Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS 1º ESO Manolo Cotrina Huerta

Resumen de Contenidos y Actividades de Repaso Matemáticas 1º ESO Guía y Propuesta de Estudio Curso 2012 / 2013

Matemáticas 1º ESO Pág. 1

Esquema general de contenidos del Curso de 1º de ESO A continuación os presento un esquema de los contenidos que hemos trabajado durante este curso en la asignatura de Matemáticas y que son imprescindibles para que el alumno tenga las herramientas y conceptos necesarios para afrontar cursos superiores.

Números Enteros. Numeros Naturales + Númetos Negativos. Operaciones Combinadas

ÁLGEBRA. Monomios, polinomios. Resolver Ecuaciones. Problemas de Álgebra

Fracciones. Operaciones con fracciones

Proporcionalidad. Directa e Inversa. Tanto por ciento Escalas

Potencias y Raíces. Propiedades. Operar en forma de potencia. Potencias con base negativa

Geomtría Plana. Puntos, rectas y polígonos. Triángulos (Pitágoras) y Cuadriláteros. Áreas y Perímetros

Estos son los 6 bloques de contenido fundamental que trabajamos en este curso y que tienen la finalidad de dotar al alumno de conocimientos básicos sobre áreas de las Matemáticas que les van a ser imprescindibles en cursos superiores y en diversas asignaturas. Este trabajo es una elaboración original utilizando recursos propios y otros disponibles a través de Internet. No pretende ser un libro de texto, tan solo un compendio de los conceptos más importantes tratados en este curso. Todo viene explicado paso a paso, centrando la atención en lo más importante, pero esto es un complemento al libro de texto, no un sustituto.

Organización del estudio y del trabajo. Tenemos por delante dos meses para terminar de adquirir estos conocimientos y para manejar con cierta soltura y fluidez estas operaciones. Es importante que seáis organizados y constantes en el trabajo. Este resumen incluye esquemas básicos de la teoría y de los contenidos que hay que saber, así como propuestas de ejercicios, ordenados por dificultad creciente, de cada apartado. Al final se añaden enlaces para ampliar el trabajo

Entrega de materiales y examen de Setiembre. Como se indicaba en el informe que se os entregó junto con las notas, en los 5 primeros días de Setiembre será el examen extraordinario de la asignatura. La fecha exacta estará disponible en la página web del Colegio en la fecha que los tutores os han indicado. Los materiales de trabajo propuestos en este resumen NO ES OBLIGATORIA, aunque se recomienda su realización y entrega ORDENADA, ya que son del nivel que se exigirá en el examen. Cualquier otro material que hayáis trabajado de manera voluntaria, desde los enlaces propuestos o con vuestros padres, familiares o en academias o con profesores particulares NO SE ENTREGARÁ.

Matemáticas 1º ESO Pág. 2

TEMA 1. NUMEROS ENTEROS. NATURALES + NEGATIVOS

1. Números Naturales. Los números naturales son aquellos que nos sirven para contar de manera natural: 1,2,3,4,5,6,7, … ∞ El 0 no es un número natural y se incorpora posteriormente como indicador de “ausencia de cantidad”

2. Números Negativos. Los números negativos son los que indican “deuda” y se marcan con el signo (−) delante del propio número: −1,−2,−3,−4,−5,−6,−7, … −∞

3. Números Enteros. Los números enteros son el conjunto de los Naturales, los Negativos y el 0. Los números enteros se representan en una recta del siguiente modo: Los números positivos son los mismos naturales y se les llama así para diferenciarlos de los negativos, y se les puede poner el signo (+) delante, aunque no es necesario. Si un número no lleva signo se le supone que es positivo. A partir de este momento los números tienen dos partes: el signo y su valor. Y por tanto el signo (−) no indica una resta, sino que el número es negativo.

3. Valor absoluto y Opuesto. El Valor Absoluto de un número entero es el valor del número con signo positivo. Se escribe así

5. Operaciones con números enteros I. Suma, resta, multiplicación y división.

(−)impar = −

Recordar que no se pueden poner dos signos matemáticos seguidos. Para separarlos usamos los paréntesis. •

No se puede escribir 4 + 4 + − 3 − + 2

•

Se debe escribir 4 + 4 + (− 3) −(+ 2)

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REGLA DE LA SUMA:

Enlace: http://www.tareasfacil.info/matematicas/Aritmetica/numeros-enteros/Sumaryrestar-numeros-enteros.html

Recordad que la RESTA de números enteros se convierte en una suma del opuesto y se resuelve mediante la regla de la suma: 4 −(−5) = 4+(+5) = 4+5 = 9 −3−(+4) = −3+(−4) = (igual signo) = −7

Matemáticas 1º ESO Pág. 4

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN : Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis. -

(+8) · (+3) = + 24

-

(-3) · (-2) = + 6

-

(+4) · ( -1) = - 4

-

(-2) · (+4) = - 8

Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0. -

(-15) : (-15) = +1

-

8 : 4 = +2

-

- 4 : (-2) = +2

-

10 : 2 = +5

-

10 : (-2) = - 5

5. Operaciones con números enteros II. Potencias de Base Negativa. Las potencias con bases negativa se resuelven según el índice se par o impar: •

( −2)2 = ( −2)·( −2) = 4

•

( −2)3 = ( −2)·( −2)·( −2) = −8

Exponente par: resultado positivo Exponente impar:

resultado negativo

6. Operaciones con números enteros III. Raíces cuadradas y cúbicas.

Raiz Cuadrada Número Positivo

±

Número Negativo

No existe Raiz Cuadrada

Raiz Cúbica 3

+ − Raiz Cúbica 3

Número Positivo

25 = ±5

38 = 2

Número Negativo

−25 = No existe

3 −8 = −2

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7. Ejercicios propuestos.

Matemáticas 1º ESO Pág. 6

7. Ejercicios propuestos.

Enlaces: • • •

http://www.ditutor.com/numeros_enteros/operaciones_enteros.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/positivos-negativos-sumar-restar.html http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/solucionlibronuevo/ u-4.pdf

Matemáticas 1º ESO Pág. 7

TEMA 2. FRACCIONES

1. CONCEPTO DE FRACCIÓN. Las fracciones son una forma de escribir partes de la unidad y expresan una división. El resultado puede ser exacto o no (equivale a un número decimal). Las fracciones pueden ser PROPIAS (numerador UNITARIAS (numerador

< denominador), IMPROPIAS (numerador > denominador) o

= denominador)

La fracción INVERSA de una fracción es aquella que se obtiene invirtiendo numerador por denominador.

Inversa de

3 5 es 5 3

Inversa de

1 es 5 5

Inversa de 7 es

1 7

Las fracciones deben expresarse siempre en FORMA IRREDUCIBLE. Fracciones equivalentes son las representan las misma cantidad. A partir de una fracción se pueden obtener fracciones equivalentes por AMPLIACIÓN (multiplicando numerador y denominador por un mismo número) o por SIMPLIFICACIÓN (dividiendo numerador y denominador por un mismo número). Nosotros para SIMPLIFICAR funciones NO vamos a ir dividiendo por números sucesivos, sino que lo haremos por FACTORIZACIÓN:

45 32 ·5 3 = = 30 2·3·5 2

De estos ejercicios ha caído uno en casi todos los examenes

2. OPERACIONES BASICAS CON FRACCIONES. Para la suma y resta de fracciones hay que hallar el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (producto de factores comunes y no comunes de mayor exponente).

3 5 7 9 20 14 9 + 20 −14 15 3·5 5 5 + − = + − = = = = 2 = 2 4 3 6 12 12 12 12 12 3·2 2 4 El resultado siempre se da simplificado, como hemos explicado antes. Para multiplicar fracciones, el método general dice que se multiplican los numeradores y luego los denominadores.

12 15 180 · = 5 9 45

Pero ahora habría que simplificar ….

