REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.Estudia y representa la siguiente función: f (x ) =

x4 − 4x 2 + 6 2

Ejercicio nº 2.Dibuja la gráfica de la función: f (x ) =

4x ( x + 2)2

Ejercicio nº 3.Dada la función: y = sen2x − 2senx , x ∈ [0, 2π] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 4.Representa: f (x ) =

ex x −1

Ejercicio nº 5.Representa gráficamente: f (x ) =

1 x2 −1

Ejercicio nº 6.Representa gráficamente la siguiente función:

y = x3 − 3x2 + 2

Ejercicio nº 7.Haz la gráfica de la siguiente función: f (x ) =

x 2 + 2x − 2 x −1

Ejercicio nº 8.Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función: f (x) = sen2x − senx , x ∈ [0, 2π]

Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida:

Ejercicio nº 9.Estudia y representa la siguiente función: y = (x +1)ex

Ejercicio nº 10.Representa la función: y = x2lnx

Ejercicio nº 11.Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica: y=

x3 + 2x 2 + 3x 3

Ejercicio nº 12.Representa la siguiente función: y=

x2 − x −1 x −2

Ejercicio nº 13.a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función: f (x) = cos2x − cosx , x ∈ [0, 2π] b) Represéntala gráficamente. Ejercicio nº 14.Representa gráficamente la función: y = e1−x

2

Ejercicio nº 15.Estudia y representa la función: f (x ) = x 2 − 3 x

Ejercicio nº 16.Representa la función: f (x ) =

2 3 x − x 2 − 4x 3

Ejercicio nº 17.Representa gráficamente la función: y=

2x 3 x2 +2

Ejercicio nº 18.Dada la función: f (x) = cosx − senx , x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica:

Ejercicio nº 19.Dibuja la gráfica de la función: f (x) = xex+2

Ejercicio nº 20.Estudia y representa: f (x ) = x 3 + 3x 2

Ejercicio nº 21.Estudia y representa la función: y = x4 − 2x2 + 1 Ejercicio nº 22.Estudia y representa la función: f (x ) =

x2 +1 4 − x2

Ejercicio nº 23.Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función: y = 2 − sen2x , x ∈ [0, 2π] Utilizando la información obtenida, representa la función:

Ejercicio nº 24.Estudia y representa: f (x) = x2ex

Ejercicio nº 25.Estudia y representa la siguiente función: y = ln(x2 − 9)

SOLUCIONES REPRESENTACIÓN FUNCIONES Ejercicio nº 1.Estudia y representa la siguiente función: f (x ) =

x4 − 4x 2 + 6 2

Solución: • Dominio =  • Simetrías: f (− x ) =

x4 − 4 x 2 + 6 = f (x ) . Es par : simétrica respecto al eje Y . 2

• Ramas infinitas: lím f (x ) = + ∞ ,

lím f (x ) = + ∞

x →− ∞

x →+ ∞

• Puntos singulares: f ' (x) = 2x3 − 8x x = 0   f ' (x ) = 0 → 2 x x 2 − 4 = 0   x = −2 x 2 − 4 = 0 →   x = 2

(

)

Puntos singulares: (0, 6); (−2, −2); (2, −2) • Cortes con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 6 → Punto (0, 6) Con el eje X

→

y= 0

x4 − 4 x 2 + 6= 0 2

→

x4 − 8x2 +12 = 0. Cambio: x2 = z

z=

 8 ± 64 − 48 8 ± 16 8 ± 4 z = 6 → x = ± 6 = =  2 2 2 z = 2 → x = ± 2

(

) (−

Puntos − 6 , 0 ,

) ( 6, 0), ( 2, 0)

2, 0 ,

• Puntos de inflexión: f '' (x) = 6x2 − 8 f ' ' (x ) = 0 → 6 x 2 − 8 = 0 → x 2 =

Puntos: (−1,15; 1,56); (1,15; 1,56)

