Tema 1. Movimiento Ondulatorio 1.

La ecuaci´ on de una cierta onda es y(x, t)

=

10 sin [2π (2x − 100t)] ,

donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcular la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, la velocidad de propagaci´ on de la onda, dibujar la onda en un instante de tiempo dado mostrando la longitud de onda. 2.

La evoluci´ on temporal de una onda escalar arm´ onica E(x0 , t) se representa en la figura adjunta, donde x0 = 0 (metros). La onda se propaga con una velocidad vf = 420 m/s a lo largo del eje X. 2

E (V/m)

1 0 -1 -2

0

1.5

3

4.5

6

7.5

9

10.5 -14 t (x10 seg)

(a) Determine la amplitud de la onda. (b) Determine la fase inicial de la onda. (c) Determine el periodo temporal y la frecuencia angular de la onda. (d) Escriba la expresi´ on completa de la onda indicando claramente los valores num´ericos de las diferentes magnitudes y sus unidades 3.

Dos ondas polarizadas linealmente en planos perpendiculares viajan en la direcci´ on OX a la misma velocidad, c. Explicitar las expresiones de ambas ondas. Hallar el movimiento ondulatorio resultante en el caso general. Analizar los siguientes casos particulares 1

´ Problemas Optica F´ısica

2 A1 = 2A2 y de fases iguales, A1 = 2A2 y defasadas π/2, A1 = A2 y defasadas π/2. 4.

Una fuente puntual emite ondas esf´ericas de λ = 500 nm. Estimar a qu´e distancia hay que colocarse de la fuente para que sobre un ´ area circular de un cent´ımetro cuadrado las ondas esf´ericas difieran de una onda plana en λ/10.

5.

Determinar el promedio temporal de la siguiente onda E

= E0 cos (ωt − kr) . 2

Determinar asimismo el promedio temporal de |E| . 6.

Supongamos que en un punto del espacio la variaci´ on temporal de una perturbaci´ on ondulatoria viene dada por E(t) = E0 e−(γ/2)t cos(ω0 t), (1) para t > 0 y nula para t < 0. Suponer que γ ≥ 0. Dibujar la variaci´ on temporal de la perturbaci´ on. Calcular el espectro en frecuencias de esta perturbaci´ on. Calcular espectro de potencia, |E(ω)|2 , y encontrar la relaci´ on entre γ y la anchura de |E(ω)|2 a mitad de altura.

Tema 2. Teor´ıa electromagn´ etica de la luz 1.

Una onda electromagn´etica plana en el vac´ıo est´ a dada por Ex

=

102 sin π 3 × 106 z − 9 × 1014 t

Ey Ez

= =

0, 0.




Determinar la longitud de onda, frecuencia, velocidad de fase. Determinar el campo magn´etico. Determinar el vector de Poynting. Determinar el promedio temporal del m´ odulo del vector de Poynting. 2.

Un haz de luz se propaga a trav´es de un medio de ´ındice de refracci´ on (n = 1,5). Si la amplitud del campo el´ectrico del haz de luz es de 100 V/m ¿cu´ al es la amplitud del campo magn´etico? Determinar la irradiancia de la onda. ¿Se podr´ıa ionizar un ´ atomo de H con esta onda?

3.

El campo de una onda electromagn´etica en el vac´ıo est´ a dado, en unidades MKSC por Ex Ey Ez

= 0,

  2π × 107 x , V/m = 0,5 cos 2π × 1015 t − 3 = 0.

(a) Determinar la frecuencia, la longitud de onda, el estado de polarizaci´ on y la irradiancia, indicando las unidades. (b) Calcular el campo magn´etico asociado dando sus componentes, indicando sus unidades. 4.

Determinar el estado de polarizaci´ on de las siguientes ondas electromagn´eticas ~ = ˆıE0 cos(kz − ωt) − ˆE0 cos(kz − ωt). E ~ = ˆıE0 sin(−kz + ωt) + ˆE0 sin(−kz + ωt − π/4). E ~ = ˆı E0 cos(kz − ωt) + ˆE0 cos(kz − ωt + π/2). E 2

5.

La irradiancia producida por el Sol en la superficie de la Tierra es I = 1,34 × 103 W/m2 . Calcular el campo el´ectrico y el campo magn´etico en la superficie de la Tierra, asumiendo que el promedio del vector de Poynting es igual a esa irradiancia. 3

´ Problemas Optica F´ısica

4 6.

Escribir la expresi´ on, en unidades del sistema M.K.S., de una onda electromagn´etica plana que tiene una longitud de onda de 500 nm y una irradiancia de 53,2 W/m2 , que se propaga a lo largo del eje Z. Consider´ese que la onda est´ a linealmente polarizada a 450 del eje X.

7.

Un pulso de radiaci´ on ultravioleta de 2 ns de duraci´ on es emitido por una fuente l´ aser y tiene un di´ ametro de 2,5 mm y una energ´ıa de 6 J. Determinar la longitud espacial del pulso. Calcular la irradiancia de la onda y la amplitud de campo el´ectrico.

8.

Escribir la expresi´ on de una onda plana linealmente polarizada que se propaga a lo largo del eje X y vibra a 300 del eje Z y cuya longitud de onda es λ = 0,52 µm. Indicar a qu´e regi´ on del espectro electromagn´etico corresponde este campo. Si la amplitud del campo es de 3 V/m hallar la irradiancia de la onda. Determinar el flujo del vector de Poynting a trav´es de la superficie de un cuadrado de lado 1 cm perpendicular al eje X. Esta onda incide sobre el ojo de un observador cuya pupila es de φP = 4 mm. Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a un dioptrio equivalente de 5,2 mm de radio y un ´ındice de no = 4/3. Determinar el flujo del vector de Poynting a trav´es de la superficie de la pupila perpendicular al eje X. Si tras refractarse en el dioptrio, la radiaci´ on se concentra en 0 0 un ´ area de radio Rr = 1,22 λf , donde f es la focal del dioptrio, estimar la irradiancia de la φP onda en la retina.