180 2 2 ·32 ·5 = 2 = 22 = 4 45 3 ·5

Por eso nosotros evitamos multiplicar para luego dividir y vamos a multiplicar y simplificar en un solo paso, evitando trabajar con números grandes y ahorrando tiempo.

12 15 2 2 ·3 · 3·5 · = = 22 = 4 2 5 9 5·3 Para dividir fracciones vamos a convertirla en una multiplicación de la primera por la INVERSA de la segunda:

21 9 21 4 : = · 14 4 14 9

Y ahora resolvemos

21 4 7 · 3 · 2 2 2 · = = 14 9 7 · 2 · 32 3

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2. OPERACIONES AVANZADAS CON FRACCIONES. Para la potencia de fracciones, una fracción elevada a un exponente, se resuelve elevando a dicho exponente tanto el numerador como el denominador: 2

22 4 ⎛ 2⎞ = = ⎜⎝ ⎟⎠ 2 5 5 25

3

33 27 ⎛ 3⎞ − = − =− El resultado es negativo por ser base negativa y ⎜⎝ ⎟⎠ 3 2 2 8 exponente impar

Para hacer la raíz de una fracción, hacemos como con la potencia, le hacemos la raíz tanto al numerador como al denominador:

16 16 4 = = 49 49 7

2. EJERCICIOS PROPUESTOS.

3

1 31 1 = = 8 38 2

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TEMA 3. POTENCIAS Y RAÍCES

1. CONCEPTO DE POTENCIA. Una potencia es un operación matemática formada por BASE y EXPONENTE. Representa un multiplicación de la BASE por sí misma tantas veces como indique el EXPONENTE.

53 = 5 · 5 · 5

Esto ya lo sabíamos desde Primaria.

Al estudiar este año los números enteros, hemos visto la posibilidad de que la BASE sea NEGATIVA, y ya vimos en el tema uno que se resolvía dependiendo de si el exponente era par o impar: •

( −2)2 = ( −2)·( −2) = 4

•

( −2)3 = ( −2)·( −2)·( −2) = −8

Exponente par: resultado positivo Exponente impar:

resultado negativo

El caso de que el EXPONENTE sea negativo lo veremos en 2º de ESO.

2. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. Las propiedades de las potencias nos van a servir para poder operar con ellas en forma de potencia sin tener que resolver y trabajar con números que serían enormes. Esto es muy importante y hay que manejarlo con soltura.

Potencias de exponente 0 a0 = 1

50 = 1

a1 = a

51 = 5

Potencias de exponente 1

Multiplicación de potencias con la misma base am · a

n

= am+n

25 · 22 = 25+2 = 27

División de potencias con la misma base am : a

n

= am

25 : 22 = 25

– n

- 2

= 23

Potencia de un potencia (am)n=am

(25)3 = 215

· n

Multiplicación de potencias con el mismo exponente an · b

n

= (a · b)

n

23 · 43 = 83

División de potencias con el mismo exponente an : b

n

= (a : b)

n

63 : 33 = 23

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3. OPERANDO CON POTENCIAS. Para operar con potencias, en forma de potencia, vamos a usar las propiedades anteriores. Los pasos para resolver un ejercicio de potencias son: 1. ¿Tienen la misma base? a. SÍ …. 4 · 4 = 4 b. No .… siguiente paso 2

3

2+3

= 45

2. ¿Puedo conseguir la misma base? a.

Sí ….

( )

2 2 · 85 = 2 2 · 2 3

5

= 2 2 · 2 3 · 5 = 2 2 · 215 = 2 2+15 = 217 Utilizando potencia de potencia

b. No …. siguiente paso 3. ¿Tienen el mismo exponente? a. Sí ….

2 2 · 32 = ( 2 · 3) = 6 2 2

b. No …. siguiente paso 4. ¿Puedo conseguir el mismo exponente? a. Sí …..

( )

53 · 2 6 = 53 · 2 3 · 2 = 53 · 2 2

3

= 53 · 43 = ( 5 · 4 ) = 20 3 3

Utilizando potencia de potencia

b. No …. NO SE PUEDE OPERAR EN FORMA DE POTENCIA …. Solo quedaría resolver En los ejercicios en los que el profesor confirma que se pueden opoerar, deben darse alguno de los vasos anteriores, no hay más opciones. FALLOS TÍPICOS

( )

6 2 = 23

(3 )

3 2

2

= 92

MAL. Porque 6 no es 23. No se puede multiplicar base por exponente NUNCA

MAL. Igual que antes, 33 es 27 , no 9. No multiplicar base por exponente.

3. EJERCICIO DE SIMPLIFICACIÓN. Para resolver, finalmente, un ejercicio de PRODUCTO O DIVISIÓN DE FRACCIONES operando con potencia y dejando el resultado en forma de potencias, se haría lo siguiente. Las potencias con la misma en el numerador y denominador se operan como una división, restando los exponentes.

15 35 10 15 35 8 3·5 7·5 2 3 3·5·7·5·2 3 3·52 ·7·2 3 7·2 14 · : = · · = · · = = = = 50 9 8 50 9 10 2·52 32 2·5 2·52 ·32 ·2·5 2 2 ·53 ·32 5·3 15 Este ejercicio NUNCA se resuelve multiplicando los numeradores y denominadores iniciales y dando números enormes. Si el resultado queda en potencias pequeñas se resuelve, si no se deja en forma de potencia.

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4. EJERCICIO PROPUESTOS.

1. TIENEN LA MISMA BASE (lo más fácil de operar, por eso lo buscamos lo primero)

23 · 25 = 32 · 34 = 27 : 23 = 38 : 32 = 52 · 53 · 54 = 25 · (26 : 23) = 53 : (52 · 5) = (26 · 22) : 22 = 25 · 2 · 20 : (2 · 20) = 36 · 32 · 30 · (34 : 32) = 2. PODEMOS CONSEGUIR LA MISMA BASE. Mediante la fórmula de potencia de una potencia.

32 · 93 = 24 · 43 · 85 = 55 : 25 = (37 : 92) · 272 = 492 · 73 = 22 · 8 · 4 3 · 2 · 3 0 = ( – 2)4 · 42 · 16 = 362 : (– 6)3 = (– 25)2 · 3

−8

25 (usa la raíz negativa) =

· 43 =

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3. TIENEN EL MISMO EXPONENTE.

33 · 53 = 45 · 55 = 22 · 32 · 52 = (63 · 23) : 33 = 144 : (24 · 34) = 26 · 36 · 66 3 · 50 = (– 4)3 · 53 = (– 2)2 · (– 3)2 =

2 6 · 33 (usa la raíz positiva) = 33 · 53 · (– 2)3 · 23 =

4.1. BUSCAMOS EL MISMO EXPONENTE (en estos casos está “escondido en la base”). Volvemos a utilizar la fórmula de potencia de una potencia aunque ahora en sentido contrario.

