Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 12

12

Figuras planas

1. Polígonos Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a la que se llama poligonal y que puede ser abierta o cerrada. La zona interior que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono.

!

Ten en cuenta

Según sus ángulos, los polígonos se pueden clasificar en: • Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos.

• Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo.

■

Suma de los ángulos de un polígono Si en un triángulo cualquiera marcamos sus ángulos interiores, los recortamos y los colocamos de forma consecutiva, observaremos que forman un ángulo llano. La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es: 180° · (n − 2)

■

Polígonos regulares Un polígono con los lados y los ángulos interiores iguales se llama polígono regular. Tiene los siguientes elementos: • Centro: punto que equidista de los vértices. • Radio: cualquier segmento que une el centro con un vértice.

Radio

Centro

• Apotema: cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado. • Ángulo central: cualquier ángulo determinado por dos radios. En todo polígono regular podemos dibujar su circunferencia circunscrita, cuyo centro es el centro del polígono y que pasa por los vértices. En este caso, el polígono se llama polígono inscrito.

1

Apotema

Ángulo central

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 12

2. Triángulos y cuadriláteros ■

Clasificación de los triángulos Según sus ángulos Acutángulo

Obtusángulo

1 ángulo recto

3 ángulos agudos

1 ángulo obtuso

Equilátero

Según sus lados Isósceles

Rectángulo

90º

Escaleno

!

Ten en cuenta

En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto, hipotenusa. Hipotenusa Cateto 90º

3 lados iguales

■

2 lados iguales

Ningún lado igual

Cateto

Clasificación de los cuadriláteros Según el paralelismo de los lados, la clasificación es la siguiente.

Trapezoides Ningún par de lados paralelos

Trapecios 1 par de lados paralelos Isósceles

Rectángulo

Escaleno

90º

Paralelogramos 2 pares de lados paralelos Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

4 lados iguales 4 ángulos rectos

4 ángulos rectos

4 lados iguales

Lados no paralelos distintos Ningún ángulo recto

2

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 12

3. Construcción de polígonos regulares ■

■

Conocido el radio de la circunferencia circunscrita

Construimos de forma aproximada un hexágono regular donde el radio de la circunferencia circunscrita mide 1,5 centímetros.

Conocido el lado del polígono

Construimos de forma aproximada un heptágono regular cuyo lado mide 3 centímetros. 1.º Dibujamos el lado de 3 centímetros y trazamos su mediatriz. Trazamos un arco con centro en A y radio AB, que corta a la mediatriz en O.

1.º Dibujamos la circunferencia de 1,5 centímetros de radio y trazamos un diámetro AB. Como queremos construir un hexágono, dividimos AB en 6 partes iguales.

O

A

A

B

2.º Dibujamos la circunferencia con centro en O y que pasa por A y B, y dividimos el segmento OM en seis partes iguales. B

2.º Desde los extremos de AB y con su medida trazamos dos arcos que se corten en un punto C.

O

A

A

C

M

B

3.º Tomamos la medida de una parte y la trasladamos sobre la mediatriz tantas veces como sea necesario para obtener tantas partes como lados tiene el polígono que queremos construir.

B

3.º Unimos el punto C con la segunda división y prolongamos la recta hasta cortar la circunferencia en P. El segmento AP es la medida del lado del hexágono.

7

A

O

P

A

C

M

B

4.º Trazamos la circunferencia cuyo centro es el punto 7, y sobre ella llevamos la medida del lado.

B

4.º Trazamos arcos consecutivos desde A y obtenemos los vértices del hexágono. A 7

P

O

C

A

B

3

M

B

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 12

4. Criterios de igualdad de triángulos Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales y los tres ángulos iguales.

!

Ten en cuenta

Solo se pueden construir triángulos conocidos los lados si la longitud de cada uno de ellos es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.

■

Criterio 1 Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.

■

Criterio 2 Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

■

Criterio 3 Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos contiguos.

!

Ten en cuenta

Por el criterio 2: Dos triángulos rectángulos son iguales si son iguales sus catetos. 2 cm

90⬚ 4 cm

4 cm 90⬚ 2 cm

5. Mediatrices de un triángulo Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de cada uno de sus lados. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro. Como todos los puntos de la mediatriz de un segmento están a la misma distancia de los extremos del mismo, entonces el circuncentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. B

s

t

r C A

C

4

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 12

6. Bisectrices de un triángulo Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de cada uno de sus ángulos interiores. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro. Como todos los puntos de la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de los lados del mismo, entonces el incentro está a la misma distancia de los tres lados. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. C

r

s

I

B

t

A

7. Alturas de un triángulo Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto o a su prolongación. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro. B O A

C

8. Medianas de un triángulo Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro. La distancia del baricentro al vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto. B r

t G

A

C s

9. Simetrías en las figuras planas Una figura tiene un eje de simetría cuando el eje (recta) divide a la figura en dos partes, una reflejo de la otra. 180° Cuando una figura tiene n ejes de simetría, dos ejes contiguos forman un ángulo de . n 5