PROGRESIONES ARITMETICAS 1. Hallar la suma de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. Solución. La suma de n términos de una progresión aritmética viene dada por la expresión: a + an ⋅n Sn = 1 2 Aplicando para 100 términos: a +a S100 = 1 100 ⋅ 100 = (a1 + a100 ) ⋅ 50 2 El término general de los múltiplos de siete es: a1 = 7   : a n = 7 + (n − 1) ⋅ 7 = 7 + 7 n − 7 = 7 n d =7 a1 = 7 ; a100 = 7 ⋅ 100 = 700 S100 = (7 + 100) ⋅ 50 = 5350

1

d

2. Hallar cuántos enteros consecutivos a partir de 10 se deben tomar para que su suma sea 2035. Solución. Progresión aritmética, a1 = 10 , = , a n = 10 + (n − 1) ⋅ 1 = n + 9 La suma de n términos de una progresión aritmética viene dada por la expresión: Sn = 2035 a1 + a n 10 + n + 9   Sn = ⋅ n :  a1 = 10  : 2035 = ⋅n 2 2 a = n + 9  n 

4070 = n 2 + 19n

n 2 + 19n − 4070 = 0 n = ‒74 (no válida)

− 19 ± 19 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 4070) 2 n = 55 (válida) n=

3. Demostrar que la suma de n enteros impares consecutivos a partir del 1 es igual a n2. Solución. Los números impares forman una progresión aritmética de d = 2 y a1 = 1: a n = 1 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n − 1 La suma de n términos de una progresión aritmética viene dada por la expresión: a + an Sn = 1 ⋅n 2 Aplicando a n términos impares: 1 + 2n − 1 2n Sn = ⋅n = ⋅ n = n2 2 2 4. Hallar tres números en p.a. sabiendo que la suma del primero y el tercero es 12, y que el producto del primero por el segundo es 24. Solución. Tres números en progresión aritmética son: a1; a1 + d; a1 + 2d • “la suma del primero y el tercero es 12”: a1 + a1 + 2d = 12 • “el producto del primero por el segundo es 24”: a1 ⋅ (a1 + d ) = 24

1

Las dos condiciones permiten plantear un sistema de ecuaciones no lineales.  a1 + d = 6  d = 6 − a1 a12 + a1 (6 − a1 ) = 24  2  2 a + a d = 24 a + a d = 24 1 1  1  1 a12 + 6a1 − a12 = 24

6a1 = 24

a1 = 4

d =6−4 = 2

Los números son: 4; 6; 8

5. Hallar tres números en p.a. cuya suma es 21 y cuyo producto es 280 Solución. Tres números en progresión aritmética son: a1; a1 + d; a1 + 2d • Si suman 21: a1 + a1 + d + a1 + 2d = 21 3a1 + 3d = 21 a1 + d = 7 • Si su producto es 280: a1 ⋅ (a1 + d ) ⋅ (a1 + 2d ) = 280 Las dos condiciones permiten plantear un sistema de ecuaciones no lineales.  a1 + d = 7  a +d =7 a + d = 7 :  1 :  1  a1 ⋅ (a1 + d ) ⋅ (a1 + 2d ) = 280 a1 ⋅ 7 ⋅ (a1 + 2d ) = 280 a1 ⋅ (a1 + 2d ) = 40

d = 7 − a1 : a1 ⋅ (a1 + 2(7 − a1 )) = 40 : a1 ⋅ (14 − a1 ) = 40  a1 ⋅ (a1 + 2d ) = 40 Ordenando se obtiene una ecuación de 2º grado a12 − 14a1 + 40 = 0 : a1 =

− (− 14) ±

(− 14)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 40 2 ⋅1

a = 4 = 1 a1 = 10

Si a1 = 4 ⇒ d = 7 − 4 = 3 ⇒ a1 = 4; a 2 = 7; a 3 = 10 Si a1 = 10 ⇒ d = 7 − 10 = −3 ⇒ a1 = 10; a 2 = 7; a 3 = 4