8 4 4 = → x=± ≈ ±1,15 6 3 3

• Gráfica:

Ejercicio nº 2.Dibuja la gráfica de la función: f (x ) =

4x ( x + 2)2

Solución: • Dominio =  − {−2} • Simetrías:

−4 x f ( −x ) = ( − x + 2)2 No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. • Asíntotas verticales: lím f (x ) = − ∞    x = −2 es asíntota vertical lím+ f (x ) = − ∞  x → −2  x → −2 −

• Asíntota horizontal: lím f (x ) = 0

→ curva por debajo )    y = 0 es asíntota horizontal lím f (x ) = 0 (f (x ) > 0 → curva por encima ) x → +∞  x → −∞

(f (x ) < 0

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x ) =

4 ( x + 2) 2 − 4 x · 2 ( x + 2) 4 ( x + 2) − 8 x − 4 x + 8 = = ( x + 2) 4 ( x + 2) 3 ( x + 2) 3

f ' (x ) = 0 → − 4 x + 8 → x = 2

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (2, +∞); es creciente en (−2, 2).  1 Tiene un máximo en  2, .  2 • Corte con los ejes:

Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0) • Gráfica:

Ejercicio nº 3.Dada la función: y = sen2x − 2senx , x ∈ [0, 2π] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. Solución: a) Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → sen2x − 2senx = 0 2senxcosx − 2senx = 0 → 2senx (cosx − 1) = 0 senx = 0 → x = 0, x = π, x = 2π  cosx − 1 = 0 → cosx = 1 → x = 0, x = 2π

Puntos (0, 0), (π, 0) y (2π, 0). b)

y' = 2cos2x − 2cosx y' = 0 → 2 (cos2x − sen2x) − 2cosx = 0 →

2cos2x − 2(1 − cos2x) −2cosx = 0

2cos2x − 2 + 2cos2x − 2cosx = 0 → 4cos2x − 2cosx − 2 = 0 2cos2x − cosx − 1 = 0

cosx =

− 2 −1  = 1 ± 1 + 8 1 ± 3 cosx = 4 2 = = 4 4  cosx = 1

2π −1 4π  cosx = 2 → x = 3 , x = 3  cosx = 1 → x = 0 , x = 2π 

Signo de y':

 4π  Máximo:  ; 2,6  3    2π  Mínimo :  ; − 2,6   3 

Puntos de inflexión: (0, 0), (2π, 0) c)

Ejercicio nº 4.Representa: f (x ) =

ex x −1

Solución: • Dominio =  − {1} • Asíntotas: lím f (x ) = −∞    x = 1 es asíntota vertical. lím+ f (x ) = +∞  x →1  x →1−

lím f (x ) = lím

x → −∞

x → +∞

e −x =0 − x −1

y = 0 es asíntota horizontal si x → −∞ (f (x) < 0) lím f (x ) = +∞ ,

x → +∞

lím

x → +∞

f (x ) = +∞ → Rama parabólica x

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x ) =

e x ( x − 1) − e x e x ( x − 2) = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2

f ' (x) = 0 → ex(x − 2) = 0 → x = 2 Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, 1) ∪ (1, 2); es creciente en (2, +∞). Tiene un mínimo en (2, e2). • Corta al eje Y en (0, −1). No corta al eje X. • Gráfica:

Ejercicio nº 5.Representa gráficamente: f (x ) =

1 x2 −1

Solución: • Dominio = (−∞, −1) ∪ (1, +∞) • Simetrías: f (−x) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y. • Asíntotas: lím f (x ) = +∞ → x = −1 es asíntota vertical

x → −1−

lím f (x ) = +∞ → x = 1 es asíntota vertical

x →1+

lím f (x ) = lím f (x ) = 0

x → −∞

x → +∞

y = 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para toda x) • Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

(

)

f (x ) = x 2 − 1

f ' (x ) = −

(

−1 2

)

