Relación de problemas: Tema 9 1.-Una espira rectangular de lados a y b gira con una velocidad angular ω en el seno de un campo magnético constante, perpendicular al eje de rotación de la espira. Calcular la fem inducida en la espira. dφ dt




 φ = ∫ B ⋅ dS S


 Suponiendo que en t = 0 B y S son paralelas:

ε =−

a

b ω

φ = Bab cos ωt ε = Babω senωt

2.- Un solenoide uniformemente devanado alrededor de un núcleo de aire tiene 120 vueltas, diámetro 10 mm y longitud 9 cm. a) Calcule la inductancia del solenoide. b) Si el núcleo se rellena con una barra de hierro dulce con una permeabilidad magnética de 800 µ0, calcule la nueva inductancia.

a) La inductancia o autoinductancia L viene dada por:

L = µ0

N2A N 2 IA obtenida de φm = µ0 = LI l l   solenoide

L = 4π ⋅107

2

120 2 π ( 0.005 ) = 1.58 ⋅10−5 H 0.09

A = π r 2 = π ( 0.005 )

2

l = 0.09 m 1

b) m = permeabilidad magnética m = (1 + χ m ) m0

χ m = susceptibilidad magnética del material m = 800m0 ; B = mB0 = mµ0 nI B0 = campo interior de un solenoide=µ0 nI N l φm = NBA = mµ0 n 2 I Al = LI n=

L = mµ0 n 2 Al = mL0 L0 = autoinducción en el vacío.

L=800L0 = 12.6 mH

3.- En un día claro existe un campo eléctrico vertical cerca de la superficie de la Tierra con una magnitud aproximada de 100 V/m. Al mismo tiempo, el campo magnético de la Tierra tiene una magnitud aproximadamente de 0,5·10-4 T. Calcule la densidad de energía de los dos campos. a) La densidad de energía eléctrica viene dada por: 1 1 ue = ε 0 E 2 = 8.85 ⋅10−12 ⋅100 2 = 44.3 nJ / m3 2 2 ue = 44.3 nJ / m3 b) La densidad de energía del campo magnético viene dada por: B2 uB = = 995 µ J / m3 2µ0 u B = 995 µ J / m3 Estas ecuaciones de ue y uB son generales, siempre que exista un campo eléctrico o magnético en el espacio hay una energía almacenada por unidad de volumen.

4.- Un protón se mueve a través de un campo eléctrico dado por E=50ĵ V/m y un campo magnético B= 0.2î + 0.3ĵ + 0.4ќ T. Determine la aceleración del protón cuando tiene una velocidad de 200 m/s en la dirección del eje X. Según la ley de fuerzas de Lorenz:

2

     F = qE + q v × B = ma  v = 200iˆ  E = 50 ˆj  B = 0.2iˆ + 0.3 ˆj + 0.4kˆ

(

)

q = carga del protón m = masa del protón  q    q a =  E + v × B  = 50 ˆj + 200iˆ × 0.2iˆ + 0.3 ˆj + 0.4kˆ  =  m  m q = +60kˆ − 80 ˆj = −2.87 ˆj + 5.75kˆ ⋅109 m / s m

(

(

)

(

) (

(

)

))

(

)

 a = −2.87 ˆj + 5.75kˆ ⋅109 m / s

5.- Una espira rectangular de dimensiones a y b, es coplanaria con un hilo recto e indefinido, recorrido por una intensidad I, que se encuentra inicialmente a una distancia d del lado de longitud a. A partir de t=0, la espira se desplaza en el plano con velocidad constante v, en una dirección que forma un ángulo θ con el hilo, alejándose del mismo. Calcular la f.e.m inducida en la espira. Z dρ

I

d

Campo que crea el hilo:

dS



 µ I  B= 0 ϕ 2πρ µ I d +a b µ Ib d + a φ = 0 ∫ d ρ = 0 ln 2π d ρ 2π d

b

v ρ

a X

Cuando la espira se mueve d cambia. Según el sistema de coordenada que hemos tomado, d la cambiamos por x, distancia genérica al eje z.

φ=

µ0 Ib x + a ln 2π x

dφ dφ dx dx =− siendo = v, velocidad de la espira. dt dx dt dt µ Ib x  x − ( x + a )  dx µ0 Ib a = v ε =− 0   2 2π x + a  2π x ( x + a ) x  dt

ε =−

ε=

µ0 I abv 2π x ( x + a ) 3

a

b

× Bind

Iind

ε La intensidad inducida en la espira tiende a aumentar B, ya que cada vez la espira corta menos ф. (Ley de Lenz).

