TEMA 11. PROBABILIDAD

11.1. Experimentos aleatorios. - Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. - Sucesos. Operaciones con sucesos. 11.2. Probabilidad. - Regla de Laplace 11.3. Experiencias compuestas. - Tablas de contingencia - Diagramas de árbol. - Sucesos dependientes e independientes. 11.4. Frecuencia y probabilidad. - Ley de los grandes números.

11.1. Experimentos aleatorios. Se llama experimento aleatorio a aquel cuyo resultado no se puede predecir antes de realizarlo, es decir, depende del azar. Se llama experimento determinista si conocemos de antemano el resultado.

1. ¿Cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios? - Extraer una carta de una baraja. - La combinación ganadora de la lotería primitiva del próximo jueves. - Lanzar una moneda al aire y que caiga. - Saber si el 12 de marzo va a llover. - El resultado de la final de la Champions League. - Medir la capacidad de una botella de un litro. - Acertar el número que está pensando Alba. - Calcular al perímetro de un cuadrado de 4 cm de lado. - Hacer girar la ruleta de la fortuna.

En una experiencia aleatoria, el conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral asociado al experimento. Un suceso es un subconjunto del espacio muestral, es decir, un suceso está formado por un conjunto de resultados ( es decir, uno o varios posibles resultados) Un suceso es imposible cuando nunca puede ocurrir. Suceso seguro es el que siempre ocurre. Sucesos equiprobables son los que tienen las mismas posibilidades de ocurrir. Suceso contrario de un suceso es el que ocurre cuando no ocurre el segundo.

Ejemplo: Se lanza una moneda. E = {C, +} Sucesos: obtener una cara, obtener cruz. Suceso imposible: Que salgan tres caras. Suceso seguro: Obtener cara o cruz. Sucesos equiprobables: Obtener cara y obtener cruz. Suceso contrario de obtener cara: obtener cruz.

Ejemplo: Se lanzan dos monedas y se cuenta el número de caras. E = {0C, 1C, 2C} Sucesos: obtener una cara, obtener al menos una cara,… Ejemplo: Extraer una carta de la baraja española y anotar la carta que sale. E = { cada una de las 40 cartas} Sucesos: obtener un as, obtener una figura, obtener una copa,… Ejemplo: En una urna hay 10 bolas ( 3 azules, 4 rojas, 2 verdes y 1 negra). Sacamos una bola y anotamos el color. E = {A, R, V, N} Sucesos: que salga una bola verde, que sea azul o roja, … 2. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Elegir una letra de la palabra MURCIELAGO b) Elegir al azar un divisor de 12. c) Lanzar una moneda y un dado y anotar el resultado. d) Sacar una bola de una urna con bolas numeradas de 1 al 9. e) En una urna hay 10 bolas rojas, numeradas de 1 al 10. Sacamos una bola y anotamos su color 3. Al extraer una carta de una baraja española escribe los sucesos contrarios de: a) Mayor que 3 b) Oro c) Un 4 d) Rey o as e) Una figura 4. María tiene una bolsa en la que hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y Darío extrae una: a) Determina el espacio muestral. b) ¿Cuál es el suceso seguro? c) ¿Cuál es el suceso imposible? d) Escribe el suceso contrario a “sacar un 2”. e) Escribe el suceso contrario a “sacar un número par” f) Escribe el suceso contrario a “sacar un número menor que 3”.

Operaciones con sucesos. Dados dos suceos, A y A, asociados a una experiencia aleatoria. Se llama unión de A y B al suceso formado por los todos los elementos de A y los de B. La intersección de A y B es el suceso formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B. El suceso contrario a A es el que ocurre cuando no ocurre A. Gráficamente:

Ejemplo. Si

y

5. Si tenemos una bolsa con 10 bolas numeradas del 1 al 10 y se realiza la experiencia de extraer una bola y anotar el resultado. Y sean los sucesos A = “obtener un número par”, B = “obtener un múltiplo de 3” y C = “obtener un número primo” a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Escribe los sucesos 6. Con la misma bolsa del ejercicio anterior, sean A = “obtener número impar” y B = “obtener un número menor que 6”. Escribe los sucesos 7. Se lanza un dado y sean los sucesos A = “obtener número impar” y B = “obtener un número menor que 3” y C = “obtener un número par”. Escribe los sucesos

11.2. Probabilidad. La probabilidad de un suceso es el grado de confianza en que ese suceso ocurra. Se expresa P(S).         

P(S) es un número entre 0 y 1. Si P(S) está próximo a 0, el suceso es poco probable. Si P(S) está próximo a 1, el suceso es muy probable. La probabilidad del suceso imposible es 0. La probabilidad del suceso seguro es 1. La suma de las probabilidades de los sucesos elementales es 1. La probabilidad del suceso contario a S es 1-P(S) Si A y B son dos sucesos incompatibles En general:

Regla de Laplace. Dada una experiencia aleatoria en la que todos los sucesos son equiprobables, y sea A un suceso asociado a la misma. La probabilidad de que ocurra A es el cociente entre el número de caos favorables a A y el número de casos posibles.

