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PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010
MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
Junio, Ejercicio 4, Opción A
Junio, Ejercicio 4, Opción B
Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A
Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B
Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A
Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B
Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A
Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B
Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A
Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B
Septiembre, Ejercicio 4, Opción A
Septiembre, Ejercicio 4, Opción B
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Considera las rectas r y s de ecuaciones: x 1 y 1 z
y
x 2 y 1 yz 1
a) Determina su punto de corte. b) Halla el ángulo que forma r y s. c) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Resolvemos el sistema formado por las cuatro ecuaciones.
y x 1
y 1 z x 3 ; y 2 ; z 1 x 2 y 1 y z 1 Luego, el punto de corte es: (3, 2, 1) b) Pasamos las dos rectas a paramétricas. x 1 y x 1 y 1 z y y A (1, 0,1) ; u (1,1, 1) z 1 y x 1 2 y x 2 y 1 y y B ( 1, 0,1) ; v (2,1, 1) yz 1 z 1 y
El ángulo que forman r y s es el ángulo que forman sus vectores directores, luego:
cos
u v
u v
2 11 4 0 '9428 19 '47º 3 6 18
c) El plano viene definido por el punto A y los vectores directores de las rectas, luego: x 1
1
2
y
1
1 0 y z 1 0
z 1 1
1
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Los puntos P (2, 0, 0) y Q ( 1,12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S
4 x 3 z 33 pertenece a la recta r de ecuación . y 0 a) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S. b) Comprueba si el triángulo es rectángulo. MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Pasamos la ecuación de la recta a paramétricas. 33 3 z x 4 4 x 3 z 33 y0 y 0 zz 33 3t , 0, t . Calculamos el vector Cualquier punto de la recta tendrá de coordenadas S 4 33 3t 25 3t PS 2, 0, t 0 , 0, t . Este vector es perpendicular al vector director de la 4 4 recta, luego, su producto escalar vale cero. 75 9t 3 25 3t u PS 0 , 0,1 , 0, t 0 t 0 t 3 16 16 4 4
33 9 , 0,3 6, 0,3 Luego, el punto S tiene de coordenadas S 4
b) Calculamos el vector PQ 3,12, 4 .
PQ PS 3,12, 4 4, 0,3 0 Son perpendiculares, luego, el triángulo es rectángulo en P.
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Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 6 x 3 y 2 z 6 con los ejes de coordenadas. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N Calculamos los puntos de corte del plano con los ejes coordenados: A (1, 0, 0) ; B (0, 2, 0) ;
C (0, 0, 3) . Calculamos los vectores AB ( 1, 2, 0) y AC ( 1,0,3) .
i
j
k
Hacemos el producto vectorial de los vectores: 1
2
0 6 i 3 j 2 k
1
0
3
Área del triángulo =
1 1 módulo AB AC 2 2
6 2 32 2 2
7 2 u 2
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Sean los puntos A(1,1,1) , B( 1, 2, 0) , C (2,1, 2) y D( t , 2, 2) a) Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en un mismo plano. b) Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contenga al punto C. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la ecuación del plano que pasa por A, B y C. Para ello calculamos los vectores
AB ( 2,1, 1) y AC (1,0,1)
x 1 2 1 y 1
1 0 x 1 y 1 z 1 2 y 2 0 x y z 1 0
z 1 1 1
Para que el punto D pertenezca al plano debe verificar la ecuación, luego: x y z 1 0 t 2 2 1 0 t 5
b) Si es perpendicular al segmento AB, entonces el vector normal del plano es el vector
AB ( 2,1, 1) , luego, el plano tiene de ecuación: 2 x y z D 0 .
Como queremos que pase por el punto C, debe verificar esa ecuación. 2x y z D 0 2 2 1 2 D 0 D 5
Luego el plano pedido es: 2 x y z 5 0
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x2 z 1 y 1 2 3 a) Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B. b) Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene a los puntos A y B. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Considera los puntos A(1, 0, 2) y B( 1, 2, 4) y la recta r definida por
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el vector AB ( 2, 2, 2) y hallamos el punto medio del segmento AB , M (0,1,3) . El plano perpendicular tiene de ecuación: 2 x 2 y 2 z D 0 y como tiene que pasar por el punto M, tenemos: 2 x 2 y 2 z D 0 2 0 2 1 2 3 D 0 D 8 Luego, el plano pedido es: 2 x 2 y 2 z 8 0 x y z 4 0 b) Calculamos la recta que pasa por A y B:
x y 1 0 x 1 y z 2 x z 3 0 2 2 2
Hallamos el haz de planos que contiene a dicha recta: x y 1 k ( x z 3) 0 (1 k ) x y kz 1 3k 0 El vector normal de dicho plano debe ser perpendicular al vector director de la recta r, luego, su producto escalar debe valer cero.