−3 1 2 −x x − 1 2 · 2x = 2 ( x 2 − 1)3

f ' (x) = 0 → x = 0 (no vale) f (x) no tiene puntos singulares (en x = 0 no está definida) Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, −1); y es decreciente en (1, +∞). f (x) no corta a los ejes. • Gráfica:

Ejercicio nº 6.Representa gráficamente la siguiente función: y = x3 − 3x2 + 2

Solución: • Dominio =  • Simetrías: f (−x) = x3 − 3x2 + 2. No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. • Ramas infinitas: lím f (x ) = − ∞ ,

x →− ∞

lím f (x ) = + ∞

x →+ ∞

• Puntos singulares: f ' (x) = 3x2 − 6x 3 x = 0 → x = 0 f ' (x ) = 0 → 3 x (x − 2) = 0   x − 2 = 0 → x = 2

Puntos singulares: (0, 2); (2, −2) • Cortes con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2) Con el eje X → x3 − 3x2 + 2 = 0 → (x − 1)(x2 − 2x −2) = 0 → x − 1 = 0 → x = 1   →  x = 2,73  x 2 − 2 x − 2 = 0 → x = 2 ± 4 + 8 = 2 ± 12   2 2  x = −0,73 

Puntos (1, 0); (2,73; 0); (−0,73; 0). • Puntos de inflexión: f '' (x) = 6x − 6 = 0 → x = 1 → Punto (1, 0) • Gráfica:

Ejercicio nº 7.Haz la gráfica de la siguiente función: f (x ) =

x 2 + 2x − 2 x −1

Solución: • Dominio =  − {1} • Simetrías: x 2 − 2x − 2 f ( −x ) = 2 x +2

No es par ni impar: no es smétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. • Asíntotas verticales: lím f (x ) = − ∞    x = 1 es asíntota vertical lím+ f (x ) = + ∞  x →1  x →1−

• Asíntota oblicua: y=

x 2 + 2x − 2 1 = x +3+ → y = x + 3 es asíntota oblicua x −1 x −1

Posición de la curva respecto a la asíntota: f (x) − (x +3) < 0 si x → − ∞ (curva por debajo). f (x) − (x +3) > 0 si x → + ∞ (curva por encima). • Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x ) =

(2 x + 2) ( x − 1) − ( x 2 + 2 x − 2) 2 x 2 − 2 x + 2 x − 2 − x 2 − 2 x + 2 x 2 − 2 x = = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2

x = 0 f ' (x ) = 0 → x 2 − 2 x = 0 → x ( x − 2 ) = 0 →  x = 2

Puntos (0, 2) y (2, 6). Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un mínimo en (2, 6). • Corte con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2)

Con el eje X

→

y= 0

→

x 2 + 2 x − 2= 0

→

x=

−2 ± 4 + 8 2

 x ≈ −2,73   x ≈ 0,73

Puntos: (−2,73; 0); (0,73; 0) • Gráfica:

Ejercicio nº 8.Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función: f (x) = sen2x − senx , x ∈ [0, 2π] Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida:

Solución: • Dominio = [0, 2π] • Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → y = sen2x − senx = 0 senx = 0 → x = 0, x = π, x = 2π  senx (senx − 1) = 0 →  senx = 1 → x = π  2

π  Puntos (0, 0 ),  , 0  , 2 

(π, 0), (2π, 0)

• Máximos y mínimos: f ' (x) = 2senxcosx − cosx = sen2x − cosx = 0 f ' (x) = 0 → cosx (2senx − 1) = 0 3π π  cosx = 0 → x = 2 , x = 2    1 5π π → x= , x= 2senx − 1 = 0 → senx = 2 6 6 

