SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Sistemas de ecuaciones lineales Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: a11 x11 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 23 3 2n n 2  ......................................................... am1 x1 + am 2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes, los xi se denominan incógnitas y bj se denominan términos independientes. Un sistema homogéneo es aquel cuyos términos independientes son todos nulos. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. En un sistema de ecuaciones, se define la matriz asociada al sistema o matriz de los coeficientes, M, como la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada, M , como la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes.  a11 a12 " a1n   a11 a12 " a1n b1      a21 a22 " a2 n b2   a21 a22 " a2 n   M=  M =  # # % # #  # # % #      a   m1 am 2 " amn   am1 am 2 " amn bm  2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales se puede clasificar en función de sus soluciones de la siguiente forma: • Sistema compatible: sistema que tiene solución. En función de cómo sean las soluciones se clasifica en determinado (tiene una solución única) e indeterminado (tiene infinitas soluciones). •

Sistema incompatible: sistema que no tiene solución.

3. Sistemas equivalentes Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para obtener sistemas equivalentes a uno dado se pueden efectuar las siguientes transformaciones: • Multiplicar una ecuación del sistema por un número no nulo, lo que equivale a multiplicar todos los elementos de la fila correspondiente de la matriz ampliada del sistema por dicho número.

• • • •

Cambiar el orden de las ecuaciones; esto supone cambiar el orden de las filas correspondientes en la matriz ampliada. Añadir o suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las demás ecuaciones; es decir, suprimir una fila en la matriz ampliada que sea combinación lineal de las demás. Sumar a una ecuación del sistema otra multiplicada por un número distinto de cero. Según esto, podremos sumar a una fila de la matriz ampliada otra fila multiplicada por un número no nulo. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en las demás.

3. Método de Gauss Este método consiste en llegar a un sistema escalonado, transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. Para ello, se eliminan incógnitas mediante la suma o la resta de ecuaciones (en alguna ocasión es necesario multiplicar alguna ecuación por un número), obteniendo sistemas de ecuaciones equivalentes en los que cada ecuación va teniendo una incógnitas menos. Esquemáticamente lo podríamos representar (para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas): a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 = b1 a11 ' x1 + a12 ' x 2 + a13 ' x3 = b1 ' a11 ' ' x1 + a12 ' ' x 2 + a13 ' ' x 3 = b1 ' '    a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b2 ⇒ "" + a 22 ' x 2 + a 23 ' x3 = b2 ' ⇒ "" + a 22 ' ' x 2 + a 23 ' ' x 3 = b2 ' ' a x + a x + a x = b "" + a ' x + a ' x = b ' """""" a ' ' x = b ' ' 32 2 33 3 3 32 2 33 3 3 33 3 3  31 1  

Los coeficientes a'ij y a"ij son los coeficientes de las ecuaciones equivalentes que se van obteniendo al escalonar el sistema. • •

Si al reducir la matriz ampliada a forma escalonada aparece alguna fila en la que son nulos todos los elementos de una fila (coeficientes), excepto el correspondiente al término independiente, el sistema es incompatible. En caso contrario, el sistema es compatible y se distingues por posibilidades: o Si el número de filas no nulas de la escalonada coincide con el número de incógnitas, el sistema es determinado. o Si el número de filas no nulas es menor que el número de incógnitas, el sistema es indeterminado.

Ejemplo: x − 2y + z = 0   1. Apliquemos el método de Gauss para resolver el sistema: 3 x − 3 y + 3 z = 0  3 x + 3 z = 4   1 −2 1 0    f 2 → f 2 − 3 f1 → f 3 → f 3 − 3 f1  3 −3 3 0   3 0 3 4  

 1 −2 1 0   1 −2 1 0      f3 → f3 − 2 f 2  0 3 0 0  →  0 3 0 0  0 6 0 4 0 0 0 4    

La última fila tiene todos los elementos nulos, excepto el término independiente que es 4. Por ello se trata de un sistema incompatible.

