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Corriente alterna A Conceptos 1 Corriente alterna y corriente directa En la corriente directa, o continua , la intensidad de la corriente puede disminuir, pero su polaridad, esto es, el sentido de circulaci´ on de la corriente, se mantiene constante en el tiempo. La corriente alterna cambia su magnitud y sentido al transcurrir el tiempo. La forma m´ as com´ un de transmitir corriente alterna es la senoidal: I(t) = Imax sen(wt) Donde Imax es la corriente m´ axima alcanzada, y w la frecuencia angular de la onda. De ahora en adelante j se ocupar´ a como la unidad imaginaria, para no confudirla con i, que se podr´ıa usar como corriente. La notaci´ on exponencial en ciertos casos es m´ as c´omoda para realizar c´alculos: ejθ = cos(θ) + jsen(θ) En donde θ = wt. Si el voltaje y la corriente est´ an desfasadas, entonces: I(t)

= Imax ejwt

V (t)

= Vmax ej(wt+δ)

Con δ el desfase entre las ondas. De las Fig.1 y Fig.2 se observan los m´ aximos valores de corriente y voltaje. Estos son instant´aneos, al igual que todos los puntos sobre las ondas senoidales.

2 Resistencia e impedancia el´ ectrica La resistencia el´ectrica es una medida que muestra el grado de oposici´on al paso de la corriente el´ectrica. Se define para corriente directa y alterna. La impedancia es un n´ umero complejo que da cuenta no solo de la resistencia, sino que tambi´en de efectos derivados de la dependencia a la frecuencia de ciertos componentes de un circuito, como los condensadores e inductores: Z = R + jX Donde X es la reactancia, que es la oposici´ on al CAMBIO de la corriente o el voltaje.

3 Retraso o adelantamiento de la corriente y el voltaje La frecuencia en la corriente alterna muestra la rapidez con que ´esta var´ıa en el tiempo. Al describirse como ondas, el voltaje o la corriente pueden adelantarse o retrasarse una con respecto a la otra.

1

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Figura 1. El voltaje y la corriente est´ an desfasados 90o (o π2 [rad]) pero, ¿qui´en adelanta a qui´en?; la corriente llega primero a su m´ aximo, por lo que la corriente adelanta 90o al voltaje, o lo que es lo mismo, el voltaje se retrasa 90o con respecto a la corriente.

Figura 2. Este es el caso inverso de la Fig.1.

2

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4 Potencia, voltaje y corriente media Los valores eficaces, o rms, de la corriente y voltaje se definen como las equivalentes en corriente continua que genera la misma potencia que la potencia media, Prms , que la se˜ nal alterna. De la ley de Ohm, se tiene: V = IR → P = IV = I 2 R =

V2 R

Primero, para el caso de Vrms , obtenemos: 2 Vrms 1 = R T

Z 0

T

(V (t))2 V2 dt = max R RT

Z

T

sen2 (wt)dt =

0

2 Vmax Vmax → Vrms = √ 2R 2

Para la corriente eficaz, Irms , el c´ alculo es el mismo, y se obtiene Irms =

Imax √ . 2

  La potencia el´ectrica para corriente directa es simplemente P = V I, medida en [W ] = Js , o sea, energ´ıa partido por tiempo. Para corriente alterna, la potencia es una funci´on dependiente del tiempo, y se define una potencia media, integrando a lo largo de un periodo y dividiendo por ´el: P (t) = V (t)I(t)

=

Prms

=

Vmax Imax sen(wt)sen(wt + δ) Z Vmax Imax T sen(wt)sen(wt + δ)dt = Vmax Imax cos(δ) T 0

En la u ´ltima l´ınea, cos(δ) se denomina factor de potencia. Se observa claramente que no hay potencia media (Prms ) si el voltaje y la corriente tienen un desfase (δ) igual a 90o o π2 . Como en todos los sistemas f´ısicos, la energ´ıa suministrada a un circuito, sea de corriente directa o alterna, no se puede transformar completamente en trabajo (por ejemplo, el 100 % de la energ´ıa el´ectrica en movimiento), siempre hay p´erdidas, que en estos circuitos son principalmente t´ermicas.

