TEMA 17: PROBABILIDAD Probabilidad de un suceso aleatorio es un numero entre 0 y 1 (más cerca del 0, mas difícil que ocurra. Más cerca del 1 más fácil que ocurra).

Suceso seguro: Su probabilidad es 1. Ejemplo: Puntuación mayor de 0 al lanzar un dado.

Suceso imposible (Ø): Su probabilidad es 0. Ejemplo: Obtener un 7 al lanzar un dado.

Sucesos equiprobables: Dos sucesos con la misma facilidad de ocurrir. Ejemplo: Sacar un dos o un cuatro al lanzar un dado.

Sucesos no equiprobables: Dos sucesos que no tienen la misma facilidad de ocurrir. Ejemplo: Sacar como suma siete puntos y dos puntos al lanzar dos dados.

COMBINATORIA La combinatoria estudia las agrupaciones de elementos.

Conceptos Combinatoria Población (m): Numero de elementos en estudio de un conjunto.

Muestra (n): Subconjunto de la población.

Orden  si importa el orden de los elementos Tipos de Muestra Repetición  si se pueden repetir elementos (Reemplazamiento)

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Factorial de “n” (n!): Producto de n factores desde n hasta 1. n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x...... x 3 x 2 x 1 Ejemplos: 0!= 1

1!=1

2!=2x1=2

3!=3x2x1=6 .....

Variaciones (Vm,n): ordinarias de m elementos tomados de n en n (m≥n).  

Importa el orden No hay repetición m!

Ejemplo: V6,3 = 6! / (6-3)! = 6x5x4x3! / 3! = 120

Vm,n = (m-n)!

Variaciones con Repetición (VRm,n): de m elementos tomados de n en n.  

Importa el orden Si hay repetición

VRm,n = mn

Ejemplo: VR5,3 = 53 = 125

Permutaciones (Pn): de m elementos (m=n) son las diferentes agrupaciones de esos m elementos.  

Importa el orden No hay repetición

Pn = n!

Ejemplo: P5 = 5!

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Permutaciones con Repetición (PRm a,b,c..): de m elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces,.... son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos.  

Importa el orden Si hay repetición Ejemplo: PR12 6,4,2= 12!/6!x4!x2!

Pn

PRm a,b,c..=

a! x b! x c! x .....

Combinaciones (Cm,n): de m elementos tomados de n en n de todas las agrupaciones con los mismos.  

No importa el orden No hay repetición m!

Ejemplo: C3,2 =3! / 2! x (3-2)! = 3

Cm,n = n! (m-n)!

Combinaciones con Repetición (CRm,n): Son los grupos formados por m elementos tomados de n en n.  

No importa el orden Si hay repetición

(n+m-1)!

Ejemplo: CR5,4 =(4+5-1)!/ 4!(5-1)!=8!/4!x4!

CRm,n = n! (m-1)!

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EJERCICIOS EJEMPLO COMBINATORIA EJERCICIO 1: Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de cuatro cifras distintas se podrán formar de modo que acaben en cifra par? Solución: Los números han de acabar en 4 ó 6, luego hay 2 opciones: _ _ _ 4 _ _ _ 6 En cada uno de estos dos casos hay tres espacios que hemos de llenar con cuatro cifras. Por influir el orden y no poderse repetir las cifras, tendremos: 2 · V4,3 = 2 x 24 = 48. Se pueden formar 48 números de cuatro cifras que acaben en cifra par.

EJERCICIO 2: Ocho ciclistas van por el carril bici en fila. ¿De cuántas formas pueden ir ordenados? Solución: El orden en la fila influye. P8 = 8! = 40320. Se pueden colocar de 40320 formas distintas.

EJERCICIO 3: Para formar un equipo de pádel se necesitan 4 jugadores y un entrenador, que se deben elegir de entre un grupo de 10 jugadores y 3 entrenadores. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar? Solución: El orden, a la hora de elegir 4 jugadores, no influye. Formas de elegir a los jugadores C10,4 = 210 elecciones. Formas de elegir a los entrenadores  3 formas Por cada entrenador, tengo 210 maneras de elegir a los jugadores. Como hay 3 entrenadores, en total tendré 3 x 210 = 630 equipos.

EJERCICIO 4: Para hacer una transferencia bancaria, Marta tiene que teclear una clave de acceso que consta de 8 cifras con los dígitos 0 y 1. ¿Cuántas claves distintas puede formar? Solución: Para formar un código de ocho cifras con los dígitos 0 y 1, estos se han de repetir; además, el orden influye: VR2,8 = 28 = 256. Luego Marta puede formar 256 claves distintas.

EJERCICIO 5: En una carrera organizada en un centro escolar participan los 6 finalistas de 4º ESO. ¿De cuántas formas distintas pueden llegar a la meta? Solución: P6 = 6! = 720  Pueden llegar de 720 formas distintas

EJERCICIO 6: ¿De cuántas formas se pueden repartir 4 bocadillos distintos entre 4 amigos, si cada uno debe recibir solo uno? Solución: P4  4!  24  Se pueden repartir de 24 formas.

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1. SUCESOS. OPERACIONES CON SUCESOS Espacio Muestral (E): Conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.

Sucesos elementales: Resultados del experimento aleatorio. Ejemplo: Observar el color de los ojos de la primera persona que te encuentras al salir de casa. E = {negros, marrones, grises verdes, azules}  No son equiprobables Sucesos elementales

Suceso compuesto: Conjunto formado por uno o varios sucesos elementales. Ejemplo: A = {negros, marrones} _ Suceso contrario (A): Suceso que se verifica cuando no se realiza A. Ejemplo: A = {2,4,6,8}

A = {1,3,5,7}

Suceso Unión (∪): Suceso que se verifica cuando se realiza un suceso u otro o ambos a la vez. Ejemplo:

A = {2,4,6,8} (A ∪ B) = {2,4,6,7,8} B = {2,7}

Suceso Intersección (∩): Suceso que se verifica cuando se realizan dos sucesos a la vez. Ejemplo:

A = {2,4,6,8} (A ∩ B) = {2} B = {2,7}

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2. PROBABILIDAD. PROPIEDADES Regla de Laplace: La probabilidad de que se verifique un suceso A de un experimento aleatorio con todos sus sucesos elementales equiprobables viene dada por: Numero casos favorables suceso A P(A)= Numero de casos posibles

_ Probabilidad del suceso contrario: P(A) + P(A) = 1 _ _ P(A) = 1 – P(A) P(A) = 1 – P(A)

Probabilidad de la Unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Probabilidad de la Intersección: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

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3. PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS Un experimento es compuesto cuando esta formado por varios experimentos simples. Para calcular la probabilidad de un experimento compuesto se multiplican las probabilidades del camino a seguir de las ramas del diagrama de árbol.

4. PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad del suceso A condicionado al suceso B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.

P(A ∩ B) P(A/B) = P(B)

Sucesos Independientes: Dos sucesos A y B son independientes cuando para que ocurra uno no influye que haya ocurrido el otro. P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Sucesos Dependientes  P(A ∩ B) ≠ P(A) x P(B)

5. PROBABILIDAD TOTAL Es la suma de las probabilidades de las ramas de un diagrama de árbol que recorre un suceso.

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