33 · 8 = 27 · 23 = 36 : 32 = 32 · 43 = 53 · 82 = 93 · 52 = (36 · 53) · 272 = 32 · 16 · 43 = (– 25)2 · 24 · 93 · (– 3)0 = [ (– 36)3 · 26 ] : (– 16)3 =

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4.2 BUSCAMOS EL MISMO EXPONENTE (en estos casos “escondido los exponentes que hay”)

22 · 36 = 44 · 32 = 56 · 39 = 65 · 310 = (– 2)10 · 315 = 29 · 36 · 52 = 34 · 20 · 26 = 66 : 33 = 124 : 22 = 55 · 1010 = Observa los ejemplos y calcula. Cualquier potencia de exponente 0 es 1, salvo 00 que no se puede calcular. 90 = 1 00 = No se puede

70 = 1

60 =

80 =

00 =

40 = 00 =

120 =

9270 = 00 =

Observa los ejemplos y expresa como única potencia. Producto (multiplicación) de potencias con la misma base: se deja la base y se suman los exponentes. a) 54 · 52 = 56

b) 73

× 72 = 75

c) 37 · 3 = 38 (si no hay exponente es porque es 1)

d) 85 · 84 =

e) 13 × 14 =

f) 25 · 2 =

g) 39 · 37 =

h) 210 · 213 =

i) 8

j) 23 · 25 · 22 =

k) 72 · 73 · 74 =

× 845 =

l) 32 · 3 · 34 =

Observa los ejemplos y expresa como única potencia. Cociente (división) de potencias con la misma base: se deja la base y se restan los exponentes. a) 58 : 52 = 56

b) 73 : 70 = 73

c) 36 : 3 = 35 (si no hay exponente es porque es 1)

d) 85 : 82 =

e) 19 : 14 =

f) 25 : 2 =

g) 39 : 37 =

h) 257 : 210 =

i) 85 : 84 =

j)

37 = 32 5 3

k)

212 = 28

l)

95 = 9

(el exponente 1 no se pone)

Matemáticas 1º ESO Pág. 14

m)

510 = 57

n)

7 25 = 715

35 = 34

ñ)

Observa los ejemplos y expresa como única potencia. Potencia de una potencia: se deja la base y se multiplican los exponentes. a)

(7 )

= 76

e)

(4 )

=

i)

2 3

8 5

[(7 ) ] = 7 3 4 5

60

b)

(5 )

= 512

c)

(2 )

=

d)

(9 )

=

f)

(1 )

= 512

g)

(3 )

=

h)

(6 )

=

j)

4 3

4 2

[(4 ) ] = 9 2 5

k)

5 3

9 0

[(5 ) ] = 8 3 2

7 2

d)

3 9

[(2 ) ] = 6 4 0

Utiliza las propiedades de las potencias, vistas en los 3 ejercicios anteriores (estate atento a cuál de las tres corresponde en cada caso) y expresa como única potencia: a)

29 ⋅ 23 =

b)

(5 )

=

c)

e)

310 : 36 =

f)

28 : 2 =

g)

i)

6 ×6 =

j)

417 = 47

k)

4

0

4 3

78 : 7 6 = 510 = 57

(3 )

8 2

=

d)

(5 )

h)

9 4 ⋅ 93 =

l)

04 × 07 =

9 2

=

Utiliza las propiedades de las potencias para escribirlo como única potencia y luego calcula: a)

2 3 ⋅ 2 2 = 2 5 = 32

b)

38 : 3 6 =

c)

e)

311 : 39 =

f)

(2 )

g)

i)

10 4 × 10 2 =

j)

117 = 17

2 3

=

k)

59 = 57 96 = 94

(3 )

8 2

=

d)

23 ⋅ 2 =

h)

3 × 33 =

l)

04 × 07 =

Utiliza las propiedades de las potencias (puedes tener que utilizar más de una en cada apartado) y expresa como única potencia: a)

(2 5 ⋅ 2 3 ) : 2 4 = 2 8 : 2 4 = 2 4

b)

d)

(3 ) : (3 )

(5 ) ⋅ 5

e)

35 ⋅ (310 : 38 ) =

f)

g)

9 ⋅9 ⋅ 9

h)

4 20 : 414 = 43 ⋅ 4 2

i)

9 2

4

2 5

3

=

( )

2 7

=

2 3

3

=

c)

6 3 ⋅ 68 : 6 6 = 710 ⋅ 7 4 = 76

(3

8

⋅ 32

)

5

=

Observa los ejemplos y expresa como única potencia. Producto (multiplicación) de potencias con el mismo exponente: se multiplican las bases y se deja el exponente. a) 54 · 34 = 154 e) 16

× 76 =

i) (-8) 4

× (-6)4 =

b) 73

× 23 = 143

f) (-2)5 · 35 = j) 23 · 53 · 73 =

c) 37 · (-8)7 = (-24)7 g) 39 · (-4)9 = k) 42 ·(-5)2 · 32 =

d) 85 · 45 = h) 910 · 210 = l) (-3)5 · (-2) 5 · (-4)5 =

Matemáticas 1º ESO Pág. 15

Observa los ejemplos y expresa como única potencia. Cociente (división) de potencias con el mismo exponente: se dividen las bases y se deja el exponente. a) 85 : 25 = 45

b) 212 : 72 = 32

c) 156 : (-3) 6 = (-5)6

e) 89 : 19 =

f) 245 : 25 =

g) (-20)9 : 59 =

i) 84 : (-4)4 =

m)

510 = 110

j)

n)

95 = 35

(−14) 25 = (−7) 25

d)

67 = 27 7 3 h) (-30)7 : (-6)7 =

k)

10 8 = 28

l)

(−36) 5 = 95

ñ)

30 4 = (−3) 4

o)

49 8 = 78

5. ENLACES, -

http://www.vitutor.com/di/r/pt_e.html

6 RAÍCES. Las raíces, cuadradas u cúbicas, se pueden en clasificar en EXACTAS, las que dan un numero exacto no decimal, y las ENTERAS, las que dan un número decimal. Las raíces exactas, como operación inversa a la potencia, hay que conocerlas. Por lo menos las de los números hasta el 15. En este curso vamos a estudiar como resolver raíces enteras. No vamos a estudiar la operación matemática para resolver este tipo de raíces, ya que es una operación compleja y que posteriormente nunca vamos a utilizar. Para eso están las calculadoras. ¿Cómo vamos a resolverlas nosotros? Pues lo vamos a hacer FACTORIZANDO el radicando.

8 = 2 3 = 2 2 ·2

ahora, en las raíces cuadradas, podemos “sacar” de la raíz cada potencia al cuadrado. En

las cúbicas podremos sacar cada potencia al cubo. El procedimiento general es dividir el exponente de la potencia entre el índice de la raíz (2 en las raíces cuadradas, 3 en las cúbicas). El cociente de la división es el exponente de lo que sale de la raíz y el resto de lo que queda. Así terminamos la operación ….

2 2 ·2 = ± 2· 2

Recordad el signo

soluciones, la positiva y la negativa, como vimos en el tema anterior.

± ya que toda raíz cuadrada tiene dos

Matemáticas 1º ESO Pág. 16

Veamos más ejemplos para entenderlo mejor:

10 = 5·2 2 = ± 2· 5 200 = 52 ·2 3 = 5·2· 2 = ±10· 2

27 = 33 = ± 3· 3 24 = 3·2 3 = 2· 3·2 = 2· 3·2 = ± 2· 6 72 = 32 ·2 3 = 3·2· 2 = ± 6· 2 Haz tú las siguientes:

45 = 56 = 150 = 162 = 32 = 216 = Las raíces cúbicas 3

16 = 3 2 4 = 3 2 3 ·2 = 2· 3 2

3

54 = 3 33 ·2 = 3· 3 2

3

−72 = 3 −32 ·2 3 = −2· 3 32 = −2· 3 9

Ahora tú: 3

40 =

3

81 =

3

−80 =

En las raíces cúbicas ya no ponemos

± . Cada una tiene su signo.

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TEMA 4. ALGEBRA.

1. LENGUAJE ALGEBRAICO. En Álgebra incorporamos letras a las expresiones matemáticas. Una letra (x, y, z, a, b, c …) representa una incógnita o variable, un valor que o bien puede querer expresar cualquier número o uno sólo que hay que averiguar (es lo que haremos en las ecuaciones). En el Lenguaje Algebraico vamos a escribir con números e y letras una expresión de la vida real, se trata de poner con números y letras lo que decimos con palabras. Ejemplos:

Comprender y manejar correctamente el lenguaje algebraico es fundamental para poder resolver problemas de Álgebra, así como de poder expresar de forma general conceptos matemáticos. El Álgebra será una herramienta básica para la resolución de problemas de Matemáticas, Física, Naturales, Química, Geometría,…. En este enlace encontrarás un test de 30 preguntas sobre Lenguaje Algebraico (con las respuestas al final para comprobar que lo has hecho bien): http://www.thatquiz.org/es/previewtest?P/O/H/B/60751333958325

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2. MONOMIOS. La unidad mínima en una expresión algebraica es el MONOMIO. Un MONOMIO está formado por el producto de una parte numérica, llamada COEFICIENTE (el número con o sin signo) y una PARTE LITERAL (la o las indognitas, letras) El exponente de sus incognitas nos ayudará a determinar el GRADO de ese Monomio.