B Componentes principales 1 Generador o fuente El generador el´ectrico, entrega la diferencia de potencial necesaria para el funcionamiento de los circuitos. La fem puede ser alterna o directa, y puede ser producida de muchas formas, ya sea qu´ımica, solar, o mec´anica

2 Resistencia La resistencia o resistor en un circuito restringe la corriente que pasa por un aparato el´ectrico (ejemplo led). Como idealmente no responde a la frecuencia, el voltaje en una resistencia est´a en fase con la corriente. Con V (t) = VR (t) y I(t) = IR (t), con el subindice R de resistencia: V (t) = I(t)R → Vmax ej(wt+δ) = RImax ej(wt+δ) → Vmax = Imax R

3

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3 Capacitor El capacitor o condensador es un elemento que almacena energ´ıa en forma de campo el´ectrico. En un circuito de corriente continua circular´ a la corriente hasta que el condensador se cargue completamente. En cambio, en corriente alterna sufrir´ a sucesivas cargas y descargas , y el campo el´ectrico que sustenta entre sus placas provocar´a desfases entre la corriente y el voltaje. Con V (t) = VC (t) y I(t) = IC (t), se tiene la relaci´on entre el voltaje y la corriente para un condensador de capacitancia C:

VC (t) =

1 C

Z

IC (t)dt → Vmax ejwt =

1 C

Z

Imax ejwt dt → Vmax ejwt =

Imax jwt e jwC

(1)

Donde C es la capacitancia del condensador. Trabajar con n´ umeros complejos ahorra mucho tiempo, pero si no se tiene pr´ actica es mejor hacerlo con funciones trigonom´etricas regulares:

Vmax sen(wt) =

1 C

Z Imax sen(wt)dt → Vmax sen(wt) = −

Imax cos(wt) wC

(2)

Tanto el cuadro de la Ec.1 como el de Ec.2 muestran el mismo desfase entre corriente y voltaje; pero es m´ as facil verlo en la Ec.2:  π −cos(wt) = sen wt − 2

(3)

De la relaci´ on de la Ec.2 y la Ec.3 se obtiene:

Vmax sen(wt) = Con

1 wC

 π Imax sen wt − wC 2

= XC , la reactancia capacitiva, que disminuye al aumentar la frecuencia w.

Finalmente se encuentra que: VC (t)

=

IC (t)

=

π ) 2 XC Imax sen (wt) Vmax sen(wt −

π 2.

Entonces la corriente adelanta al voltaje por Para comprenderlo mejor, hay que preguntarse que sucede cuando wt vale cero; IC (0) = 0 y entre 0 y π la funci´ on est´ a en el cuadrante positivo, mientras que VC (0) = −Vmax es m´ as bajo que el valor de la corriente. Para mover una carga dq desde una placa negativa del condensador a la placa positiva el trabajo necesario es V dq. Sabiendo que el voltaje es proporcional a la carga que est´a en el condensador, se obtiene: dU = V dq =

q dq C

Cuando el condensador est´ a cargado al m´ aximo, entonces la energ´ıa almacenada en el condensador es: Z U= 0

Q

q Q2 dq = C 2C 4

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4 Inductor El inductor, com´ unmente una bobina, es un elemento que almacena energ´ıa en forma de campo magn´etico. Para la inductancia por lo general se utiliza la letra L en honor a Heinrich Lenz. Si el voltaje entre los extremos de la inductancia es VL (t) = Vmax sen(wt) y la corriente IL (t) = Imax sen(wt), se obtiene:

Vmax sen(wt) = L Sabiendo que cos(wt) = sen wt +

π 2




d [Imax sen(wt)] → Vmax sen(wt) = wLImax cos(wt) dt

, entonces:  π Vmax sen(wt) = wLImax sen wt + 2

Con wL = XL , la reactancia inductiva, que aumenta al aumentar la frecuencia. El voltaje y la corriente en el inductor queda: VC (t)

= Vmax sen(wt)

IC (t)

= XL Imax sen(wt −

π ) 2

O lo que es igual: VC (t)

=

IC (t)

=

π ) 2 XL Imax sen(wt) Vmax sen(wt +

Por lo que en un inductor el voltaje adelanta a la corriente

π 2.

