. 277

B8

  2x + y − z = 1 (1)   x − 5y + 2z = − 3 ( 2 )  4x + 3y − 5z = −5 ( 3 )  Se resuelven los determinantes:

Efectuamos las divisiones correspondientes, y listo: x=

D x 28 = =1 D 28



y=

Dy D

=

56 = 2 28

y=

D z 84 = =3 D 28

La solución del sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3) en este ejemplo es la terna (1, 2 ,3).  2 (1) + ( 2 ) − ( 3 ) = 1 (1)  Comprobación:  (1) − 5 ( 2 ) + 2 ( 3 ) = − 3 ( 2 )  4 (1) + 3 ( 2 ) − 5 ( 3 ) = −5 ( 3 ) 

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Resuelve ecuaciones lineales III

Observemos que se verifican las igualdades. Veamos que el sistema que se muestra a continuación es incompatible, es decir, no tiene solución. Apliquemos primero el método de sustitución.  3x − 4y + 2z = 1 (1)   − 2x − 3y + z = 2 ( 2 )  5x − y + z = 5 ( 3 )  Tenemos: 1. Elegimos despejar z en la ecuación (3) donde: z = 5 – 5x + y O bien, z = –5x + y + 5 2. Al sustituir el despeje anterior en la ecuación (1) se obtiene: 3x – 4y + 2(–5x + y + 5) = 1 Se simplifica, 3x – 4y – 10x + 2y + 10 = 1 – 7x – 2y = 1 –10 – 7x – 2y = –9 (4) Al sustituir el mismo despeje, ahora en la ecuación (2), se obtiene: – 2x –3y + (–5x + y + 5) = 2 Se simplifica: – 2x –3y –5x + y + 5 = 2 – 7x – 2y = 2 – 5 – 7x – 2y = –3 (5) De las ecuaciónes (4) y (5) se tiene el sistema 2 x 2 siguiente:

−7x − 2y = −9( 4 ) −7x − 2y = −3(5) Al multiplicar por (–1) la ecuación (5) y sumar estas ecuaciones, se tiene: −7 x + 2y = −9 7 x + 2y = 3 0x + 0y = 6

Lo cual indica que el sistema no tiene solución. 279

B8

 Apliquemos ahora el método por determinantes.  3x − 4y + 2z = 1 (1)   − 2x − 3y + z = 2 ( 2 )  5x − y + z = 5 ( 3 ) 

Tenemos:

Puesto que D = 0, Dx≠ 0, Dy≠ 0 y Dz≠ 0, el sistema no tiene solución.

280

Resuelve ecuaciones lineales III

Actividad I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas 3 x 3 por el método algebraico de sustitución y el método numérico por determinantes.  x+ y+z= 2  1.  3x − 2y − z = 4 −2x + y + 2z = 2  3x + 4y + 2z = 1 2.  −2x − 3y + z = 2  5x − y + z = 5  2x − 5y + 3z = 0 3.  −x + y − z = 0  2x − y = 0   4x − y + z = 4  4.  x − y + 4z = 1 2x + y − 7z = 3  4x − y + 5z = − 25  5.  7x + 5y − z = 17  3x − y + z = −21   2x + 5y = 16  6. x + 3y − 2z = − 2  x+z=4  x + 3y − z = − 5  7.  2x − y + 5z = 7  x + 10y − 8z = 9  −x + 2y − 3z = − 2  8.  −x + 8y − 27z = 0  x − y − z =1 

II. Dado que ya modelaste cada una de las situaciones siguientes por su correspondiente sistema de ecuaciones, encuentra la solución al utilizar alguno de los métodos abordados, compruébala y da la respuesta correcta a la situación dada. 1. En cierta heladería, por una copa de helado, dos horchatas y cuatro galletas, cobran $34 un día. Otro día, por cuatro copas del mismo helado y cuatro galletas, cobran $44, y un tercer día son $26 por una horchata y cuatro galletas. ¿Tienes motivos para pensar que en alguno de los tres días se presentó una cuenta incorrecta? 281

B8

 2. Se tienen tres recipientes con cierta cantidad de agua. Si se vierte 1/3 de agua del primero en el segundo y luego 1/4 de agua del segundo en el tercero y, por último, extraemos 1/10 de agua del tercer recipiente para verterla en el primer recipiente, obteniendo nueve litros en cada recipiente, ¿qué cantidad de agua tenía cada uno de ellos? 3. Tres amigos fueron a la dulcería. Miguel gastó $27 y compró un caramelo y dos paletas. Luis gastó $41 y compró un caramelo y dos chocolates. Hugo pagó $34 por un caramelo, una paleta y un chocolate. ¿Cuál es el precio de cada golosina?