El GRADO de un monomio es la suma de los exponentes de sus incognitas (letras). Si la letra no tiene exponente es que tiene exponente 1. En el primer ejemplo de arriba el grado del monomio es 4 y en el segundo 2+1=3. Si un monomio no tiene parte literal, es decir, está solo formado por el coeficiente, se llama TÉRMINO INDEPENDIENTE.

2. POLINOMIOS. La suma o diferencia de varios monomios forma un polinomio. Desde ese momento cada monomio se llama término del polinomio.

El GRADO DE UN POLINOMIO es el mayor grado de sus monomios, no es la Suma de los grados de sus monomios, sino que es el mismo grado que el mayor grado de sus monomios En este caso tenemos un polinomio formado por tres monomios. Cada monomio tiene el grado que se indica, 10 el primero, 6 el segundo y 5 el tercero. Cada grado de cada monomio se ha obtenido sumando los exponentes de sus letras. Recuerda que si no tiene exponente es que tiene exponente 1. Y el grado del polinomio es el mayor de sus monomios … 10

Matemáticas 1º ESO Pág. 19

3. OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. Igual que los números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (y más operaciones), lo mismo podemos hacer ahora con los monomios y polinomios entre sí. Antes de empezar con esto vamos a introducir el concepto de MONOMIOS SEMEJANTES. Dos monomios son semejantes cuando tienen EXACTAMENTE la misma parte literal, es decir cuando tienen las mismas incognitas con los mismos exponentes cada una. Cualquier diferencia en alguna letra o algún exponente hace que ya no sean semejantes. Ejemplo de monomios semejantes:

SUMA Y RESTA DE MOMONIOS. Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Para sumar o restar monomios (semejantes) sumo o resto los coeficientes y dejo LA MISMA parte literal.

Y cuidado, los monomios no semejantes no se pueden sumar entre sí, y es un típico error hacerlo sumando los exponentes, pero, como se indica en el ejemplo siguinte eso no se puede hacer

4x + 3x 2 ≠ 7x 3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS. Para multilicar o dividir monomios entre sí, NO TIENEN QUE SER SEMEJANTES. Se pueden multiplicar o dividir entre sí cualquier monomio. Para hacerlo multiplico o divido sus coeficientes y sumo (si estoy multiplicando) o resto (si estoy dividiendo) los coeficientes de sus partes literales. Esto equivale a multiplicar o dividir potencias de la misma, que es en realidad lo que estamos haciendo. Fíjate bien en los siguientes ejemplos.

Matemáticas 1º ESO Pág. 20

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

4. EJERCICIOS (con soluciones).

Matemáticas 1º ESO Pág. 21

5. IGUALDADES. ECUACIONES. Una IGUALDAD es una expresión matemática que consta de tres partes: 1. Primer miembro 2. Signo igual 3. Segundo miembro Hay diferentes tipos de igualdades, para empezar NUMÉRICAS ( 7+3=10 ) y ALGEBRÁICAS, que a su vez pueden ser IDENTIDADES (la igualdad siempre es cierta para cualquier valor de la incógnita: 7x + 3x = 10x ) o ECUACIONES (que sólo son ciertas para determinados valores de la incógnita: 4x + 1 = 5 ) Resolver una ECUACiÓN será tratar de encontrar ese valor de la incógnita (o variable). Es decir, dada la ecuación

4x + 1 = 5

¿Qué valor de

Adelantamos que sera el valor 1, ya que si sustituimos la

x harña que esa igualdad sea cierta?

x por 1 … 4·1 + 1 = 5 … 4 + 1 = 5 …. 5 = 5

¡Se cumple la igualdad! ¿Cómo obtener ese valor? ¿cómo resolver la ecuación? Para empezar decir que nosotros en 1º de ESO, sólo vamos a aprender a relver ecuaciones de grado 1 y con una sola incognita, lo que se llaman ECUACIONES LINEALES, del tipo de la que hemos visto arriba. Por eso nunca veremos incógnitas con exponente mayor de 1. Pasos generales para resolver ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5.

Quitar denominadores (si los hay) Quitar paréntesis (si los hay) Agrupar los monomios literales en el primer miembro y los independientes en el segundo. Sumar o restar los monomios literales (que deben ser semejantes) y los términos independientes. Despejar la incognita.

REGLAS PARA EL CAMBIO DE MIEMBRO: 1. Cuando un monomio (un térimo) pasa de un miembro a otro, cambia de signo:

4x − 3 = 2x + 5

4 − 2x = 5 + 3

2. Cuando el coeficiente que multiplica a la incognita pasa almotro miembro lo hace diviendo, y si está dividiendo pasa multiplicando:

4x = 5

x=

5 4

3x =5 2

x=

5 · 2 10 = 3 3

En las siguiente ecuaciones no hay ni denominadores ni paréntesis , así que empezamos por el paso 3

Paso 3 Paso 4 Paso 5 Simplificar

Matemáticas 1º ESO Pág. 22

RESOLUCIÓN DE ECIACIONES CON DENOMINADORES Y PARÉNTESIS

Matemáticas 1º ESO Pág. 23

ERROR MUY FRECUENTE: El signo meno (−) delante de una fracción afecta a los todos los términos del numerador. Es muy frecuente dejarse el segundo sin multiplicar por el (−)

Matemáticas 1º ESO Pág. 24

6. EJERCICIOS PROPUESTOS.

Matemáticas 1º ESO Pág. 25

Matemáticas 1º ESO Pág. 26

5. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA. En este curso vamos a aprender a resolber problemas de Álgebra de 5 tipos diferentes. Para facilitar el planteamiento de estos problemas explicaremos cómo afrontar cada uno de ellos, de manera que sea más fácil para el alumno empezar a afrontar estos problemas. Tipos de problemas que vamos a estudiar: 1. 2. 3. 4. 5.

Problemas Problemas Problemas Problemas Problemas

de de de de de

lenguaje algebraico patas y cabezas (“conejos y gallinas”) figuras geométricas (fundamentalmente rectángulos) repartos o partes. edades

MUY IMPORTANTE: En TODOS los problemas de Álgebra hay que empezar escribiendo lo que me preguntan. Y a continuación decido a qué le voy a llamar x (la incógnita). Si sólo me preguntan una cosa, normalmente a eso le llamo x. Si me preguntan varias, a una le llamo x y las demás las tengo que poner en algebraico en función de x.

PROBLEMAS DE LENGUAJE ALGEBRAICO. Son muy fáciles de plantear. Se trata de escribir en lenguaje algebraico lo que dice el problema tal cual. Podemos ir escribiendo el planteamiento a la vez que vamos leyendo. 1. La tercera parte de un número es igual a su mitad menos 5. Averigua el número. X = el número.

6·

Y ahora …

x x = 6· −6·5 3 2

x x = −5 3 2

Ya tengo la ecuación y la resuelvo

2x = 3x − 30

2x − 3x = −30

−x = −30

Solución : es el número 30 2. el doble de la tercera parte de un número es igual a ese número menos su anterior y más 9. X = el número.

