Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 1.

Halla el número decimal que corresponde a cada una de las siguientes fracciones. Comenta el resultado:

21 9

35 99

41 999

67 990

67 9900

SOLUCIÓN: 2,333333 0,353535 0,041041041 0,0676767 0,00676767...

Se observa una regla de formación de los números decimales. 2.

Ordena de menor a mayor los siguiente números racionales:

3 , 4

13 , 17

9 13 14 6 ,  , ,  8 14 11 7

SOLUCIÓN: 

3.

13 6 ,  , 14 7

3 13 9 14 , , , 4 17 8 11

Efectúa las siguientes operaciones: a)

2 2 1  :  3 5 4

b)

3 2 1 3

c)

 1 4  2  3 3   2 4 

     

SOLUCIÓN: 2  2 1  2 8 10  24 14  :      . 3 5 4 3 5 15 15 3 3 9 b)   . 2 5 5 1 3 3  1  4  2  4 1 / 2 4 4 40  12 28 14 c)         3 3 5 3  3 10 30 30 15 2    4 4  a)

4.

Clasifica los siguiente números en racionales o irracionales: 3 c) 51,666... d )  e)  3 27 5 f )  3,34555... g ) 0,125 h) 89,010101... i) 3,054005400054...

a)

7

b) 

SOLUCIÓN: a) Irracional b) Racional c) Racional d ) Irracional e) Racional. f ) Racional g ) Racional h) Racional i) Irracional

5.

Indica todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen cada uno de los siguientes números: a)  1 b)

3 5

c)

2

d ) 3,47222... e) 2 3

SOLUCIÓN: a) Enteros, Racionales , Reales d ) Racionales , Reales. e) Irracional es, Reales 6.

b) Racionales , Reales

c) Irracional es, Reales

Calcula la fracción irreducible correspondiente a cada uno de los siguientes números: a) 1, 2

b) 0,126

c) 0,0875

d ) 38,0134

SOLUCIÓN: a) Sea N  1, 2 10N  12, 2 N  1, 2

Restando queda :

9 N  11; N 

11 . 9

b) Sea N  0,126 1000N  126.,26 10N 

Restando queda : 990N  125; N 

1, 26

125 25  . 990 198

c) Sea N  0,0875 10 000 N  875, 5 1000 N  87.,5

Restando queda : 9000 N  788; N 

788 197  9000 2250

d ) Sea N  38,0134 10 000 N  380134, 34 100 N 

7.

Restando queda : 9900 N  376333; N 

3801, 34

376333 9900

Ordena de menor a mayor:

3,01515...,

10 ,

23 , 7

3

29

SOLUCIÓN: 3,01515... 

8.

3

29  10 

23 7

Calcula expresando previamente cada uno de los números como fracción:

2, 5  0,13  1025  0,2

SOLUCIÓN: 23 13 1015 1 ;0,13  ;1,025  ;0,2  9 99 990 5 23 13 1015 1 2530  130  1015  198 1843 2.5  0.13  1.025  0.2        1,8616. 9 99 990 5 990 990 2, 5 

9.

Comenta cómo utilizando el teorema de Pitágoras y un compás se podría representar sobre la recta real los siguientes números: a)

5 b)

6 c)

7

d)

8

SOLUCIÓN: Se construye en cada caso un triángulo rectángulo con catetos de la longitud indicada y se utiliza el compás para transportar la longitud de la hipotenusa sobre el eje en el que se están representados los números. a) 5 es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 2 y 1. b) 6 es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 2 y 2. Previamente hay que calcular 2 utilizando un triángulo rectángulo con ambos catetos de longitud 1. c) 7 es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 2 y 3. Previamente hay que calcular 3 utilizando un triángulo rectángulo de catetos 2 y 1. 8 es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 2 y

d)

2. 10. Escribe dos números racionales comprendidos entre: 4 5 3 8 a) y b) 1 y c)  y 0 7 7 2 9 SOLUCIÓN:



a)