Autoevaluación Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas, y determina en cada una de ellas: sistema de ecuaciones y método de solución. Elije la opción que muestra el resultado correcto de cada una. 1. Un grupo de 20 personas entre hombres, mujeres y niños se reúne para celebrar el cumpleaños de uno de ellos. El número de hombres y mujeres asistentes resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera asistido la mamá de Carlitos, el número de mujeres sería igual al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños asistieron a la reunión? a) Hombres: 5 Mujeres: 7 Niños: 8

b) Hombres: 7 Mujeres: 5 Niños: 8

c) Hombres: 8 Mujeres: 7 Niños: 5

d) Hombres: 5 Mujeres: 6 Niños: 9

2. En una competencia deportiva participan cincuenta atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, juveniles y veteranos. El doble del número de atletas infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de juveniles y, por otra, coincide con el quíntuplo del número de veteranos. Determina el número de atletas que hay en cada categoría. a) Infantiles: 15 Juveniles: 29 Veteranos: 6

b) Infantiles: 6 Juveniles: 15 Veteranos: 29

c) Infantiles: 29 Juveniles: 15 Veteranos: 6

d) Infantiles: 15 Juveniles: 6 Veteranos: 29

3. La Sra. Julia compró para su despensa 5 kg de azúcar, 3 kg de arroz y 4 kg de frijol; para su mamá compró 4 kg de azúcar, 5 kg de arroz y 3 kg de frijol; y para su suegra 2 kg de azúcar, 5 kg de arroz y 5 kg de frijol. Si pagó por separado cada cuenta con un importe de $151, $141 y $149, respectivamente, ¿cuánto cuesta el kilogramo de cada artículo?

282

Resuelve ecuaciones lineales III

a) Azúcar: 12 Arroz: 16 Frijol: 9

b) Azúcar: 9 Arroz: 16 Frijol: 12

c) Azúcar: 12 Arroz: 9 Frijol: 16

d) Azúcar: 9 Arroz: 12 Frijol: 16

Evaluación Formativa A partir de la situación planteada realiza lo que se pide. 1. En una frutería,  por 2 kg de manzana, 2 kg de pera y un melón, cobraron a un cliente $119. Otra persona compró 4 kg de manzana, 1 kg de pera y dos melones, por los cuales le cobraron $154; una tercera persona pagó $93 por 2 kg de manzana y 3 melones. ¿Cuánto cuesta cada fruta? a) Encuentra el sistema que modela la situación. b) Resuelve el sistema por dos métodos: método algebraico de sustitución y método numérico por determinantes. c) Especifica tu respuesta.

Escala de rango Nombre del alumno: Escala de valoración: 0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio Aspectos observables

Sí

No

Estimación

Comprendió la situación planteada

 

 

Encontró el sistema correctamente

 

 

 

Resolvió el sistema por los dos métodos  

 

 

Indicó la respuesta específicamente

 

 

 

TOTAL: Observaciones: Nombre de quien revisó:

 

 

Cal =

Total×10 12

=

283

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

BLOQUE

9

Saberes

» Conocimientos

• Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: - Extracción de factor común - Despeje de la variable cuadrática • Identifica ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable. • Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas. • Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas. • Describe el procedimiento de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable. • Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas. • Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas completas.

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales y expresiones algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico.

» Habilidades

• Obtiene la solución de ecuaciones cuadráticas. • Aplica técnicas algebraicas de despeje o extracción de un factor común. • Resuelve ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable. • Utiliza la técnica de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable. • Representa y soluciona situaciones con ecuaciones cuadráticas.

