RESUMEN TEÓRICO Ángulos * Ángulos complementarios son dos ángulos cuya suma vale un ángulo recto. * Ángulos suplementarios son dos ángulos cuya suma vale un ángulo llano. * Ángulos adyacentes (1ª figura) son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes están alineados: AOB y BOC; son suplementarios. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares. A B D A

O

C

O

B

C

* Ángulos opuestos por el vértice (2ª figura) son los ángulos no adyacentes formados por dos rectas que se cortan (2ª figura): AOB y COD, AOD y BOC; son iguales. * Paralelas cortadas por una secante, Cuando dos rectas paralelas se cortan por una secante, se forman ocho ángulos, que reciben los siguientes nombres: Correspondientes: 1 y 5, 2 y 6, 4 y 8, 3 y 7. Son iguales. A

2 1 3 4 B

6 7 8

5

Alternos internos: 3 y 5, 4 y 6. Son iguales. Alternos externos: 1 y 7, 2 y 8. Son iguales. Colaterales internos: 3 y 6, 4 y 5. Son suplementarios. Colaterales externos: 2 y 7, 1 y 8. Son suplementarios

* Ángulos de lados paralelos. Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos son iguales si los dos son agudos o los dos obtusos, y suplementarios si uno es agudo y otro obtuso. 2 1 4

5

* Ángulos de lados perpendiculares. Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales si los dos son agudos o los dos obtusos, y suplementarios si uno es agudo y otro obtuso.

1

Triángulos * Mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto O que equidista de los tres vértices.

O

Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo y se llama circuncentro. * Medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto G, llamado baricentro.

A

O

C'

El baricentro divide a cada mediana es dos segmentos tales que

B'

G

B

C

A'

1 1 1 GA'= GA , GB'= GB , GC'= GC 2 2 2

* Alturas de un triángulo son las perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto. € B'

Las tres alturas se cortan en en punto H, llamado ortocentro.

H C

* Bisectrices interiores (exteriores) de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos interiores (exteriores). Las tres bisectrices interiores se cortan en un punto I, llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita. A

Las bisectrices de dos ángulos exteriores y la del ángulo

C'

G

E

B'

interior no adyacente se cortan en un punto E, llamado exinB centro. Hay tres exincentros. C A'

H

I

* Igualdad de triángulos. Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales: 1. Dos lados y el ángulo comprendido. 2. Un lado y dos ángulos. 3. Los tres lados. Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales: 1. La hipotenusa y un ángulo agudo. 2. Un cateto y un ángulo agudo. 3. La hipotenusa y un cateto. 4. Los dos catetos.

2

* En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales, y a ángulos iguales se oponen lados iguales; a mayor lado se opone mayor ángulo, y a mayor ángulo se opone mayor lado. * Un lado cualquiera de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. * La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos. * En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. * La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a cuatro rectos. * En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios. * Cada ángulo de un triángulo equilátero es igual a 60º. * El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. * La mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa. * En todo triángulo rectángulo A

E c

I

m

B

b

h H a

n

C

- Teorema de la altura: la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que su pie determina sobre la hipotenusa :

m h = h m

⇒

h2 = m n

- Teorema del cateto: cualquier cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre la hipotenusa : a b = b n

€ a c = c m

b2 = a n

⇒

⇒

c2 = a m

- Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: €a 2 = b 2 + c 2 . * En todo triángulo: €

A h H a

B c

b n

B a

a c

C

D

A b

C

b D

A

C

- El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él (1ª figura). a 2 = b 2 + c 2 − 2b⋅ AD

€

3

- El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él (2ª figura). a 2 = b 2 + c 2 + 2b⋅ AD * En todo triángulo: € A

A c

a

b C

B

b

c

b

E

B

D

C

C

- La bisectriz de un ángulo interior (1ª figura) divide al lado opuesto en dos segmentos aditivos proporcionales a los lados que forman el ángulo:

DB c = . DC b

- La bisectriz de un ángulo exterior (2ª figura) divide al lado opuesto en dos segmentos sus€ EB c tractivos proporcionales a los lados que forman el ángulo: = . EC b

Cuadriláteros € * La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero vale cuatro rectos. * La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero vale cuatro rectos. * Los cuadriláteros se clasifican en: A