Estudiamos el signo de f '' (x) = 2cos2x + senx en esos puntos: f ' ' < 0 en x =

π 3π y en x = 2 2

 π   3π  Máximos:  , 0  ,  , 2  2   2 

f ' ' > 0 en x =

π 5π y en x = 6 6

 π − 1   5π − 1  Mínimos:  , ,  ,  6 4   6 4 

• Gráfica:

Ejercicio nº 9.Estudia y representa la siguiente función: y = (x +1)ex

Solución: • Dominio =  • Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f (x ) = lím (− x + 1)e − x = lím

x → −∞

x → +∞

x → +∞

−x + 1 =0 ex

y = 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞ (y < 0) lím f (x ) = +∞ ,

x → +∞

lím

x → +∞

f (x ) = +∞ → Rama parabólica x

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' = ex + (x+1)ex = (x+2)ex y' = 0 → x + 2 = 0 → x = −2 Signo de y':

f (x) es decreciente en (−∞, −2); es creciente en (−2, +∞). Tiene un mínimo en −1    −2, 2  e   • Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1) Con el eje X → y = 0 → x = −1 → Punto (−1, 0) • Gráfica:

Ejercicio nº 10.Representa la función: y = x2lnx

Solución: • Dominio = (0, +∞) • Asíntotas: lím f (x ) = 0 . No tiene asíntotas verticales .

x →0 +

lím f (x ) = +∞ ,

x → +∞

lím

x → +∞

f (x ) = +∞ → Rama parabólica x

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y ' = 2 x ln x + x 2 ·

1 = 2 x ln x + x = x (2 ln x + 1) x

 x = 0 (no vale)   y ' = 0 → x (2 ln x + 1) = 0 →  −1 ln x = − 1 → x = e 2 2 

Signo de y ':

−1   f (x ) es decrecient e en  0, e 2  y es creciente en     −1  − 1  en  e 2 , .  2e  

 −1   e 2 , + ∞ . Tiene un mínimo    

• Puntos de corte con los ejes: No corta al eje Y, pues no está definida en x = 0. Con el eje X → y = 0 → x2lnx = 0  x 2 = 0 → x = 0 (no vale)  lnx = 0 → x = 1 → Punto (1, 0 )

• Gráfica:

Ejercicio nº 11.Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica: y=

x3 + 2x 2 + 3x 3

Solución: • Dominio =  • Simetrías:

−x3 + 2 x 2 − 3 x= f ( x ) 3 No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. f ( − x )=

• Ramas infinitas: lím f (x ) = − ∞ ,

x →− ∞

lím f (x ) = + ∞

x →+ ∞

• Puntos singulares: f ' (x) = x2 + 4x + 3 f ' (x ) = 0 → x =

Puntos:

(− 3, 0);

− 4 ± 16 − 12 − 4 ± 4 − 4 ± 2  x = −1 = =  2 2 2  x = −3

−4   − 1,  3  

• Cortes con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

→

Con el eje X

y= 0

→

x3 + 2x 2 + 3 x = 0 3

x3 + 6x2 + 9x = 0 → x(x2 + 6x + 9) = 0 → x(x + 3)2 = 0 → x = 0 →   x = −3

   Puntos (0, 0 ), (− 3, 0 )  

• Puntos de inflexión: f '' (x) = 2x + 4 −2  f ' ' (x ) = 0 → x = −2 → Punto  − 2,  3  

• Gráfica:

Ejercicio nº 12.Representa la siguiente función: y=

x2 − x −1 x −2

Solución: • Dominio =  • Simetrías: x2 + x − 1 f ( −x ) = −x − 2

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. • Asíntotas verticales: lím f (x ) = − ∞    x = 2 es asíntota vertical lím+ f (x ) = + ∞  x →2  x →2 −

• Asíntota oblicua: y=

1 x2 − x −1 = x + 1+ → y = x + 1 es asíntota oblicua x −2 x −2

Posición de la curva respecto a la asíntota: f (x) − (x + 1) < 0 si x → − ∞ (curva por debajo) f (x) − (x + 1) > 0 si x → + ∞ (curva por encima) • Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x ) =