Figura 1: Esquema de la direcci´ on de propagaci´ on de la onda y detector de radiaci´ on. 9.

Una onda electromagn´etica plana de amplitud E0 = 10 V/m y de longitud de onda λ0 = 500 nm se propaga en el vac´ıo en la direcci´ on del vector ~k (ver Figura 1). a)

Escribir las expresiones completas del campo el´ectrico y magn´etico en coordenadas cartesianas si la onda est´ a linealmente polarizada perpendicular al plano ZY .

b)

Calcular la irradiancia de la onda y la potencia que incide sobre la superficie cuadrada de 5 mm de lado de un detector situado perpendicularmente a la direcci´ on de propagaci´ on y situado a una distancia de 1 m del origen de coordenadas (0 = 8,85 × 10−12 F/m).

c)

Calcular la irradiancia de la onda si la distancia del detector al origen de coordenadas es de 6 m.

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d) 10.

5

Se gira el detector hasta que se coloca perpendicular al eje Y . Calcular el flujo de energ´ıa que incide sobre el detector en esta nueva situaci´ on.

Las normas de protecci´ on ocular l´ aser establecen que el l´ımite m´ aximo de exposici´ on (Energ´ıa / unidad de ´ area) que puede recibir un ojo depende del tiempo de exposici´ on, t, a la radiaci´ on l´ aser seg´ un la ecuaci´ on (2) Exp = 1,8 × t0,75 × 10−3 Julios/cm2 donde t se expresa en segundos. Supongamos que la pupila del ojo tiene un di´ ametro de 6 mm, que el di´ ametro del haz l´ aser es id´entico y que el tiempo de exposici´ on es de 2 segundos. (a) Calcular la potencia m´ axima permitida que puede llegar a la c´ ornea. (b) Calcular la irradiancia corneal m´ axima permitida.

11.

Calcular la irradiancia de un haz l´ aser de 100 W de potencia cuya secci´ on transversal tiene un di´ ametro de 10 mm a una distancia de 1 metro. Compararla con la irradiancia producida por una bombilla a la misma distancia, suponiendo que emite de manera is´ otropa y cuya potencia es tambi´en de 100 W.

12.

El campo de una onda electromagn´etica en el vac´ıo est´ a dado, en unidades MKSC por   2π Ex = 0,25 cos 2π × 1015 t − × 107 z , V/m, 3   2π × 107 z , V/m Ey = 0,5 cos 2π × 1015 t − 3 Ez = 0. (a) Determinar la frecuencia, la longitud de onda, el estado de polarizaci´ on y la irradiancia instant´ anea y la irradiancia promedio, indicando las unidades. λ= ω= I= Estado de polarizaci´ on: (b) Calcular el campo de inducci´ on magn´etica asociado dando sus componentes e indicar sus unidades. Bx = By = Bz =

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia. 1.

En la interacci´ on de una onda electromagn´etica con la materia se suele despreciar la fuerza ejercida por el campo magn´etico. Razonar los motivos por los que esta aproximaci´ on puede ser adecuada. Considere un ´ atomo en el que el momento dipolar es p = 10−30 C/m, sobre el que incide una onda plana de frecuencia ν = 3 × 1014 Hz.

2.

Un medio material denso y homog´eneo est´ a constituido por osciladores at´ omicos cuya frecuencia de resonancia es ω0 . Una onda electromagn´etica arm´ onica de frecuencia ω  ω0 incide perpendicularmente sobre este medio material. Indique cu´ al de las siguientes afirmaciones es verdadera: El medio es transparente para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia oscila en fase con la onda incidente. El medio es opaco para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia oscila en fase con la onda incidente. El medio es transparente para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia no oscila en fase con la onda incidente. El medio es opaco para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia oscila en oposici´ on de fase con la onda incidente. El medio es transparente para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia oscila en oposici´ on de fase con la onda incidente.

3.

Un gas constituido por ´ atomos distribuidos de forma desordenada y con una densidad tal que la distancia media entre ´ atomos es de ed1 ≈ 0,1 mm se ilumina con una onda plana monocrom´ atica linealmente polarizada. La longitud de onda de la radiaci´ on es λ = 500 nm, se propaga en la direcci´ on positiva del eje X y su direcci´ on de polarizaci´ on es paralela al eje Y (ver Figura 2). La radiaci´ on que emerge del gas se observa en los puntos A, B, C y D situados en los planos focales de dos lentes de focales f10 y f20 cuyos ejes ´ opticos est´ an situados paralela y perpendicularmente a la direcci´ on del haz incidente. Determine a cu´ ales de estos puntos llega luz procedente del gas. Responda a la misma pregunta si la distancia media entre ´ atomos es de ed2 ≈ 0,01 µm.

4.

La frecuencia de resonancia de un vidrio com´ un de tipo crown se encuentra en el ultravioleta y muy lejos del espectro visible. Para la fabricaci´ on de vidrios de alto ´ındice (tipo flint) se introduce en la mezcla ´ oxido de plomo (ver Figura 3). La adici´ on de estos ´ oxidos introduce una frecuencia de resonancia que est´ a en el ultravioleta pero muy cerca del visible. Teniendo en cuenta este hecho, justifique: 7

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8

Figura 2: Esquema de la situaci´ on experimental descrita. (a) ¿Por qu´e un vidrio flint tienen un ´ındice de refracci´ on superior al de un vidrio crown en el visible? (b) ¿Cu´ al de los dos v´ıdrios suministra mayor protecci´ on al ultravioleta? Justifique la respuesta. (c) Si se construyen dos prismas con estos vidrios ¿cu´ al de ellos dispersar´ a m´ as un haz de luz blanca? Justifique la respuesta.