2 1 3 4

- Paralelogramo: cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. B

D un par de lados paralelos. - Trapecio: cuadrilátero que tiene O

A

O

* Propiedades de los paralelogramos:

A B D C

B

- Trapezoide: cuadrilátero que no tiene lados paralelos. C

O

B

-

6

5

7 8

C

Los lados opuestos son iguales. Los ángulos opuestos son iguales. Los ángulos contiguos son suplementarios. Cada diagonal lo divide en dos triángulos iguales. 2 1 Las diagonales se cortan en su punto medio. 3 4 El punto de intersección de las diagonales es centro de simetría. 6 5 7 8

* Paralelogramos especiales: C

- Rectángulo es el paralelogramo que tiene los ángulos rectos (equiángulo).

- Las diagonales son iguales. - Las mediatrices de los lados son ejes de simetría.

4

3 B

4

6 5 7 8

- Rombo es el paralelogramo que tiene sus lados iguales (equilátero). - Las diagonales son perpendiculares. - Las diagonales son bisectrices de los ángulos.

2 1 3 4

- Las diagonales son ejes de simetría.

5

- Cuadrado es el paralelogramo que tiene los ángulos rectos, como el rectángulo, y los lados iguales, como el rombo (equilátero y equiángulo, por tanto regular).

Tiene todas las propiedades del rectángulo y del rombo.

* Trapecio es el cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos (bases).

trapecio

t. isósceles

t. rectángulo

- Trapecio isósceles es el que tiene iguales los lados no paralelos. - Trapecio rectángulo es el que tiene dos ángulos rectos. - El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelo es paralelo a las bases e igual a la semisuma de éstas (paralela media).

Circunferencia * En una circunferencia o en circunferencias iguales: - Arcos iguales determinan ángulos centrales iguales. - Cuerdas iguales subtienden arcos iguales. - Arcos iguales subtienden cuerdas iguales. - Cuerdas iguales equidistan del centro. - Las cuerdas equidistantes del centro son iguales. * Un diámetro perpendicular a una cuerda biseca a ésta y a sus arcos correspondientes. * La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. * Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. * Los segmentos de tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales. * La recta que une el centro de una circunferencia con un punto exterior es bisectriz del án-

5

gulo que forman las tangentes trazadas desde ese punto. * Ángulo central en una circunferencia es el que tiene el vértice en el centro. Su medida es igual a la del arco que abarcan sus lados. * Ángulo inscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes. A

La medida del ángulo inscrito es la mitad del arco que abarcan sus la1 dos: áng ABC = arc AC 2

B C

. rectángulo

€ * En una circunferencia o en circunferencias iguales: - ángulos inscritos iguales abarcan arcos iguales - los ángulos inscritos que abarcan arcos iguales son iguales. * Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

O

* Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios. * Arco capaz de un ángulo sobre un segmento dado es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se ve ese segmento bajo un ángulo igual al dado. A

D C

Desde los puntos C y D se ve el segmento AB bajo elAmismo ángulo. C

A

B

O

C'

G

B

* Ángulo semiinscrito es el que tiene el vértice en la circunferencia, uno A' de los lados es tangente y el otro secante. D

B A O C

La medida del ángulo semiinscrito A es la mitad del arco que abarcan 1C' G sus lados: áng ABC = arc BC 2 B

B

A'

* Ángulo interior es el formado por dos secantes que se cortan en un punto interior. € La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que abarA A

D

C

can los lados del ángulo y su opuesto por el vértice: B

E

C

áng ABC =

1 (arc AC+ arc DE) 2

* Ángulo exterior es el que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados son dos se€ cantes, o una secante y una tangente, o dos tangentes.

6

H

B

I

C

A'

A D B C

E

n

A

m

n

A

m A

m

n

La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos abarcados: A

1 áng A = (arc m −arc n ) b 2 c h * Si desde un I punto se trazan secantes a una circunferencia, el producto de las distancias de E

m

H

n

A

B es una constante. Este C producto se llama potendicho punto a los de intersección de cada secante a cia del punto respecto de la€circunferencia. B m

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD = d 2 − r 2

A

P

siendo d la distancia del punto al centro de la circunferencia y r el radio de ésta. €

C D

* Si el punto es exterior, la potencia es también el cuadrado del segmento de tangente comprendido entre el punto y el punto de contacto. * Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Es una recta perpendicular a la que une los centros.