»

SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

UNIDAD DE COMPETENCIA

»

• Aplica transformaciones algebraicas para despejar la variable en una ecuación cuadrática pura. • Extrae factor común para factorizar una ecuación cuadrática mixta. • Aplica la propiedad del producto cero para hallar las raíces de una ecuación cuadrática mixta. • Resuelve ecuaciones cuadráticas completas mediante la técnica de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos. • Reconoce que una ecuación cuadrática puede tener raíces reales, o raíces complejas, en pares conjugados, y escribe las ecuaciones cuadráticas a partir de sus raíces. • Resuelve o formula problemas de su entorno, u otros ámbitos, que pueden representarse y solucionarse mediante una ecuación o una función cuadrática. • Efectúa las correspondientes conversiones de unidades, en situaciones modeladas con ecuaciones cuadráticas donde se presentan distintas unidades de medición.

» Actitudes y valores

• Aprecia la utilidad de utilizar métodos específicos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. • Valora la importancia de contar con un método algebraico para resolver todo tipo de ecuación cuadrática en una variable. • Valora la aplicabilidad de las ecuaciones cuadráticas para representar y resolver diversas situaciones.

B9

 INTRODUCCIÓN Corresponde ahora estudiar las ecuaciones cuadráticas, completas o incompletas, a partir de modelar situaciones de diversos contextos, diferentes métodos algebraicos de solución.

Evaluación diagnóstica Efectúa en tu cuaderno los siguientes ejercicios y subraya la opción que muestra el resultado correcto: 1. Ricardo aceptó un empleo como vendedor de un producto. Su sueldo será de 10 dólares por cada unidad vendida x, más una comisión diaria de 35 dólares. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el sueldo y de cinco días de trabajo? a) y = 5 ( x + 35 ) b) y = 5x + 5 ( 35 ) c) y = 5 ( 35x ) + 10 d) y = 5 (10x + 35 ) 2. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales? x + y = 15 3x − 2y = 20 a) x = 5, y = 10

b) x = 7, y = 8

c) x = 10, y = 5

d) x = 8, y = 7

3. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho que es x. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área del rectángulo, en unidades cuadradas?

a) 3x

b) 4x

c) 6x

d) 2x2

4. Una tina de baño se llena en media hora con la llave del agua caliente y en 15 min con la llave de agua fría. La tina se desagua en 60 min. ¿Cuál es la expresión que indica el tiempo de llenado con ambas llaves y el desagüe abierto? a)  1 + 1 + 1  x = 1  30 15 60  b)  1 + 1 − 1  x = 1    30 15 60  286

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

c)

x x x + + =1 30 15 60

d)

1 1 1 + + =x 30 15 60

5. En la expresión ( x − 4 )( x + 1) = 0 , ¿qué valores de x satisfacen la igualdad? a) x = 4, x = −1

b) x = −4, x = 1

c) x = 2, x = 1

d) x = 3, x = 0

6. ¿Cómo completas la expresión x 2 + 6x para que sea trinomio cuadrado perfecto? 7. En la expresión ( x − 5 ) = 9 , ¿qué valor de x satisface la igualdad? 2

a) x = 4, x = −1

b) x = −4, x = 1

c) x = 2, x = 1

d) x = 3, x = 0

8. En la ecuación ( x − 2 ) = 0 , ¿qué valor de x satisface la igualdad? 2

a) x = 1

b) x = 2

c) x = 4

d) x = 0

9. En la ecuación x 2 = 361, ¿qué valor de x satisface la igualdad? a) x = 3

b) x = −2

10. ¿Qué número debe ir dentro del radical

c) x = −3

d) x = 2

?

a) El doble de 15 b) El cuadrado de 15 c) La potencia de 15 d) La mitad de 15

Actividad introductoria Modelando con ecuaciones cuadráticas. Organizados en equipos de tres integrantes y monitoreados por su profesor, realicen los cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar la ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuesta correspondiente. 1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168. a) 12 y 14

b) 24 y 7

c) 6 y 28

d) 4 y 4 287

B9

 2. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380. a) 10 y 29

b) 15 y 24

c) 25 y 14

d)19 y 20

Al finalizar elíjase uno de los equipos para exponer sus resultados frente al grupo.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Si una ecuación tiene sólo una incógnita y el mayor exponente de ésta es dos, entonces se tiene una ecuación de segundo grado con una incógnita, también llamada ecuación cuadrática. Al resolver una ecuación de este tipo, pueden encontrarse dos soluciones, una solución, o bien, la ecuación puede no tener solución, en los reales. Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene la forma: ax2 + bx + c = 0 donde: a, b y c son números reales, con a ≠ 0. ax2 es el término cuadrático. bx es el término lineal. c es el término independiente.