Podemos tomar como primer número el punto medio del segmento de extremos

4 5 y : 7 7

4/ 7  5/ 7 9  . Como segundo número podemos tomar el punto medio del segmento de 2 14 4 9 4 / 7  9 / 14 17  . extremos y : 2 28 7 14

b) 5 4

c)

Operando de igual forma que en el apartado anterior, obtenemos los números racionales:

y

9 . 8

De igual forma se obtienen para este caso: 

4 9

y 

12 . 18

INTERVALOS 11. Expresa como intervalo y representa las siguientes desigualdades: a)  1  x  2

b) x  1

c) 0  x 

3 4

d)  4  x  4

e)  2  x

f) x 3

SOLUCIÓN: a)

 1,2

b)

1, 

 3 c)  0,   4

d)

 4,4

e)

 2, 

f)

 , 3 

12. Escribe a)

en

forma

 1, 3

2, 5

b)

de

desigualdad

c)

 2, 1

y

representa

los

0, 

siguientes

d)

 ,  1

y

C  x  R /  3  x  3 , calcula:

e)

intervalos:

f ) (1,1)

SOLUCIÓN: 1  x  3 a) b)

2 x5

c)

2  x  1

d)

x  1

e)

x0

f)

1  x  1

13. Dados los conjuntos de números reales: A  x  R /  1  x  2, a)

A B

B  x  R / 2  x  6

A B

b)

c)

AC

SOLUCIÓN: a) c)

A  B  x  R /  1  x  6

14. Dados los intervalos: A   3,2 ,

B   ,  2 ,

a)

A B

b)

e)

AC

f ) B C

A B

e)

A  B   3,2

c) B  D

A  C   3,3

D  2, 

, calcula:

d) C  D

g) B  D

b)

A  B  2

d ) ( A  B)  C  x  R /  1  x  3

C  1, 3 ,

SOLUCIÓN: a)

b)

A  C  x  R /  1  x  2  A

 A  B  C

d)

h)

A  B   , 2

f ) B C  

AC

c) B  D  

d ) C  D  1, 

g ) B  D   ,2  2, 

VALOR ABSOLUTO 15. Calcula: a) | 3 | b) |  9 | c)

357

d )  4   3 e)

2  3  5

SOLUCIÓN: a)

3  3

b)

 9  3  3

d )  4   3  4  3  12

e)

c)

357  9  9

 2  3  5  235  0

h)

A  C  1, 2.

16. Calcula: 2  4 1 1 5

a)

b)

2 4

1 7  2  7 38

c)

d)

4

2

SOLUCIÓN: a)

2  4 1 1 5   2 1  4  2 1 4  7

b)

2 4  24  2  2

c)

1  7  2  7  6   5 6  5 11    38 5 5 5

d)

 4  42  16 2

x 1  x  2  2 x  3 , para x  1, x  0 y x  3.  x2

17. Calcula el valor de la expresión SOLUCIÓN: Si x  1 :

1 1  1  2  2 1  3 2  3  2 4 2  3  2 4 13       1  2  3 3 3

Si x  0 :

0 1  0  2  2 0  3 1  2  2 3 1  2  2 3 9    02  2 2 2

Si x  3 :

3 1  3  2  2 3  3 2  1  2 0 2 1  0    3 32 1 1

18. Expresa en forma de intervalo los conjuntos dados por las siguientes expresiones: 

a)

x 2

x 1

b)

SOLUCIÓN: a)

 2, 2

 1, 1

b)

x 3

c)

d)

x 4 3

 ,3  3, 

c)

d)

 12, 12

19. Busca los valores de x que cumplen: a)

x 4

SOLUCIÓN:

a)  4 y 4

b)

x 1  3

b)  2 y 4

c)

x2 5

c)  3  x  7

d)

x2 2

d ) x  4 y x  0.