P( A) 

nº de casos favorables a A nº de casos posibles

8. En una urna hay 3 bolas blancas, 4 azules y 1 negra. Se saca una y se anota el resultado. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) A = “la bola extraída se blanca” b) B = “la bola extraída sea negra” c) C = “la bola extraída sea blanca o azul” 9. Se lanza un dado y se anota el resultado. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) A = “sale un tres”. b) B = “sale un número par” c) C = “sale un número mayor que 2” 10. Si se lanza un dado en forma de dodecaedro regular con las caras numeradas del 1 al 12, calcula la probabilidad de: a) A = obtener un 5. b) B = obtener un número par. c) C = obtener un número menor que 4. d) D = obtener un número comprendido entre 3 y 8. 11. Extrayendo una carta de una baraja española halla la probabilidad de: a) A = obtener un oro. b) B = obtener un rey. c) C = obtener una carta menor que 4. d) D = obtener una figura.

11.3. Experimentos compuestas. Son aquellos en los que se realizan varios experimentos juntos, o bien uno que se repite varias veces. Los experimentos pueden ser independientes (cuando el resultado de cada uno de ellas no depende del resultado de los demás) o dependientes (cuando el resultado de cada uno de ellos influye en las probabilidades de los siguientes) Para representar todos los posibles casos se utilizan los diagramas en árbol y las tablas de doble entrada o de contingencia.

12. Indica si los siguientes experimentos son simples o compuestos: a) Lanzar una moneda y elegir campo en un partido de fútbol. b) Sacar una carta de una baraja. c) Elegir al azar 2 temas de una oposición. d) Sortear un periquito. e) Lanzar un dado y si sale un número par lanzar una moneda y anotar el resultado. 13. Se lanzan 2 monedas y se anota el resultado. Representa los posibles casos en un diagrama en árbol y halla la probabilidad de: a) A = “se obtienen dos caras” b) B = “se obtienen dos cruces” c) C = “se obtiene una cara y una cruz” d) D = “se obtiene al menos una cara.” 14. Se sacan dos cartas de una baraja española. Representa los posibles casos en un diagrama en árbol y halla la probabilidad e los siguientes sucesos: a) A = “las dos cartas son reyes” b) B = “una de las dos es un rey” 15. Tenemos una bolsa con 3 bolas azules, 4 bolas rojas y 6 bolas verdes. Sacamos una bola, anotamos el resultado, la devolvemos a la bolsa, sacamos otra bola y anotamos el resultado. Ayudándote de un diagrama en árbol halla las probabilidad de los siguientes sucesos: a) A = “la primera bola es roja y la segunda azul” b) B = “la primara bola es azul y la según roja” c) C = “las dos bolas son azules” d) D = “las dos bolas son verdes” e) E = “ninguna de las dos es roja” f) F = “una es de cada color”

16. Tenemos una bolsa con 3 bolas azules, 4 bolas rojas y 6 bolas verdes. Sacamos una bola, anotamos el resultado, sacamos otra bola y anotamos el resultado. Ayudándote de un diagrama en árbol halla las probabilidad de los siguientes sucesos: a) A = “la primera bola es roja y la segunda azul” b) B = “la primara bola es azul y la según roja” c) C = “las dos bolas son azules” d) D = “las dos bolas son verdes” e) E = “ninguna de las dos es roja” f) F = “una es de cada color” 17. Se lanzan tres monedas. Calcula la probabilidad de: a) A = “tres caras” b) B = “ninguna cruz” c) C = “alguna cara” d) D = “dos cruces” e) E = “cara-cruz-cruz” f) F = “ cruz, cara, cruz” 18. Se sacan dos cartas de una baraja española. Representa los posibles casos en un diagrama en árbol y halla la probabilidad de: a) A= “las dos sean figuras” b) B = “ninguna de las dos sean figuras” c) C = “al menos una de ellas sea figura” 19. Lanzamos una moneda y a continuación un dado. Representa las posibles casos en una tabla de doble entrada y halla la probabilidad de obtener: a) A = “una cara y un 3” b) B= “un 2”, C =“una cruz”. 20. Tenemos tres urnas con bolas de los siguientes colores: {A,R,V}, {R,A,M} y {R, A}. Se extrae una bola de cada una de las urnas. a) Con un diagrama en árbol construye el espacio muestral. b) ¿Cuál es el suceso contrario a B = “no sacar ninguna bola azul? c) ¿Cuál es la probabilidad de C = “sacar una bola roja”? d) ¿Cuál es la probabilidad de D = “sacar al memos una bola roja”? e) ¿Cuál es la probabilidad de E = “sacar una bola de cada color”? 21. En una tabla de doble entrada anota los resultados de lanzar dos dados al aire y anotar la suma de sus puntos, e indica la probabilidad de: a) A = La suma es 5. b) B = La suma es menor que 4 c) C = Suman al menos 4. d) D = La suma es 13 e) E = La suma es 2 f) F = La suma es un número par.

