POLINOMIOS Definición: Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axn , donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5)

3x - 2 x4 + 5 2n2 - 5n + 3 5y3 + 4y2 - 3y + 1 23

Las siguientes expresiones algebriacas no son polinomios:

12 x2 2) 4 x  6

1)3x 

¿Qué diferencia observas entre los primeros cinco ejemplos que son polinomios y estos dos que no lo son? Nota: Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresión algebraica es un polinomio.

Componentes de un polinomio: 1)Término: Un término es una parte de una expresión algebriaca. Los términos se separan entre sí por los signos de suma (+) o resta (-). 2)Coeficiente: El coeficiente numérico de un término de un polinomio es el factor numérico del mismo. 3)Término constante: Es el coeficiente numérico que no contiene variable. En siguiente polinomio 5x2 + 3x - 8 tiene tres términos. numéricos son 5, 3 y -8, pero -8 es el término constante.

Los coeficientes

Clasificación de los polinomios: Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos. Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio. Si el polinomio tiene dos términos

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

se llama un binomio y si tiene tres términos se llama trinomio. Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contiene. Ejemplos:

Monomios 3x 25

Binomios 7x - 4 3a + 5b

9 x 2 y 3

n 2  3n

Trinomios

n  3n  2 3x 4  x 3  5x 2 4 xy  9 xy 2  11xy 4 2

El polinomio 8x3 + 5x2 - 3x + 7 es un polinomio de cuatro términos. Grado de un polinomio: Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio está determinado por el término que contiene el mayor exponente. Ejemplos:

Polinomios

Grado

9 y 4  5y 3  3y 2  7 y  2

Es de grado cuatro.

x 3  4x 2  6 2n 2  3n  1 5x – 1 8

Es de grado tres. Es de grado dos. Es de grado uno.

3x3y5 + 5x2y4 – 7xy2 + 6

Es de grado cero, pues 8  8x 0 . Es de grado ocho. (Se suman los exponentes de cada término y la suma más alta determina el grado del polinomio.

Orden de un polinomio: Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden descendente, es decir, de mayor a menor. También se pueden ordenar los polinomios en orden ascendente, es decir, de menor a mayor. Por ejemplo, el polinomio 2x - 3 + 5x2 no tiene orden. Al expresarlo en los dos tipos de orden mencionados anteriormente tenemos:

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

Polinomio 5x  3x  2 2  3x  5x 2 2

Orden Orden descendente. Orden ascendente.

Términos Semejantes: Dos términos son semejantes cuando ambos son numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales. Ejemplos: Semejantes 6 ; -13

5x 2 ;9 x 2 3x;11x 7ab 2 ;2ab 2

No semejantes 6 ; -13a

5x 2 ;9 x -3x ; 11xy 7ab 2 ;2a 2 b

Evaluación de polinomios: Para evaluar un polinomio hacemos lo mismo que evaluar una expresión algebraica. Simplemente sustituimos el valor asignado a la variable y efectuamos las operaciones indicadas en el polinomio. Ejemplos para discusión: Evalua cada polinomio para los valores asignados: 1) 2x4 – 3x3 + 6x – 8 cuando x = -2 2) x2 +5x – 6 cuando x = -3 3) 3xy –xy +4 cuando x = 1 y y = -2

Ejercicio: Considera el siguiente polinomio 2a + 4a3 - 9 y contesta: 1) ¿Cuáles son los coeficientes? 2) ¿Cuál es el término constante? 3) ¿Cuántos términos tiene? 4) ¿Cuál es su clasificación de acuerdo al número de términos que tiene?

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5) Expresa el polinomio dado en orden ascendente. 6) Expresa el polinomio dado en orden descendente. 7) ¿Cuál es el grado del polinomio? 8) ¿Contiene términos semejantes? 9) Evalua el polinomio para cuando a = -1. 10) Evalúa las siguientes expresiones si a = - 3 y b = -1: (a + b)2 a 2 + b2

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

OPERACIONES CON POLINOMIOS Repaso Una expresión algebraica que consiste de la suma de términos de la forma axn donde a es una constante, x es la variable y n es un entero no negativo, se conoce como un polinomio en la variable x. La forma general de un polinomio es

an xn + a n-1 x n-1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 los ai se llaman los coeficientes numéricos de la variable x

n es el grado del polinomio an es el coeficiente principal a0 es el término constante del polinomio. Ejemplos POLINOMIO

COEFICIENTE NUMÉRICO

GRADO

COEFICIENTE PRINCIPAL

CONSTANTE

5x2 + 8

a2 = 5, a0 = 8

n= 2

a2 = 5

a0 = 8

7x5 - 3x2 - 10

a5 = 7, a2 = - 3, a0 =-10

n= 5

a5 = 7

a0 = -10

CLASES DE POLINOMIOS Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos que tienen.

Monomio

Binomio

Trinomio

Polinomios

(1 término)

(2 términos)

(3 términos)

(mas de 3 términos)

4x

x + 2

2x2 - xy + y2

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

x3 - 5x2 - 7x + 9

-10xy

x2 - y2

y2 - 7y - 10

2x2 - xy2 + yx2 - 7x2 y2

-8

2a + b3

5z3 + z2 - z

y5 - y3 + y2 - 7y - 10

TÉRMINOS SEMEJANTES Tienen las mismas variables con los mismos exponentes

O son numéricos (constantes)

4x, 10x, x, -x

5,-23, -12

9y2, 13y2, -y2 5xy, 7yx, xy

Simplificando expresiones que tienen términos SEMEJANTES Aplica la propiedad distributiva ab + ac = a ( b + c ) Suma o resta los coeficientes numéricos dependiendo de los signos La variable prevalece igual

Ejemplo 1 5x + 8x + 12x = ( 5 + 8 + 12 ) x = 25x agrupación

simplificación

Ejemplo 2 7y2 - 4y2 + y2 =

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

( 7 - 4 + 1 ) y2 = 4y2

(agrupa)

simplifica

Ejemplo 3 6xy - xy - 21yx = ( 6 - 1 - 21 ) xy = -16 xy

(yx es xy) (agrupa)

(simplifica)

Ejemplo 4 2a - 7b - 10b + 6a = (2a + 6a) + ( - 7b - 10b) = ( 2 – 6 )a + ( – 7 – 10 )b = - 4a – 17b (simplifica)

(agrupa) (agrupa)

OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma de polinomios Que se hace

Se agrupan los términos semejantes , se simplifica y se ordena el polinomio.