20. Expresa en forma de intervalo los conjuntos dados por las siguientes expresiones: a)

x 1  2

SOLUCIÓN:

b)

x 1  3

c)

x2 1 3

d)

x4 

1 2

 x  1 si x  1 a ) (1,3) ya que | x  1 |   ( x  1) si x  1 Si x  1 | x  1 | 2  x  1  2  x  3 Si

x 1

| x  1 | 2  ( x  1)  2  x  1  2  x  1  x  1 si x  1 b)  , 4  2,  ya que| x  1 |   ( x  1) si x  1 Si x  1 | x  1 | 3  x  1  3  x  2 Si

x  1

| x  1 | 3  ( x  1)  3  x  1  3  x  4 x  2 si x  2 x  2  3 d )  1,5 ya que  3   ( x  2) si x  2 3  Si

x2

x2 x2 1 1 x  2  3  x  5 3 3 Si x  2  ( x  2) x2 1  1  x  2  3  x  1 3 3  x  4 si x  4 7 9   e)  ,    ,  ya que | x  4 |  2 2      ( x  4) si x  4 Si x  4 1 1 1 9 | x  4 |  x  4   x  4   x  2 2 2 2 Si x  4 | x  4 |

1 1 1 7  ( x  4)   x  4  x 2 2 2 2

21. Busca los valores de x que cumplen: a)

3x  1 1 x2

b)

x5 2 2x

SOLUCIÓN: a) 

3 1 x 2 4

5 b)  1  x  , x  0 3

22. Calcula la distancia entre los siguientes pares de puntos: a) 4 y 9

b)  8 y  3

c)  5 y 2

d) 7 y  2

SOLUCIÓN: a)

49  5

b)

 8  (3)  5

c)

52  7

d)

7  (2)  9.

APROXIMACIÓN DECIMAL. ERRORES 23. Aproxima por truncamiento y por redondeo a las décimas, centésimas, milésimas y diezmilésimas los siguientes números reales utilizando la calculadora: a) 21 b) 3 5  7 c) 6  3 SOLUCIÓN: TRUNCAMIENTO

Décimas

Centésimas

Milésimas

Diezmilésimas

4.5

4.58

4.582

4.5825

3 5 7

-0.2

-0.29

-0.291

-0.2917

6 3

4.2

4.26

4.267

4.2679

21

REDONDEO

Décimas

Centésimas

Milésimas

Diezmilésimas

4.6

4.58

4.583

4.5826

3 5 7

-0.3

-0.29

-0.292

-0.2918

6 3

4.3

4.27

4.268

4.2679

21

24. Dados los siguientes números reales: a) 3 34 b) 5 / 7 c) 10 d) 3e , utiliza la calculadora para: a) Aproximar por redondeo a las diezmilésimas. b) Determinar los errores absolutos y relativos. c) Obtener los intervalos de aproximación. d) Calcular el orden del error relativo cometido en cada aproximación. SOLUCIÓN: Error Aproximación absoluto por redondeo

34

3,2396

0,0000118

5/ 7

0,7143

0,000014286

10

3,1623

3e

8,1548

3

Error relativo

Intervalo de aproximación

Orden del error relativo

0,00000364(3,2396-0,0000118;3,2396+0,0000118)

0,000364%

0,00002

(0,71430,000014286;0,7143+0,000014286)

0,002%

0,00002234

0,000007064

(3,1623-0,00002234; 3,1623+0,00002234)

0,0007064%

0,000045448

0,000005578

(8,1548-0,000045448; 8,1548+0,000045448)

0,0005578%

NOTACIÓN CIENTÍFICA 25. Identifica cuáles de los siguientes números no está escrito en notación científica y escríbelos correctamente: a) 1,06 1012

b) 11,352107

c) 0,51108

d )  1,4531020

e) 112,5 106

SOLUCIÓN: b) 1,1352106

a) Escrito correctamente

c) 5,1109

d ) Escrito correctamente e) 1,125108

26. Escribe en notación científica los números: a) 0,000 000 329 b) 163.000.000.000.000 c) 0,000 056 789 d ) 4.312.000.000.000 SOLUCIÓN: a) 3,29 107

b) 1,631014

c) 5,6789105

d ) 4,3121012.