Para la ecuación anterior, si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama completa; pero si b o c son iguales a cero se tiene una ecuación incompleta. La ecuación cuadrática es de gran importancia y se presenta frecuentemente no sólo en matemáticas, sino también en física, química, biología, etc., ya que modela muchos fenómenos relacionados con estas ciencias. Por ejemplo, en física el modelo que describe el movimiento de caída libre es: h = 4.9t2 Para representar la energía potencial elástica, el modelo es:

288

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

EP = 1 kx 2 2

El modelo que permite calcular el área de un círculo es. A = π r2 Ejemplo El siguiente caso presenta una situación que puede modelarse por medio de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Para encontrar el modelo que permite calcular la longitud de un tensor que sujeta a una torre, si éste mide dos unidades más que la altura de la torre, y desde la base de la torre hasta donde se sujeta el tensor mide una unidad más que la altura de la torre. Solución: En la figura se observa un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa representa el tensor y los catetos (base y altura de la torre). Donde: Altura de la torre: x Longitud de la base hasta donde se sujeta el tensor: x + 1 Longitud del tensor: x + 2 Al tener en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x + 2)2 = (x + 1)2 + x2

Así, x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2 Luego, la ecuación que modela esta situación es: x2 – 2x – 3 = 0 Una vez encontrada la ecuación se procederá a resolverla aplicando algún método de solución algebraico que estudiaremos a continuación, o gráfico que abordaremos en el siguiente bloque.

289

B9

 Actividad Diseña una ecuación que modele cada una de las situaciones planteadas. Al finalizar compara tus modelos con los de tus compañeros. 1. Encuentra el número distinto de cero que es igual al doble de su cuadrado. 2. Si al doble del cuadrado de un número se le resta el triple del mismo el resultado es cero. Halla el número, si éste es distinto de cero. 3. En un rectángulo, la base mide el triple que la altura. Si se disminuye en 1 centímetro cada lado, el área inicial disminuye en 15 centímetros. Calcula las dimensiones y el área del rectángulo inicial. 4. Halla 3 números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros 2, se obtiene como resultado 7. 5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo ¿cuántos años tiene ahora cada uno?

Métodos de solución Hemos mencionado en el bloque VI que resolver una ecuación significa encontrar el valor real de la variable que cumple la igualdad. Ahora bien, para una ecuación cuadrática se pueden encontrar sólo dos valores reales que satisfacen tal ecuación, mismos que son las soluciones o raíces de la ecuación. Si existen efectivamente dos soluciones, éstas se designan por x1 y x2. Si sólo hay una solución, por x1. Si no se encuentra un valor real que cumpla la igualdad, se concluye que la ecuación no tiene solución en los números reales, por tanto, las soluciones se encuentran en los números complejos y se llaman raíces complejas o imaginarias. Pero, ¿cómo se encuentran las soluciones de una ecuación cuadrática? Hay algunos métodos de solución, los que abordaremos en este bloque serán los métodos algebraicos despeje para ecuaciones incompletas y factorización. Veamos. Métodos algebraicos Despeje para ecuaciones incompletas Abordemos la solución para ecuaciones incompletas, es decir, la ecuación cuadrática:

290

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0, donde los coeficientes b o c son iguales a cero, de donde se desprenden dos casos. Caso 1 Si b = 0, se tiene una ecuación de segundo grado con una incógnita en la que falta el término lineal, es decir, la ecuación tiene la forma: ax2 + c = 0 Para resolver esta ecuación bastará despejar x como sigue: ax 2 + c = 0 ax 2 = −c c x2 = − a x=± −

c a

Ejemplos I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + c = 0 y hagamos la comprobación de las mismas. 1. x 2 − 4 = 0 Solución: x2 − 4 = 0 2

x =4 x=± 4 de donde x1 = 4 = 2 x 2 = − 4 = −2

Comprobación: Para x1 = 2

( 2)