(2 x − 1)( x − 2) − ( x 2 − x − 1) 2 x 2 − 4 x − x + 2 − x 2 + x + 1 x 2 − 4 x + 3 = = ( x − 2) 2 (x − 2)2 (x − 2)2

f ' (x ) = 0 → x 2 − 4 x + 3 = 0 → x =

4 ± 16 − 12 4 ± 4 4 ± 2  x = 1 = =  2 2 2 x = 3

Puntos (1, 1) y (3, 5). Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, 1) ∪ (3, +∞); es decreciente en (1, 2) ∪ (2, 3). Tiene un máximo en (1, 1) y un mínimo en (3, 5). • Corte con los ejes: - Con el eje Y

Con el eje X

→ x =0 → y =

→

y 0 =

Puntos: (−0,62; 0); (1,62; 0) • Gráfica:

→

1  1 → Punto  0,  2  2

x 2 − x −= 1 0

→

x =

1± 1+ 4 2

 x ≈ −0,62   x ≈ 1,62

Ejercicio nº 13.a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función: f (x) = cos2x − cosx , x ∈ [0, 2π] b) Represéntala gráficamente.

Solución: a) • Dominio = [0, 2π] • Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → y = cos2x − cosx = 0 → cosx(cosx − 1) = 0 3π π  cosx = 0 → x = 2 , x = 2  cosx = 1 → x = 0 , x = 2π   π   3π  Puntos (0, 0 ),  , 0  ,  , 0  y 2   2 

(2π, 0)

• Máximos y mínimos: f ' (x) = −2cosxsenx + senx = −sen2x + senx f ' (x) = 0 → senx(−2cosx + 1) = 0 sen x = 0 → x = 0, x = π, x = 2π   − 2cosx + 1 = 0 → cosx = 1 → x = π , x = 5π  2 3 3

Estudiamos el signo de f '' (x) = −2cos2x + cosx en esos puntos: f '' < 0 en x = 0, x = π, x = 2π Máximos (0, 0), (π, 2), (2π, 0) f ' ' > 0 en x =

π 5π , x= 3 3

 π − 1   5π − 1  Mínimos  , ,  ,  3 4   3 4 

b) Gráfica:

Ejercicio nº 14.Representa gráficamente la función: y = e1−x

2

Solución: • Dominio = . • Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f (x ) = lím f (x ) = 0

x → −∞

x → +∞

(f (x ) > 0

para todo x )

y = 0 es asíntota horizontal (la curva está por encima) • Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' = −2xe1−x

2

y' = 0 → −2x = 0 → x = 0 Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, 0); es decreciente en (0, +∞). Tiene un máximo en (0, e). • Gráfica:

Ejercicio nº 15.Estudia y representa la función: f (x ) = x 2 − 3 x

Solución: • Dominio = (−∞, 0] ∪ [3, +∞) • Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f (x ) = +∞

x → −∞

lím

x → −∞

f (x ) = lím x → +∞ x

x 2 + 3x = −1 −x

( x 2 + 3x − x ) ( x 2 + 3x + x ) = lím [ f (x ) + x ] = lím  x 2 + 3 x − x  = lím  x →+∞ x → −∞ x → +∞   x 2 + 3x + x

= lím

x → +∞

y = −x +

x 2 + 3x − x 2 x + 3x + x 2

= lím

x → +∞

3x x + 3x + x 2

=

3 3 = 1+ 1 2

3 es asíntota oblicua cuando x → −∞. 2

3   f (x ) < − x +  2 

lím f (x ) = +∞

x → +∞

lím

x → +∞

f (x ) = lím x → +∞ x

x 2 − 3x =1 x

( x 2 − 3x − x ) ( x 2 − 3x + x ) = lím [ f (x ) − x ] = lím  x 2 − 3 x − x  = lím  x →+∞ x → +∞ x → +∞   x 2 − 3x + x = lím