6.-Una barra conductora se desliza a una velocidad de 20 m/s a lo largo de los raíles conductores paralelos, unidos en uno de sus extremos por otro conductor. La resistencia del circuito es de 3 Ω y su autoinducción despreciable. Suponiendo que la distancia entre los dos raíles es de 3 m y que la componente vertical del campo magnético terrestre es de 2·10-5 Wb/m2, calcular: a) La corriente que circula por el circuito. b) La potencia que se requiere para mover la barra.

a)

Z

 v = v0 ɵj
 B = B0 kɵ

ε =− d

Y

v

ε = − B0 d



 dφ ; φ = B ⋅ S = B0 dy dt

dy = − B0 d v0 = −1.2 mV dt

X

ε debe crear una I inducida que a su vez cree un campo en sentido contrario al ya existente, para contrarrestar el aumento de flujo (Ley de Lenz).

ε I

I=

ε R

= 0.4 mA

Bind x I = 0.4 mA

4

b) P=

ε2

=

( B0 d v0 )

R R P = 0.48 µW

2

= 0.48 µW

7.- Una bobina circular de 300 vueltas y un radio de 5 cm se conecta a un integrador de corriente (que mide la carga que pasa por él). La resistencia total del circuito es 20 W. El eje de la bobina se orienta inicialmente de modo que sea paralelo al campo magnético terrestre en un punto determinado. Cuando el eje de la bobina gira 90º, la carga que pasa a través es 9,4 mC. Calcule el valor del campo magnético terrestre en dicho punto. dΦ ; Q = ∫ i ( t ) dt dt dΦ ε = Ri ( t ) = − ⇒ d Φ = − Ri ( t ) dt dt Integrando:

ε =−

0

∫ NSB

d Φ = − R ∫ i ( t ) dt = − RQ    Q

RQ NS 20 ⋅ 9.4 ⋅10 −3

− NSB = − RQ ⇒ B =

20 ⋅ 9.4 ⋅10−3 = = 0.07978 T = 798 G B= 2 300π r 2 300π ( 0.05 )

8.- Una espira rectangular de lados a = 4 cm y b = 3 cm está situada en el mismo plano de un hilo conductor rectilíneo como indica la figura. Se plantean dos experiencias y se desea determinar en qué caso la f.e.m. inducida será mayor. a) Experiencia 1. La espira se sitúa inicialmente a una distancia de x = 2 cm del hilo, y se desplaza en su mismo plano con velocidad v = 0,2 m/s en la dirección perpendicular al hilo alejándose de él. Por el hilo rectilíneo indefinido circula una corriente I = 4 A. b) Experiencia 2. Se fija la espira a una distancia de 0,1 m, y circula una corriente variable en el tiempo, I(t) = 4-0,2t por el conductor rectilíneo indefinido.

5

a = 0.04 b = 0.03 Fem inducida:

dφ B dt   φB = ∫ B ⋅ dS

ε =−

s

 µI Bhilo = 0 kˆ 2π x  dS = dSkˆ = adx

φB =

x = d +b

∫

x =d

µ0 I µ0 Ia d +b dx µ0 Ia d + b µ0 Ia  b  ln ln 1 +  adx = = = 2π x 2π ∫d x 2π 2π d  d

a) Espira quieta a 0.02 m del hilo, luego se mueve a v =0,2 m/s. d = d 0 + vt = 0.02 + 0.2t b µ0 Ia d   b   µ0 Ia − d 2 v dφ B =− = ε =− ln 1 +   = − dt 2π dt   d   2π 1 + b d µ Ia bv = 0 con d = d 0 + vt 2π d 2 + bd µ Ia bv 4π ⋅10 −7 0.04 ⋅ 4 0.03 ⋅ 0.2 ε (t = 0) = 0 = = 0.19 µV 2 2π d 0 + bd 0 2π 0.022 + 0.02 ⋅ 0.03 b) La espira quieta, I varía I(t)=4-0.2t d0= 0.1 m 6

ε =− =

µa  µa  dφ B b  dI b  = − 0 ln 1 +  = − 0 ln 1 +  ( −0.2 ) = dt 2π  d 0  dt 2π  d 0 

4π ⋅10 −7 0.04 ⋅ 0.2  0.03  ln 1 +  = 0.42 nV 2π 0.1  

 Como el flujo de B disminuye en ambos casos y B entra en la página, la corriente inducida va en las agujas del reloj para generar un B dirigido hacia dentro de la página en el interior de la espira.