La potencia instant´ anea que se debe suministrar para iniciar la corriente en una inductancia es:

P = iV = Li

di dt

Entonces P dt = Lidi y la energ´ıa almacenada en el inductor es: Z U=

I

Lidi = 0

LI 2 2

5 Transformador Al sistema de la Fig.1 se le denomina transformador, y consiste en una bobina conectada a corriente alterna que generar´ a un campo magn´etico variable, produciendo una corriente en otra bobina. Si a esto se le a˜ nade un n´ ucleo de acero 5

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magn´etico, entonces el campo magn´etico variable se direccionar´a mejor y la conversi´on de campo magn´etico a corriente ser´ a m´ as eficiente.

Figura 3. Las dos bobinas y el n´ ucleo est´ an el´ectricamente aisladas, la u ´nica interacci´on entre ellas es magn´etica.

Los voltajes son eficaces (rms). La relaci´ on entre el voltaje inductor (primario o entrada), el voltaje inducido (secundario o salida), con la cantidad de espiras (vueltas) en las bobinas primaria y secundaria, y con la corriente inductiva e inducida es: Vp Np Is = = Vs Ns Ip Como se observa, el transformador sirve para pasar de un voltaje bajo a uno m´as alto, a expensas de una disminuci´ on en la corriente. “Cambiar” voltaje por corriente es u ´til cuando se requiere transportar energ´ıa el´ectrica por grandes distancias, ya que las p´erdidas t´ermicas por el efecto Joule pueden ser significativas.

C Circuitos RLC 1 RLC en serie

Figura 4. Circuito RLC en serie.

6

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La ley de Kirchhoff se continua aplicando para los voltajes instant´aneos: V (t) = VR (t) + VL (t) + VC (t) → V (t) = RI(t) + L Y con I(t) =

dq dt ,

dI(t) 1 + dt C

Z I(t)dt

se obtiene una ecuaci´ on diferencial de segundo orden:

V (t) = L

d2 q dq q +R + 2 dt dt C

(a) Vectores de amplitud de los diferentes componentes

(4)

(b) Resta de vectores de amplitud

Figura 5. Trabajando con fasores La relaci´ on entre los voltajes entonces es:

V0

= |V0 | = |VR0 + VL0 + VC0 | = q 2 2 = (I0 XR ) + (I0 XL − I0 XC ) q 2 = I0 XR 2 + (XL − XC )

q 2 VR0 2 + (VL0 − VC0 )

Y la amplitud de la corriente queda: I0 = q

Donde

V0 XR 2 + (XL − XC )

2

q 2 XR 2 + (XL − XC ) es la impedancia, Z.

La fase entre el voltaje y la corriente sale f´ acilmente de la Fig.5b:

tan(φ) =

1 R

     1 1 1 wL − =→ φ = tan−1 wL − wC R wC 7

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2 RLC en paralelo El voltaje en cada elemento es igual al voltaje instant´aneo de la fuente, V (t), pero la corriente de la fuente se reparte entre el inductor, resistencia y condensador: V (t) = I(t) =

VR (t) = VL (t) = VC (t) IR (t) + IL (t) + IC (t)

Y de cada componente, se tiene: 1 L

IL (t)

=

IC (t)

= C

IR (t)

=

Z V (t)dt

dV (t) dt V (t) R

Figura 6. Circuito RLC en paralelo.