x → +∞

y =x−

x 2 − 3x − x 2 x − 3x + x 2

= lím

x → +∞

− 3x x − 3x + x 2

3 es asíntota ablícua cuando x → +∞. 2

3   f (x ) < x −  2 

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x ) =

2x − 3 2 x 2 − 3x

f ' (x ) = 0 → 2 x − 3 = 0 → x =

3 (no vale) 2

=

−3 −3 = 1+ 1 2

3   No tiene puntos singulares  en x = no está definida f (x ) 2  

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, 0); es creciente en (3, +∞). • Pasa por (0, 0) y (3, 0). • Gráfica:

Ejercicio nº 16.Representa la función: f (x ) =

2 3 x − x 2 − 4x 3

Solución: • Dominio =  • Simetrías: f ( − x= )

−2 3 x − x 2 + 4x 3

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni al origen. • Ramas infinitas: lím f (x ) = − ∞ ,

lím f (x ) = + ∞

x →− ∞

x →+ ∞

• Puntos singulares: f' (x) = 2x2 − 2x − 4

(

)

f ' (x ) = 0 → 2 x 2 − x − 2 = 0 → x = 7   − 20   Puntos singulares :  − 1,  ;  2,  3  3  

• Cortes con los ejes:

1 ± 1 + 8 1 ± 9 1 ± 3 x = 2 = =  2 2 2  x = −1

Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X

→

y= 0

→

2 3 x − x 2 − 4x = 0 3

2x3 − 3x2 − 12x = 0 → x (2x2 − 3x − 12) = 0 → x = 0   →   x ≈ 3,31 2 x 2 − 3 x − 12 = 0 → x = 3 ± 9 + 96 = 3 ± 105 =    4 4  x ≈ −1,81  

Puntos: (0, 0); (−1,81; 0); (3,31; 0) • Puntos de inflexión: f '' (x) = 4x − 2 f ' ' (x ) = 0 → x =

2 1  1 − 13  = → Punto  ,  4 2 2 6 

• Gráfica:

Ejercicio nº 17.Representa gráficamente la función: y=

2x 3 x2 +2

Solución: • Dominio =  • Simetrías: f (− x ) =

− 2x 3 = f (x ) . Es impar : simétrica respecto al origen x2 + 2

• No tiene síntotas verticales. • Asíntota oblicua: y=

− 2x 3 4x = 2x − 2 → y = 2 x es asíntota oblicua 2 x +2 x +2

Posición de la curva respecto a la asíntota:

f (x) − 2x > 0 si x → − ∞ (curva por encima). f (x) − 2x < 0 si x → + ∞ (curva por debajo). • Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x ) =

6 x 2 ( x 2 + 2) − 2 x 3 · 2 x 6 x 4 + 12 x 2 − 4 x 4 2 x 4 + 12 x 2 = = ( x 2 + 2) 2 ( x 2 + 2) 2 ( x 2 + 2) 2

(

)

f ' (x ) = 0 → 2 x 4 + 12 x 2 = 2 x 2 x 2 + 6 = 0 → x = 0

f ' (x) > 0 para todo x ≠ 0 → f (x) es creciente. (Hay un punto de inflexión en (0, 0)). • Corte con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0) • Gráfica:

Ejercicio nº 18.Dada la función: f (x) = cosx − senx , x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica:

Solución: • Dominio = [0, 2π] • Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1) Con el eje X → y = 0 → cosx − senx = 0 → 1 − tgx = 0 tgx = 1 → x =

5π π  π   5π  , x= → Puntos  , 0  ,  , 0  4 4 4   4 

• Máximos y mínimos: f ' (x) = −senx − cosx f ' (x) = 0 → −senx − cosx = 0 → tgx + 1= 0 → tgx = −1

x=

3π 7π , x= 4 4

Estudiamos el signo de f '' (x) = −cosx + senx en esos puntos:  3π   3π  f ''  > 0 → Mínimo en  , − 2   4   4   7π   7π  f ''  < 0 → Máximo en  , 2  4 4    

• Gráfica:

Ejercicio nº 19.Dibuja la gráfica de la función: f (x) = xex+2

Solución: • Dominio =  • Asíntotas: No tiene asíntotas verticales.