Figura 3: Esquema de la dependencia de los ´ındices de refracci´ on con la frecuencia. 5.

En un prisma delgado fabricado de vidrio Crown (cuya frecuencia de resonancia est´ a en la regi´ on UV del espectro), indicar qu´e color sufrir´ a mayor desviaci´ on cuando se ilumina el prisma con un haz colimado de luz blanca. Suponer que la expresi´ on del ´ındice en funci´ on de la frecuencia est´ a dada por n(ω)

= 1+

N qe2 1 . 2 2me 0 ω0 − ω 2 + iγω

(3)

´ Problemas Optica F´ısica

6.

9

Sobre dos medios diel´ectricos is´ otropos incide una onda electromagn´etica arm´ onica de frecuencia ω. En la figura adjunta se muestra la evoluci´ on en el tiempo del campo incidente Ei y el campo esparciatomos del medio) en un punto dentro del material. do por el medio Ee (campo radiado por todos los ´

(a) Dibuje sobre las gr´ aficas el campo transmitido a trav´es del medio en cada caso. En funci´ on de la onda resultante obtenida determinar razonadamente en cu´ al de los dos medios se produce absorci´ on. Las expresiones de los campos incidente y esparcido por el medio son: Ei ∝ E0 cos(ωt − ky)

(4)

 E0 π Ee ∝ p 2 cos ωt − ky − φ − 2 (ω0 − ω 2 )2 + (γω)2

(5)

en donde la fase φ viene dada por tgφ =

γω ω02 − ω 2

(6)

y ω0 es la frecuencia de resonancia del material (b) A partir de las expresiones anteriores exprese la diferencia de fase entre la onda esparcida y la onda incidente. (c) A partir del resultado del apartado anterior determine cu´ al debe de ser el valor de φ para que el medio sea fuertemente absorbente. (d) A partir del valor de φ calculado en el apartado anterior determine la relaci´ on entre la frecuencia de la onda incidente (ω) y la frecuencia natural del medio (ω0 ).

´ Problemas Optica F´ısica

10 7.

Una onda electromagn´etica plana y monocrom´ atica de frecuencia ν = 4,5 × 1015 Hz se propaga en el vac´ıo en la direcci´ on del eje X. El m´ odulo de la amplitud del campo el´ectrico es E0 = 92 V/cm y la onda vibra en el plano XZ. Escribir la expresi´ on del campo el´ectrico. Hallar la longitud de onda. Esta onda incide sobre una interfase plana paralela al plano Y Z. El ´ındice de refracci´ on del medio para esa longitud de onda es n = 1,62. Determinar la expresi´ on del campo el´ectrico dentro del medio material. Escribir la expresi´ on del campo el´ectrico reflejado.

8.

angulo Un haz de luz natural incide sobre una superficie de agua tranquila (na = 4/3) bajo un ´ tal que la luz reflejada en la direcci´ on del rayo 1 est´ a completamente polarizada en un plano. Un bloque de vidrio de ´ındice nv = 3/2 est´ a sumergido en el agua como se indica en la figura adjunta. La luz reflejada que emerge en la direcci´ on del rayo 2 est´ a totalmente polarizada en un plano (ver Figura 4). Determinar el ´ angulo que forma el bloque con la superficie de agua (α). Determinar la irradiancia del haz reflejado en la direcci´ on del rayo 1.

Figura 4: Esquema de la l´ amina sumergida en agua y rayos considerados. 9.

Consideremos una fuente puntual de radiaci´ on visible despolarizada que emite en λ = 500 nm. Esta fuente se coloca en el foco objeto de una lente de f = 100 mm. Tras la lente colocamos un polarizador lineal ideal cuyo eje de trasmisi´ on lo podemos girar a voluntad en el plano perpendicular al eje ´ optico de la lente. Asimismo se dispone de una l´ amina de un material is´ otropo en el que la radiaci´ on considerada experimenta un ´ındice de n = 1,333 (ver Fig. 5). Indicar razonadamente c´ omo hay que colocar el polarizador y la l´ amina para no observar radiaci´ on reflejada procedente de ella. Hacer un esquema gr´ afico para demostrarlo. En la situaci´ on anterior, se desplaza la fuente 2 mm hacia abajo con respecto al eje ´ optico. Describir razonadamente si se observar´ a radiaci´ on reflejada, y en ese caso estimar la irradiancia 2 de la onda reflejada sabiendo que tras el polarizador la irradiancia es de 2 mW/cm .

´ Problemas Optica F´ısica

11

Figura 5: Esquema de la situaci´ on descrita: S fuente puntual, Le lente, P polarizador, La l´ amina. 10.

Un haz de luz no polarizada de irradiancia Ii pasa a trav´ as de una secuencia de dos polarizadores lineales perfectos.¿ Cu´ al debe ser su orientaci´ on relativa si el haz emergente debe tener una irradiancia de (a) Ii /2, (b)Ii /4 .

11.

Las im´ agenes reflejadas por las superficies anterior y posterior de la c´ ornea y del cristalino de denominan im´ agenes de Purkinje. Si el ´ındice de la c´ onea vale nc = 1,336 y el del humor acuoso es na = 1,376, calcular la irradiancia de las dos primeras im´ agenes de Purkinje y la relaci´ on entre ellas. Considerar que la luz incidente est´ a despolarizada.

12.

Se tiene un ojo reducido cuyo radio es rc = 5,7 mm y nc = 1,334. Sobre ´el incide un haz colimado paralelo al eje ´ optico de luz linealmente polarizada en el plano de incidencia. (a) Calcular la irradiancia transmitida por el dioptrio. (b) Se acopla a este ojo una lente de contacto de ´ındice nl = 1,67. Calcular la transmitancia al acoplar la lente de contacto al ojo reducido. Comparar los dos resultados.