3·

Y ahora …

2x = x − (x −1) + 9 3

2x = 3 · x − 3 · (x −1) + 3 · 9 3 2x = 30

Ya tengo la ecuación y la resuelvo

2x = 3x − 3x + 3 + 27

x=

30 2

x = 15

Solución : es el número 15

2x − 3x + 3x = 3 + 27

x = 30

Matemáticas 1º ESO Pág. 27

PROBLEMAS DE PATAS Y CABEZAS. Se hacen siempre igual, y sabiendo hacer uno se saben hacer todos. Un clásico del Álgebra. 1. En una granja hay 22 animales entre conejos y gallinas. Si en total hemos contado 68 patas. ¿Cuántos animales hay de cada tipo? Primero lo que me preguntan.

A uno le llamo x

Conejos Gallinas

Conejos = x Gallinas

El otro será el número total de animales menos x

Conejos =

x

Gallinas = 22 –

x

Y ahora uso el dato de las patas. El total de patas será la suma de las patas de conejo (cuatro por cada conejo, 4·x) más las patas de las gallinas (dos por cada gallina, 2·(27-x) ) Así que la ecuación que se monta es

4x + 44 − 2x = 68 x=

4x + 2(22 − x) = 68

…. Y a resolverla

4x − 2x = 68 − 44

24 2

x = 12

2x = 24

Como

x eran los conejos …. Y gallinas 22 - x

Solución : 12 conejos y 10 gallinas 2. En un garaje hay 24 vehículos entre coches y motos. En total hemos contado 66 ruedas (sin tener en cuenta las de repuesto, claro). ¿Cuántos coches y motos hay?

Primero lo que me preguntan.

A uno le llamo x

Coches Motos

Coches = x Gallinas

El otro será el número total de animales menos x

Coches =

x

Motos = 24 –

x

Total de ruedas = ruedas de coches + ruedas de motos

4x + 2(24 − x) = 66

4x + 48 − 2x = 66 x=

18 2

4x − 2x = 66 − 48 x=9

Solución : 9 coches y 15 motos

Como

2x = 18

x eran los Coches …. Y Motos 24 - x

Matemáticas 1º ESO Pág. 28

PROBLEMAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS (RECTÁNGULOS). También muy fáciles de plantear y siempre hay que tener en cuenta el perímetro (suma de TODOS los lados). 1. Una finca rectangular que mide 5 metros más de larga que de ancha, necesita 70 metros de valla para rodearla. ¿Cuáles son las dimensiones de la finca? Primero lo que me preguntan.

Ancho de la finca Largo de la finca

El otro lo pongo en función de x con lo que me dice el problema.

A uno le llamo x

Ancho = Largo

x Largo = x + 5 Ancho =

x

Como el perímetro es la suma de TODOS los lados ( 2 anchos + 2 largos)

x En estos problemas hacer el dibujo y colocar los datos que sabemos en el dibujo nos puede ayudar mucho a entender como montar la ecuación.

x+5

x + x + (x + 5) + (x + 5) = 70 x+5

x

ó

2x + 2(x + 5) = 70

x + x + x + x + 5 + 5 = 70 4x = 70 − 5 − 5

4x = 60

x=

60 = 15 4

Por tanto si x (el ancho) vale 5, el largo que es x+5 será 20.

Solución : La finca mide 15m de ancho y 20m de largo.

Matemáticas 1º ESO Pág. 29

PROBLEMAS DE REPARTOS O DE PARTES. Para ayudar en estos problemas es importante dibujar un rectángulo que nos vaya marcando las partes que usamos del total. En realidad se hacen siempre igual y los datos son siempre del mismo tipo, aunque cambien los números y las unidades. 1. Salgo de compras y me gasto la mitad del dinero que llevo en unos pantalones. La tercera parte en una camisa. Cuando llego a casa aun me quedan 20 euros. ¿Cuánto dinero tenía al salir? Primero lo que me preguntan.

Le llamo x

Dinero total

Dinero total =

Las partes

x

Pantalones =

x 2

Camisa =

x 3

Ahora monto la ecuación según el razonamiento: Lo que me he gastado + lo que me sobra = Dinero Total

x x + + 20 = x 2 3

3x + 2x +120 = 6x Ya está …

Y resuelvo la ecuación, quitando primero denoiminadores.

3x + 2x − 6x = −120

−x = −120

x = 120

Solución: Tenía 120 euros

2. Un peregrino intenta recorrer un camino en cuatro días. El primero recorre la cuarta parte del camino, el segundo la mitad del camino, y el tercero la mitad de lo que le queda. Si el último tiene que andar 10 Km. ¿Qué distancia tiene el camino en total? Primero lo que me preguntan.

Le llamo x

Distancia total

Las partes

Distancia total =

x

Primer día =

x 4

Segundo día =

x 2

Ahora monto la ecuación según el razonamiento: Día 1 + Día 2 + Día 3 + Día 4 = Distancia Total Nos queda por sabe cuanto recorre el Día 3. Si ese tercer día recorre la mitad de lo que le queda, el día 4 recorrerá la otra mitad, o sea lo mismo que el día 3. Como sabemos que el día 4 recorre 10 km …. El día 3 recorrerá 10 km también.

x x + +10 +10 = x 4 2

Y ya montamos la ecuación:

x + 2x + 40 + 40 = 4x Ya está …

Y resolverla ecuación, quitando primero denoiminadores.

x + 2x − 4x = −40 − 40

Solución: El camino tenía 80 Km

−x = −80

x = 80

Matemáticas 1º ESO Pág. 30

PROBLEMAS DE EDADES. Aparentemente liosos en una primera lectura rápida, hay que organizar los datos con una tabla de tiempos y personas. De esta manera será muy fácil entender qué me preguntan y como resolver el problema. 1. Marta tiene un hijo, Luis, y tiene siete veces su edad. Pero dentro de 4 años tendrá solo el cuádruple (cuatro veces) la edad de su hijo. ¿Qué edad tienen ahora Marta y Luis? Lo primero es construir la tabla de tiempos y personas. Y cómo me preguntan la edad AHORA, a una de las dos edades de ahora (la de Marta o la de Luis), le llamo x DENTRO DE 4 AÑOS (sumarle 4 a la edad de ahora)

AHORA

7x

MARTA

7x + 4

x

LUIS

x+4

Ahora para montar la ecuación usamos el dato de nos falta, que dentro de 4 años la edad de Marta será 4 veces la de Luis:

7x + 4 = 4 · (x + 4)

7x + 4 = 4x +16 x=

3x = 12 Como

7x − 4x = 16 − 4

12 3

x=4

x era la edad de Luis ahora, ¡ya está! … y la de Marta quer era 7x será 7·4 Solución: Luis tiene 4 años y Marta 28

1. Marcos tiene 10 años y su hermana Ana 6. ¿Cuántos años pasarán hasta que la suma de las edades de los dos sea 34? Lo primero es construir la tabla de tiempos y personas. En esta ocasión me preguntan por el tiempo que debe pasar, a eso le llamo AHORA

DENTRO DE X AÑOS (sumarle X a la edad de ahora)

10

MARCOS

10 + x

6

ANA

x

6+x

Ahora para montar la ecuación usamos el dato de nos falta, que dentro de

x años sus edades de Marta sumarán 34.

(10 + x) + (6 + x) = 34

¡Ya está!