6. Tres números están en la razón 2 : 5 : 7. Hallar dichos números sabiendo que si se resta 7 del segundo los números forman una p.a. Solución. Si los números están en razón propuesta: 2n; 5n; 7n En progresión aritmética están: 2n; 5n ‒ 7; 7n Si están en progresión aritmética, la diferencia de términos consecutivos es constante. 5n − 7 − 2n = 7 n − (5n − 7 ) 3n − 7 = 2n + 7 n = 14 Los números son: 28; 70; 98

7. Hallar la suma de todos los enteros comprendidos entre 100 y 800 que sean múltiplos de 3 Solución. Los múltiplos de 3 comprendidos entre 100 y 800 forman una progresión aritmética de diferencia 3. El primer término será el primer múltiplo de tres mayor que 100 (102), y el último será el mayor múltiplo de 3 menor que 800 (798). Para hallar la suma necesitamos saber cuantos términos forman la progresión, y para ello aplicamos la definición de término general al último término.

2

a n = a1 + (n − 1) ⋅ d 798 − 102 798 = 102 + (n − 1) ⋅ 3 n −1 = = 232 3

n = 233

La suma de los 233 primeros términos de la progresión aritmética es: a + a 233 102 + 798 ⋅ 233 = ⋅ 233 = 104850 S233 = 1 2 2

8. Un cuerpo cae libremente, partiendo del reposo, y recorre 16 metros durante el primer segundo, 48 metros en el segundo, 80 metros en el tercero, etc. Hallar la distancia que recorre durante el quinceavo segundo y la distancia total que recorre en 15 segundos, partiendo del reposo. Solución. Los términos 16, 48 y 80 están en progresión aritmética de diferencia 32. 48 ‒ 16 = 80 ‒ 48 = 32 = cte El término general es: a = 16 a n = a1 + (n − 1) ⋅ d =  1  = 16 + (n − 1) ⋅ 32 = 32n − 16  d = 32  Cada término indica el espacio recorrido en cada segundo, por lo tanto el espacio recorrido en el quinceavo segundo será el término a15. a15 = 32 ⋅ 15 − 16 = 464 m La distancia total que recorre en quince segundos es la suma de los quince primeros términos. a +a 16 + 464 S15 = 1 15 ⋅ 15 = ⋅ 15 = 3600 m 2 2

9. Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000. Solución. Lo primero de todo es calcular cual es el primer múltiplo de 59 superior a 1000 y cual es el mayor múltiplo menor de 2000. 1000 = 16,94... a1 = (16 + 1) ⋅ 59 = 1003 59 2000 = 33,89... a n = 33 ⋅ 59 = 1947 59 El número de términos se calculan aplicando el término general al último término.  a1 = 1003    a n = a1 + (n − 1) ⋅ d : a n = 1947  : 1947 = 1003 + (n − 1) ⋅ 59  d = 59    1947 − 1003 n= + 1 = 17 59

Conocido el número de términos se calcula la suma. a +a S17 = 1 17 ⋅ 17 = 25075 2

3

10. El producto de tres términos consecutivos de una p.a. es 80 y la razón es 3. Hallar dichos términos. Solución. Si los números están en progresión aritmética de razón 3 serán: a1 = a1 ; a 2 = a 1 + d = a 1 + 3 ; a 3 = a 2 + d = a1 + 3 + 3 = a1 + 6 Teniendo en cuenta que su producto es 80, se plantea una ecuación con una incógnita. a1 ⋅ (a1 + 3) ⋅ (a1 + 6 ) = 80

a13 + 9a12 + 18a 1 − 80 = 0 Resolviendo por Ruffini se obtiene una única solución real. a1 = 2 Por lo tanto los números son: 2; 5; 8

11. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,........ Para obtener como resultado 1064? Solución. La suma de n términos de una progresión aritmética es: a + an Sn = 1 ⋅n 2 Por ser una progresión aritmética de diferencia 6 (8 ‒ 2 = 14 ‒ 8 = 6): a n = a1 + (n − 1) ⋅ d = 2 + (n − 1) ⋅ 6 = 6n − 4 a1 = 2 Sustituyendo en la expresión de la suma de n términos de una progresión aritmética se obtiene una ecuación en función de n. 2 + (6n − 4 ) 1064 = ⋅n 2128 = (6n − 2 ) ⋅ n 6n 2 − 2n − 2128 = 0 2