13.

Un polarizador gira con velocidad angular Ω. Sobre el polarizador incide un haz de luz despolarizado de irradiancia Io . La luz que pasa a trav´es del primer polarizador se hace incidir sobre otro polarizador que est´ a fijo. La irradiancia en funci´ on del tiempo transmitida por ´este ultimo polarizador se muestra en la Figura 6. Calcular la frecuencia angular con la que gira el polarizador.

14.

Un haz de luz monocrom´ atica de longitud de onda λ linealmente polarizada en la direcci´ on Y incide sobre una l´ amina retardadora. La l´ amina se gira de tal manera que su eje r´ apido de ´ındice angulo de 300 con el eje Y . El espesor de la l´ amina es e y el ´ındice lento n0 ¿Cu´ ales ne forma un ´ son las amplitudes de las componentes del campo emergente en t´erminos de la amplitud E0 del campo incidente? Estudiar el estado de polarizaci´ on del haz emergente y la irradiancia transmitida en funci´ on del retardo.

15.

El celo es un material birrefringente con dos l´ıneas neutras perpendiculares entre s´ı. Los ´ındices de refracci´ on a lo largo de las mismas son: no = 1.544 y ne = 1.553. La l´ amina de celo tiene un espesor de 1 mm. Se sit´ ua esta l´ amina entre dos polarizadores que tiene sus ejes perpendiculares entre s´ı y

´ Problemas Optica F´ısica

12

Figura 6: Irradiancia tras el segundo polarizador en funci´ on del tiempo. que forman 45o con los ejes de la l´ amina (ver Figura 7). Tras el segundo polarizador se coloca una red de difracci´ on de modo que la luz que emerge del polarizador incide perpendicularmente sobre ella. En una pantalla situada a continuaci´ on aparecen unas l´ıneas oscuras en el espectro de transmisi´ on. Calcular las longitudes de onda desaparecidas entre 500 y 700 nm. T´engase en cuenta que una red de difracci´ on dispersa la radiaci´ on que incide sobre ella de acuerdo con la ecuaci´ on: d sin θ = mλ. Indicar qu´e ocurrir´ a si se gira el segundo polarizador de modo que se coloca su eje de transmisi´ on paralelo al del primer polarizador.

Figura 7: Esquema de la situaci´ on descrita. 16.

Entre dos polarizadores cruzados se colocan varias capas de celo orientadas paralelamente entre

´ Problemas Optica F´ısica

13

on de los polarizadores. Un haz de luz blanca s´ı y con sus ejes ´ opticos a 45o de los ejes de transmisi´ incide sobre el primer polarizador. Se ha medido la irradiancia de la luz emergente del segundo polarizador en funci´ on de la longitud de onda y se ha representado en la figura adjunta.

P1

1.0

lámina birrefringente Y

Y

Y no

X ne

θ

X

X

eje de transmisión

Z

transmitancia

eje de transmisión

0.5

P2

d

campo elípticamente polarizado

0 400

450

500

550

600

λ (nm)

(a) Interpretar la presencia de los m´ aximos de irradiancia del espectro medido y representado en la figura (b). (b) Interpretar la presencia de los m´ınimos de irradiancia del espectro medido y representado en la figura (b). amina de celo a partir de la (c) Si la birrefrigencia es no − ne = 0,02, determine el espesor de la l´ gr´ afica que se adjunta. Indique el procedimiento seguido con detalle. 17.

Explicar porqu´e el cristalino es transparente a las radiaciones del visible. Se dice que en el proceso incipiente de formaci´ on de una catarata se reduce la agudeza visual. Explicar este hecho suponiendo que el tama˜ no de las regiones de opacificaci´ on as´ı como la distancia entre ellas es mayor que las longitudes de onda del visible (v´ease Figura 8).

18.

Una onda plana linealmente polarizada de longitud de onda λ = 633 nm y cuya irradiancia es de 2 1 mW/cm incide normalmente sobre una l´ amina cuyo espesor es de 1 cm. La l´ amina es de un material is´ otropo absorbente tal que la onda experimenta un ´ındice de refracci´ on de n = 1,6 − ı0,000025. Determinar la irradiancia de la onda a la salida.

19.

El movimiento de un electr´ on ligado a un n´ ucleo at´ omico que est´ a sometido al campo de una onda externa de frecuencia ω, viene dado por la expresi´ on ~z(t)

ˆ = A cos(ωt)k,

donde A es la amplitud de movimiento y se mide en el SI de unidades. El campo radiado por el electr´ on acelerado viene dado por la expresi´ on   e d2 ~z(t0 ) ~ R, ~ t) = E( . sˆ ∧ sˆ ∧ ~ dt02 ~ 4π0 c2 |R| t0 =t−|R|/c DATOS: e = 1,16 × 10−19 C, 0 = 8,85 × 10−12 F/m.

650

700

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14

Figura 8: En la parte izquierda se muestra una micrograf´ıa electr´ onica de un cristalino y en la parte izquierda se muestra una catarata incipiente. (a) Determine expl´ıcitamente la expresi´ on del campo radiado en los puntos Q1 = (0, 20, 0) m y Q2 = (0, 0, 20) m. (b) ¿Est´ a polarizado el campo el´ectrico en los puntos Q1 y Q2 ? (c) Determine la irradiancia en los puntos Q1 y Q2 si A = 10−14 metros para ω = 4 × 1015 rad s−1 . (d) Si en un instante t = t1 > 0, el campo externo cesa (1.-) ¿seguir´ a movi´endose indefinidamente el electr´ on? Razone la respuesta. (2.-) ¿ser´ a monocrom´ atica la radiaci´ on emitida despu´es del instante t1 ?

