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Rectas y planos en el espacio 1. 2. 3.
Los arquitectos son unos grandes conocedores de la geometría en el espacio. Una obra emblemática en la que se pueden observar perfectamente las rectas y los planos es la casa de la Cascada o casa Kaufmann. Diseñada entre 1934 y 1935 y construida durante 1936 y 1937, se considera la obra cumbre de Frank Lloyd Wrigt (1876-1959). Proyectada como casa de campo para Edgar Kaufmann, hoy en día es un monumento nacional en Estados Unidos. Wright comentó sobre su obra: «Está diseñada para la música de la cascada, para aquel a quien le gusta oírla». Hoy en día el sonido de la cascada se percibe desde cualquier lugar de la casa.
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Discute el siguiente sistema según el valor del parámetro a: ax 4y z 1 y az a x 14y 2az 8
x4 y Dada la recta z 1, 5 2 averigua si el punto P(6, 2, 2) está contenido en la recta paralela a la anterior que pasa por el origen de coordenadas. Dado el plano 2x y 3z 4, determina si son o no paralelos: 1x y1 2 a) La recta . 2 1 3 b) El plano x 3y 2z 0.
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Rectas en el espacio
Una recta en el espacio queda determinada por un punto A y por una dirección definida por un vector no nulo, v , denominado vector director de la recta; r(A, v ) es la determinación lineal de la recta. La determinación lineal de la recta no es única, ya que se puede tomar cualquiera de sus puntos; además, dada una recta, existen infinitos vectores directores (todos paralelos entre sí y con la misma dirección de la recta). Puede determinarse una recta en el espacio conociendo dos de sus puntos. En efecto, conocidos dos puntos de una recta, A y B, se puede determinar el vector A B y este será un vector director de la recta, puesto que tiene su misma dirección. La determinación de la recta será r(A, A B ).
Recuerda Una recta en el plano queda determinada por un punto A y por un vector no nulo, v , denominado vector director de la recta.
1.1. Ecuación vectorial de la recta Sea A(a1, a2, a3) un punto de la recta y sea v un vector director; en la figura 5.1 se observa que, para un punto cualquiera, P(x, y, z), de la recta se puede escribir: O P OA A P y dado que A P tiene la misma dirección que v: O P O A v
que es la ecuación vectorial de la recta en el espacio. Z A
v
P
O FIGURA 5.1.
Y
X
1.2. Ecuaciones paramétricas de la recta Teniendo en cuenta que las coordenadas del punto A son (a1, a2, a3), las del punto P, (x, y, z) y las componentes del vector v son (v1, v2, v3), la ecuación vectorial se puede escribir: (x, y, z) (a1, a2, a3) (v1, v2, v3) Igualando las componentes se obtiene: Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio:
x a1 v1 y a2 v2 z a3 v3
Conocidos dos puntos de la recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), las ecuaciones paramétricas de la recta se convierten en:
x a1 (a1 b1) y a2 (a2 b2) z a3 (a3 b3)
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Observa Conocidos dos puntos de la recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), un vector director es: v (a1 b1, a2 b2, a3 b3)
Rectas y planos en el espacio
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Ejemplos 1. Dada la recta (x, y, z) (3, 1, 5) (2, 1, 0), averiguar si los puntos A(5, 2, 5), B(1, 2, 5) y C(1, 0, 6) pertenecen a ella. Sustituyendo en la ecuación de la recta los puntos dados: (5, 2, 5)(3, 1, 5)(2,1, 0) ⇒ (2, 1, 0)(2,1, 0) ⇒ 1 (1,2, 5)(3, 1, 5)(2,1, 0) ⇒ (4,3, 0)(2,1, 0) ⇒ ∃/ (1, 0, 6)(3, 1, 5)(2,1, 0) ⇒ (2,1, 1)(2,1, 0) ⇒ ∃/ Solo el punto A pertenece a la recta. 2. Dados los puntos A(0, 3, 2) y B(1, 0, 5), escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dichos puntos. Un vector director de la recta será el vector A B (1, 3, 3). La recta que pasa por el punto A y que tiene por vector director A B es la de ecuaciones: x y 3 3 z 2 3
1.3. Ecuaciones en forma continua de la recta Despejando en cada una de las ecuaciones paramétricas el parámetro , se obtiene: Ecuaciones en forma continua de la recta en el espacio: x a y a z a 1 2 3 v1 v2 v3
[…
Ecuación en forma general de la recta De las ecuaciones en forma continua de la recta pueden obtenerse tres ecuaciones: xa ya 1 2 ⇒ v1 v2 ⇒ xv2 yv1 a2v1 a1v2 0 xa z a 1 3 ⇒ v1 v3 ⇒ xv3 zv1 a3v1 a1v3 0 ya za 2 3 ⇒ v2 v3 ⇒ yv3 zv2 a3v2 a2v3 0 De estas, solo son necesarias dos cualesquiera de ellas; luego se obtiene un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, cuya solución presenta un grado de libertad y, por tanto, son los puntos de la recta. Este sistema recibe el nombre de ecuación general de la recta y se tratará con más detalle en epígrafes siguientes.