3n 2 − n − 1064 = 0

n=

− (− 1) ±

(− 1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 1064) 2⋅3 n = 19

=

1 ± 113  n = 19 = 6 n = − 56 3 (no válida )

12. La suma de los términos de una p.a. limitada es 169 y su término central vale 13. Averigua el número de términos de dicha progresión? Solución. La expresión de la suma de n términos de una progresión aritmética esta basada en que la suma de términos equidistante es constante. a1 + a n = a 2 + a n −1 = a 3 + a n − 2 = ... = cte Si la progresión tiene término central es por que esta formada por un número impar de términos y por tanto la suma de términos equidistantes es igual al doble del término central. Si denominamos como am al término central: a 1 + a n = 2a m Sustituyendo en la expresión de la suma de n términos se plantea una ecuación con una solo incógnita, el número de términos de la progresión. a + an 2a 2 ⋅ 13 ⋅n = m ⋅n = ⋅ n = 169 ⇒ n = 13 Sn = 1 2 2 2

4

13. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es 1715. ¿Cuántos términos hemos sumado? Solución. La suma de n términos de una progresión aritmética es: a + an Sn = 1 ⋅n 2 Teniendo en cuenta que el primer término es 11 y que la diferencia es 1 (números naturales consecutivos), el término enésimo es an = a1 + (n ‒ 1)·d a n = 11 + (n − 1) ⋅ 1 = n + 10 Sustituyendo en la expresión de la suma: 11 + (n + 10 ) Sn = ⋅ n = 1715 2 (n + 21) ⋅ n = 3430

n 2 + 21n − 3430 = 0

n=

− 21 ± 212 − 4 ⋅ 1 ⋅ (3430) − 21 ± 119  n = 49 = = 2 ⋅1 2 n = −70

Teniendo en cuenta que el número de términos de una progresión no puede ser negativo, solo es válida la solución positiva, n = 49

14. Sabiendo que a5 = 18 y d = 2, halla la suma de los nueve primeros términos de la sucesión. Solución. La cuestión se puede resolver de dos formas diferentes. 1ª. Teniendo en cuenta que la suma de términos equidistantes de una progresión aritmética limitada es constante, y que en el caso de ser impar es igual al doble del término central, en la progresión que nos proponen es de nueve términos y el término central (a5) es 18: a + a9 2 ⋅ a5 S9 = 1 ⋅9 = ⋅ 9 = 9 ⋅ a 5 = 9 ⋅ 18 = 162 2 2 2ª Conocido el quinto término de la progresión y la diferencia, se calcula el primer y el noveno. a 5 = a1 + (5 − 1) ⋅ 2 = 18 a1 = 10 a 9 = 10 + (9 − 1) ⋅ 2 = 26 a + a9 10 + 26 S9 = 1 ⋅9 = ⋅ 9 = 18 ⋅ 2 = 162 2 2 15. Se consideran 16 términos consecutivos de una p.a.. La diferencia de los extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos. Solución. La diferencia de los extremos es 16: a16 − a1 = 16 La suma del cuarto y el decimotercero es 18 a 4 + a13 = 18 Teniendo en cuenta que la suma de términos equidistantes es constante: a 4 + a13 = a 3 + a14 = a 2 + a15 = a1 + a16 Sustituyendo a4 + a13 por a1 + a16 , se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con

a16 − a1 = 16 dos incógnitas :  a1 + a16 = 18

5

Sumando las ecuaciones se obtiene a16. 2a16 = 34 ⇒ a16 = 17 Conocido a16, se calcula a1. a1 = 18 − a16 = 18 − 17 = 1 a1 = 1 a16 = 17 16. Una progresión aritmética limitada de 10 términos es tal que la suma de los extremos es igual a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros términos de la progresión. Solución. La suma de los extremos es igual a 20: a1 + a10 = 20 Por ser una progresión aritmética limitada de 10 términos: a1 + a10 = a 2 + a 9 = a 3 + a 8 = 20 Por otro lado, el producto del tercero y el octavo es 75: a 3 ⋅ a 8 = 75 Los datos nos permiten calcular un sistema de ecuaciones no lineales: a 3 + a 8 = 20   a 3 ⋅ a 8 = 75 El sistema se resuelve por sustitución, y tiene dos posibles soluciones: a 8 = 20 − a 3 ⇒ a 3 ⋅ (20 − a 3 ) = 75 ; a 32 − 20a 3 + 75 = 0  a ⋅ a = 75  3 8 a3 =