22. Se lanzan dos dados y se anota el mayor número obtenido. Calcula la probabilidad de: a) A = Se anota 5 b) B = Se anota un número primo. c) C = El resultado es múltiplo de 2. d) D = Se anota 2. 23. Lanzamos dos dados y sumamos las puntuaciones. Escribe el espacio muestral ayudándote de una tabla de doble entrada y halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) A = “que la suma sea 5” b) B = “que la suma sea 10” c) C = “que la suma sea menor o igual que 8”. 24. Si se extraen tres cartas de una baraja española, calcula la probabilidad de: a) A = “tres ases” b) B = “al menos un as” c) C = “ningún as” 25. Una urna contiene tres bolas blancas y una negra y una segunda urna contiene una bola blanca y otra negra. Se saca una bola de la primera urna y se pasa a la segunda. Al extraer una bola de la segunda urna halla la probabilidad de: a) A = “ blanca” b) B = “negra” 26. En un centro escolar hay 900 alumnos y alumnas repartidos de la siguiente manera:

a) b) c) d) e) f)

Chicos

Chicas

Usan gafas

112

126

No usan gafas

280

382

Se elige al azar uno de ellos. Determina la probabilidad de: A = “sea chico” B = “sea chica” C = “tenga gafas” D = “no use gafas” E = “sea una chica sin gafas” F = “sea un chico con gafas”

11.4. Frecuencia y probabilidad. Sea una experiencia que se repite N veces. Frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que ha ocurrido ese suceso. Frecuencia relativa es el cociente entre le frecuencia absoluta y el número de veces que se ha realizado la experiencia.

Ley de los grandes números: al repetir muchas veces una experiencia aleatoria la frecuencia relativa de un suceso toma valores parecidos a su probabilidad, es decir, para valores muy grandes de N, se tiene que fr ( A)  P( A)

27. Dejamos caer 1000 chinchetas y caen 310 con la punta hacia arriba y 690 con la punta hacia abajo. a) Da la frecuencia absoluta y relativa de ambos sucesos. b) Asigna probabilidades a ambos sucesos. 28. En una compañía de seguros de coches hay 20000 asegurados. De ellos 1400 han tenido algún accidente y 8500 son de mujeres. Di cuál es la probabilidad de los sucesos A = “tener accidente” y B= “ser hombre”. 29. Observando a un jugador de baloncesto hemos contado 187 canastas y 85 fallos. ¿Qué probabilidad le asignaremos al suceso “acertará en el próximo lanzamiento”?

Más ejercicios:

1. Se escoge al azar una letra de la palabra PROBABILIDAD. Indica la probabilidad del suceso A =”sea la letra A” y del suceso B =”sea una consonante”.

2. Halla la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja española salga: 1º) Una sota 4º) El tres de oros

2º) Una figura que no sea rey 5º) Una figura de copas

3º) Rey o as. 6º) Oros y rey.

3. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules. Calcula la probabilidad de que no sea blanca. 4. Calcula la probabilidad de que la primera bola extraída en la Lotería Primitiva sea: d1) Un número de una sola cifra d2) Un número mayor que 25. 5. En una urna hay tres bolas blancas, dos azules y cuatro rojas. Halla la probabilidad de que al sacar una de ellas sea: a) Roja b) Blanca c) Azul 6. Se pide a dos amigos que escriban, por separado, un número de una cifra. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos escriban el mismo número? 7. De una bolsa que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10, se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea impar b) Sea mayor que 5 c) No sea el 5 8. En una urna hay tres bolas blancas, dos azules y cuatro rojas. Halla la probabilidad de que al sacar una de ellas: a) no sea roja. b) sea roja y azul. 9. Una urna contiene 8 bolas blancas. Al sacar una bola al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? ¿Por qué? 10. Una moneda está trucada de manera que se ha estimado de P(cara) = 0,45. ¿Cuál es P(cruz)? Razona la respuesta. 11. Un dado está trucado y de manera experimental se ha estimado que P(1)=0’15, P(2)=0’2, P(3)=0’15, P(4)=0’15 y P(5)=0’2 ¿Cuál es P(6)? 12. Si tenemos un octaedro regular con las caras numeradas de 1 al 18, y lo lanzamos. Halla la probabilidad de obtener: a) un 2 b) un número par c) un número primo. 13. Se lanza un dado dos veces consecutivas. Con la ayuda de una tabla de doble entrada halla la probabilidad de: a) Obtener el mismo resultado en ambas tiradas. b) Que la suma de los puntos obtenidos sea 4. c) Que los puntos obtenidos en ambas tiradas sean impares 14. Lanzamos dos dados y anotamos la diferencia entre la mayor y la menor puntuación. Ayudándote de una tabla determina el espacio muestral y la probabilidad de que el resultado sea 0, que sea 5 y que sea como máximo 3.

15. Un feriante tiene las ruletas siguientes:

a) Si el ángulo α=90°. ¿qué ruleta es mejor para obtener un 1? ¿Por qué? b) Para que en las dos ruletas la probabilidad de obtener 1 sea igual ¿cuánto debe medir α? 16. En un centro escolar hay 1000 alumnos y alumnas repartidos de la siguiente manera: CHICOS CHICAS HACEN DEPORTE

368

135

NO HACEN DEPORTE

147

350

Se elige al azar uno de ellos. Determina la probabilidad de que: a) Sea chico b) Sea chica c) Haga deporte d) Sea chica deportista 17. En una empresa hay 200 empleados de los que el 45% son hombres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. Si elegimos un trabajador al azar determina la probabilidad de que: a) Sea hombre. b) Sea mujer fumadora. 18. Lanzamos dos monedas. A partir de un diagrama en árbol, escribe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: a) Sacar dos resultados iguales. b) Obtener una cara y una cruz. c) Obtener al menos una cruz. 19. Lanzamos tres monedas. A partir de un diagrama en árbol, escribe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: a) Sacar tres resultados iguales. b) Obtener dos iguales y uno diferente. c) Obtener al menos una cruz. 20. Se considera la experiencia aleatoria lanzar tres veces una moneda. Escribe el espacio muestral y la probabilidad del suceso A = “obtener una cara y dos cruces”. 21. Una bolsa contiene tres bolas con las letras A, R y O. Se extraen las tres bolas por orden. Escribe el espacio muestral y la probabilidad de los sucesos: P = “obtener como primera letra una vocal” y Q = “obtener una palabra cuyas dos últimas letras sean vocales” 22. Se lanzan al aire tres monedas (una de 2 céntimos, otra de 5 céntimos y la tercera de 20 céntimos). Escribe el espacio muestral y halla la probabilidad de: a) Obtener dos caras y una cruz b) Obtener una cara y dos cruces c) Obtener todo caras d) Obtener más caras que cruces

23. Una familia tiene 4 hijos. Se supone que la probabilidad de que nazca una niña es la misma de que nazca un niño. Calcula la probabilidad de que: a) Haya tantas niñas como niños b) Haya al menos una niña 24. En una bolsa hay 1500 bolas. Se sabe que solo las hay rojas y negras, pero se desconoce el número de ellas. Se extraen 20 de ellas al azar y resultan ser 15 rojas y 5 negras. ¿Cuántas bolas de cada color podemos estimar que había en la bolsa? 25. En una bolsa hay 950 bolas negras y un número indeterminado de bolas blancas. Se extraen 25 bolas y resultan ser 10 negras y el resto blancas. ¿Cuántas bolas blancas podemos estimar que hay en la bolsa? 26. Se lanzan una moneda y un dado. Halla la probabilidad los siguientes sucesos: a) Obtener una cara y un número mayor que 3. b) Obtener un número menor que 3. c) Obtener una cara. 27. Se lanza una moneda 4 veces. Ayudándote de un diagrama en árbol halla: a) P(1 cara b) P(2 cara) c) P(3 caras) d) P(4 caras) 28. Un dado “para quinielas” tiene tres unos, dos equis y un 2. Lo tiro dos veces. Halla la probabilidad de obtener: a) En el primer lanzamiento un 2 y en el segundo un 1 b) Un 1 y una X c) Ninguna X d) Dos unos 29. En una partida de parchís, ¿qué probabilidad tenemos de empezar a jugar en la primera tirada? 30. En una clase de 4º ESO hay 30 alumnos, de los que 23 son morenos y 7 rubios. De los morenos 13 son chicas, y entre los rubios 4 son chicas. a) Representa los datos anteriores en una tabla de doble entrada. b) Si se elige el delegado/a al azar, calcula la probabilidad de que sea: i. Chico ii. Moreno/a iii. Una chica rubia iv. Un chico moreno. 31. En una piscina están nadando 9 chicos y 11 chicas. 5 chicos y 3 chicas lo hacen de espaldas. Si elegimos una persona al azar, halla la probabilidad de: a) Sea chico b) Sea una chica c) Nade de espaldas d) Sea una chica que nade de espalda.