2

−4=0

4−4=0 0=0



Para x 2 = −2 2 ( −2 ) − 4 = 0 4−4=0 0=0

Se verifica la igualdad; luego x1 = 2 y x 2 = −2 , son las raíces de la ecuación x2 − 4 = 0

2. 4x 2 − 25 = 0

291

B9

 Solución:

Comprobación:

4 x 2 − 25 = 0 25 x2 = 4 25 x=± 4 de donde x1 =

2

 5 4  −  − 25 = 0  2  25  4   − 25 = 0  4  25 − 25 = 0 0=0

2

25 5 = 4 2

x2 = −

5

5

Para x1 = Para x 2 = − 2 2

25 5 =− 4 2

5 4   − 25 = 0 2  25  4   − 25 = 0  4  25 − 25 = 0 0=0

Se verifica la igualdad; luego x1 =



5 5 y x2 = − , 2 2

son las raíces de la ecuación 4x 2 − 25 = 0

Caso 2 Si c = 0, se tiene una ecuación de segundo grado con una incógnita en la que falta el término independiente, es decir, la ecuación tiene la forma: ax2 + bx = 0 Para resolver esta ecuación se aplica la factorización por término común de donde se desprenden las dos soluciones como sigue: ax 2 + bx = 0 x1 = 0   x ( ax + b ) = 0 →  b ax + b = 0 → x 2 = − a Ejemplos I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas incompletas, ahora de la forma ax2 + bx = 0 y hagamos también la comprobación.

1. x 2 − 4x = 0 Solución: x2 − 4x = 0 x (x − 4) = 0 de donde x1 = 0 x − 4 = 0 → x2 = 4

292

Comprobación: Para x1 = 0 Para x 2 = 4

(0)

2

− 4(0) = 0

0−0 =0 0=0

(4)

2

− 4(4) = 0

16 − 16 = 0 0=0

Se verifica la igualdad; luego x1 = 0 y x 2 = 4 , son las raíces de la ecuación x 2 − 4x = 0 .

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

2. 6x 2 − 7x = 0 Solución: 6 x 2 − 7x = 0 x (6 x − 7) = 0 de donde x1 = 0 7 6x − 7 = 0 → x2 = 6

Comprobación: Para x1 = 0

Para x 2 = 2

6(0) − 7(0) = 0 2

0−0 =0 0=0

7 6



7 7 6  − 7  = 0 6   6  49  49 =0 6  −  36  36 49 49 − 36 36 0=0

Se verifica la igualdad; luego x1 = 0 y x 2 =

7 , 6

2 son las raíces de la ecuación 6x − 7x = 0

Factorización Para encontrar las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática completa, es decir, la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0, donde los coeficientes b y c son distintos de cero, podrá aplicarse el método algebraico por factorización; nuevamente se presentan dos casos: Caso 1 Este caso se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual es posible factorizar. Para resolver esta ecuación, se factoriza correctamente la expresión ax2 + bx + c, y los factores resultantes se igualan a cero de donde, despejando la incógnita en cada igualdad se obtendrán las raíces de la ecuación. Ejemplos I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas completas aplicando factorización y efectuemos la comprobación. 1. x2 – 5x –14 = 0 Se factoriza la ecuación: (x + 2) (x – 7) = 0 Al igualar los dos factores a cero, se tiene: x + 2 = 0 y x – 7 = 0 Al despejar x en estas igualdades se encuentran los valores x = –2 y x = 7 Así, las soluciones o raíces de la ecuación x2 – 5x –14 = 0 son: x1-2 y x2=7 293

B9

 Comprobación: Para x1 = 7

(7 )

2

− 5 ( 7 ) − 14 = 0

49 − 35 − 14 = 0 49 − 49 = 0

Para x2 = –2

( −2 )