Tema 4. Fen´ omenos interferenciales. 1.

Un haz de radiaci´ on monocrom´ atica de longitud de onda desconocida ilumina una doble rendija de Young dando origen a un diagrama de interferencia que se observa en una pantalla colocada a 0,5 m. Se ha determinado la interfranja resultando ser 2,5 mm. Sabiendo que las rendijas est´ an separadas entre s´ı 0,1 mm, indicar cu´ al es la longitud de onda λ empleada.

2.

En la Figura 9 se muestran dos ondas planas de igual amplitud linealmente polarizadas que vibran en el plano Y Z y que se propagan en las direcciones ~k1 y ~k2 . La frecuencia angular de ambas ondas es de ω = 3,5 × 1015 rad/s. Escribir la expresi´ on de los campos el´ectricos asociados a cada onda. Determinar la irradiancia en el plano y = 0. Hallar el contraste del diagrama interferencial as´ı como la interfranja. Determinar cu´ al ha de ser el grano m´ınimo de la pel´ıcula que se coloca en el plano y = 0 para que se registre correctamente el diagrama interferencial. Determinar el promedio espacial de la distribuci´ on de irradiancia.

3.

Un haz de luz monocrom´ atico de longitud de onda λ0 ilumina una doble rendija de Young dando origen a un diagrama interferencial con una separaci´ on de 5,6 mm entre bandas oscuras consecutivas. Si la separaci´ on entre el plano de pantalla y el que contiene las franjas es de D = 10 m y las fuentes secundarias est´ an separadas a = 1 mm, Calcular la longitud de onda de la radiaci´ on incidente. Dibujar la irradiancia frente a la posici´ on en la pantalla. Si frente a uno de los orificios se coloca un filtro de densidad que reduce la irradiancia transmitida en un 10 por ciento, dibujar de nuevo la irradiacia en la pantalla en funci´ on de la posici´ on.

4.

Una doble rendija de Young separadas una distancia a se ilumina en incidencia normal con un haz colimado de radiaci´ on casi-monocrom´ atica λ0 = 500 nm. El diagrama de interferencia se observa sobre una pantalla colocada a una distancia de 1 m del plano que contiene a la doble rendija. En la figura adjunta se muestra el esquema del dispositivo y la distribuci´ on de irradiancia a lo largo del eje Z (utilizar la escala indicada en la propia Figura 10). Determine la separaci´ on entre rendijas y la longitud de coherencia.

5.

Se dispone de una fuente puntual monocrom´ atica que ilumina un biprisma de Fresnel. La distribuci´ on de irradiancia se observa en una pantalla. 15

16

´ Problemas Optica F´ısica

Figura 9: Dos haces de radiaci´on polarizados en el plano Y Z en las direcciones uˆ1 y uˆ2 y propag´andose en las direcciones ~k1 y ~k2 .

Figura 10: Distribuci´ on de irradiancia a lo largo de una l´ınea del diagrama interferencial. Por medio de un trazado de rayos determinar las im´ agenes que produce el biprisma. Dibujar la forma de la distribuci´ on de irradiancia en la pantalla. Entre el biprisma y la pantalla se coloca una lente convergente de focal 237 mm. La distancia entre la lente y la pantalla es de 2740 mm. La distancia entre las im´ agenes reales en la pantalla

´ Problemas Optica F´ısica

17

es 2 mm. El diagrama interferencial obtenido se ha reproducido en la Figura 11. Determinar la longitud de onda de la radiaci´ on empleada.

Figura 11: Diagrama interferencial recogido en la pantalla de observaci´on.

6.

Dos rendijas de Young situadas en un plano opaco P y separadas una distancia a est´ an iluminadas por la luz que proviene de una fuente puntual de radiaci´ on monocrom´ atica (λ = 0,5 µm) situada en el plano focal de una lente convergente L (ver Figura 12). Se considera que la anchura de las rendijas, b es tal que b  a.

Figura 12: Trazado de rayos correspondiente a la situaci´on considerada.

Describir el diagrama interferencial producido en una pantalla situada a una distancia D  a. Calcular el orden interferencial en el centro de la pantalla coincidente con el eje ´ optico. Si la fuente puntual se desplaza verticalmente del eje ´ optico de la lente una distancia b ¿Cambia el orden interferencial en el centro? Si es as´ı calcular su valor. ¿Y el valor de la interfranja? Suponga que se abre una tercera rendija de Young situada en el centro del plano opaco P . Calcular la distribuci´ on de irradiancia a la que da lugar esta configuraci´ on. 7.

Sobre una cu˜ na de vidrio de ´ angulo α desconocido y longitud D = 30 mm incide perpendicularmente un haz de luz colimado no monocrom´ atico cuya longitud de onda central es λ0 = 500 nm (ver figura a). El diagrama de franjas de interferencia de las ondas reflejadas en las superficies de la cu˜ na tiene una extensi´ on d = 10 mm (ver figura b). Suponga que n(λ0 ) = 1,46.

´ Problemas Optica F´ısica

18

(a) Estime el ´ angulo de la cu˜ na a partir del diagrama interferencial que se ha reproducido con aumento unidad en la figura adjunta. (b) Explique la raz´ on por la que aunque la cu˜ na se ilumina en toda su extensi´ on s´ olo se observan franjas en una regi´ on menor de la misma (d < D). (c) Determine la anchura espectral (∆λ) de la fuente y la longitud de coherencia (lc ) de la radiaci´ on con que se ilumina la cu˜ na. (a)

α

(b)

d D

8.

Calcular el m´ınimo espesor que debe tener una pel´ıcula transparente de ´ındice de refracci´ on 1,455, si se debe producir un m´ınimo al reflejar la luz de 500 nm bajo iluminaci´ on normal, rodeada de aire ¿Qu´e longitud de onda se reflejar´ıa con un m´ınimo a 300 ? Suponga que el ´ındice de refracci´ on no cambia apreciablemente con la longitud de onda (lo cual es una aproximaci´ on).