Ejercicios resueltos 1) Una bater´ıa tiene una fem de 15 [V]. El voltaje en las terminales de la bater´ıa es de 11,6 [V] cuando se liberan 20 [W] de potencia en una resistencia externa R. a) ¿Cu´ al es el valor de R? b) ¿Cu´ al es la resistencia interna de la bater´ıa? R: a) Con la ley de Joule P = IV , y la de Ohm, se tiene:

R=

V2 11, 62 = = 6, 73[Ω] P 10

b) La resistencia interna puede considerarse como una resistencia externa en serie con una fuente de voltaje ideal, entonces: ε = IR + Ir 8

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Donde r es la resistencia interna de la bater´ıa, y ε es el voltaje total: r=

ε − IR (ε − V )R (15 − 11, 6) · 6, 73 = = = 1, 97[Ω] I V 11, 6

2) Un circuito en serie se compone de una resistencia de 8 [ Ω] y un condensador con una capacidad de 30 [µF]. ¿A que frecuencia la corriente adelanta un ´ angulo de 30o respecto del voltaje? R: Sabiendo que la reactancia capacitiva es: XC =

106 [Ω] 2πf · 30

Entonces la impedancia total del circuito queda:  Z = 8−j

106 2πf · 30

 [Ω]

El argumento de la impedancia es el desfase entre el voltaje y la corriente, entonces finalmente se tiene: tan(30o ) =

XC → f = 1150[Hz] R

3) Un circuito en serie de tres elementos contiene una bobina de una inductancia de 0,02 [H]. La tensi´on aplicada  y la  corriente resultante se muestran en el diagrama fasorial de la Fig. . Sabiendo que la frecuencia angular es de 500 rad s , determinar los otros dos elementos del circuito. R:

Figura 7. Diagrama de fasores voltaje y corriente.

o

Z=

250e−j·45 = 31, 61ej·(−288,5) = 10 + j · 30[Ω] 7, 91ej(180o +63,5o ) 9

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Entonces el resistor tiene 10 [Ω]. El voltaje adelanta a la corriente, entonces la reactancia es inductiva. La bobina de 0,02 [H] contribuye con XL1 = 0, 02 · 500 = 10[Ω], por lo que la otra bobina tiene una inductancia de XL2 = 30 − 10 = 20[Ω] = wL2 → L2 = 0, 04[H].

4) Calcular el valor pico a pico de una onda senoidal√que tiene un voltaje eficaz de 1,5 [V] R:El voltaje m´ aximo que alcanza la onda es Vmax = 2·Vrms = 2, 12[V ]; el voltaje pico a pico es simplemente la distancia entre dos picos, que es el doble del voltaje m´ aximo, 4, 24[V ] .

5) El circuito primario de un transformador est´ a formado por 1200 espiras y el secundario por 20. Si el circuito primario se conecta a una diferencia de potencial de 220 [V], calcule la diferencia de potencial a la salida del circuito secundario. ¿Cu´ al es el valor de la intensidad de la corriente en el secundario cuando la intensidad en el primario es 0,5 [A]?. R:Con las relaciones entre la cantidad de espiras, el voltaje y la corriente se obtiene: VS NS 20 NS = 3, 7[V ] = → VS = VP = 220 · VP NP NP 1200 Considerando que no hay p´erdidas de potencia, se tiene:

VP IP = VS IS → IS = IP

1200 VP NP = 30[A] → IS = IP = 0, 5 · VS NS 20

6) Un transformador ideal con una bobina primaria de 300 vueltas est´a conectada a una fuente de 480 [V]. Si se quiere obtener 120 [V] de la bobina secundaria y ´esta tiene una resistencia de 100 [Ω], determine: a)¿Cu´ antas vueltas debe tener la bobina secundaria para obtener el voltaje deseado?. b)La corriente a trav´es de la resistencia. c) La corriente a trav´es de la bobina primaria. R: a) Np 480 300 300 · 120 Vp = = = → Ns = = 75 Vs Ns 120 Ns 480 b) La resistencia est´ a conectada a la bobina secundaria, entonces:

Vs = Is R → IR = Is =

Vs = 1, 2[A] R

c) Ip Ns Ns 75 = → Ip = Is = 1, 2 = 0, 3[A] Is Np Np 300

10

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7) Un generador con una fem de 10 sen(7t) se conecta en serie con una resistencia de 6[Ω] y un inductor de 2[H]. Si el interruptor K se cierra a t=0, determine la corriente para todo t.

Figura 8. Circuito RL en serie.

R: La ecuaci´ on que describe este circuito es:

2

dI + 6I = 10sen(7t) dt

Para que el lado izquierdo sea una ecuaci´ on diferencial exacta, se necesita un factor integrante. Es sencillo darse cuenta que este factor es e3t , pero tambi´en se puede calcular; el lado izquierdo se puede escribir como: 2 dI + |{z} 6I dt = 0 |{z} N

M

∂M La anterior no es una ecuaci´ on diferencial exacta, ya que ∂N ∂t 6= ∂I . La multiplicamos por el factor, µ, sabiendo que solo depende de t, y resulta µNdI + µMdt = 0, y la condici´on que se debe cumplir ahora es:

∂(µN) ∂t

=

∂(µM) ∂I

Derivando y recordando que µ = µ(t):

dµ ∂N N +µ dt ∂t

0  ∂µ ∂M = M +µ ∂I ∂I

Reordenando e integrando, se obtiene: dµ = µ

∂M ∂I

− N

∂N ∂t

dt → µ(t) = e

R

∂M − ∂N ∂I ∂t N

dt

Reemplazando N y M, se tiene que µ(t) = e3t . Continuando con el ejercicio, se tiene que la ecuaci´on multiplicada por el factor µ queda:
d 3t e I(t) = 5e3t sen(7t) → e3t I(t) = 5 dt 11

Z

e3t sen(7t) dt

(5)

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Concentr´ andonos en

R

e3t sen(7t) dt y aplicando integraci´on por partes se tiene: dg = e3t dt e3t g= 3

f = sen(7t) df = 7cos(7t)

Z

e3t 7 e sen(7t) dt = sen(7t) − 3 3 3t

Z

e3t cos(7t) dt

Aplicando nuevamente integraci´ on por partes: f = cos(7t) df = −7sen(7t)

Z

e3t sen(7t) dt = =

 1+

49 9

Z Z

e3t sen(7t) dt = e3t sen(7t) dt =

dg = e3t dt e3t g= 3

  Z e3t 7 e3t 7 sen(7t) − cos(7t) + e3t sen(7t) dt 3 3 3 3 Z 3t 3t e 7e 49 sen(7t) − cos(7t) − e3t sen(7t) dt 3 9 9 7e3t e3t sen(7t) − cos(7t) 3 9 e3t [3sen(7t) − 7cos(7t)] + C 58

La constante viene porque no hay l´ımites de integraci´on. Volviendo a la Ec.5, se obtiene:

e3t I(t)

=

I(t)

=

5e3t [3sen(7t) − 7cos(7t)] + C 58 5 [3sen(7t) − 7cos(7t)] + Ce−3t 58

El interruptor se cierra en t=0, por lo que I(0) = 0, entonces C =

I(t) =

35 58 ,

y la corriente para cualquier t es:

5 35 [3sen(7t) − 7cos(7t)] + e−3t 58 58

12

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8) ¿ A qu´e frecuencia y qu´e es lo que sucede cuando el desfase entre la corriente y el voltaje en un circuito en serie RLC es cero? R: Cuando las reactancias inductiva y capacitiva de un circuito en serie RLC son iguales, entonces ocurre resonancia. En esta frecuencia de resonancia la impedancia es m´ınima, y el circuito es puramente resistivo: tan(0)

