TREBALL DE RECERCA Punt de partida: s'han presentat davant meu diferents qüestions: quin era el nombre màxim i mínim de zones que podíem fer amb un determinat nombre de rectes, quina era la formula que ens ajudaria a extreure els màxims i els mínims,..., i després fer la mateixes investigacions però treballant amb cercles amb comptes de rectes. Investigacions realitzades: en primer lloc, en grup, hem intentat esbrinar quin era el nombra mínim de zones que podíem realitzar amb 3 rectes, i aquest es el resultat obtingut: Com es pot veure, per tal d'aconseguir el mínim de zones, hem d'aconseguir que les rectes no es creuin entre elles, però poden estar en diagonal, horitzontal o vertical, però com ja he dit, sempre i quan no es creui cap recta. Per obtindre el màxim de zones vam haver de realitzar aquest dibuix: Si comptem les zones obtingudes, ens adonem que hi ha 7. això es pot produir perquè totes elles es tallen entre elles, es a dir, cada recta esta tallada 2 vegades. Per tal de que es compleixi aquesta situació, s'ha d'evitar que hi hagi un punt on es creuin les 3 rectes a la vegada. Acte seguit, també en grups, vam tornar a fer la mateixa operació, però aquest cop vam utilitzar 4 rectes en comptes de 3: Aquest cas es exactament igual al anterior. Les rectes no s'han de creuar entre si. El dibuix del màxim nombre de zones es el següent: Ara torna a ser igual que abans: no pot haver un punt on es creuin 3 rectes, però totes s'han de creuar amb totes les rectes. Però no ens vam conformar amb això i encara vam fer una altre proba, afegint una recta més als nostres estudis, fent així que hi hagués un total de 5 rectes. En els dos últims dibuixos, l'explicació es exactament la mateixa q en els casos anteriors. Resultats i conclusions: Un cop amb tantes dades recopilades, s'ha de trobar una fórmula que ens permeti generalitzar i que ens faci obtindre aquests resultats sense tantes dil·lacions. En el cas de les zones minimes, la formula es molt senzilla, sense cap complicacio i es dedueix al observar la taula següent, que conte les dades obtingudes: RECTES 3 4 5

MÍNIM 4 5 6

MÀXIM/Cn 7 11 16

Z=R+1 La lletra Z, representa les zones que obtindrem i la lletra R son les rectes q utilitzarem. A aquest nombre de rectes li afegirem 1 per tal d'obtindre el nombre de zones. Per exemple: Z=6+1 1

Z=7 En aquest cas, estem buscant les zones que obtindriem en el cas d'utilitzar 6 rectes, i veiem que n'obtindriem 7: Ara, per esbrinar la formula dels màxims, hem de tornar a observar la taula amb les dades recollides: Cn C3 C4 C5

RECTES 3 4 5

MÍNIM 4 5 6

MÀXIM/Cn 7 11 16

Si obserbem detingudament l'apartat de MÀXIM/Cn, veiem com afegim el mateix nombre de zones que les rectes que utilitzem, per exemple, amb 4 rectes afegim 4 zones més respecte al màxim de zones amb una recta menys, per tant, podem extreure la següent formula: Cn= Cn−1+R Aquesta formula significa que el màxim de zones, es a dir Cn (cas indeterminat) es igual al màxim de zones del cas anterior sumat amb el nombre de rectes que han estat utilitzades. Per exemple: C5= C5−1+5 C5= C4+5 C5=11+5 C5=16 (PRIMER DIBUIX DE LAPÀGINA 3) Amb aquestes dues formules, seria molt més senzill poder obtindre noves dades. Investigacions realitzades(2):Després d'aqueta investigació sens presenta que fem exactament el mateix, però en comptes d'utilitzar rectes, utilitzem cercles, i això es el que farem a continuació: Hem d'evitar que es creuin uns amb els altres por aconseguir el nombre mínim de zones. Aquest cas és d'una complexitat molt elevada, i per tal d'aconseguir aquest nombre tan elevat de zones, s'ha d'experimentar moltíssim i intentar el major nombre de creuaments entre tots el cercles i també fer que toquin les parets per crear aquest nombre tan elevat. Ara em de fer el mateix procediment, però afegint un nou cercle: Igual que en el cas anterior, no es poden creuar o si es toquen entre ells, no poden tocar les parets. Resoltats i conclusions(2)Degut a la dificultat, no escriurem més resultats, i a més ja en tenim suficients per determinar les formules: Cn C3

CERCLES 3

MÍNIM 4

MÀXIM 20 2

C4

4

5

30

La formula q utilitzarem per determinar el mínim serà exactament igual a la utilitzada amb les rectes, però substituint la R per un C, es a dir: Z=C+1 Un exemple per aplicar la fórmula seria el següent: Z=6+1 Z=7 En el cas de l'altre fòrmula, varia lleugerament: Cn= Cn−1+10 Per exemple: C4= C4−1+10 C4= C3+10 C4=20+10 C4=30 (ÚLTIM DIBUIX DE LA PAGINA 6) Altres investigacions: durant la investigació amb els cercles, he tingut una idea, i he pogut comprovar que per tal d'aconseguir el màxim de zones amb 2 cercles hi ha 2 possibilitats diferents, que et dones un resultat de 9 zones: O bé, cm sabem, podem col·locar una circumferència inscrita i l'altre circumscrita, com amb qualsevol figura geomètrica. 4 3 2 1 MINIM: 4 zones MÀXIM: 7 zones MÍNIM: 5 zones MÀXIM: 11 zones

3

MÍNIM: 6 zones 1 MÀXIM: 16 zones MÍNIM: 5 zones MÀXIM: 20 zones MÀXIM: 30 zones MÍNIM: 4 zones 7 6 5 4 3 2

4