9.- Un carrete de Tesla se construye con un solenoide largo y estrecho (solenoide B) que se encuentra dentro de otro más ancho de igual longitud (solenoide A). Sea un carrete con un solenoide A de 400 vueltas y otro B de 1000 vueltas, siendo la longitud de ambos de 10 cm. Cuando una corriente de 3,5 A circula por la bobina A se mide un flujo de 19,6 mWb en su centro y otro de 36,7 mWb en el centro de B. a) Calcule los radios de ambos solenoides. b) Calcule la inductancia mutua entre los solenoides. c) Si se conecta a la bobina B un circuito con una resistencia de 10 Ω ¿qué potencia se disipa en la resistencia si la corriente en la bobina A se incrementa a razón de 2 A/s? d) ¿Qué habría que hacer para obtener una potencia mayor, por ejemplo, para encender una bombilla conectada al solenoide B? A= solenoide exterior. B= solenoide interior. NA=400 vueltas NB=1000 vueltas µ0=4π·10-7 H/m IA=3.5 A ΦA=19.6 mWb ΦB=36.7 mWb a) Φ=BNS ΦA=BNASA B = µ0 nI = µ0

400 3.5 = µ0 4000 ⋅ 3.5 0.1

Φ A = BN Aπ rA2 ⇒ rA =

ΦA BN Aπ

Φ B = BN Bπ rB 2 ⇒ rB =

ΦB BN Bπ

b) La inductancia mutua entre los dos solenoides:

7

M BA

Φ B N S = BA = A B B = IA IA

µ0

NA I A N B SB N N L = µ0 A B S B IA L

c) P=VI en este caso V será la ε inducida en B: V ε 2 Como V = IR ; I = ⇒ PB = B R RB Donde εB es la fem inducida en B. Φ B = BA N B S B dΦB ∆I εB será: ε B = ⇒ ⇒ ε B = − µ0 N A N B S B A NA dt ∆t BA = µ 0 IA L

∆I A    µ0 N A N B S B  ∆t  PB =  RB

2

d) Aparece en la solución.

10.-La rueda de Barlow es un disco conductor que gira alrededor de su eje en presencia de un campo magnético constante, uniforme y paralelo a dicho eje, B0. Si, mediante dos contactos deslizantes, se conecta un voltímetro, entre el centro y el borde del disco, ¿cuál será la medida obtenida por el mismo?

Aplicando la Ley de fuerzas de Lorentz; Cualquier portador de carga q situado sobre un radio entre el centro del disco y el contacto deslizante experimenta una fuerza.

B= B0 ќ ω

ρ

8


 
 F = qv × B 
 v = ω × ρ = ωρϕɵ 
 ɵ  B = B0 k
 ρ es el radio de giro.

  F = qωρ B ϕɵ × kɵ ⇒ F = qωρ B ρ 0

0

Esta fuerza en dirección radial es la responsable de que aparezca una fuerza electromotriz.

 a a F

 a F ωa 2 ε = ∫ ⋅ dl = ∫ ⋅ d ρ ρ = ∫ ωρ B0 d ρ = ω B0 ∫ ρ d ρ = B0 2 0 0 0 q 0 q a

ε =B0

ωa2 2

Intente obtener este resultado con la Ley de inducción de Faraday. 11.- La figura muestra el fundamento de un motor lineal constituido por una varilla móvil de masa m y longitud l, que descansa sobre dos raíles conductores sobre los que puede deslizarse. R es la resistencia equivalente de la batería, raíles y varilla. Suponiendo una fuerza de fricción constante Ff y partiendo del reposo, calcular la velocidad de la varilla.

Al pasar la corriente por la barra deslizante aparece sobre ella (sobre los portadores de carga) una fuerza:

   F = qv portador × B = qv portador B0 ˆj × kˆ = qv portador B0iˆ ´

9

Esta fuerza tiende a alejar la barra. Se produce por tanto un aumento de flujo magnético (aumenta el área de la espira) y según la ley de Inductancia de Faraday aparece una fem inducida que tiende a frenar el aumento de flujo. Para el circuito la 2ª ley de Kirchhoff: dΦ d   V + ε = RI siendo ε = − = − ∫ B ⋅ dl dt dt d dx ε = − [ Blx ] = − Bl = − Blv dt dt V − Blv V − Blv = RI ⇒ I = R   dv  Según la dinámica de Newton: ∑ F = ma = m dt Tendremos que calcular la fuerza sobre el hilo (barra) con los datos del problema:    F = ∫ Idl × B = IlB0 ˆj × kˆ = IlB0iˆ l

dv dt dv IlB0 − F f = m dt lB0 dv (V − B0lv ) − Ff = m reagrupando términos: R dt 2 2 lB V Ff dv B l + ⇒ Ecuación diferencial lineal no homogénea v= 0 − dt Rm mR m F − Ff = m

La solución de esta ecuación nos da v: B l  − 0 t  Rm       V R  v ( t ) =  − Ff 2 2   1 − e cte  lB0 B0 l       cte 2 2

12.- El solenoide largo de la figura está devanado con 1000 espiras por metro y la intensidad en su arrollamiento aumenta a razón de 100 A/s. La sección del solenoide es de 4 cm2. Calcular: a) La fem inducida en un bucle circular de hilo que envuelva al solenoide. b) El campo eléctrico inducido en dicho bucle suponiendo que este tiene 10 cm de radio que envuelve al solenoide concéntricamente tal como se muestra en la figura.