27. Escribe en notación decimal los siguientes números: a) 2,85 106

b) 1,7305109

SOLUCIÓN:

a) 0,00000285



b) 1730500000

d ) 4,653107

c) 0,000010252

d) 46530000

28. Ordena de menor a mayor los números que aparecen en cada apartado después de escribirlos en notación científica: a) 1,981011; 97,31010; 173,51109

b) 3,25106 ;



c) 1,0252105

17107 ;

1024 1010

SOLUCIÓN: Una vez expresados correctamente en notación científica, el orden es el siguiente: a ) 1,7351 1011  1,98 1011  9,73 1011

b) 1,024 10 7  1,7 10 6  3,25 10 6 29. Opera y expresa el resultado en notación científica: a) 8,61 1011  3,4  1011  9,58  1011 b) 1,87  1012  3,2  109 c) d)

8,23  106 2,5  107

6,54 10   3,5110 6 2

10

SOLUCIÓN: a) 8,61 1011  3,4 1011  9,58  1011  2,43 1011 c)

8,23 10 6  3,292 10 13 2,5 10 7

d)

6,54 10 

6 2

b) 1,87  1012  3,2 10 9  5,984 10 3  5984  5,984 10 3  3,51 1010  1,5012832

30. Opera y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas:

4,5 10

 7,12 105  9,25 109 2,3 106

7

a)

b)

6,81103  7,25  104  6,72 105 6 103  91104

SOLUCIÓN: a) 1,7811011

b) 4,975107

POTENCIAS RADICALES 31. Opera: a) (2)3  2

2

 32   1 

b)

3

c)

2

1 3 d )    2  3  

 5  3

2

2

SOLUCIÓN: a) (2)  2

2

3

c)

 5  3

2



8   2 4

3

1 9 b)  3     2 8 2

2

64 1 3 d )    2   9 3 

1 152

32. Simplifica las siguientes expresiones: 2 a)   3

3

1   4

2

3

8 1 1 1      4 27 16 54  

 3 b)   5

2

2 :  7

 1   4  1  2  2  c)         5  7   3  

1

2

 1  2  1 3  1  4  d )           2   3   4  

SOLUCIÓN: 2 a)   3

2

2

1

9 7 18 3  2 b)   :    :  25 2 175 5 7 2

2  1   4  1  2  2  1   7  4    7  49 c)              5  4  9   45   2025 5 7 3             2

1

2 3 4  1  2  1  3  1  4  1 1 1 d )                    2 2  33  4 4  27 648.  2  3  4  2   3   4  

33. Opera y simplifica: a)

a 2b3c 2 a 3bc4

b)

 a 2b  a 3b 4   2  c)  2 2   a  b  b a 

(a 2b 3 ) 2  a a 4b3 

d)

x3 y 2

2 xy 

3 2



xy 1 y2

SOLUCIÓN: a)

a 2b3c 2 b2  a 1b 2c 6  6 3 4 a bc ac

b)

(a 2b 3 ) 2  a a 3b 6 a  4 3  ab3  3 4 3 a b  a b b

 a 2b  a 3b 4  a 2b 7 b7    c)  2   2  2 2 2  a 2 a 2  b 2   a  b  b a  a  b

d)

x3 y 2

2 xy 

3 2



xy 1 x4 y x2   . y2 4x2 y8 4 y 7

1

34. Escribe en forma de potencia las siguientes las siguientes raíces: a)

3

5

36

b)

1 27

c)

1

d)

4

2

3

e)

3

42

SOLUCIÓN:

a)

5 5

3

1

d)

4

23

1 3



3 4

7

3 3 3

b) 1

6 2

6

2



3 4

3

3

e)

 1 1 2   2 7 27 22

c)

4 4 2

2 3

2 35. Introduce los factores que aparecen dentro de cada raíz: b) 23 4

a) 3 5

2 3 5 2

c)