2

− 5 ( −2 ) − 14 = 0



4 + 10 − 14 = 0 14 − 14 = 0

0=0

0=0

Se verifica la igualdad; luego x1 = 0 y x 2 = 4 , son las raíces de la ecuación x 2 − 4x = 0

2. 6x2 + 11x –10 = 0 Se factoriza la ecuación: (3x – 2) (2x + 5) = 0 Al igualar los dos factores a cero, se tiene: 3x – 2 = 0 y 2x + 5 = 0 2 5 yx=− 3 2 2 5 Así, las soluciones o raíces de la ecuación 6x2 + 11x –10 = 0 son: x1 = y x 2 = − 3 2 Despejando x en estas igualdades se encuentran los valores x =

Comprobación: Para x1 =

2

2 3

2 2 6   + 11  − 10 = 0 3 3 4 22   6   + − 10 = 0 9 3 8 8 − =0 3 3 0=0

Para x 2 = −

5 2

2

 5  5 6  −  + 11 −  − 10 = 0  2  2  25  55 6   − − 10 = 0  4  2 75 75 − =0 2 2 0=0

Caso 2 Éste se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual no es posible factorizar inmediatamente. Para resolver esta ecuación de la b

c

forma ax2 + bx + c = 0 se busca expresarla como x 2 + x = − y a partir de a a ésta se procede como sigue:

294

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

A partir de la forma: Se completa a trinomio cuadrado b c 2 perfecto (T.C.P) el miembro x + a x = − a izquierdo de la ecuación, atendiendo 2 2 que el término que completa a x 2 + b x +  b  = − c +  b   2a  a a  2a  T.C.P se sume de ambos lados de la 2 ecuación.  c b2 b Se factoriza el T.C.P. a binomio cuadrado al cuadrado.

x +  = − +  a 4a 2a  2

 b c b2 x +  = ± − +  2a  a 4a

Se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad.

x+

Se efectúan los procesos algebraicos necesarios para despejar x.

b c b2 =± − + 2a a 4a

x+

b2 − 4c b =± 2a 4a

x+

b b2 − 4c =± 2a 2a

x =− x=

Las soluciones o raíces de la ecuación son:

b b2 − 4c ± 2a 2a

−b ± b2 − 4c 2a

x1 =

−b + b2 − 4c −b − b2 − 4c y x2 = 2a 2a

Ejemplos I. Encontremos las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas completando a trinomio cuadrado perfecto y efectuando la comprobación respectiva. 1. x2 – 6x – 7 = 0 Se expresa la ecuación en la forma indicada: x2 – 6x = 7 Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación, recordando que: • Se procede a dividir entre 2 el coeficiente del término lineal. Para este ejemplo:

−6 = −3 2

• El resultado así obtenido se eleva al cuadrado. (–3)2 = 9 295

B9

 Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadrado perfecto y por la propiedad aditiva de la igualdad, debemos sumarlo a ambos lados, como sigue: x2 – 6x + 9 = 7 + 9 Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado: (x – 3)2 = 16 Se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. x – 3 = ± 16 Se despeja x:

x – 3 =



±4

x = ±4 + 3

Donde:





x=4+3

x=–4+3

y

Así, las soluciones o raíces del sistema son: x1 = 7 y x 2 = −1 Comprobación: Para x1 = 7 Para completar a trinomio cuadrado perfecto, atiende que el coeficiente del término cuadrático sea la unidad (1), siendo necesario en ocasiones, dividir la ecuación por el coeficiente de dicho término cuadrático.

(7 )

2

− 6 (7 ) − 7 = 0

Para x2 = –1





( −1)

2

− 6 ( −1) − 7 = 0

1+ 6 − 7 = 0 7−7 = 0 0=0

49 − 42 − 7 = 0 49 − 49 = 0 0=0

2. 5x2 – 7x – 9 = 0 Se expresa la ecuación en la forma indicada: 7 9 x2 − x = 5 5 Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación, recordando que: •

Se procede a dividir entre 2 el coeficiente del término lineal. 7 Para este ejemplo: 5 7 7 = = 2 2 ( 5 ) 10

296

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

• El resultado así obtenido se eleva al cuadrado. 2

49  7    = 10 100   Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadrado perfecto y por la propiedad aditiva de la igualdad, debemos sumarlo a ambos lados, como sigue:

7 49 9 49 x2 − x + = + 5 100 5 100

Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado:

2

7  229  x −  = 10  100 

Se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad.

x−

7 229 =± 10 100

Se despeja x: x −

7 229 =± 10 10

x=

De donde:



x=

7 229 7 ± 229 ± = 10 10 10

7 + 229 7 − 229 y x = 10 10

Así, las soluciones o raíces del sistema son: x1 = .