2x = 18

Solución: Tienen que pasar 9 años

x=9

Matemáticas 1º ESO Pág. 31

5. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA PROPUESTOS. 1. Fui a la librería con 36 euros y compré 2 libros ¿Cuánto me costaron si uno valía el doble que el otro? 2. ¿Cuántos años tiene Pepe si su hermano Juan tiene uno más que él y entre los dos suman 25 años? 3. La suma de las edades de mis padres es 84 años. Si mi madre tiene dos años menos que mi padre, ¿que edad tiene cada uno? 4.- Si al dinero que tengo le sumo su triple y le resto 20€, me quedan 28€. ¿Cuanto dinero tengo? 5.- Las dos terceras partes de una clase aprueban un examen. Si hay 16 aprobados, ¿cuántos alumnos hay en la clase? 6.- Si Juan compra dos entradas para el concierto le sobran 12€; en cambio, si compra 3 entradas le sobran 3€. Averigua cuánto cuesta cada entrada. 7.- Si a la edad que tiene mi prima le sumo dos años me da la mitad de la edad de mi hermano. ¿Cuántos años tienen mi prima y mi hermano?. 8.- Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad de la madre sea el triple de la edad del hijo? 9.- Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayor que su hermano Roberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? 10.- Los perros y periquitos de una casa dan un total de 60 cabezas y 180 patas. ¿Cuántos perros y periquitos hay en total? Soluciones en : http://iesrjsender.wordpress.com/2008/02/20/problema-1-ecuaciones-1º-de-eso-sergio-jalle/ Más problemas solucionados en: http://cipri.info/resources/E_1ESO_09-Problemas_de_Ecuaciones_de_Primer_Grado_1.pdf

Matemáticas 1º ESO Pág. 32

TEMA 5. PROPORCIONALIDAD. TANTO POR CIENTO. ESCALAS.

1. MAGNITUDES. Una magnitud es una unidad de medida … kilos o gramos, metros, horas, minutos, días, número de personas, … La relación entre dos magnitudes puede ser DIRECTA o INVERAMENTE PROPORCIONAL, en función de cómo varíen una respecto a la otra, en un determinado momento. Magnitudes directamente proporcionles. Si cuando una varía la otra lo hace en la misma proporción y en el mismo sentido, es decir si una aumente la otra también aumenta y si una disminuye la otra disminuye igualmente. Ejemplo: Tres metros de pared necesitan para pintase 2 litros de pintura. Pregunta: Si quiero pintar más pared ¿necestiré más o menos pintura? Más … Luego una crece, la otra crece. Ejemplo 2: Luis cobra 1900 € por siete semanas de trabajo. Pregunta: Si trabajo menos tiempo ¿cobraré más o menos? Menos …. Luego si el tiempo disminuye, el sueldo también. Además en ambos casos varían de manera proporcional, no al azar. Magnitudes inversamente proporcionles. Si cuando una varía la otra lo hace en la misma proporción pero en el sentido contrario, es decir si una aumente la otra disminuye y si una disminuye la otra aumenta. Ejemplo: Tres obreros tardan 4 días en pintar una casa. Pregunta: Si pongo a trabajar a 5 obreros en vez de 3 ¿tardaré más o menos? Menos … Luego una crece, la otra disminuye. Ejemplo 2: El viaje de Málaga a Granada dura 2 horas a 80Km/h. Pregunta: Si voy más rápido, ¿tardaré más o menos? Menos. …. Cuando la velocidad aumenta el tiempo disminuye

2. RAZONES Y PROPORCIONES. Una RAZÓN es un cociente entre dos magnitudes. Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos razones. El valor numérico de los cocientes, de hacer las divisiones, se llama Constante de Proporcionalidad (k).

RAZÓN

PROPORCIÓN

Antes de empezar a resolver problemas de proporcionalidad hay que conocer la Propiedad Fundamental de las Proporciones. Producto de extremos = Producto de medios

a ·d = b·c

Matemáticas 1º ESO Pág. 33

3. RESOLUCION DE PROPORCIONES DIRECTAS. Los ejercicios de proporciones, tanto directas como inversas, se resuelven aplicando la Propiedad fundamental de las Proporciones. Para ello vamos a plantear el problema, vamos a sacar las razones, montar la proporción y resolverla. Es algo tremendamente fácil. Loas proporciones directas son las que hemos estudiado en Primaria. Lo vemos con un par de ejemplos. 1. Tres metros de pared necesitan para pintase 2 litros de pintura. ¿Cuánta pintura hará falta para pintar 7 metros? Decimos

Si para 3 metros ----necesitamos-----à 2 litros Para 7 metros …….necesitaremos-----< X litros

Donde X es la cantidad que no conocemos.

Lo primero, antes de seguir, es asegurarse de que son proporciones directas. Para ello nos preguntamos: Para pintar MÁS metros … ¿necesito más o menos pintura? …. MÁS. Más metros, más pintura à DIRECTA Hacemos la razones y establecemos la proporción:

3 metros − −− → 2 litros 7 metros − −− → x litros 3 2 = 7 x

también la podemos escribir como …

7 x = 3 2

dependiendo que línea escribamos arriba y abajo. En cualquier caso nos dará el mismo resultado. Y ahora despejamos la

x

3x = 2 · 7 x =

14 = 4'666... = 4' 7litros de p int ura 3

Esto es equivalente a aplicar la conocida REGLA DE TRES (multiplicando y dividiendo en cruz), según la cual nos quedaría :

x=

2·7 3

o sea, exactamente igual que antes.

Pero nosotros vamos a hacerlo de la primera forma, es decir estableciendo la proporción y despejando la x. 2. Tres obreros trabajando durante una semana son capaces de colocar 170 metros de alambrada. Si necesito poner 300 metros en el mismo tiempo. Lo primero, antes de seguir, es asegurarse de que son proporciones directas. Para ello nos preguntamos: Para colocar MÁS alambrada … ¿necesito más o menos obreros? …. MÁS. Más alambrada, más obreros à DIRECTA Hacemos la razones y establecemos la proporción:

x obreros − −− → 300 metros 3 obreros − −− → 170 metros

x 300 = 3 170

x=

300 · 3 = 5'3 170

En ocasiones las soluciones decimales NO tienen sentido, no podemos dar como solución 5’3 obreros. Las personas, los animales y algunas cosas no se pueden dividir. Por tanto si necesitamos 5’3 obreros, necesitaremos más de 5 … Solución: 6 obreros

Matemáticas 1º ESO Pág. 34

4. RESOLUCION DE PROPORCIONES INVERSAS. Los ejercicios de proporciones inversas se van a resolver casi exactamente igual que los de proporciones directas. Lo único que hará falta es un cambio inicial y el resto será idéntico. Pero es muy importante, antes de empezar a resolver el problema, darse cuenta si estamos ante un caso de proporciones directas o inversas. Y para ello nos haremos la correspondiente pregunta. Lo vemos también con un ejemplo. 1. Un equipo de 5 alumnos han tardado 12 días en preparar un trabajo multimedia para fin de curso. Si el grupo hubiera sido de 7 alumnos, ¿Cuántos días habrían tardado? Decimos

Si 5 alumnos ----tardan-----à 12 días 7 alumnos …….tardarían-----< X días

Donde X es la cantidad que no conocemos.

Lo primero, antes de seguir, es saber si son directas o inversas. Para ello nos preguntamos: Trabajando MÁS alumnos … ¿tardan más o menos? …. MENOS. Más alumnos, menos días à INVERSA Hacemos la razones y establecemos la proporción:

5 alumnos − −− → 12 días 7 alumnos − −− → x días

5 alumnos − −− → x días 7 alumnos − −− → 12 días

Este es el cambio que hay que hacer en las proporciones inversas, a una de las razones, A UNA SOLA, le damos la vuelta y obtenemos una proporción que ya podemos resolver como si fuera directa

5 x = 7 12

también la podemos escribir como …

x=

5 ·12 = 8'6 7

Solución: 8’6 días

Esto equivale a lo qe se llama la REGLA DE TRES INVERSA, que se resuelve multiplicando y dividiendo en LÍNEA, en lugar de en CRUZ, como hacíamos en la regla de tres normal (la que ya conocías de Primaria) en las prpoporciones directas.

