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Reflexiones sobre las Leyes de la ELECTROSTÁTICA todo empezo con la le Ley de Coulomb... Ö receta para calcular E: dada la densidad de carga ρ, se puede (en principio) integrar y obtener E Luego, desarrollamos dos ideas más “refinadas”: r QS ˆ ¾n la Ley de GAUSS: ∫ E ⋅ n da = ε0 S ¾o Circulación CERO del E:
r r ∫ E ⋅ dl = 0 γ
Ö usamos estas leyes para deducir cosas acerca de conductores en equilibrio electrostático Fìsica II, 2004 1 ) (i.e. Eint=0, cond=superf.equipot.,…
Ö n & o forman una nueva formulación de la electrostática (casi) equivalente a la ley de Coulomb y a menudo más útil Ö n & o NO son una receta para calcular E, son requisitos Ö cualquier pareja (E(r), ρ(r)) que satisfagan n & o son físicamente posible -Y SÓLO ESTAS LO SONÖ n & o se llaman «Ecuaciones de Campo» y (E,ρ) que las satisfacen se llaman "soluciones" a las Ecuaciones de Campo Fìsica II, 2004
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(casi) equivalencia con la Ley de Coulomb r q Ö el campo coulombiano E = k 2 rˆ εr
de una sola carga puntual, es una solución a n & o
Ö el Principio de Superposición vale porque son lineales en E y ρ (si (E1, ρ1) y (E2, ρ2) son soluciones ⇒ (E1+E2, ρ1+ρ2) también lo es)
Ö tiene que ser satisfecha la ley de Gauss n, para cada superficie cerrada S Ö tiene que ser satisfecha la cero circulación o, para cada curva (laso) cerrado γ
r r ¾ o ∫γ E ⋅ dl = 0 es equivalente al requisito de que EXISTE un potencial V(r) y las componentes de E son (-) las derivadas parciales de Vr
∂V ∂V ∂V E = − ,− ,− x y ∂ ∂ ∂z
r ¾ n ∫S E ⋅ nˆ da = QS ε 0 la Ley de Gauss define la distribución de carga eléctrica que corresponde a un campo E dado
Ö todos los campos E obtenidos a partir de la ley de Coulomb son soluciones a n & o
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¿Cómo usar las «Ecuaciones de Campo» n & o?
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Ö ¡cualquier potencial V(r) define una solución! para la distribución de 4 Fìsica II, 2004 carga que da la ley de Gauss
Un ejemplo
Pero, ¿cuán fuerte es esta fuerza para una carga q a una distancia d del conductor?
Una carga fuera de un +q conductor plano infinito. Ö ¿Qué pasa? Hay una fuerza de atracción porque cargas de signo opuesto “se acumulan” en el conductor cerca de la carga dada
Ö parece bastante dificil de calcular con la ley de Coulomb, ya que no sabemos la distribución de carga
y de hecho este efecto es responsable por el hecho que las cargas móviles de permanezcan en el conductor (al menos para metales) aún si este +q estubiese rodeado de vacío y también funciona para dipolos como - - - - moléculas de agua
Entonces, la idea será buscar un potencial V(r) que es constante en el conductor (digamos cero), tenga una sola carga puntual q fuera del conductor, sea continuo sobre la superficie del conductor ¾ si podemos encontrar un potencial con una equipotencial plana y una sola carga q a uno de los lados de esta potencial, lo podremos pensar como el potencial fuera del conductor
y esta fuerza también participa en la adhesión de substancias a metales (aunque existen otros efectos que contribuyen, y en realidad es mucho más complicado)
sirve el potencial de un dipolo de cargas +q, -q separadas una distancia 2d
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Ö
r r Vdipolo ; r fuera del conductor V (r ) = dentro del conductor 0 ;
es un potencial que es nulo (cero) dentro del conductor y continuo en la superficie
Ö
r r kq ECOND = E− q = − 2 rˆ r
Ö la fuerza eléctrica sobre q es kq
hacia el conductor
+q
(2d )2
-q
¾ este método de calcular se llama «Método de las Imágenes», y la “ficticia” carga -q dentro del conductor se llama “carga imagen”
Ö E fuera del conductor r r r es como el Edipolo Ö E = E+ q + E− q ¾ pero el campo fuera del conductor es realmente campo debido a q más el campo que generan las cargas “aglomeradas” cerca de la superficies del conductor (Econd) Fìsica II, 2004
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Una visión LOCAL de nuestras “nuevas” leyes de campo...
Si dividimos el espacio en pequeños cubitos y Gauss vale para cada uno entonces Gauss vale para cada región hecho de estos cubitos.
¾Si la circulación de E en torno de los bordes de dos cuadrados vecinos es cero entonces es cero en torno de la superficie conjunta.
=
¾De la misma manera cuando cuadraditos son infinitesimales “circulación E cero” equivale otra ecuacion diferencial: “∇×E = 0”
¾Si Gauss vale para dos cubos vecinos entonces vale para la región conjunta.