7 − 229 7 + 229 = −0.81 = 2.21 y x 2 = 10 10

Comprobación:

Para x1 =

7 + 229 10

297

B9

 2

 7 + 229   7 + 229  5   − 7   − 9 = 0  10   10   49 + 14 229 + 229  49 7 229 − −9 = 0 5   − 100 10   10 49 7 229 229 49 7 229 + + − − −9 = 0 20 10 20 10 10 139 139 − =0 10 10 0=0 3. 5x2 - 4x + 1 = 0 Se expresa la ecuación en la forma indicada: 4 1 x2 − x = − 5 5

Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación, recordando que: •

Se procede a dividir entre 2 el coeficiente del término lineal. 4 4 2 Para este ejemplo: 5 = − = − 2 10 5 −

•

El resultado así obtenido se eleva al cuadrado. 2

4  2 −  =  5  25 Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadrado perfecto y por la propiedad aditiva de la igualdad, debemos sumarlo a ambos lados, como sigue: 4 4 1 4 x2 − x + =− + 5 25 5 25 Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado: 2

2 1  x −  = − 5 25  Se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad.

298

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

x−

2 1 =± − 5 25

Se despeja x: x=

2 1 ± − 5 25

Una raíz imaginaria o compleja, es un número cuyo cuadrado es negativo; se representa como bi, donde b es un número real e i es la unidad imaginaria con la propiedad siguiente:

De donde, x=

2 1 ± ( −1) 5 25

2  1  ±  5  25  2 1 = ± i 5 5 =

(

)

−1

i 2 = – 1, de donde i =

−1 Las soluciones complejas se expresan como

2 i   x1 = 5 + 5 Luego,  x = 2 − i  2 5 5

a ± bi

Así, las soluciones o raíces del sistema son complejas (imaginarias): 2 i x1 = + 5 5

y

2 i x2 = − 5 5

Otros métodos de solución de una ecuación cuadrática son el gráfico y por fórmula general, motivos de estudio del siguiente bloque.

Actividad I. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + c = 0 y comprueba que las raíces encontradas son correctas. 1. x 2 + 9 = 0 2. 3x 2 + 12 = 0 3. −2x 2 − 10 = 0 4. 7x 2 + 11 = 0 5. 5x 2 − 15 = 0 299

B9

 6. −81x 2 − 16 = 0 7. −x 2 + 18 = 0 8. 8x 2 + 20 = 0 9. 1 x 2 − 4 = 0 2 II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + bx = 0 y comprueba que las raíces encontradas son correctas. 1. x 2 + 3x = 0 2. 3x 2 − 9x = 0 3.−x 2 − 4x = 0 4. 14x 2 − 17x = 0 5. −5x 2 − 20x = 0 6. 12x 2 − 48x = 0 7. −3x 2 − 18x = 0 8.

1 2 1 x + x=0 2 3

9. 1 x 2 − 4 x = 0 2 3

III. Aplicando factorización resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas y comprueba que las raíces encontradas son correctas. 1. x 2 − x − 2 = 0 2. x 2 − 3x − 4 = 0 3. x 2 + 10x + 25 = 0 4. 2x 2 + 5x − 3 = 0 5. x 2 − 10x + 24 = 0 6. 2x 2 − 3x − 5 = 0 7. 3x 2 − 12x + 12 = 0 8. x 2 + 5x − 6 = 0 9. x 2 − 2x − 15 = 0 10. 3x 2 − 5x + 2 = 0 11. −63x 2 − 29x + 4 = 0 12. −65x 2 − 29x + 4 = 0 300