−x + y = 1

  2. Discutamos el siguiente sistema por el método de Gauss: −2 x + 3 y = 5  −3 x + 2 y = 0   −1 1 1   −1 1 1      f 3 → f3 + f 2 f 2 → f 2 − 2 f1 f 3 → f3 −3 f1  −2 3 5  →  0 1 3  →  −3 2 0   0 −1 −3     

 −1 1 1     0 1 3  0 0 0  

Observamos que el número de filas no nulas es dos, que coincide con el número de incógnitas. Por tanto, es un sistema compatible determinado. 4. Resolución matricial Un sistema de ecuaciones lineal lo podemos representar matricialmente de la siguiente forma:  a11   a 21  #  a  m1

a12 a 22

# am2

" a1n   x1     " a 2n   x2  · = % #   #     " a mn   x n 

 b1     b2   #     bm 

Esta ecuación la podemos representar como M · X = B, donde M es la matriz asociada al sistema, X es la matriz de las incógnitas y B es la matriz de los términos independientes. A partir de la ecuación matricial, podemos obtener el valor de las incógnitas: X = M–1 · B. Para poder resolver el sistema, la matriz M debe tener inversa.

Ejemplo: x + y − z = 2  Resuelve matricialmente el sistema de ecuaciones siguiente:  y − z = 0 . 3 x + y = 7 

El sistema se puede escribir en forma matricial como:  1 1 − 1  x   2         0 1 − 1 ·  y  =  0  3 1 0   z  7        1 1 − 1   La matriz inversa de la matriz de los coeficientes A =  0 1 − 1 es A–1 = 3 1 0   

 1 − 1 0    − 3 3 1 .  − 3 2 1  

 x  2  1 − 1 0  2  2           La solución del sistema es:  y  = A −1 ·  0  =  − 3 3 1  ·  0  =  1  . La solución del sistema es: z 7  − 3 2 1 7 1           x = 2; y = 1; z=1

5. Discusión de sistemas mediante rangos

Teorema de Rouché - Frobenius Permite conocer si un sistema de ecuaciones tiene solución a partir del estudio del rango de la matriz asociada al sistema y del rango de la matriz ampliada de éste. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO SISTEMA INCOMPATIBLE

rango M = rango M = nº incógnitas rango M = rango M < nº incógnitas rango M ≠ rango M*

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES rango M ≠ rango M No tiene solución

rango M = rango M Tiene solución. COMPATIBLE

INCOMPATIBLE rango M = nº incógnitas Solución única.

rango M < nº incógnitas Infinitas soluciones

DETERMINADO

INDETERMINADO

6. Método de Cramer Un sistema de ecuaciones lineal es un sistema de Cramer cuando tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es diferente de cero. Para aplicar el método de Cramer utilizamos dos determinantes: • Determinante de la matriz del sistema | M |. • Determinante | ∆ i | que se obtiene al sustituir, en la matriz del sistema, la columna de la incógnita i, por la columna de los términos independientes.

a11 a 21 #

xi=

a n1

Columna i - ésima ⇓ a12 " b1 " a1n a 22 " b2 " a 2 n # % # % # a n 2 " bn " a nn a11

a12

" a1n

a 21

a 22

" a 2n

#

#

a n1

%

#

a n 2 " a nn

El valor de cada incógnita se obtiene de la siguiente forma:

=

∆

i

M

x1 =

∆1 M

x2 =

∆

2

········

M

xn=

∆

n

M

Ejemplo: x − y + z = 1  Resuelve el siguiente sistema utilizando, si es posible, la regla de Cramer:  x + y − z = 0  − x + y + z = −1 

El determinante de la matriz de los coeficientes A es det (A) = 4 ≠ 0, y como tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:

x=

1

−1

1

1

1

1

1

−1

1

0

1

−1

1

0

−1

1

1

0

−1

1

1

−1

1

−1

1

−1

1

1

−1

1

1

1

−1

1

−1 −1

1

1

−1

1

−1

1

1

−1

1

1

−1

1

−1

1

1

−1

1

1

=

2 1 = 4 2

y=

=

−2 1 =− 4 2

z=

=

0 =0 4

7. Discusión de sistemas con parámetros Es frecuente encontrar sistemas de ecuaciones lineales en los que uno o más coeficientes, o algunos términos independientes, toman valores desconocidos, llamados parámetros.

Ejemplos:  m x − y =1 1. Considera el sistema de ecuaciones   x − m y = 2m − 1 a) Clasifica el sistema según los valores de m. b) Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3.  m x − y =1 a) Dado el sistema de ecuaciones  , su matriz de los coeficientes y su matriz  x − m y = 2m − 1 ampliada son: 1  m −1  m −1   A =  A =   1 − m 1 − m 2m − 1 En A tenemos que det (A) = – m2 + 1. Igualando a cero resulta m2 = 1, de donde m = 1 ó m = –1. Aplicando el Teorema de Rouché, veamos los casos que se pueden presentar: Si m ≠ 1 o m ≠ –1, rango(A) = rango( A ) = 2, y el sistema es compatible y determinado, teniendo una única solución.