 5 3

d)

4

e)

2 a2

a 2

f ) 2 5

3 4

SOLUCIÓN: a) 3 5  32  5  45 d)

 5  3

e)

2 a2

b) 23 4  3 4  23  3 32

c)

3 22   2 52

2 3  5 2

4  3 (5) 3  4  3  500 22 a   a4 2

a  2

2 a3

f ) 2 5

3 5 5 3 5  2   24 . 4 4

36. Introduce los factores en las raíces: a)

x y

y x

b) x 2 y

3x y3

c) xy 2  3 y

d)

y x y

SOLUCIÓN: y  x

x2 y  y2x

a)

x y

x y

c)

xy 2  3 y  3 x 3 y 7

b)

x2 y

3x 5 y 2  y3

3x  y3

3x 5 y

y x y  xy 2 y  x y 5 

d)

x2 y5  6 x2 y5

37. Extrae de cada raíz todos los factores que puedas: a)

20

b)

3

108

c)

4000

d)

4

6480

e)

0.001

SOLUCIÓN: 20  2 5

a) d)

4

b)

6.480  6 5 4

e)

3

108  33 4

c)

0,001  0,1  0,1

f)

38. Halla sin calculadora las siguientes raíces: a) 3 216 b) 0,0049 c) 3  0,027

d)

4

625 81

e)

3

1.331

f)

1,44  10 6

4.000  20 10 5

0,00288  0,2  5 9

f)

5

0.00288

6 25

SOLUCIÓN: 216  3 6 3  6

a)

3

d)

4

49 7   0,07 10.000 100

b) 0,0049 

625 4 5 4 5   81 34 3

c)

3

 0,027  3

 27  3   0,3 1.000 10

f ) 1,44  106  1,2  103

e)3 1331  3 113  11

39. Ordena de menor a mayor: a)

3

4,

4

3,

5

4

b)

8,

3

7

c)

3

5,

5

2

SOLUCIÓN: a) El mínimo común múltiplo de los índices es 12. 3

4  12 44  12 256,

3  12 36  12 729,

4

5  12 53  12 125.

Observando los radicandos, se tiene: 4 5  3 4  3 b) El mínimo común múltiplo de los índices es 12. Luego: 4 8  3 7 .  de los índices es 15. c) El mínimo común múltiplo tanto:

5

3

4

8  12 83  12 512,

5  15 55  15 3125,

3

5

7  12 74  12 2401. 2  15 23  15 8. Por

2  3 5.

40. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: 3 , 4

3

1 , 2

3 , 5

3

4

3 7

SOLUCIÓN: El mínimo común múltiplo de los índices es 12 6

4

3 12  3  729     12 , 4 4096 4

3

1 12  1  1     12 , 2 16 2

4

3

3 12  3  81     12 , 5 625 5

3

3 12  3  27 4    .  12 7 343 7 Observando los radicandos se tiene: 3

1 4 3 3 3 3    . 2 7 5 4

41. Reduce a índice común: a)

a,

b)

ab ,

3

ab2 , 4

2bc ,

4

2 a 3b 5

ab3c 2

SOLUCIÓN: a ) El mínimo común múltiplo de los índices es 12. 3 4 a  12 a 6 , ab2  12 a 4b8 , 2a3b  12 8a9b3 . b) El mínimo común múltiplo de los índices es 20.

ab  20 a10b10 ,

4

2bc  20 32  b5c5 ,

42. Suma los siguientes radicales:

5

ab3c 2  20 a 4b12c8 .

72  3 50  2 98

a)

b) 3 48  75  4 108

c) 2 20  45  80

48  3 175  2 847  147

d)

SOLUCIÓN:

72  3 50  2 98  6 2  3  5 2  2  7 2  6  15  14 2  5 2 .

a)

b) 3 48  75  4 108  3  4 3  5 3  24 3  12  5  24 3  31 3. d)

43. Suma los siguiente 48  3 175  2 847  147  4 3  3  5 7  2  11 7  7 3  11 3  7 radicales: 7.

a)

275 

c) 2 20  45  80  2  2 5  3 5  4 5  4  3  4 5  3 5.