Ejemplo1: ( x2 + x + 5 ) + ( 3x2 + x -7 ) = ( x2 + 3x2 ) + ( x + x ) + ( 5 - 7 )=

(agrupa los semejantes)

4x2 + 2x - 2 (suma o resta los coeficientes (las variables prevalecen) Ejemplo 2 : Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

( 9 - y + y2 ) + ( - y - 1 + y2 ) = ( 9 - 1) + ( - y - y ) + ( y2 + y2 )= 8 - 2y + 2y2

(agrupa los parecidos)

(suma o resta los coeficientes) (las variables prevalecen)

PRACTICA: ( x2 + x - 11 ) + ( 6x2 - x - 2 ) ( 7y2 + 5y - 1 ) + ( y2 - y - 9 ) ( xy2 + 3xy + 4 ) + ( - 4 - 2x2 y - yx ) ( 2z2 + 7z + 8 ) + ( z2 - 11z - 2 ) + ( 6 - 7z - 2z2 )

OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma de polinomios Que se hace

Se agrupan los términos semejantes , se simplifica y se ordena el polinomio.

Ejemplo1: ( x2 + x + 5 ) + ( 3x2 + x -7 ) = ( x2 + 3x2 ) + ( x + x ) + ( 5 - 7 )=

(agrupa los semejantes)

4x2 + 2x - 2 (suma o resta los coeficientes (las variables prevalecen) Ejemplo 2 : ( 9 - y + y2 ) + ( - y - 1 + y2 ) = ( 9 - 1) + ( - y - y ) + ( y2 + y2 )= 8 - 2y + 2y2

(agrupa los parecidos)

(suma o resta los coeficientes) (las variables prevalecen)

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

PRACTICA: 1. 2. 3. 4.

( x2 + x - 11 ) + ( 6x2 - x - 2 ) ( 7y2 + 5y - 1 ) + ( y2 - y - 9 ) ( xy2 + 3xy + 4 ) + ( - 4 - 2x2 y - yx ) ( 2z2 + 7z + 8 ) + ( z2 - 11z - 2 ) + ( 6 - 7z - 2z2 )

OPERACIONES CON POLINOMIOS Resta de polinomios Que se hace

Se suma el opuesto del polinomio sustraendo y se siguen las reglas de suma. Opuesto de un polinomio Polinomio

Que se hace

Opuesto del polinomio

5x2 + 12 x - 8

Se cambia el signo de cada término.

- 5x2 - 12 x + 8

7x5 - 3x2 - x + 10

- 7x5 + 3x2 + x - 10

Ejemplo 1: ( x2 + x + 5 ) - ( 3x2 - x - 7 )= (x2 + x + 5) + ( - 3x2 + x + 7 )=

(cambia signo de cada término)

( x2 - 3x2 ) + ( x + x ) + ( 5 + 7)=

(agrupa)

- 2x2 + 2x + 12

(suma o resta los coeficientes) (las variables prevalecen)

Ejemplo 2: ( 11 - 2y + 5y2 ) - ( - y - 6 + 4y2 )= ( 11 - 2 y + 5y2 ) + ( y + 6 - 4y2 )=

(cambia signo de cada

término)

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

( 11 + 6 ) + ( - 2y + y ) + ( 5y2 - 4y2 ) 17 - y + y2

(agrupa)

( suma o resta los coeficientes) ( las variables prevalecen)

PRACTICA 1. 2. 3. 4.

( 11x2 + 5x - 1 ) – ( 3x2 – 8x – 22 ) ( 7y2 + y – 14 ) – ( 8y2 – 10 y – 2 ) ( 13xy2 + 37xy + 16 ) – ( -41 – 8x2 y – yx ) ( z2 + z + 1 ) – ( 2z2 – 9z – 3 ) – ( 26 – z – z2 )

OPERACIONES CON POLINOMIOS Multiplicación de polinomios Que se hace

Se multiplica término a término, multiplicando los coeficientes y aplicando las propiedades de los exponentes para las bases iguales ( variables) en multiplicación.

Ejemplo 1: ( 2 x2 y3) ( 5x y2 ) = ( 2 )( 5 ) (x2 x) (y3 y2) = (multiplican los coeficientes, agrupan las mismas variables y suma los exponentes)

10 x3y5 Ejemplo 2: (4x + 1)(2x - 6) = (4x) (2x) + (4x)(-6)+ 1(2x) + 1(-6) = (multiplicación término a término)

(4) (2) (x) (x) + (4) (-6) (x) + (1) (2) (x) + (1) (-6) = (multiplica coeficientes, agrupa las mismas variables)

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda

8x2 – 24 x + 2x – 6 = (suma los exponentes y simplifica los términos parecidos )

8x2 – 22x – 6

PRACTICA 1. 2. 3. 4.

( 11x2 y2) ( 3x y2) ( 4y + 3) ( 8y -10) ( x + xy ) ( 7 - xy ) ( z + 1 )2

Por: Nilsa Toro, Sonia Mejias y revisado por Carmen Caiseda