9.

Sobre una lente de ´ındice n3 = 1,5 se depositan dos capas delgadas de material diel´ectrico de ´ındices n1 = 1,7 y n2 = 1,6. Los espesores de las capas son λ0 /4n1 y λ0 /2n2 respectivamente. El orden de las capas es el indicado en la Figura 13. Razonar si esta bicapa es antirreflectante para la radiaci´ on

Figura 13: Esquema de la bicapa depositada sobre el substrato. λ0 en condiciones de incidencia normal. ¿Qu´e ocurre para incidencia a 45o ?

Tema 5. Aplicaciones de las interferencias. 1. Medida de radios de curvatura. Una lente plano-convexa L est´ a en contacto por su cara esf´erica, de radio de curvatura R desconocido, con una l´ amina plana de vidrio G. El radio de apertura de la cara plana es y = 1 cm (Fig. 14). El sistema est´ a iluminado por una fuente monocrom´ atica colimada bajo incidencia pr´ oxima a la normal. Por reflexi´ on se observa el fen´ omeno interferencial producido por la l´ amina de aire de espesor variable que hay entre la lente y la l´ amina plana. Si la longitud de onda utilizada es λ0 = 0,5890 µm en el vac´ıo, calcular el radio del primer anillo oscuro y el n´ umero m´ aximo de anillos observables. Para ello emplear la gr´ afica 14b donde se ha representado el cuadrado del radio de los anillos frente al orden interferencial obteni´endose el ajuste lineal de la figura. En realidad, la fuente de luz es una l´ ampara de sodio que emite en dos longitudes de onda que se supondr´ a de la misma irradiancia y que en el vac´ıo valen λ1 = 0,5890 µm y λ2 = 0,5896 µm. ¿se modifica el fen´ omeno observado?. El radio de los anillos oscuros se mide mediante un visor microm´etrico de 5 µm de precisi´ on. Determinar si podr´ an medirse experimentalmente los radios de los anillos de cada diagrama interferencial. Se separa la lente una distancia z ¿C´ omo se modifica el sistema de anillos producido por la radiaci´ on de λ0 = 0,5890 µm? 2. Dise˜ no de una l´ amina antirreflejante. Sobre un medio de ´ındice N se deposita una l´ amina delgada de caras planoparalelas, ´ındice n y espesor e. Calcular los coeficientes de reflexi´ on en las superficies de separaci´ on as´ı como las reflectancias respectivas. Se ilumina el dispositivo en incidencia normal por una radiaci´ on monocrom´ atica de longitud de onda λ. Calcular la irradiancia transmitida IT en el medio de ´ındice N . Establecer las condiciones de reflectancia m´ınima Rm . Calcular los valores correspondientes de IT y la reflectancia Rm del dispositivo. Compararlo con la reflectancia R0 que se tendr´ıa si no estuviera la capa de ´ındice n. Calcular el valor de n para que Rm sea cero. Determinar el valor de n y de e que anulan Rm para los valores N = 1,50 y λ = 0,5890 µm. 19

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Figura 14: (a) Esquema del dispositivo empleado y (b) puntos experimentales obtenidos. 3.

En el siguiente pictograma (Figura 15) se han representado parcialmente los desfases de las ondas reflejadas en una multicapa diel´ectrica. Compl´etelo a˜ nadiendo los desfases que falten y determine si se trata de una estructura reflejante o antirreflejante.

Figura 15: Esquema de la estructura multicapa. 4. Medida de espesores amina delgada de vidrio de caras paralelas, de Sobre un substraro de ´ındice nS , se coloca una l´ espesor e e ´ındice n se ilumina con un haz colimado que incide con un ´ angulo θi . Una pantalla

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situada a una distancia D de ella, est´ a iluminada por la luz reflejada de la cara anterior y posterior de la l´ amina. La fuente emite una radiaci´ on monocrom´ atica de longitud de onda λ0 . Si D = ∞, expresar la diferencia de camino en funci´ on de e, n y β (´ angulo de refracci´ on en la l´ amina, asociado al ´ angulo de incidencia). Si 2ne es un m´ ultiplo de λ0 , ¿cu´ al es la irradiancia en el centro de la pantalla? Si e = 3 mm y n = 1,5 ¿qu´e se observa al iluminar con luz blanca? Se quiere medir el espesor de la capa de l´ agrima en un observador que lleva una lente de contacto de ´ındice nl = 1,42 . Para ello se ilumina el ojo tal y como se muestra en la Figura 16a con una fuente de luz blanca (considerar incidencia pr´ oxima a la normal). La luz reflejada se recoge y se dirige a un espectrofot´ ometro que permite determinar la cantidad de luz reflejada para cada longitud de onda: el resultado se muestra en la Figura 16b. Estimar el espesor de la l´ agrima.

Figura 16: (a) Dispositivo experimental empleado. (b) Reflectancia frente al n´umero de ondas.

5. Interferencias en la retina. Una onda plana monocrom´ atica incide sobre la cara plana de un biprisma de Fresnel tal como se indica en la Figura 17. El ´ angulo del biprisma es de 40 y su ´ındice de refracci´ on es n = 1,5. Considerar que la longitud de onda de la radiaci´ on incidente es de λ = 500 nm. Escribir la expresi´ on de las ondas refractadas por cada parte del biprisma. Se sit´ ua una pantalla a una distancia D = 30 cm del biprisma. Calcular la distribuci´ on de irradiancia en la pantalla y el valor de la interfranja. Indicar el n´ umero total de franjas brillantes que se observar´ an en la pantalla. Se sustituye la fuente de radiaci´ on colimada por una fuente puntual que emite radiaci´ on cuya longitud de onda es λ = 520 nm que dista d0 = 60 mm del biprisma. Describir qu´e se observar´ a en la pantalla situada a 90 cm del biprisma. En el caso de que se observen interferencias determinar la interfranja. Se coloca una lente cuya focal imagen es de f 0 = 135 mm a 900 mm del biprisma. Determinar la posici´ on de las im´ agenes reales que proporciona esta lente de la fuente de radiaci´ on.