a)

10

n = 1000 esp / m dI = 100 A / s dt S = 4 cm 2 B = µ0 nI

φ = BS = µ0 nIS (S del solenoide) dφ dI ε =− = − µ0 nS = −50.24 µV dt

dt

ε = −50.24 µV b)




ε = ∫ E ⋅ dl = E 2π a ⇒ E =

ε = 80 µV / m 2π a

E = 80 µV / m

13.- Una espira rectangular, de lado vertical a y horizontal b, está contenida en el plano zy y su centro dista de un hilo coincidente con el eje z una distancia L. Si por el hilo circula una corriente I1 y por la espira una corriente I2 (en el sentido indicado en la figura), calcúlese: a) La fuerza que la espira ejerce sobre el hilo. b) Si la corriente por la espira cesa y comienza a girar respecto de un eje vertical que pase por su centro con velocidad angular constante v, calcúlese la f.e.m. inducida en la espira.

a) El campo creado por el hilo es:  µI B = 0 1 ϕˆ 2πρ La fuerza que ejerce sobre cada tramo de la espira es:    F = I 2 ∫ dl × B

11

Las fuerzas sobre el tramo 1 y sobre el tramo 3 serán iguales, en la misma dirección y sentido contrario, luego se anulan (no las calculo). La fuerza sobre el tramo 2 es:  F2 = I 2

µ0 I1a b  2π  L +  2 

ˆj

Y la fuerza sobre el tramo 4 es:  µ0 I1a F4 = I 2 − ˆj b  2π  L −  2 

( )

Luego la fuerza total que el hilo ejerce sobre la espira es:    µ0 I 2 I1a  1 1  ˆ µ0 I 2 I1a −b ˆj F= − j=   2 2π  L + b L − b  2π b L2 −    2 2 2 La fuerza de la espira sobre el hilo será de igual módulo, misma dirección y sentido contrario.

 2µ I I ab F = 0 22 1 2 ˆj

π ( 4L − b

)

Desde arriba:

12

 µI B = 0 1 ϕˆ 2πρ

ρ = u 2 sen 2θ + ( L − u cos θ ) = u 2 + L2 − 2uL cos θ 2

L − u cos θ

ϕˆ = cos α iˆ − senα ˆj = ϕˆ =

u 2 + L2 − 2uL cos θ ( L − u cos θ ) iˆ − usenθ ˆj

usenθ

iˆ −

u 2 + L2 − 2uL cos θ

ˆj

u 2 + L2 − 2uL cos θ

 dS = dS cos θ iˆ + senθ ˆj = adu cos θ iˆ + senθ ˆj

(

)

(

)

  µ I a L cos θ − u cos 2 θ − usen 2θ d Φ = B ⋅ dS = 0 1 du 2π u 2 + L2 − 2uL cos θ µ Ia L cos θ − u dΦ = 0 1 2 du 2π u + L2 − 2uL cos θ

Φ = ∫ dΦ =

µ0 I1a 2π

t = u 2 + L2 − 2uL cos θ

b 2

∫u

−

b 2

2

L cos θ − u du = dt = ( 2u − 2 L cos θ ) du = + L2 − 2uL cos θ dt ( 2 cos θ − u ) du = − 2

2

b 2   + L + bL cosθ 2

=

µ0 I1a 2π  b 

∫ 2

  + L − bL cosθ 2

ε=

2

dt µ0 I1a b 2 + 4 L2 + 4bL cos θ ln 2 = 2π t b + 4 L2 − 4bL cos θ

d Φ µ0 I1a d  b 2 + 4 L2 + 4bL cos θ =  ln dt 2π dt  b 2 + 4 L2 − 4bL cos θ

 µ0 I1a b 2 + 4 L2 − 4bL cos θ ⋅ = 2π b 2 + 4 L2 + 4bL cos θ 

−4bLω senθ ( b 2 + 4 L2 − 4bL cos θ ) + 4bLω senθ ( b 2 + 4 L2 + 4bL cos θ )

( b2 + 4L2 − 4bL cos θ )

=

2

=

µ0 I1a16b 2 L2ω senθ cos θ 2π ( b 2 + 4 L2 − 4bL cos θ )

ε=

8µ0 I1ab 2 L2ω senθ cos θ π ( b 2 + 4 L2 − 4bL cos θ )

14.-Considere un cable coaxial cuya sección transversal se muestra en la figura. Las zonas rayadas corresponden a los conductores y la región entre a y b es de un material magnético con permeabilidad magnética µ. Calcular: a) La autoinducción del cable por unidad de longitud. b) La energía almacenada por el cable por unidad de longitud.

13

Suponga que (c-b)