− (− 20) ±

(− 20)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 75 2 ⋅1

=

a 8 = 20 − a 3 20 ± 10 a 3 = 15   → a 8 = 5 : a 8 = 20 − a 3 2  a 3 = 5    → a 8 = 15

Conocidos dos términos cualesquier de la progresión aritmética, la diferencia es: a − am an ‒ am = (n ‒ m)·d ; d = n n−m

Aplicado a la primera solución del sistema (a3 = 15; a8 = 5): a − a 8 15 − 5 d= 3 = = −2 a1 = a 3 − (3 − 1) ⋅ d = 15 − 2 ⋅ (− 2) = 19 3−8 −5 Los 10 primero términos de la progresión son: 19; 17; 15; 13; 11; 9; 7; 5; 3; 1 Aplicado a la segunda solución del sistema (a3 = 5; a8 = 15): a − a 8 5 − 15 d= 3 = =2 a1 = a 3 − (3 − 1) ⋅ d = 5 − 2 ⋅ 1 = 1 3−8 −5 Los 10 primero términos de la progresión son: 1; 3; 5; 7; 9; 11: 13; 15; 17; 19

6

17. La suma de tres números en progresión aritmética es 33 y su producto 1287. Halla estos números. Solución. La suma de tres números en progresión aritmética es 33: a1 + a 2 + a 3 = 33 Considerando los tres términos como una progresión limitada, y teniendo en cuenta la constancia de la suma de términos equidistantes, y que a2 es el término central: a 1 + a 3 = 2a 2 Sustituyendo en la ecuación anterior: 2a 2 + a 2 = 33 ⇒ a 2 = 11 El producto de tres números en progresión aritmética es 1287: a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 = 1287 Teniendo en cuenta el valor de a2, las dos ecuaciones se reducen a:  a1 + 11 + a 3 = 33 a + a 3 = 22 →  1  a1 ⋅ a 3 = 117 a1 ⋅ 11 ⋅ a 3 = 1287

El sistema se resuelve por sustitución: a 3 = 22 − a1 ⇒ a1 ⋅ (22 − a1 ) = 117 → a12 − 22a1 + 117 = 0  a ⋅ a = 117  1 3 a1 =

• •

− (− 22) ±

(− 22)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 117 2 ⋅1

=

a 3 = 22 − a 1 22 ± 4 a1 = 13   → a 3 = 9 : a 3 = 22 − a 1 2  a1 = 9    → a 3 = 13

Las posibles soluciones son: 9; 11; 13 13; 11; 9

18. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640; el más pequeño vale 20. Halla los otros dos. Solución. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640: a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 = 16640 El menor vale 20: a1 = 20; a2 = 20 + d; a3 = 20 + 2d Sustituyendo en la primera ecuación: 20 ⋅ (20 + d ) ⋅ (20 + 2d ) = 16640 (20 + d ) ⋅ 2 ⋅ (10 + d ) = 16640 = 832 20 (20 + d ) ⋅ (10 + d ) = 832 = 416 2 − 30 ± 30 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 216 ) − 30 ± 42  d = 6 = : 2 ⋅1 2 d = −36 Si d = 6 ⇒ a1 = 20; a2 = 26; a3 = 32 Si d = ‒36 ⇒ a1 = 20; a2 = ‒16; a3 = ‒52

d 2 + 30d − 216 = 0

d=

7

19. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades. Solución. Tres números en progresión aritmética cuya suma es 18: a1 + a 2 + a 3 = 18 La suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades a1 + a 2 = a 3 − 2 Por estar en progresión aritmética: an = a1 + (n ‒ 1)·d a 2 = a1 + d a 3 = a 1 + 2d a1 + a 2 + a 3 = 18 ⇒ a1 + a1 + d + a1 + 2d = 18 ; 3a1 + 3d = 18 ; a1 + d = 6 a1 + a 2 = a 3 − 2 ⇒ a1 + a1 + d = a1 + 2d − 2 ; a1 − d = −2 Las dos condiciones propuestas y la definición de término general, permiten plantear un sistema de ecuaciones.  a1 + d = 6 Sumando las ecuaciones: 2a1 = 4 ; a1 = 2  a1 − d = −2