5. TANTOS POR CIENTO (%). El tanto por ciento es una manera de regular medidas de datos cuando éstos o bien son muy numerosos o cuando se comparan datos tomados sobre diferentes totales. Si en una clase de 30 han suspendido 9 y en otra de 40 han suspendido 11, no puedo comparar los números de suspensos porque los tatales d cada clase son diferentes. En este caso, como en muchos otros, usamos el tanto por ciento (%) El tanto por ciento equivale a hacer una proporción y decir : si en una clase de 30 han suspendido 9 , en una de 100 habrían suspendido …. Y sacar el % de suspensos de esa clase. Por tanto la proporción sería:

40 alumnos − −− → 11 suspensos 100 alumnos − −− → x suspensos

LOS PROPORCIONES USADAS EN LOS TANTOS POR CIENTO SON SIEMPRE DIRECTAS

Matemáticas 1º ESO Pág. 35

A partir del ejemplo anterior, podemos establecer la fórmula general para problemas de tanto por ciento, que nos servirá para resolver cualquier tipo de problema, nos pregunten lo que nos pregunten:

TOTAL − −− → Parte 100 − −− → % Según el problema nos pueden preguntar el Total, la parte o el tanto por cuento. El 100 no cambia nunca. Y lo que nos pregunten será nuestra X, nuestra incógnita. Resolviendo la proporción tendremos la solución. Fijaos que en la fórmula, además del 100 que es fijo, tenemos tres datos. En todos los problemas nos darán 2 y nos preguntarán por el que falta. Sólo hay que identificar bien cada dato y tener claro que me preguntan. Veamos las posibilidades: Caso 1. Me dan el total y la parte y me preguntan el tanto por ciento (%) En una clase de 40 alumnos han suspendido 11 alumnos, ¿cuál es el porcentaje de suspensos? El tanto por ciento, lo que me preguntan será mi incógnita, mi x.

40 − −− → 11 100 − −− → x

Aplico la proporción directa y resuelvo

40 11 = 100 x

x=

11 ·100 = 27'5 40

Solución: Un 27’5 % de suspensos

Caso 2. Me dan el tanto por ciento y la parte y me preguntan el total Compro una camisa con un descuento del 20% me dice el dependiente que me he ahorrado 5 euros ¿Cuánto costaba la camisa antes del descuento? El total, lo que me preguntan será ahora mi incógnita, mi x.

x − −− → 5 100 − −− → 20

Aplico la proporción directa y resuelvo

x 5 = 100 20

x=

5 ·100 = 25 20

Solución: La camisa costaba 25 euros

Caso 3. Me dan el total y el tanto por ciento y me preguntan la parte. De un equipo de 35 jugadores, el 20% se han lesionado esta temporada. ¿Cuántos se han lesionado? La parte, lo que me preguntan será mi incógnita, mi x.

30 − −− → x 100 − −− → 20

Aplico la proporción directa y resuelvo

Matemáticas 1º ESO Pág. 36

¡¡ ATENTOS !!

30 x = 100 20

x=

20 · 35 =7 100

Solución: Se han lesionado 7 jugadores

Tened cuidado por que os pueden preguntar …. ¿Cuántos jugadores NO se han lesionado?. Entendiendo en todo momento lo que estoy haciendo, sé que el porcentaje que me dan es el de lesionados, así que o bien hayo los lesionados y luego hago 35 – 7 = 28 jugadores no lesionados, o bien hago la proporción con el % de jugadores NO LESIONADOS, que será 100 – 20 = 40 %

…. Y me dará 28.

TANTOS POR CIENTO APLICADOS A DESCUENTOS O INCREMENTOS (Impuestos, …) Cuando me preguntan cuanto costará una cosa cuando le aplico un descuento (rebaja) o un incremento (IVA, …) lo que tehgo que hacer es lo siguiente: § §

Calcular lo que se me rebaja o lo que se incrementa, mediante la fórmula anterior. Sumárselo o restárselo al precio original.

La “parte” en estos problemas se refiere a los que me suben o a lo que me rebajan. Existe un método alternativo en estos casos, con unas fórmulas especiales para descuento e incremento, pero que veremos el próximo año. Ejemplo. Un libro cuesta 45 euros. Marta lo ha comprado tienda y le han hecho un 15% de descuento. Carlos que lo ha comprado por Internet, no ha obtenido descuento y además ha pagado un 10% extra por el transporte. ¿Cuánto ha pagado Carlos más que Marta? Nos organizamos … primero vamos con Marta, calculemos la parte que le descuentan:

45 − −− → x 100 − −− → 15

45 x = 100 15

Por tanto el libro le ha costado :

x=

15 · 45 = 6' 75 100

x=

10 · 45 = 4'5 100

euros

45 – 6’75 = 38’25 euros

Ahora veamos cuanto le han cobrado por el transporte a Carlos:

45 − −− → x 100 − −− → 10

45 x = 100 10

Por tanto el libro le ha costado :

euros

45 + 4’5 = 49’5 euros

Y la diferencia entre los dos será 49’5 – 38’25 = 11’25

Solución: Carlos ha pagado 11’25 euros más que Marta En este problema hemos visto los dos posibles casos, descuento y aumento. Fijaros que se hacen igual, sólo que al final se SUMA o se RESTA al precio original.

Matemáticas 1º ESO Pág. 37

4. ESCALAS. La proporcionalidad también se emplea para manejar y resolver escalas, muy útil en el manejo de planos, mapas, maquetas o para comprender representaciones de cosas muy grandes o muy pequeñas. Los problemas de escalas se resuelven, como los porcentajes, mediante proporcionalidad directa. Tomemos una escala cualquiera 1:250 Significa que 1 unidad (cm, metros, …) en el mapa equivale a 250 unidades en la realidad. Normalmente, manejando mapas, las unidades empleadas serán centímetros (cm). Así que 1:250 indica que casa centímetro que midamos en el mapa son 250 centímetros en la realidad … o sea 2’5 metros. A partir de ahí establecer la porporción es muy fácil. Si entre dos puntos de nuestro plano, midiendo con la regla hay 3 cm:

3cm en plano − −− → x cm en realidad 1 − −− → 250 3 x = 1 250

x = 3 · 250 = 750 cm = 7'5metros

Como veis muy fácil.

5. EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.

Cuatro cajas de galletas pesan 2,4 Kg. ¿Cuánto pesarán cinco cajas iguales a las anteriores?

2. Una fuente arroja 42 litros de agua en 6 minutos. ¿Cuántos litros arrojará en 15 minutos? 3. Dispongo de tres grifos iguales para llenar un depósito. Si abro uno, el depósito se llena en 12 minutos. ¿Cuánto tardará en llenarse si abro dos grifos? ¿Y si abro los tres?

4. Cuatro segadores cortan un campo de heno en tres horas. ¿Cuánto tardará un solo segador? ¿Y seis segadores?

5. Un empleado recibió la semana pasada 60 €por 5 horas extraordinarias de trabajo. ¿Cuánto recibirá esta semana por solo 3 horas?

6. En una bodega con dos máquinas embotelladoras se envasa la cosecha de vino en 15 días. ¿Cuánto se tardaría teniendo una máquina más?

7. En un taller de confección se han fabricado 5 880 vestidos en 21 días. Si se mantiene el ritmo de producción, ¿cuántos vestidos se fabricarán en los próximos 15 días?

Matemáticas 1º ESO Pág. 38

8. Un jardinero necesita 20 macetas para sembrar los bulbos que tiene si coloca 3 de ellos en cada maceta. ¿Cuántas necesitaría si colocase 4 bulbos en cada una?

9. Un besugo de un kilo y doscientos gramos ha costado 14,40 €. ¿Cuánto costará otro besugo de ochocientos gramos?

10. Un autobús de línea, a 80 km/h, tarda 25 minutos en cubrir la distancia entre dos pueblos. ¿Cuánto tardaría si fuera a 100 km/h?

11. En el plano de una casa, el salón mide 10 cm de largo por 7 cm de ancho. Si en la realidad el largo es de 5 m, ¿cuál es la anchura del salón?