(

)

lím f (x ) = lím − xe − x + 2 = lím

x → −∞

x → +∞

x → +∞

−x =0 e x −2

y = 0 es asíntota horizontal si x → −∞ (f (x) < 0) lím f (x ) = +∞ ,

x → +∞

lím

x → +∞

f (x ) = +∞ → Rama parabólica x

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x) = ex+2 + xex+2 = (1 + x)ex+2 f ' (x) = 0 → 1 + x = 0 → x = −1 Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −1); es creciente en (−1, +∞). Tiene un mínimo en (−1, −e).

• Corta a los ejes en (0, 0). • Gráfica:

Ejercicio nº 20.Estudia y representa: f (x ) = x 3 + 3x 2

Solución: • Dominio: x3 + 3x2 ≥ 0 → x2 (x + 3) ≥ 0 → x ≥ −3 Dominio = [−3, +∞) • Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f (x ) = +∞ ;

x → +∞

lím

x → +∞

f (x ) = +∞ → Rama parabólica x

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x ) =

3x 2 + 6x 2 x 3 + 3x 2

  x = 0 (no vale) f ' (x ) = 0 → 3 x 2 + 6 x = 0 → 3 x (x + 2) = 0 →    x = −2

En x = 0 y en x = −3 no existe f ' (x), pues se anula el denominador. Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−3, −2) ∪ (0, +∞); es decreciente en (−2, 0). Tiene un máximo en (−2, 2). Tiene un mínimo en (0, 0) (aunque no sea derivable en este punto). • Puntos de corte con los ejes: Corta a los ejes en (−3, 0) y en (0, 0).

• Gráfica:

Ejercicio nº 21.Estudia y representa la función: y = x4 − 2x2 + 1

Solución: • Dominio = . • Simetrías: f (−x) = x4 − 2x2 + 1 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y. • Ramas infinitas: lím f (x ) = + ∞ ,

lím f (x ) = + ∞

x →− ∞

x →+ ∞

• Puntos singulares: f ' (x) = 4x3 − 4x = 4x (x2 −1) 4 x = 0 → x   f ' (x ) = 0 → 4 x x 2 − 1 = 0  x 2 − 1 = 0 →  

(

)

=0  x = −1  x = 1

Puntos singulares: (0, 1); (−1, 0); (1, 0) • Cortes con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1) Con el eje X → y = 0 → x4 − 2x2 + 1= 0 Cambio: x2 = z → z2 − 2z + 1 = 0 z=

 x = −1 2± 4−4 = 1 → x2 = 1  2 x = 1

Puntos (−1, 0) y (1, 0). • Puntos de inflexión: f '' (x) = 12x2 − 4

f ' ' (x ) = 0 → 12 x 2 − 4 = 0 → x 2 =

4 1 1 = → x=± ≈ ±0,58 12 3 3

Puntos (−0,58; 0,44) y (0,58; 0,44) • Gráfica:

Ejercicio nº 22.Estudia y representa la función: f (x ) =

x2 +1 4 − x2

Solución: • Dominio =  − {−2, 2} • Simetrías: f (− x ) =

x2 +1 = f (x ) . Es par : simétrica respecto al eje Y 4 − x2

• Asíntotas verticales: lím f (x ) = − ∞    x = −2 es asíntota vertical lím+ f (x ) = + ∞  x → −2  x → −2 −

lím f (x ) = + ∞    x = 2 es asíntota vertical lím+ f (x ) = − ∞  x →2  x →2 −

• Asíntota horizontal: lím f (x ) = lím f (x ) = −1 → y = −1 es asíntota horizontal

x → −∞

x → +∞

Si x → −∞ y si x → +∞, f (x) < −1 → la curva está por debajo de la asíntota. • Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x ) =