1 (XL − XC ) → 0 = XL − XC R r 1 1 → wo = wC LC

=

wL =

Z=

p

R2 + (XL − XC )2 = R

9) Dos condensadores, C1 =25 [µF] y C2 =5 [µF], est´an conectados en paralelo y cargados con un suministro de 100 [V]. a) Dibuje el circuito y calcule la energ´ıa total almacenada en los dos condensadores. b) ¿Qu´e diferencia de potencial se requerir´ıa a trav´es de los mismos dos condensadores conectados en serie de modo que la combinaci´ on almacene la misma energ´ıa que en la parte a)?. Dibuje el circuito de esta configuraci´on. R: a) La capacitancia equivalente en paralelo es Cp = C1 + C2 = 25 + 5 = 30[µF ], y la energ´ıa almacenada en la Fig.9a es: U=

1 (30 · 10−6 ) · 1002 = 0, 15[J] 2

(a) En paralelo

(b) En serie

Figura 9. Configuraci´on en serie y paralelo de condensadores b) Para el circuito de la Fig.9b, la capacitancia en serie equivalente es:  Cs =

1 1 + C1 C2

−1

 =

1 1 + 25 5

−1 = 4, 17[µF ]

Entonces el voltaje necesario para almacenar la misma energ´ıa que en a), pero en serie, es: r V =

2U = Cs

r

2 · 0, 15 = 268[V ] 4, 17 · 10−6 13

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10) Por una l´ınea cuya resistencia es R=0,25 [Ω], se transporta una potencia de 10 [kW], bajo una tensi´on de 220 [V]. Calcule la corriente en la l´ınea y la potencia perdida por efecto Joule con factores de potencia de 0,5 y 0,95. R: Con un factor de potencia de 0,5 se obtiene: P 10000 = = 90, 9[A] V cos(φ1 ) 220 · 0, 5

I1

=

P1

= RI12 = 0, 25 · 90, 92 = 2065, 7[W ]

Para un factor de potencia de 0,95, se tiene: P 10000 = = 47, 9[A] V cos(φ2 ) 220 · 0, 95

I2

=

P2

= RI22 = 0, 25 · 47, 92 = 573, 6[W ]

Un mayor factor de potencia provoca menores p´erdidas por efecto Joule.

11)En t=0 se aplica una fem de 500 [V] a una bobina que tiene una inductancia de 0,8 [H] y una resistencia de 30 [Ω]. a) Encuentre la energ´ıa almacenada en el campo magn´etico cuando la corriente alcanza la mitad de su valor m´ aximo. b) Despu´es de que en la fem se conecta, ¿cu´ anto tarda la corriente en alcanzar ese valor? R: a) Con Im = I2 : U=

1  ε  Lε2 1 2 LIm = L = = 27, 8[J] 2 2 2R 8 · 302

b) Los fen´ omenos que se dan en corriente alterna pueden suceder en un circuito en corriente directa, cuando se desconecta la fuente.

Figura 10. Circuito RL.

Cuando S1 se abre y S2 se cierra, entonces:

14

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IR + L

 ln



I(t) I0

=−

dI dt

=

dI I

= −

R t → I(t) L

0 R dt L R

= I0 e− L t → I(t) =

ε −Rt e L R

R

Cuando alcanza la mitad del valor m´ aximo, e− L t = 12 , entonces t = 18, 5[ms] .