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Figura 17: Diagrama del experimento propuesto. Se ha sombreado la regi´on en la que solapan ambos haces de radiaci´ on.

En la situaci´ on anterior se coloca un ojo de un observador en el plano focal de la lente. Describir qu´e se observar´ a en la retina del sujeto. Si asimilamos el ojo del observador como un dioptrio de radio rs = 5,7 mm y que el ´ındice de refracci´ on para esa longitud de onda es de 4/3. Determinar la interfranja que se produce en la retina del observador que est´ a situada en el plano focal del dioptrio. ¿Podr´ıa estimarse con este dispositivo la agudeza visual? Indicar razonadamente c´ omo lo har´ıa.

Tema 6. Difracci´ on 1.

Se ilumina una lente con un haz colimado procedente de una fuente monocrom´ atica emitiendo en λ = 500 nm. La focal de la lente es f 0 = 126 cm. La distribuci´ on de irradiancia en el plano focal es fotografiada y reproducida en la Figura 18 con un aumento lateral de β 0 = 76. Estimar la forma y el tama˜ no de la lente.

Figura 18: Distribuci´on de irradiancia en el plano focal de la lente considerada iluminada con un haz plano. A la derecha se muestra la funci´ on de Airy cuyo primer m´ınimo se encuentra en z = 3,83. 2.

Un modelo de ojo te´ orico reducido est´ a formado de la siguiente manera: el radio de la c´ ornea es 5,6 mm y el ´ındice de humor acuoso es n = 1,33. La pupila del ojo est´ a situada a 5,6 mm del v´ertice de la c´ ornea y tiene un di´ ametro de 4 mm. Calcular el tama˜ no de la mancha de Airy en la retina y compararla con el tama˜ no medio de un fotorreceptor (2 µm). Calcular la separaci´ on angular m´ınima que pueden tener dos estrellas para que sean resueltas por el ojo anterior. Si dos puntos luminosos est´ an separados 1 mm, calcular la m´ axima distancia a que se podr´ an alejar del ojo para que sigan vi´endose separados.

3.

Comparar el poder de resoluci´ on te´ orico, en segundos de arco, del ojo anterior, el anteojo construido por Galileo (25 mm de apertura) y el telescopio de Monte-Palomar (5000 mm de apertura). 23

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24 4.

Estimar la anchura de una rendija que produce el diagrama de difracci´ on reproducido en la Figura 19 con aumento lateral unidad y que ha sido obtenido a una distancia D = 1,80 m de la rendija. La luz procede de un l´ aser de He-Ne emitiendo a una longitud de onda de λ = 633 nm.

Figura 19: Distribuci´on de irradiancia en la pantalla de observaci´on producida por una rendija iluminada. 5.

Sobre un dispositivo de doble rendija de Young cuya anchura es despreciable incide una radiaci´ on monocrom´ atica de 500 nm. La distancia entre las rendijas es de 0,9 mm. El diagrama interferencial se recoge en una pantalla trasl´ ucida (P ) situada a 0,5 m del plano de la doble rendija. Por detr´ as de la pantalla una persona situada a 2 m de la pantalla observa la imagen del diagrama interferencial (ver Figura 20).

Figura 20: Esquema del dispositivo de doble rendija, pantalla trasl´ucida y observador. ¿Ver´ a el observador el sistema de franjas resuelto? ¿Qu´e consecuencias tendr´ıa sobre la percepci´ on del diagrama interferencial si se reduce la separaci´ on entre rendijas a 0,65 mm? Justificar la respuesta. ¿Qu´e consecuencias tendr´ıa sobre la percepci´ on del diagrama interferencial si se cambia la longitud de onda de la fuente que ilumina la doble rendija? 6.

La luz procedente de dos estrellas (λ = 550 nm) pasa a trav´es de una lente de focal f 0 = 100 mm y de di´ ametro D desconocido. En el plano focal de la lente se fotograf´ıa la imagen obten´ıendose

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sendas manchas de Airy que son tangentes tal y como se muestra en la Figura 21. El aumento lateral utilizado de la foto que se muestra en la imagen es de 350. Estimar el di´ ametro de la lente y la separaci´ on angular θE de las estrellas.

Figura 21: Fotograf´ıa de la distribuci´on de irradiancia que se produce en el plano focal. 7.

En la Figura 22 se muestra un monocromador de red. La red posee las caracter´ısticas siguientes: n´ umero de trazos por mil´ımetro 600 y tiene un total de 10000 trazos. La lente convergente L1 permite iluminar la red con la luz blanca procedente de la fuente S. La lente L0 cuya distancia focal imagen es de un metro tiene su eje ´ optico normal a la red. Su foco se encuentra en el centro O de on Y en el plano de F0 . la rendija F0 . Este punto sirve de origen en la direcci´

Figura 22: Esquema gr´afico de la situaci´on experimental descrita. ¿Qu´e valor debe tener el ´ angulo de incidencia sobre la red para obtener en O el m´ aximo principal de orden 2 para una longitud de onda de λ0 = 0,6 µm? En las condiciones anteriores ¿d´ onde se encuentra el punto donde se forma el m´ aximo de orden 2 para otra longitud de onda λ ligeramente diferente de λ0 ? La rendija F0 de anchura l = 0,1 mm deja pasar las radiaciones de longitudes de onda comprendidas entre λ0 − ∆λ/2 y λ0 + ∆λ/2. Calcular la anchura espectral ∆λ que pasa por la rendija. Calcular el poder de resoluci´ on de todo el instrumento en orden 2 y compararlo con el poder resolutivo de la red de difracci´ on.