(1 k ,1, k ) (2,1,3) 0 2 2k 1 3k 0 k
3 5
Luego, el plano pedido es: 3 x y 1 k ( x z 3) 0 x y 1 ( x z 3) 0 2 x 5 y 3 z 4 0 5
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Considera los puntos A(1,1,1) , B(0, 2, 2) , C ( 1, 0, 2) y D(2, 1, 2) a) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. b) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos los vectores AB ( 1, 3,1) ; AC ( 2, 1,1) y AD (1, 2,1) . El volumen del tetraedro será: 1 2 1 1 1 5 V 3 1 2 5 u 3 6 6 6 1 1 1
b) El vector director de la recta es el vector normal del plano, luego:
i
j
k
AB AC 1
3
1 2 i j 5 k ( 2, 1, 5)
2
1
1
La recta que nos piden es:
x 2 y 1 z 2 2 1 5
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Considera los puntos A(1, 2,1) y B( 1, 0, 3) . a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. b) Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a)
Calculamos el vector: AB ( 2, 2, 2) . Según la figura, se cumple que:
AM
1 2 2 2 2 2 1 4 5 2 AB , , ( x 1, y 2, z 1) M 1 , 2 ,1 , , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
El punto N es el punto medio del segmento MB, luego:
4 5 1 3 1 3 0 3 3 1 2 7 N , , , , 2 2 2 3 3 3
b) El vector normal del plano es AB ( 2, 2, 2) , luego, la ecuación de todos los planos perpendiculares al segmento AB es: 2 x 2 y 2 z D 0 . Como queremos el plano que pasa por el punto A, se debe verificar que: 2 1 2 2 2 1 D 0 D 4 Luego, el plano pedido es: 2 x 2 y 2 z 4 0 x y z 2 0
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Considera el plano definido por 2 x y nz 0 y la recta r dada por
m 0. a) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano . b) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN B
x 1 y z 1 con m 4 2
R E S O L U C I Ó N a) Si la recta es perpendicular al plano, el vector normal del plano (2, 1, n) y el vector director de la recta (m, 4, 2) , son paralelos, luego: 2 1 n 1 m 8 ; n m 4 2 2
b) Si la recta está contenida en el plano, el punto A (1, 0,1) de la recta debe pertenecer al plano, luego: 2 1 0 n 1 0 n 2 Además, si la recta está contenida en el plano, el vector normal del plano (2, 1, n) y el vector director de la recta (m, 4, 2) , son perpendiculares, luego: (2, 1, 2) ( m, 4, 2) 0 2m 4 4 0 m 4
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Halla el punto simétrico de P (1,1,1) respecto de la recta r de ecuación
x 1 y z 1 . 2 3 1
MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
De la recta r sabemos: A (1 2t ,3t , 1 t ) ; u (2,3, 1)
Para calcular el simétrico del punto P (1,1,1) respecto de la recta, el vector PA (2t ,3t 1, 2 t )
y el vector u (2,3, 1) tienen que ser perpendiculares, luego:
PA u 0 (2t ,3t 1, 2 t ) (2,3, 1) 0 4t 9t 3 2 t 0 t
1 16 3 15 A , , 14 14 14 14
El punto simétrico cumple que: P P' 1 a 1 b 1 c 16 3 15 9 4 22 A , , , , P' , , 2 2 2 14 14 14 7 2 7 7
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Sean los puntos A(2, , ) , B( , 2, 0) y C (0, , 1) . a) ¿Existe algún valor de para el que los puntos A, B y C estén alineados?. Justifica la respuesta. b) Para 1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) Para que los puntos estén alineados, las coordenadas de los vectores AB ( 2, 2 , ) y
AC ( 2, 0, 1) , deben ser proporcionales, luego:
2 0 2 2 2 2 0 1 2 0 1 2 2 2 2
b) El plano viene definido por el punto A (2,1,1) y los vectores
AB ( 3,1, 1) y
AC ( 2, 0, 1) . Luego, su ecuación es:
x 2 3 2 y 1
1
z 1
1
0 0 x 2 2 y 2 2z 2 3y 3 0 x y 2z 1 0 1
d
Ax 0 By 0 Cz 0 D A B C 2
2
2
1 0 1 0 2 0 1 1 1 2 2
2
2
1 u 6
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x 2 y 11 0 Halla la ecuación del plano que es paralelo a r de ecuaciones y contiene a la recta 2 y z 19 0 x 1 5 s definida por y 2 3 z 2 2 MATEMÁTICAS II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N x 11 2 y x 2 y 11 0 r y y Pasamos la recta r a paramétricas r 2 y z 19 0 z 19 2 y
La recta r, viene definida por el punto A ( 11, 0,19) y el vector director u (2,1, 2) . La recta s, viene definida por el punto B (1, 2, 2) y el vector director v ( 5,3, 2) . El plano que nos piden viene definido por el punto B y los vectores u y v , luego su ecuación será: x 1
2
y2
1
z2
2
5 3 8 x 6 y 11z 18 0 2
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Considera los planos 1 , 2 y 3 dados respectivamente por las ecuaciones x y 1 , ay z 0 y x (1 a ) y az a 1 a) ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común?. b) Para a 0 , determina la posición relativa de los planos. MATEMÁTICAS II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
1
1
0
A 0
a
1 a 2 a 0 a 1 ; a 0
1 1 a a
R(A)
R(M)
a0
2
2
S. Compatible Indeterminado
a 1
2
3
S. Incompatible
a0 y 1
3
3
S. Compatible Determinado
a) Para que los tres planos no tengan ningún punto en común tiene que ser a 1 . b) Para a 0 , dos planos son coincidentes y el tercero los corta.
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