Validez de Gauss para todas superficies y circulación E cero por todos contornos
Flujo aquí cancela
⇔ validez de estas ecuaciones en cada punto del espacio.
=
Estas son la formas diferenciales de dos de las ecuaciones de Maxwell ← La forma de los leyes de electromagnetismo que mas se usa en la práctica.
flujototal = flujo1 + flujo2 = Q1 /ε0 + Q2 /ε0 = Qtotal /ε0 Fìsica II, 2004
¾En el limite de cubitos infinitesimales Gauss equivale a una ecuacion diferencial: “∇⋅E = ρ/ε0”
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En lugar de desarollar formalismo de ecauciones diferenciales vamos hacer algo mas sencillo y casi equivalente:
¾Reticulado tridimensional... tridimensional
Supongamos que representamos al mundo por un reticulado tridimensional de lado pequeño a. Esta idea de modelar al espacio como un conjunto de cubitos y sus puntos de intersección -los vértices de los cubitoslos espacios disponibles donde las cosas pueden ubicarse, se lo denomina Fìsica II, 2004 11 «discretización del espacio»
Construyendo el «Reticulado tridimensional» tridimensional …poniendo “cubitos”
¾ Existen determinados puntos del reticulado donde pueden “vivir” (esto es existir ó habitar) las cargas eléctricas, estos puntos están conectados mediante segmentos ó tramos que determinan justamente la estructura del reticulado (grilla). Fìsicaempleada II, 2004 12 (Esta técnica es muy en simulaciones computacionales, para estudiar distintos fenómenos)
¾ Bajo esta concepción del espacio, se pueden dar una versión aproximada (“discretizada”) de las leyes n & o que involucran las componentes del campo eléctrico E tangentes a los tramos En esta “visión” nuestras leyes quedan: ¾o Circulación de E = 0: al recorrer un camino cerrado determinado a través de los segmentos ó tramos de la grilla del reticulado la suma de las componentes tangentes del E a cada segmento = 0
¾n la Ley de GAUSS, Para cada punto del reticulado el flujo eléctrico a través la superficie de un cubo de lado a centrado en el punto es a2 (E1 + E2 + E3 + E4 + E5 + E6), y debe ser igual a q/ε0 con q la carga en el punto. 1 6 5
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E||
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E||
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E||
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Circulación E = 0 ⇒ podemos definir potencial φ en cada punto del reticulado de la misma manera como en espacio continuo. Para cada segmento φfin - φorigen ≡ ∆φ = -a E o
E = -∆φ/a
← versión discreta de Ex = -∂φ/∂x
Conversamente, si hay φ automáticamente la circulación de E = 0.
Un último vistazo al potencial... Pensemos en nuestro reticulado pero ahora, para simplificar ideas, en el caso bi-dimensional, es decir, en el plano ¾ La diferencia entre dos puntos del reticulado determina el valor del campo eléctrico; de forma tal que: − aE = V (2) − V (1)
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a (E1 + E2 + E3 + E4 ) = suma de cambios de φ por el contorno
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¿y Gauss? - calculamos q en cada punto del reticulado a partir de E usando Gauss. Para estos q Gauss vale.
p q = 6aε0 (φ - vecinos)
← versión discreta de ecuación de Laplace: “∇2φ = -ρ/ε0” Fìsica II, 2004
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Ö esto permite pensar en una analogía entre esta “estructura reticular” y una tela donde en cada punto del tejido representa los puntos del retículo donde pueden vivir las cargas y los tramos que unen los puntos del retículo serían los hilos que conforman el tejido y se 2004 interceptan enFìsica losII, nudos del tejido 16
¾ De esta manera, se puede pensar al potencial como una representación de la altura a la cual se encuentra cada “nudo” del tejido, la tensión en los hilos del tejido entre los distintos “nudos” representaría -en este modelo- el campo eléctrico.
Ö Uno podría pensar en cierta manera, en que el efecto de poner cargas sobre el retículo es como poner cada punto del tejido a distintas altura de forma tal que la forma que el tejido tomase sería la 17 Fìsica II, 2004 forma del potencial
¾ Las leyes físicas que gobiernan estos fenómenos no son exclusivas del electromagnetismo, aparecen en muchas otras áreas; como por ejemplo, procesos difusivos, tales como, disipación de calor, Fìsica II, 2004 procesos de morfogénesis (patrones de18 formación de manchas ó pelajes), etc...
RESUMEN ¾ formulamos dos leyes que describen los fenómenos eléctricos (junto con otras dos
leyes más, estas 4 ecuaciones rigen el electromagnetismo -ecuaciones de Maxwell-)
¾ vimos un método para determinar el potencial eléctrico: «Método de las Imágenes» ¾ vimos una técnica para discretizar el espacio: no sólo útil para determinar potenciales eléctricos, sino para otras aplicaciones (simulaciones computacionales, etc...) Fìsica II, 2004
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