B

A

*E Centro radical de tres circunferencias es el punto que tiene igual potencia respecto de las c b h D m n * Si dos rectas se cortan por H un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los punA B C a b c

tres circunferencias.

I

tos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos coB

rrespondientes en la otra (teorema de Thales).

A

A Bc

C b

C'

n

A' B

D A

c

C' C

D b

b D

c

AB BC AC = a= A'B ' B 'C' A 'C'

B' a

C

C

A B

A

B C

€ sus ángulos respectivamente iguales y sus lados * Triángulos semejantes son los que tienen homólogos (opuestos a ángulos iguales) proporcionales. A

B

A = A' B = B ' C =C' AB BC AC = = A'B ' B 'C' A 'C'

A' C

B'

0,6

C'

€ * Dos triángulos son semejantes si: € - Dos ángulos de uno de ellos son iguales a sus correspondientes en el otro.

7

b D

- Un ángulo de uno es igual a un ángulo del otro y los lados que los forman son proporcionales. - Los lados homólogos son proporcionales. * Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo determina un triángulo semejante al dado. * Los segmentos homólogos de triángulos semejantes son proporcionales. * Dos polígonos son semejantes si pueden descomponerse en el mismo número de triángulos semejantes y semejantemente dispuestos. * La razón de los perímetros de dos figuras semejantes es igual a la razón de semejanza.

Polígonos * La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es n − 2 ángulos llanos. * La suma de los ángulos exteriores es igual a cuatro rectos. n (n − 3) * El número de diagonales de un polígono de n lados es€ . 2 * Polígono regular es el que tiene iguales los lados (equilátero) y los ángulos (equiángulo). * A todo polígono regular se le puede circunscribir € una circunferencia. * Apotema de un polígono regular es el segmento que une el centro con el punto medio de un lado. * En todo polígono regular se puede inscribir una circunferencia. * El ángulo central de un polígono regular es suplemento del ángulo interior. * El lado del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio r vale r 3 . * El lado del hexágono regular es igual al radio de la circunferencia en que está inscrito. * El lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de radio r vale r€ 2 .

Áreas

€

* El área del rectángulo es igual al producto de la base por la altura. * El área del cuadrado es igual al cuadrado del lado. * El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura. * El área de un triángulo es igual a: - La mitad del producto de la base por la altura. - El semiperímetro por el radio del círculo inscrito. -

p( p − a )(p − b)( p − c) , siendo a, b, c las longitudes de los lados y p el semiperímetro.

* Una mediana divide al triángulo en dos triángulos equivalentes. €

* El área del trapecio es igual al producto de la semisuma de las bases por la altura, o al pro-

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ducto de la paralela media por la altura. * El área del rombo es igual al semiproducto de las diagonales. * El área de un polígono regular es igual al producto del semiperímetro por la apotema. * El área de un círculo es igual al producto de π por el cuadrado del radio. * El área de un sector circular de n grados en una circunferencia de radio r es igual a

πr 2 n , 360

o también al semiproducto del radio por la longitud del arco. * La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la€razón de semejanza.

Transformaciones geométricas →

→

→

* Traslación de vector v : a todo punto A del plano asocia el punto A’ tal que AA' = v . - El producto de dos traslaciones es otra traslación de vector suma de los vectores de aquellas.

€

€

*Giro o rotación de centro O y amplitud a: a todo punto A asocia el punto A’ tal que OA =OA ' y áng A 'OA = a . - El producto de dos giros del mismo centro es otro giro del mismo centro y amplitud suma €

de las amplitudes de aquellos. € * Simetría de centro O: a todo punto A asocia el punto A’, tal que O es el punto medio del segmento AA’. - El producto de dos simetrías centrales es una traslación. * Simetría de eje r: a todo punto A asocia el punto A’ tal que r es la mediatriz del segmento AA’. - El producto de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación. - El producto de dos simetrías de ejes concurrentes es un giro. * Las traslaciones, los giros y las simetrías centrales son igualdades directas (conservan las distancias, los ángulos y el sentido de éstos); las simetrías axiales son igualdades inversas (invierten el sentido de los ángulos). * Homotecia de centro O y razón h: a cada punto A asocia el A’, alineado con O y A, tal que OA' =h. OA - El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y

€

razón el producto de las razones de aquellas.

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