12) Un circuito LC se compone de un inductor de 20 [mH] y de un capacitor de 0,5 [µF]. Si la m´axima corriente instant´ anea es 0,1 [A]. ¿cu´ al es la diferencia de potencial m´as alta en el capacitor? R: La diferencia de potencial m´ as alta en el capacitor se da cuando la energ´ıa del inductor y el capacitor son iguales, en la corriente m´ axima instant´ anea:

Vmax

 1 CV 2 2 max r L = Imax C





 1 2 LI 2 max s 20 · 10−3 · 0, 1 = 20[V ] 0, 5 · 10−6

=

=

13) Con una bater´ıa se carga un capacitor mediante un resistor. Muestre que la mitad de la energ´ıa suministrada por la bater´ıa aparece como energ´ıa interna en el resistor y la otra mitad se almacena en el capacitor. R: La bater´ıa suministra energ´ıa a una tasa de: ε  t dE = P = εI = ε e− RC dt R Entonces la energ´ıa total suministrada es: Z dE E=

ε2 · (−RC) R

Z

∞

t

e− RC dt

∞

ε2 − t e RC dt t=0 R h i∞ t = −ε2 Ce− RC = ε2 C Z

=

0

0

La potencia entregada al resistor es: t dER V2 ε2 = P = VR I = R = e− RC dt R R Z ∞   2 ∞ t ε2 RC −ε C − t ε2 C − RC RC ER = · − e dt = e = R 2 2 2 0 0

15

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La energ´ıa almacenada en el capacitor es:

EC =

1 ε2 C CVC2 = 2 2

Entonces a cada componente le toca la mitad de la energ´ıa suministrada, y la energ´ıa se conserva: ε2 C = EC + ER

14) Considere un circuito con R=7,6 [Ω], L=2,2 [mH] y C=1,8 [µF]. Calcule la frecuencia de la oscilaci´on amortiguada del circuito y su resistencia cr´ıtica. R: Con la Ec.4 sin fuente, se tiene:

L

dq q d2 q +R + =0 2 dt dt C

Si R es peque˜ no (como la constante de amortiguamiento de un sistema masa-resorte), entonces la soluci´ on es q(t) = Rt qmax e 2L cos(wd t). Reemplazando en la ecuaci´ on anterior:

L

d2 q dt2

R

=

Rt Rt qmax R2 Rt e 2L cos(wd t) − qmax wd2 Le 2L cos(wd t) + qmax Rwd e 2L sen(wd t) 4L

dq dt

= −

q C

=

Rt qmax R2 Rt e 2L cos(wd t) − qmax Rwd e 2L sen(wd t) 2L

qmax Rt e 2L cos(wd t) C

Sumando todos los t´erminos anteriores se puede obtener el valor de wd :

−

 qmax R2  qmax + − qmax wd2 L = 0 4L C 1 R2 − = wd2 L C 4L s  2 1 R wd = − LC 2L

Reemplazando los valores, se obtiene una frecuencia angular de wd = 1, 58 · 10 q resistencia cr´ıtica , cuando wd se hace 0, es RC = 4L C = 6, 99[Ω] .

16

4



rad s

 o fd =

wd 2π

= 2, 51[kHz]. Su

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15) Determine la respuesta forzada de la corriente del inductor IP (t) en el circuito RLC paralelo mostrado en la Fig.11 1 cuando I(t)=8e2t , R=6 [Ω], L=7 [H] y C= 42 [F]. R: Con la relaci´ on entre la corriente y el voltaje para cada componente es:

Figura 11. Circuito RLC en paralelo y corriente en el inductor.

1 V (t) + R L

Z V (t)dt + C

dV (t) = I(t) dt

L (t) Y con V (t) = L dIdt :

CL

d2 IL (t) L dIL (t) + + IL (t) dt2 R dt

1 dIL (t) 1 d2 IL (t) + + IL (t) dt2 RC dt LC

= I(t) =

I(t) LC

Y reemplazando los valores: d2 IL (t) dIL (t) + 6IL (t) +7 2 dt dt

=

48e−2t

Se pide la respuesta forzada, entonces solo necesitamos la soluci´on particular, y probamos con IP (t) = Ae−2t :
4Ae−2t + 7 · −2Ae−2t + 6Ae−2t = 48e−2t → (4 − 14 + 6)Ae−2t = 48e−2t → A = −12

Entonces la corriente del inductor es: IP (t) = −12e−2t [A]

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