32. Un bombo tiene 3 bolas numeradas del 1 al 3, y otro 4 bolas numeradas del 1 al 4. Se saca una bola del primer bombo y a continuación una del segundo. Halla la probabilidad de: a) Salga el número 34. b) Salga un número mayor que 15. c) Salga un número menor que 30. 33. En una bolsa hay 6 tomates verdes, 4 tomates rojos, 3 limones y 5 naranjas. Sacamos una pieza al azar. Halla la probabilidad de: a) Sacar un tomate verde. b) No sacar un tomate. 34. En un estudio clínico se obtuvieron los siguientes resultados:

Se elige a un paciente al azar para controlar su salud. ¿Cuál es la probabilidad de que…? a) A = “el resultada del tratamiento haya sido positivo” b) B = “haya seguido una terapia conductual” c) C = “el resultado haya sido positivo si se ha tratado con fármacos” d) D = “no le ha funcionado el psicoanálisis” e) E = “se ha curado usando una terapia conductual” 35. En una clase hay 12 chicas y 16 chicos. Se eligen dos personas al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos sean chicas. b) Los dos sean chicos. c) Sean una chica y un chico. 36. En una urna hay 5 bolas rojas y 4 negras. Sacamos una bola y sin devolverla a la urna sacamos otra. Calcula la probabilidad de que: a) Ambas sean de distinto color. b) Ambas sean del mismo color. c) Las dos sean rojas. 37. Se lanzan dos dados. Halla la probabilidad de que la suma de sus puntos sea 9, que sea menor que 6 y que sea mayor que 4. 38. De una baraja se sacan dos cartas. Halla la probabilidad de sacar dos copas; una copa y otra que no lo sea; primero una copa y la segunda no copa. 39. Andrea tiene 5 monedas de 5 céntimos, 4 de veinte y 2 de un euro. Si coge dos al azar, halla la probabilidad de: a) A = “las dos son de 5 céntimos” b) B = “ninguna sea de un euro” c) C = “una sea de veinte céntimos y la otra de un euro” d) D = “saque más de 2,40€”

40. La probabilidad de elegir un estudiante de la facultad 1 es 0,5 y de elegirlo de las facultades 2 y 3 es 0,25. Además la probabilidad de elegir una mujer es 0,6 y hombre 0,4. Se elige un estudiante al azar. A partir del siguiente diagrama calcula:

a) b) c) d)

A = “elegir mujer” B = “elegir hombre” C = “elegir una mujer de la primera facultad” D = “elegir un estudiante de la 2ª facultad”

41. Utilizando los datos de http://www.ciudadrodrigo.net/. PUENTE DEL PILAR 2014 Viernes Sábado Domingo Nacional

383

Internacional 4

Lunes

TOTAL

458

619

487

1.947

198

186

33

421

Total 387 656 805 520 2.368 Si se elige un visitante al azar, halla las siguientes probabilidades: a) A = “Es español” b) B = “ Visitó Ciudad Rodrigo el sábado” c) C = “Es extranjero sabiendo que vino el domingo” d) D = “Es español y vino el lunes” 42. Los atletas de dos clubs de atletismo están distribuidos de la siguiente forma: Club A Club B Velocistas 34 15 Saltadores 17 25 Fondistas 24 45 Elegimos al azar un deportista para portar la antorcha olímpica, calcula las probabilidades de: A = “pertenece al club A” B = “es velocista” C = “es un saltador del club B” D = “ es un fondista del club A” 43.