Conocidos dos puntos de la recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), su ecuación continua se convierte en: x a1 y a2 z a3 b1 a1 b2 a2 b3 a3 En general, las ecuaciones de las rectas son:
ECUACIONES DE LA RECTA Formas
Ecuaciones
Ecuación vectorial
OP OA v (x, y, z) (a1, a2, a3) (v1, v2, v3)
Ecuaciones paramétricas
Ecuación continua
xa ya za 1 2 3 v1 v2 v3
x a1 v1 y a2 v2 z a3 v3
Si los puntos P1, P2, …, Pn están alineados, es decir, pertenecen a una misma recta, los vectores P 1P2, P1P3, …, P1Pn deberán ser paralelos. Si los vectores P 1P2, P1P3, …, P1Pn son paralelos, son linealmente dependientes dos a dos, luego el rango de este conjunto de vectores deberá ser 1: rango (P 1P2, P1P3 , …, P1Pn) 1
104 Geometría
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Ejemplos 3. Determinar si los puntos A(1, 1, 1), B(0, 3, 1) y C(2, 2, 0) están o no alineados. Calculamos los vectores: 쮿 A B (1, 2, 2) 쮿 A C (1, 3, 1) Si los vectores A By A C son proporcionales, los puntos A, B y C, estarán alineados: 1 2 2 1 3 1 Por tanto, los puntos A, B y C no están alineados. 4. Calcular la ecuación en forma continua de la recta que pasa por el punto A(1, 1, 2) y que tiene dirección perpendicular a los vectores u (0, 1, 3) y v (1, 1, 1). Un vector director perpendicular al mismo tiempo a los vectores uy v es el siguiente: j i k u v 0 1 3 2i 3j k 1 1 1
La ecuación de la recta pedida será: x1 y1 z2 2 3 1
ctividades 1 Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(7, 5, 2) y tiene la dirección del vector k. Solución:
x7 y 5 z2
2 Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extremos A(2, 1, 5) y B(7, 3, 1). x 9/2 y1 z3 Solución: 9 2 6 3 ¿Existe algún valor de m para el cual A(1, m, 0), B(m, 2, 1) y C( 3, 8, 1) estén alineados? Solución: m 5 4 ¿Están los puntos A(3, 4, 2), B(2, 1, 0) y C(1, 6, 2) alineados? Si es así, calcula la ecuación continua de la recta que los contiene. y1 z Solución: A, B y C están alineados. x 2 5 2 5 Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la siguiente recta: x1 y z2 s: 3 2 1 Solución: (x, y, z) (2, 3, 1)
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Rectas y planos en el espacio
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2 Observa Los vectores directores del plano deben ser linealmente independientes, es decir, no paralelos. u u’
v’
A
v
A’
FIGURA 5.2.