Conocido a1 se calcula la diferencia.

a1 = 2

d = 6 − a1 = 6 − 2 = 4 Conocido el primer término y la diferencia se calculan los restantes término de la progresión. a1 = 2; a2 = 2 + 4 = 6; a3 = 6 + 4 = 10

20. La suma de los 11 primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de los extremos es 30. Halla los 11 primeros términos de la progresión. Solución. La suma de n términos de una progresión aritmética es: a + an Sn = 1 ⋅n 2 Aplicada para once términos: a +a S11 = 1 11 ⋅ 11 = 176 Ordenando: a1 + a11 = 32 2 La diferencia de los extremos es 30: a11 − a1 = 30 Las condiciones del problema permiten plantear un sistema de ecuaciones: a1 + a11 = 32  a11 − a1 = 30 Sumando las ecuaciones se calcula a11: a1 + a11 = 32 a − a = 30 : a11 = 21 a1 = 32 − a11 = 32 − 21 = 11  11 1 2a = 62  11 Aplicando la definición de término general al término once, se calcula la diferencia. a11 = a1 + (11 − 1) ⋅ d ; 21 = 11 + 10 ⋅ d ; d = 1 a1 = 11; a2 = 12; a3 = 13; a4 = 14; a5 = 15; a6 = 16; a7 = 17; a8 = 18; a9 = 19; a10 = 20; a11 = 21

8

21. Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166. Solución. Cuatro números en progresión aritmética cuya suma es 22: a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 22 La suma de sus cuadrados es 166 a12 + a 22 + a 32 + a 24 = 166 Por estar en progresión aritmética: an = a1 + (n ‒ 1)·d a 2 = a1 + d ; a 3 = a1 + 2d ; a 4 = a1 + 3d Sustituyendo en las condiciones: a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 22 ⇒ a1 + a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d = 22 ; 4a1 + 6d = 22 ; 2a1 + 3d = 11 a12 + a 22 + a 32 + a 24 = 166 ⇒ a12 + (a1 + d )2 + (a1 + 2d )2 + (a1 + 3d )2 = 166 a12 + a12 + 2a1d + d 2 + a12 + 4a1d + 4d 2 + a12 + 6a1d + 9d 2 = 166 4a12 + 12a1d + 14d 2 = 166 ; 2a12 + 6a1d + 7d 2 = 83 Las condiciones permiten plantear un sistema de ecuaciones no lineal. 11 − 3d   2a1 + 3d = 11 a1 =  Por sustitución: 2   2 2 2a1 + 6a1d + 7d = 83 2a 12 + 6a 1d + 7d 2 = 83 2

11 − 3d  11 − 3d  2⋅ d + 7d 2 = 83  +6⋅ 2  2  121 − 66d + 9d 2 121 − 66d + 9d 2 2⋅ + 33d − 9d 2 + 7d 2 = 83 ; + 33d − 9d 2 + 7d 2 = 83 4 2 45 121 − 66d + 9d 2 + 66d − 18d 2 + 14d 2 = 166 ; 5d 2 − 45 = 0 ; d = ± = ±3 5 11 − 3 ⋅ 3 Si d = 3 ⇒ a1 = = 1 ; a 2 = 4 ; a 3 = 7 ; a 4 = 10 2 11 − 3 ⋅ (− 3) = 10 ; a 2 = 7 ; a 3 = 4 ; a1 = 1 Si d = ‒3 ⇒ a1 = 2

22. La razón de una progresión aritmética es 4. El producto de los cuatro primeros términos es 585. Halla los términos. Solución. Si la diferencia es 4 y los números están en progresión aritmética: an = a1 + (n ‒ 1)·4

(

)

a1 ⋅ (a1 + 4 ) ⋅ (a1 + 8) ⋅ (a1 + 12 ) = 585 ; a1 ⋅ (a1 + 4 ) ⋅ a12 + 20a1 + 96 = 585 a1 ⋅