1 − 1 1 − 1 1  y su matriz ampliada es A =   . En A, Si m = 1. Tenemos A =  1 − 1 1 − 1 1 rango(A) = 1, pues tiene dos columnas proporcionales. En A , rango( A ) = 1, pues tiene dos filas iguales. Por tanto, el sistema es compatible e indeterminado, con lo cual tiene infinitas soluciones.

 − 1 − 1 −1 −1 1   y su matriz ampliada es A =   . En A, Si m = –1. Tenemos A =  1 1  1 1 − 3 −1 1 rango(A) = 1, pues tiene dos filas iguales. En A , como = 3 – 1 = 2 ≠ 0, tenemos 1 −3 que rango( A ) = 2. Como rango(A) = 1 ≠ rango( A ) = 2, el sistema es incompatible y por tanto no tiene solución. b) Vamos a calcular m en el sistema para que la x valga 3.

3m − y = 1 Nuestro nuevo sistema sería  . Despejando y de la 1ª ecuación tenemos y = 3m – 1. 3 − m y = 2m − 1 Sustituyendo en la 2ª tenemos 3 – m (3m – 1) = 2m – 1. Operando se llega a 3m2 + m – 4 = 0, de −4 . donde m = 1 y m = 3 Por tanto para m = 1 o para m =

−4 tenemos al menos una solución donde la x vale 3. 3

2 x + y = m  2. Dado el sistema de ecuaciones lineales − 2 x + y = −1 , discútelo para los distintos valores del  x − m y = −2 

parámetro y resuélvelo cuando sea compatible. La matriz de coeficientes A tiene como mínimo rango 2, pues podemos encontrar un menor de 2 1 orden dos no nulo, como por ejemplo: = 4. −2 1 El determinante de la matriz ampliada A es: 2 1 m | A | = −2 1 −1 = 2m2 – 3m – 9 1 − m −2 Se tiene que | A | = 0 cuando 2m2 – 3m – 9 = 0, cuyas soluciones son: x = 3 y x = –3/2. Estos son los valores del parámetro dan lugar a la siguiente discusión del sistema: Si m ≠ 3 y m ≠ –3/2, entonces rg ( A ) = 3 y rg (A) = 2, y el sistema es incompatible. Si m = 3, entonces rg (A) = 2 y rg ( A ) = 2 = nº de incógnitas y el sistema es compatible determinado. En este caso la solución es única. El sistema equivalente que se obtiene, lo podemos escribir como: 2x + y = 3   −2 x + y = −1 Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se obtiene que x = 1, y = 1.

Si m = –3/2, entonces rg (A) = 2 y rg ( A ) =2 = nº de incógnitas y el sistema es compatible determinado. En este caso la solución es única. El sistema equivalente que se obtiene, lo podemos escribir como: 2 x + y = −3 / 2   −2 x + y = −1  Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se obtiene que x = –1/8, y = –5/4. x + 3 y + z = 1  3. Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones − x + y + 2 z = −1 tiene al menos dos ax + by + z = 4 

soluciones distintas.  1 3 1 1 3 1 1     Sea A =  − 1 1 2  la matriz de los coeficientes y A =  − 1 1 2 − 1 la matriz ampliada.  a b 1 a b 1 4    

Como nos dicen que el sistema tiene dos soluciones, se deduce que ha de tener infinitas soluciones, por tanto ha de ser un sistema compatible e indeterminado, y como la matriz de los coeficientes como máximo es de orden 3 solo nos quedan la posibilidades: o bien rango(A) = rango( A ) = 1 rango(A) = rango( A ) = 2 1 3 = 1 +3 = 4, y −1 1 entonces, A ya tiene como mínimo rango 2. Por tanto la segunda posibilidad anterior queda descartada. En A, podemos encontrar un menor de orden dos no nulo, como por ejemplo

Como A no puede tener rango 3, su determinante ha de ser nulo: 1 3 1 0 = − 1 1 2 = 5a – 3b + 4 a b 1 Como A debe tener rango 2, su determinante también ha de ser nulo: 1 3 1 0 = − 1 1 − 1 = 16 – 4a a b 4 Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido: 5a − 3b + 4 = 0   16 − 4a = 0 se obtiene a = 4 y b = 8.