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26 8.

Dos l´ aminas plano-paralelas est´ an muy cerca una de otra dejando entre ambas una capa de aire muy delgada. Se iluminan las l´ aminas con una radiaci´ on policrom´ atica en incidencia normal. La luz reflejada en la segunda cara de la primera l´ amina y en la primera cara de la segunda l´ amina incide sobre una red de difracci´ on de 500 l´ıneas/mm. En el espectro de primer orden y a 11,5o de la normal a la red se observa la desaparici´ on de un color correspondiente a una longitud de onda desconocida (ver Figura 23). a)

Calcular cu´ al es la longitud de onda de la radiaci´ on desaparecida.

b)

Calcular el espesor m´ınimo de la capa de aire entre las l´ aminas.

Figura 23: Esquema gr´afico de la situaci´on experimental descrita. 9.

Una red de difracci´ on cuadrada de lado L = 10 mm y periodo d = 5 µm es iluminada en su centro por un haz colimado de di´ ametro φ = 2 mm. Determinar su poder de resoluci´ on en orden 2 para el haz incidente y determinar si resuelve o no dos l´ıneas espectrales separadas un intervalo ∆λ = 0,5 nm y centradas en λ = 600 nm.

10.

Para resolver las dos emisiones amarillas del sodio, de longitudes de onda λ1 = 0,5890 µm y λ2 = 0,5896 µm se ilumina una red de difraccci´ on con un haz colimado procedente de una l´ ampara de sodio. El orden 2 difractado se recoge con una lente de focal f 0 = 50cm montada sobre el brazo m´ ovil de un goni´ ometro. La longitud total iluminada de la red es de 2 cm. ¿Cu´ al debe ser el n´ umero m´ınimo de l´ıneas/mm de la red para resolver ambas radiaciones? Calcular, en el plano de observaci´ on, la distancia que separa las dos rayas. Calcular el ´ angulo que forma el brazo del goni´ ometro con la direcci´ on original del haz.

11.

Un haz plano monocrom´ atico incide perpendicularmente en una red de difracci´ on de 100 l´ıneas/mm (ver Figura 24). A la salida de la red se bloquea el orden cero de tal manera que sobre una lente de focal f 0 = 10 cm situada a 15 cm de la red s´ olo inciden los ´ ordenes +1 y −1. La longitud de onda de la radiaci´ on empleada es λ = 0,5 µm. Describir con detalle lo que se observar´ıa sobre una pantalla situada en el plano focal de la lente. ¿Ser´ıa esta la imagen de la red? Se desplaza ahora la pantalla hasta la situaci´ on donde la lente formar´ıa la imagen de la red. Se forman franjas: calcular su espaciado. ¿Se corresponder´ıa con la imagen de la red? (t´engase en cuenta la relaci´ on de aumentos para discutir esta cuesti´ on).

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Figura 24: Esquema del dispositivo considerado. ¿Ser´ıan observables estas franjas por un ojo humano situado detr´ as de la pantalla a 20 cm de distancia? Responder a las preguntas anteriores si se desbloquea el orden cero y se bloquea el orden +1. 12.

Una red de difracci´ on se ilumina en incidencia normal con un haz de tama˜ no d = 1 mm y longitud de onda desconocida. Se sabe que el primer orden de difracci´ on emerge formando un ´ angulo de 10o con la normal a la red. Se coloca una lente situada a 1 metro de distancia de la red. La focal de la lente es de 400 mm. a- Determinar cu´ al debe de ser el di´ ametro m´ınimo Φm de la lente para que en el plano imagen se obtenga una imagen resuelta del objeto. b- En el plano focal se coloca una pantalla que obstruye el orden −1. Calcular la interfranja que se obtiene en el plano imagen sabiendo que la longitud de onda de la radiaci´ on es λ = 632,8 nm. c- Calcular el periodo de la red objeto.

Figura 25: Esquema de la situaci´on considerada.

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28 13.

Una red de difracci´ on de 100 l´ıneas/mm es iluminada por una haz colimado de radiaci´ on monocrom´ atica de longitud de onda λ = 0,6 µm. Tras la red se coloca una lente de di´ ametro φ = 50 mm. La red tiene el mismo tama˜ no que la apertura de la lente y el haz incide normalmente sobre la red (ver figura A1). La figura (A2) muestra la distribuci´ on de radiaci´ on sobre una pantalla situada en el plano focal imagen de la lente, en la que se observan s´ olo 7 “puntos” de luz siendo el central el m´ as intenso. (A1)

Red

L

F’

(A2)

s

(a) Determine la distancia L entre la red y la lente, teniendo en cuenta que si se disminuye L ligeramente se observa la aparici´ on de dos nuevos puntos de luz en la pantalla situada en el plano focal. En la figura 2 se muestran diferentes tipos de m´ ascaras o filtros cuadrados que se pueden situar sobre el plano focal imagen de la lente, de modo que su centro coincida con el punto de luz m´ as brillante de la figura A2.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(b) Determine los filtros para los que se tendr´ıa una distribuci´ on uniforme de luz en el plano imagen de la lente. Razone la respuesta. (c) Determine los filtros con los que la imagen reproduce correctamente la periodicidad del objeto. Razone la respuesta. (d)¿Con qu´e filtro tendr´ıa la imagen m´ as definici´ on, es decir, reproducir´ıa el objeto con m´ as detalles? En este caso, ¿la imagen ser´ıa la misma que sin poner dicho filtro espacial? Razone las respuestas.