(

a13

+

24a12

)

+ 176a1 + 384 = 585 ;

+

24a13

+ 176a12

+ 384a1 = 585

+ + 384a1 − 585 = 0 El polinomio de grado cuatro que aparece se resuelve por Ruffini, obteniendo una única solución real a1 = 1. a1 = 1, a2 = 5; a3 = 9; a4 = 13 a14

24a13

+ 176a12

a14

9

23. Halla los seis primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que los tres primeros suman –3 y los tres últimos 24. Solución. Los tres primeros suman –3: a1 + a 2 + a 3 = −3 Los tres últimos suman 24: a 4 + a 5 + a 6 = 24 Lo mas sencillo es aplicar el término general a cada término de la progresión, y de esta forma poder expresar cada ecuación en función de a1 y d, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. a 2 = a1 + d ; a 3 = a1 + 2d ; a 4 = a1 + 3d ; a 5 = a1 + 4d ; a 6 = a1 + 5d a1 + a 2 + a 3 = −3 → a1 + a1 + d + a1 + 2d = −3 ; 3a1 + 3d = −3 ; a1 + d = −1 a 4 + a 5 + a 6 = 24 → a1 + 3d + a1 + 4d + a1 + 5d = 24 ; 3a1 + 12d = 24 ; a1 + 4d = 8 a1 + d = −1 Restando las ecuaciones se despeja d. − 3d = −9 ; d = 3  a1 + 4d = 8 a1 = −1 − d = −1 − 3 = −4 Conocidos a1 y la diferencia se calculan los términos de la progresión. a1 = ‒4; a2 = ‒1; a3 = 2; a4 = 5; a5 = 8; a6 = 11

24. En una progresión aritmética, el undécimo término excede en 2 unidades al octavo, y el primero y el noveno suman 6. Calcula la diferencia y los términos mencionados. Solución. El undécimo término excede en 2 unidades al octavo: a11 = a 8 + 2 El primero y el noveno suman 6: a1 + a 9 = 6 Aplicando la definición de término general a cada termino de las ecuaciones propuestas, se consigue un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a1, d). a11 = a1 + 10d ; a 8 = a1 + 7d a11 = a 8 − 2 → a1 + 10d = a1 + 7d + 2 ; 3d = 2 a 9 = a1 + 8d a1 + a 9 = 6 → a1 + a1 + 8d = 6 ; 2a1 + 8d = 6 ; a1 + 4d = 3  3d = 2 Por sustitución :  a1 + 4d = 3 •

• •

d = 2 3  a1 = 1 3

1 2 + 10 ⋅ = 7 3 3 1 2 a 8 = a 1 + 7d = + 7 ⋅ = 5 3 3 1 2 17 a 9 = a1 + 8d = + 8 ⋅ = 3 3 3 a11 = a1 + 10d =

25. En una progresión aritmética, los términos segundo y tercero suman 19, y los términos quinto y séptimo suman 40. Hállalos. Solución. Los términos segundo y tercero suman 19: a 2 + a 3 = 19 Los términos quinto y séptimo suman 40 a 5 + a 7 = 40

10

Se aplica la definición de término general, para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.  a 2 = a1 + d  a 2 + a 3 = 19 :   : a1 + d + a1 + 2d = 19 ; 2a1 + 3d = 19 a 3 = a1 + 2d   a 5 = a 1 + 4d  a 5 + a 7 = 40 :   : a1 + 4d + a1 + 6d = 40 ; 2a1 + 10d = 40 a 7 = a1 + 6d   2a1 + 3d = 19 Restando las ecuaciones: − 7d = −21 ; d = 3  2a1 + 10d = 40

2a1 + 3d = 19 → a1 =

• • • •

a 2 = a1 + d = 5 + 3 = 8 a 3 = a1 + 2d = 5 + 2 ⋅ 3 = 11 a 5 = a1 + 4d = 5 + 4 ⋅ 3 = 17 a 7 = a1 + 6d = 5 + 6 ⋅ 3 = 23