396 2 44  5 3

3

b)

24  3 375  2  3 648

SOLUCIÓN:

b)

396 2 44 1 2 6 4 73    5 11   6 11   2 11   5    11  11. 5 3 5 3 5 3 15 

275 

a)

24  3 375  2  3 648  23 3  53 3  2  63 3  2  5  123 3  93 3.

3

44. Analiza si se verifican las siguientes igualdades: a b

a)

a b 2

2



a b ab



a b a b a b   . (a  b)(a  b) a b  a b ab

a a  b ab

b)

SOLUCIÓN: a b

a)

a b 2

2

a a a a   . b a b ab

b)

45. Expresa mediante una única raíz: 3

a)

5

4

b)

7

c)

3 3 8

3

d)

2 7 27

e)

a  b  3 b

SOLUCIÓN: a)

6

5

b)

8

7

c)

3

24

14 27

d)

46. Expresa con una única raíz: 3

a)

a a 4

a

3

 1  b)  a 3   3 2     a 

3

c)

SOLUCIÓN: a)

12

a

b)

6

a5

c)

6

47. Racionaliza las siguientes fracciones:

1 ba5

a 2b ba3

e)

3b(a  b)

3 2

a)

3 2 50

b)

c)

7 5

3

d)

4

7

3

2

8 3 1

e)

3

5

f)

3

4  2 2

SOLUCIÓN: a) d)

3 2 2 3 7

23

3 5

b) 

3  7 24 7

23  7 2 4

3  7 24 2



e)

7

c)





8 8 3 1  2 3 1

5

5

34

75 3

5

f)

3

42  2

34  3 3 



75 3 3

5 3 4  2 8

48. Racionaliza las siguientes fracciones: 2

a)

3

b)

3 1

6 2

SOLUCIÓN: 3 1

a)

b)

c)



3 6  2 4



1 6

d)

1 6

2 7



7 7 5

1  6 

2

c) 

d)

5

7





7 5 7



49. Opera: a)



3 2



2



b)



2

5 1  3

c)



32 2



32 2



 3  d )   7  2 5 

SOLUCIÓN: a) 5  2 6

50. Desarrolla: a)



2 5 3



b) 2 3 3  15





b)

 3  3 2  c)  2   3  2 5  

d)

c)  5

d)

143 21  20 5

 5  3 2  2  4 5  2 5  3 2  2  5 

2

SOLUCIÓN: a)

10  6

b)  14  11 10

c)

13 6 1  30 10

LOGARITMOS 51. Calcula utilizando la definición de logaritmo: 1 a) log 2 b) log 2 128 c) log 3 2187 2 d ) log 2 3 2 e) log 2 0,0625 f ) log 3 1 SOLUCIÓN:

d ) 26 5  41 2

2

a) log2

1  x  2 x  2 1  x  1. 2

b) log2 128  x  2 x  128  2 x  2 7  x  7. c) log3 2.187  x  3 x  37  x  7. 1  23

1 x . 3 1 e) log2 0,0625  x  2 x  4  2 x  2  4  x  4. 2 d ) log2 2  x  2 3

x

f ) log3 1  x  3 x  1  3 x  30  x  0.

52. Halla sin utilizar calculadora: a) log4 256

b) log1 3

g ) log2

1 243

81 16 3

c) log 2

1 32  log3  log5 0.04  log7 1 27

d ) log 1 100

e) log 2 8

10

h) log8 2  log7 343  log3 3 9  log1 1

SOLUCIÓN: a) 4

c)  4

b) 5

d)  2

e) 6

f)



1 2

1 5 5  log5 0.04  log7 1   3  2  0   27 2 2 1 2 h) log8 2  log7 343  log3 3 9  log1 1   3   1  3. 3 3 g ) log2 32  log3

53. Calcula la base de los siguientes logaritmos: a) logx 144  2

b) logx

1  4 81

SOLUCIÓN: a) logx 144  2  x 2  144  x   144

c) logx 0,001 3

d ) logx 3  

como la base es un número positivo

1 2

x  12.