12. Dos ciudades A y B separadas 85 km en la realidad, están a 34 cm de distancia en un plano. ¿Cuál será la distancia real entre otras dos ciudades M y N separadas 12 cm en el plano?

13. Con un depósito de agua, se abastece una cuadra de 20 caballos durante 15 días. ¿Cuánto duraría el depósito si se vendieran 8 caballos?

14. Un jardinero, con su máquina cortacésped, siega una parcela de 200 metros cuadrados en 18 minutos. ¿Qué superficie puede segar en hora y media?

15. Un grifo, con un caudal de 12 litros por minuto, ha tardado tres cuartos de hora en llenar un depósito. ¿Cuál deberá ser el caudal para llenar el mismo depósito en 20 minutos?

16. Dos socios montan un negocio aportando 20 000 €y 15 000 €, respectivamente. Para compensar la diferencia, cada uno se compromete a trabajar un número de horas inversamente proporcional a la cantidad aportada.Si el primero dedica al negocio 3 horas al día, ¿cuántas horas al día debe dedicar el segundo?

17. Un empresario premia a tres empleados con un incentivo económico directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa.El mayor, que lleva 20 años, recibe 500 euros.¿Cuánto recibirán los otros dos, que llevan en la empresa 15 años y 8 años, respectivamente? Ejercicios para averiguar el UNA PARTE DEL TOTAL

18.

En un aparcamiento hay 250 coches, de los que el 20% son de color blanco. ¿Cuántos coches blancos hay en el aparcamiento?

19.

Ernesto gana 1 500 €al mes y gasta el 30% en el alquiler del piso. ¿Cuánto paga de alquiler?

20.

En un pueblo de 1500 habitantes, el 65% viven de la pesca. ¿Cuántas personas viven de la pesca?

21.

El 12% de los 25 alumnos y alumnas de mi clase tienen sobresaliente en Matemáticas. ¿Cuántos sobresalientes hay en clase?

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Ejercicios para averiguar el TOTAL

22.

El 20% de los coches de un aparcamiento son de color blanco. Sabiendo que hay 30 blancos, ¿cuál es el total de coches en el aparcamiento?

23. Ernesto paga 450 €mensuales por el alquiler del piso, lo que le supone un 30% del sueldo. ¿Cuánto gana al mes?

24. El 65% de los vecinos de un pueblo costero viven de la pesca. ¿Cuántos vecinos tiene el pueblo, sabiendo que hay 975 pescadores?

25.

En mi clase hay tres sobresalientes en Matemáticas, lo que supone el 12% del total. ¿Cuántos alumnos y alumnas tienen mi clase? Ejercicios para averiguar el TANTO POR CIENTO

26.

En un aparcamiento hay 250 coches, de los que 30 son blancos. ¿Cuál es el porcentaje de coches blancos?

27.

Ernesto gana 1500€ al mes y paga 450€ por el alquiler del piso. ¿Qué porcentaje del sueldo se le va en el alquiler?

28.

Un pueblo tiene 1 500 vecinos de los que 975 viven de la pesca. ¿Qué tanto por ciento son pescadores?

29.

En mi clase somos 25 alumnos y hay tres que han sacado sobresaliente en Matemáticas. ¿Cuál es el porcentaje de sobresalientes? Ejercicios para trabajar DESCUENTOS E INCREMENTOS

30. Rosa pide un préstamo de 4 000 € para devolverlo al cabo de un año. ¿Qué cantidad deberá devolver si el banco le cobra un interés del 5%?

31.

Una aldea tenía, tras el último censo, 250 habitantes, pero desde entonces ha disminuido un 8%. ¿Cuál es la población actual?

http://edu.jccm.es/ies/campodecalatrava/index.php?option=com_content&view=article&id=327&Itemid=82

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TEMA 6. GEOMETRÍA PLANA. TEOREMA DE PITÁGORAS

1. ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA PLANA. En la Geometría Plana encontramos los siguientes objetos: 1. Punto. Es una posición en el plano. Viene dado por dos coordenadas (x,y) que indican su posición en un eje de coordenadas

2. Rectas. Infinita, sin inicio ni fin. Se nombran con letras minúsculas (r, s, t, …) 3. Semirrectas. Infinita. Tienen Inicio pero no fin. Se nombran con minúsculas (r, s, t, ...) 4. Segmentos. Finitos. Tienen principio y fin. Se nombran o con minúsculas o mediante sus puntos extremos.

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5. Ángulos a. Tipos (Agudos, Rectos, Obtusos, Llanos, Cóncavos, Convexos, Completos) b. Relación entre ángulos (Consecutivos, Complementarios, Suplementarios y Adyaccentes) c.

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6. Líneas poligonales. a. Abiertas b. Cerradas à Polígonos

7. Polígonos a. Regulares e Irregulares (Tienen o no todos los lados y ángulos iguales) b. Según sus ángulos: Cóncavos y Convexos (Tienen o no un ángulo cóncavo) c. Según el número de lados: Triángulos, Cuadriláteros, Pentágonos, Hexágonos, Heptágonos, Octógonos, Eneágonos, Decágonos, … d. Círculo y circunferencia

POLIGONOS IRREGULARES

POLÍGONOS REGULARES

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2. ELEMENTOS UN POLÍGONO REGULAR. En un polígono regular podemos identificar los siguientes elementos:

3. TRIÁNGULOS. Recordamos de Primaria los tipos de triángulos: 1. Según sus lados a. Equilátero b. Isósceles c. Escaleno 2. Según sus ángulos a. Acutángulo b. Rectángulo c. Obtusángulo ELEMENTOS NOTABLES DE LOS TRIÁNGULOS 1. Rectas a. b. c. d.

notables: Mediatriz. Perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado Bisectriz. Divide a cada ángulo en dos partes iguales pasando por el vértice Altura. Perpendicular a cada lado que pasa por el vértice opuesto. Mediana. Une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto.

2. Puntos a. b. c. d.

Notables: Circuncentro. Punto de corte de las 3 Mediatrices. Centro de la circunferencia circunscrita. Incentro. Punto de corte de las 3 Bisectrices. Centro de la circunferencia inscrita. Ortocentro. Punto de corte de las 3 Alturas. Baricentro. Punto de corte de las 3 Medianas. Marca el centro de gravedad de la figura.

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4. TEOREMA DE PITÁGORAS PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS En un triángulo rectángulo nombramos los lados como CATETOS (los que forman el ángulo recto) e HIPOTENUSA (el lado opuesto al ángulo recto). El Teoréma de Pitágoras es una fórmula que relaciona los tres lados, de modo que sabiendo la longitud de dos de ellos, podamos hallar la longitud del tercero.

Es decir Hipotenusa (c) al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos ( a y b). Despejando la hipotenusa de

c2 = a2 + b2

tenemos

c = a2 + b2

Si conocemos la hipotenusa y queremos hallar un cateto (por ejemplo, a)

a2 = c2 − b2

y

a = c2 − b2

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5. EJERCICIOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS (RESUELTOS)

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EJERCICIOS PARA AMPLIAR http://williamvargas25.files.wordpress.com/2013/02/ejercicios-pitagoras.pdf http://www.vitutor.com/geo/eso/asActividades.html

(muy bueno)

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6. CUADRILÁTEROS.

7. CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

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RELACIÓN ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA Y ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS.

8. ÁREAS Y PERÍMETROS El Perímetro de los polígonos es igual a la suma de todos los lados. El Perímetro de una circunferencia es

Áreas:

P = π ·D = 2·π · r

donde

D es el díámetro y r

el radio

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9. FIGURAS COMPLEJAS Para determinar el área y el perímetro de figuras compuestas, es necesario ir dividiendo la figua en figuras más simples cuya área y perímetro podamos conocer. Y luego sumar todas las áreas. Cuidado con los perímetros, por que solo cuentan los lados EXTERNOS de la figura.

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