19 − 3d 19 − 3 ⋅ 3 = =5 2 2

26. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en progresión aritmética. Solución. Los ángulos de un triángulo suman 180º, si están en progresión aritmética: a1 + a 2 + a 3 = 180º Por estar en progresión aritmética, la suma de términos equidistantes es constante, y si el número de términos es impar, la suma de términos equidistantes será igual al doble del término central. a 1 + a 3 = 2a 2 Sustituyendo esta ultima relación en la primera, se despeja a2 a1 + a 2 + a 3 = 180º : 2a 2 + a 2 = 180º ; 3a 2 = 180 ; a 2 = 60º   a 1 + a 3 = 2a 2 Llegado a este punto, el problema tiene infinitas soluciones, le haría falta alguna condición más para que la solución fuese única Posibles soluciones: • a1 = 30º; a2 = 60º, a3 = 90º • a1 = 20º; a2 = 60º, a3 = 100º ……………………………………

27. Los seis ángulos de un hexágono están en progresión aritmética. La diferencia entre el mayor y el menor es 60°. Calcula el valor de cada ángulo. Solución. Si están en progresión aritmética y el menor mide 60º: a1 = 60º; a2 = 60º + d; a3 = 60º + 2d; a4 = 60º + 3d; a5 = 60º + 4d; a6 = 60º + 5d Teniendo en cuenta que los ángulos de un hexágono suman 720º: 60º +60º + d + 60º +2d + 60º +3d + 60º +4d + 60º +5d = 720 360º +15d = 720º ; d = 24º a1 = 60º; a2 = 84º; a3 = 108º; a4 = 132º; a5 = 156º; a6 = 180º

11

28. Halla los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus medidas son números pares consecutivos. Solución. Si son números pares consecutivos: a 1 = 2n ; a 2 = 2 n + 2 ; a 3 = 2 n + 4 La hipotenusa siempre es el mayor de los lados del triángulo rectángulo, y como se debe cumplir el teorema de Pitágoras:

(2n )2 + (2n + 2)2 = (2n + 4)2

Desarrollando y ordenando se obtiene una ecuación de 2º grado.

4n 2 + 4n 2 + 8n + 4 = 4n 2 + 16n + 16 4n 2 − 8n − 12 = 0 ; n 2 − 2n − 3 = 0 ; n =

− (− 2 ) ±

(− 2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 3) 2

=

2±4 2

n = 3 ó n = ‒1 La solución negativa no tiene sentido por tratarse de longitudes de lados. a1 = 6 ; a 2 = 8 ; a 3 = 10

29. Los lados de un triángulo están en progresión aritmética, su perímetro mide 18 m y la suma de los cuadrados de los lados es igual a 116. Halla los lados. Solución. Su perímetro mide 18 m: a1 + a 2 + a 3 = 18 La suma de los cuadrados de los lados es igual a 116: a12 + a 22 + a 32 = 116 Teniendo en cuenta que están en progresión aritmética: a 2 = a 1 + d ; a 3 = a 1 + 2d Sustituyendo en las condiciones: a1 + a1 + d + a1 + 2d = 18 ; 3a1 + 3d = 18 ; a1 + d = 6 a12 + (a1 + d )2 + (a1 + 2d )2 = 116 ; a12 + a12 + 2a1d + d 2 + a12 + 4a1d + 4d 2 = 116 3a12 + 6a1d + 5d 2 = 116 Las dos condiciones permiten plantear un sistema de ecuaciones no lineal.  a1 + d = 6  a =6−d : Por sustitucón  12  2 2 2 3a1 + 6a1d + 5d = 116 3a1 + 6a1d + 5d = 116

(

)

3 ⋅ (6 − d )2 + 6 ⋅ (6 − d ) ⋅ d + 5d 2 = 116 ; 3 ⋅ 36 − 12d + d 2 + 36d − 6d 2 + 5d 2 = 116 108 − 36d + 3d + 36d − 6d + 5d = 116 ; 2d = 8 ; d = ± 4 = ±2 2

• •

2

2

Si d = 2 ⇒ a1 = 6 ‒ 2 = 4; a2 = 6; a3 = 8 Si d = ‒2 ⇒ a1 = 6 ‒ (‒2) = 8; a2 = 6; a3 = 4

12

2