1 1 1 1  4  x 4   4   x 4  81  x 4  34  x  3. 81 81 81 x 1 1  x 3  1.000  x  10. c) log x 0,001  3  x 3  0,001  3  1.000 x 1 1 d) log x 3    x 1 / 2  3; x  32 ; x  . 2 9

b) log x

54. Desarrolla los logaritmos de las expresiones que se indican:  x2 y   a) log  z 

SOLUCIÓN:

b) log( x 2  y ) z

f ) log9

c) log

xm  n  y 3 ( x 2 y)

xy ( x  y) 3

d ) log

1 3

 x2 y  1   2 log x  log y  log z a) log b) log( x 2  y ) z 2  log( x 2  y )  log z z 2   xm  n  y 3 c) log  log x  log(m  n)  3 log y  2 log x  log y ( x 2 y) xy 1 1  log x  log y  log( x  y ). ( x  y) 3 3 3

d ) log

1 y log2 b  3 , calcula utilizando las propiedades de los logaritmos el valor de: 2  1   8  a) log2  2  b) log2 3 ab2 c) log2   a b a b 

55. Si log2 a 

SOLUCIÓN: 1  8  a) log2  2   log2 8  2 log2 a  log2 b  3  2   3(3)  11. 2 a b 1 2 1 1 2 11 b) log2 3 ab2  log2 a  log2 b    (3)   . 3 3 3 2 3 6  1  1 1 1   log2 1  log2 a  log2 b  0   (3)  1. c) log2  2 2 2 a b 

56. Resume en un solo logaritmo las expresiones: a) log a  2 log b  (log c  log d ) c) log a  log(b  c)  log(a  c)

1 3 b) log(a  b)  log(a  b)  log c 2 2 1 d) (log a  log(a  b)) 2

SOLUCIÓN:  ab2   a) log  cd 

 ( a  b) c 3 b) log  ( a  b) 

   

 a ( a  c)  c) log   bc 

57. Calcula con la ayuda de la calculadora: a) log 3 52 b) log 5 23  log 7 51  log 2 0,35

c) log 6 4,7  log 3 61 SOLUCIÓN: a) 3,596577

b) 5,48332394

d ) log 5 3 47  log 21 c)  1,007228

d )  0,52480

58. Halla, sin utilizar la calculadora, log5 8 , sabiendo que log 2  0,30103. SOLUCIÓN: log5 8 

log 8 log 8 3  0,30103 0,90309     1,292029 log 5 log(10 / 2) 1  0,30103 0,69897

PROBLEMAS

 a  d ) log   a b 

1.

Del total de mis ingresos mensuales dedico

1 a gastos de alimentación y de esa parte dedico 5

1 a productos de pescadería. ¿Qué fracción de mi sueldo mensual dedico a comprar pescado? 6

Si mi sueldo es de 1800 euros al mes, ¿cuánto gasto en pescado? SOLUCIÓN:

1 1 1 de de mi sueldo es de mi sueldo, fracción que dedico a comprarpescado. 6 5 30 1 1800  60 euros gasto en pescado. 30

2.

El automóvil de mi amigo ha consumido

1 4 de su depósito de gasóleo en recorrer los de un 3 11

trayecto. Si al final del trayecto le han sobrado 4 litros de combustible, ¿cuánto le ha costado el viaje si el precio del gasóleo era de 1,1 euros/litro? SOLUCIÓN: Gasta 2/3 de su depósito en recorrer 8/11 de su recorrido y 1/3 de su depósito en recorrer los 4/11 restantes. La capacidad de su depósito es de 48 litros de gasóleo. El coste del viaje ha sido de 44 1,1  48,4 euros. 3.

En un supermercado se vende un refresco en oferta