2 x( 4 − x 2 ) − ( x 2 + 1) · ( −2 x ) 8 x − 2 x 3 + 2 x 3 + 2 x 10 x = = (4 − x 2 )2 (4 − x 2 )2 (4 − x 2 )2

f ' (x ) = 0 → 10 x = 0 → x = 0

Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (−2, 0); es creciente en (0, 2) ∪ (2, +∞).  1 Tiene un mínimo en  0, .  4 • Corte con los ejes:

→

Con el eje Y

x =0

→

y=

1 4

→

1  Punto  0, 4  

Con el eje X → y = 0 → x2 + 1 = 0 → No corta al eje X Puntos (−0,62; 0); (1,62; 0). • Gráfica:

Ejercicio nº 23.Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función: y = 2 − sen2x , x ∈ [0, 2π] Utilizando la información obtenida, representa la función:

Solución: • Dominio = [0, 2π] • Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2)

Con el eje X → y = 0 → 2 − sen 2 x = 0 → sen 2 x = 2 → sen x = ± 2 → → No tiene solución. No corta al eje X .

• Máximos y mínimos: y ' = −2senxcosx = −sen2x senx = 0 → x = 0, x = π, x = 2π   y ' = 0 → − 2senxcosx = 0 →  cosx = 0 → x = π , x = 3π  2 2 

Estudiamos el signo de y '' = −2cos2x en esos puntos:

y '' < 0 en x = 0, x = π y x = 2π. Máximos: (0, 2); (π, 2); (2π, 2) y ' ' > 0 en x =

π 3π y x= . 2 2

 π   3π  Mínimos :  , 1 ;  , 1 2   2 

• Gráfica:

Ejercicio nº 24.Estudia y representa: f (x) = x2ex

Solución: • Dominio =  • Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f (x ) = lím x 2 e − x = lím

x → −∞

x → +∞

x → +∞

x2 =0 ex

y = 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞ (f (x) > 0) lím f (x ) = +∞ ,

x → +∞

lím

x → +∞

f (x ) = +∞ → Rama parabólica x

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x) = 2xex + x2ex = (2x + x2)ex x = 0 f ' (x ) = 0 → 2 x + x 2 = 0 → x (2 + x ) = 0 →   x = −2

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (−∞, −2) ∪ (0, +∞); es decreciente en (−2, 0). Tiene un máximo en

4   −2, 2  y un mínimo en e  

( 0,

0 ).

• Corta a los ejes en (0, 0). • Gráfica:

Ejercicio nº 25.Estudia y representa la siguiente función: y = ln(x2 − 9)

Solución: • Dominio = (−∞, −3) ∪ (3, +∞). • Simetrías: f (−x) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y. • Asíntotas: lím f (x ) = −∞ → x = −3 es asíntota vertical.

x → −3 −

lím f (x ) = −∞ → x = 3 es asíntota vertical.

x →3 +

f (x )  = 0 x   Ramas parabólica s  f (x ) lím f (x ) = +∞ , lím = 0 x → +∞ x → +∞ x  lím f (x ) = +∞ ,

x → −∞

lím

x → −∞

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' =

2x x −9 2

y' = 0 → 2x = 0 → x = 0 (no vale) No tiene puntos singulares (en x = 0 no está definida f (x)). Signo de f ' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −3); y es creciente en (3, +∞). • Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X

(

→

ln ( x 2 − 9 ) = 0

→

x2 − 9 = 1

) ( 10, 0)

Puntos : − 10 , 0 ;

No corta al eje Y, pues f (x) no está definida en x = 0. • Gráfica:

→

x = ± 10