El plano
Un plano en el espacio queda determinado por un punto A y dos vectores, u y v , no nulos y no paralelos, que se denominan vectores directores del plano. La expresión (A, u, v ) se denomina determinación lineal del plano. La determinación lineal del plano no es única, ya que puede tomarse uno cualquiera de los puntos de este, y los vectores directores del plano tampoco son únicos (figura 5.2). Puede determinarse un plano conociendo tres de sus puntos, A, B y C, con la condición de que no estén alineados, ya que con estos tres puntos se pueden obtener dos vectores del plano que serán linealmente independientes ). y que, por tanto, serán vectores directores suyos: (A, A B, AC
2.1. Ecuación vectorial del plano Si un punto P(x, y, z) pertenece al plano (A, u, v ), el vector A P deberá v . ser combinación lineal de u y v : A P u Observando la figura 5.3 se puede escribir: O P OA A P. Ecuación vectorial del plano: P(x, y, z)
A(a1, a2, a3)
v O P O A u
,
A P
O A
O FIGURA 5.3.
O P
2.2. Ecuaciones paramétricas del plano Si las coordenadas de A son (a1, a2, a3) y las de P son (x, y, z), entonces (a1, a2, a3) y O P (x, y, z). Si, además, las componentes de los vecOA v son, respectivamente, (u1, u2, u3) y (v1, v2, v3), sustituyendo en tores u y la ecuación vectorial se obtiene: (x, y, z) (a1, a2, a3) (u1, u2, u3) (v1, v2, v3) Igualando las componentes resulta: Ecuaciones paramétricas del plano:
x a1 u1 v1 y a2 u2 v2 z a3 u3 v3
,
2.3. Ecuación general del plano Dados un plano (A, u, v ) y un punto P(x, y, z) que pertenezca al plano, u y v deben ser linealmente dependientes: los vectores A P, P , rango (A u, v) 2 Luego: x a1 u1 v1 y a2 u2 v2 0 z a3 u3 v3
Desarrollando el determinante anterior se obtiene una expresión del tipo: Ecuación general o implícita del plano: Ax By Cz D 0
106 Geometría
A, B, C, D
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Si varios puntos, P1, P2, …, Pn , son coplanarios, es decir, pertenecen a un mismo plano, los vectores P 1P2 , P1P3 , …, P1Pn deberán ser tales que únicamente sean linealmente independientes dos a dos, ya que cualquiera de ellos se puede expresar como combinación lineal de otros dos. Si ocurre esto, el rango de este conjunto de vectores deberá ser 2: rango (P 1P2 , P1P3 , …, P1Pn ) 2
Observa Si cuatro puntos del espacio no son coplanarios, forman un tetraedro.
Ejemplos 5. Dados el punto A(1/2, 3, 2) y la recta (x, y, z) (2 , , 5 2), con , averiguar la ecuación general del plano que contiene a ambos. La recta dada pasa por el punto P(2, 0, 5) y tiene la dirección del vector v (1, 1, 2). Este puede ser uno de los dos vectores directores del plano. Para determinar el otro calculamos un vector que una el punto A(1/2, 3, 2) y el punto de la recta P(2, 0, 5), u (3/2, 3, 3). La ecuación general del plano será:
x 1/2 1 y 3 1 z2 2
3/2 3 3 3 3x z 0 2 2 3
La ecuación del plano es 6x 3z 3 0 ⇒ 2x z 1 0. 6. Averiguar si los puntos O(0, 0, 0), A(1, 1, 3), B(5, 2, 2) y C(3, 4, 8) son coplanarios. (1, 1, 3), O B (5, 2, 2) y Si el rango del conjunto de vectores OA O C (3, 4, 8) es menor que 3, los puntos serán coplanarios. Como el siguiente determinante: 1 ∆ 1 3
3 4 8
5 2 2
, es menor que 3 y, es nulo, el rango del conjunto de vectores OA O By OC por tanto, los puntos O, A, B y C son coplanarios. 7. Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ. Escogemos un punto de este plano, por ejemplo, el origen de coordenadas O(0, 0, 0), y dos vectores directores: i (1, 0, 0) k (0, 0, 1)
Z
La ecuación del plano será:
x y z
1 0 0
0 0 1
P(x, 0, z)
0 O
Desarrollando el determinante anterior por la tercera columna, se obtiene que 0 y 0. La ecuación del plano OXZ es y 0.
X
Todos los puntos del plano OXZ cumplen la misma condición: son de la forma (x, 0, z) (figura 5.4). FIGURA 5.4.
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Rectas y planos en el espacio
Y