Tema 3. Guías de Onda y Líneas de Transmisión y

3.1 Introducción

x

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM 3.3 La guía de planos paralelos 3.4 La guía rectangular 3.5 La guía de onda circular 3.6 El cable coaxial 3.7 Líneas planares 3.8 Comparación entre distintos tipos de líneas y guías

José A. Pereda, Dpto. Ingeniería de Comunicaciones, Universidad de Cantabria

1

Bibliografía Básica para este Tema: [1] D. M. Pozar, “Microwave Engineering” , 3ª Ed, Wiley, 2005. [2] R. Neri, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill, México, 1999. [3] D. K. Cheng, “Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería”, Addison-Wesley Longman de México, 1998

Pozar  Tema 3 Neri  Tema 4 Cheng  Tema 9

2

3.1 Introducción - En los temas anteriores hemos estudiado las líneas de transmisión partiendo de un enfoque circuital - En este tema complementaremos el estudio abordando las líneas de transmisión desde un punto de vista electromagnético - Además extenderemos la idea de línea de transmisión al de guía de onda, estudiando los principales tipos - Antes de comenzar con el estudio detallado de los principales tipos líneas y guías, haremos un estudio general de las soluciones de las ecs de Maxwell en medios de transmisión uniformes

3

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Ecuaciones de Maxwell del rotacional en coordenadas cartesianas:

    E   jH

E z E y    jH x y z E x E z    jH y z x E y E x    jH z x y

    H  jE

(1.a) (1.b) (1.c)

H z H y  jE x (1.d)  z y H x H z   jE y (1.e) z x H y H x   jE z (1.f) x y

4

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Buscamos soluciones de la forma - Entonces

F ( x, y, z )  F ( x, y )e z

 F ( x, y, z )   F ( x, y )e z z

- Utilizando este resultado y simplificando los factores

E z   E y   jH x (2.a) y E z  Ex   jH y (2.b) x E y E x   jH z (2.c)  y x

e z queda:

H z   H y  jE x (2.d) y H z  jE y (2.e)  Hx x H y H x  jE z (2.f)  y x

- En estas ecs. los campos sólo dependen de las coordenadas x e y 5

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - A partir de las ecs. anteriores, podemos expresar las componentes transversales en función de las longitudinales:

H z  1  E z  j E x  2   y kc  x

 H z  E z 1   (3.c)  (3.a) H x  2  j  kc  y x  

H z  1  E z  j E y  2   x kc  y

 1  E z H z   (3.d)  (3.b) H y  2  j  kc  x y  

- donde

k  k  2 c

2

2

con

k    

 c

r r

- Basta conocer las componentes longitudinales (Ez, Hz) para determinar el resto. - Para calcular Ez y Hz resolveremos las ecs. de Helmholtz 6

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Podemos clasificar el tipo de ondas (modos) que puede haber en una guía de ondas según la existencia de Ez y/o Hz : 1. Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM). E z  0; H z  0 - Sólo tienen componentes de campo transversales a la dirección de propagación z. 2. Ondas Transversales Eléctricas (TE). E z  0; H z  0 - El campo eléctrico es transversal a la dirección de propagación z. - También se llaman modos H o TEz 3. Ondas Transversales Magnéticas (TM). E z  0; H z  0 - El campo magnético es transversal a la dirección de propagación z. - También se llaman modos E o TMz 4. Modos Híbridos Electromagnéticos (HEM).

E z  0; H z  0

- También se llaman modos EH y HE 7

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM):

E z  0; H z  0

- Es condición necesaria para que existan modos TEM es que al menos haya 2 conductores - Si hacemos Ez = 0 y Hz = 0 en las ecs (3) todas las componentes serían nulas, al menos que kc = 0. - Si Ez = Hz = kc = 0, obtenemos indeterminaciones en (3), por lo que debemos volver a las ecs. (2a-2b) y (2d-2e), que se reducen a

 E y   jH x

  H y  jE x

 E x  jH y

  H x  jE y

- Estas ecs. se pueden poner vectorialmente:

  1 H ( x, y )  zˆ  E ( x, y )



  

- Es la misma relación que para una onda plana en el espacio libre 8

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Reordenando las ecs. escalares

 E y   jH x

 H y  jE x

 H x   jE y

 E x  jH y

- Escribiendo la primera pareja en forma matricial

   j 

j   E y  0         H x  0 

- Para que exista solución distinta de la trivial

 j

- donde

j



0

 2   2   0

     k

  j con   R  2  k 2

- La cte de propagación de un modo TEM en una línea de transmisión es igual a la de una onda plana en el dieléctrico que rellena el espacio - Si el dieléctrico o los conductores tienen pérdidas, entonces la cte 9 de propagación es compleja

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Para calcular los campos consideramos la ec. de Helmholtz. - Por ej. para Ex tenemos

 2 2 2 2  2  2  2  k  E x ( x,y,z )  0 y z  x 

 2 Ex 2 z 2 z - Teniendo en cuenta que   E x y e   k E x y e ( , ) ( , ) x x z 2  2 2   E ( x,y )  0 - y sustituyendo arriba, queda  2  2  x  x y   - Para el resto de las componentes se obtiene el mismo resultado, por lo que podemos poner

 2 2  2  2 y  x

  E ( x,y )  0 

 2 2  2  2 y  x

  H ( x,y )  0 

- Los campos de un modo TEM verifican la ec. de Laplace, por tanto son los mismos que en el caso estático 10

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - En consecuencia, el campo eléctrico deriva de un potencial escalar que también verifica la ec de Laplace 2 2

  con   2  2 x y

  ( x,y )  0

2 t

2 t

- La tensión entre los 2 conductores se puede calcular al partir de la expresión  2 

V1  V 2   1   2 



1

E d

- y la corriente a partir de la ley de Ampere

I 

C

C V1

V2

  H  d  E H

11

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - La impedancia de onda para un modo TEM vale

Ey Ex j  Zw        Hy Hx

  

- La impedancia de onda es igual que la impedancia intrínseca del medio.

12

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM Modos TEM (RESUMEN) - Los pasos a seguir para obtener la solución TEM se resumen en: 1. Ec. de Laplace para  (x,y )

  ( x,y )  0 2

2. Campo eléctrico transversal

 E ( x, y )   t  ( x, y )

3. Campo eléctrico total

  E ( x , y , z )  E ( x , y ) e  j z

4. Campo magnético

  1 H ( x, y, z )  zˆ  E ( x, y, z )



5. Tensión y corriente

V1  V2  

2

1

  E  d ;

I 

C

  H  d

6. Impedancia característica

Z0  V I 7. Cte de fase y velocidad de fase

   

vp  1



8. Impedancia de onda

Zw     

“Existe una analogía entre las ondas TEM de una línea de transmisión y las ondas planas en el espacio libre” 13

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Ondas Transversales Eléctricas (TE): - También se llaman modos H.

E z  0; H z  0

- Pueden existir tanto en guías formadas por un único conductor como por varios - Las expresiones para calcular las componentes longitudinales se reducen a

j H z Ex   2 ; kc y

j H z Ey   2 ; kc x - Para estas ondas

Hx   Hy  

 H z

k

2 c

x

 H z k

2 c

y

; ;

kc  0

- La cte de propagación

  kc2  k 2

- es función de la frecuencia y de la geometría de la guía

14

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Para obtener Hz debemos resolver la ec de Helmholtz:

 2  2 2  2  2  2  k 2  H z ( x,y,z )  0 z y  x  - Teniendo en cuenta que H z ( x, y, z )  H z ( x, y )e z queda  2  2   2 2  k  H z ( x,y )  0  x 2  y 2    2 kc   - Esta ec. debe resolverse junto con las condiciones de contorno - La impedancia de onda para modos TE vale

Ey Ex j   Zw  Hy Hx  15

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Ondas Transversales Magnéticas (TM):

E z  0; H z  0

- También se llaman modos E. - Pueden existir tanto en guías formadas por un único conductor como por varios - Las expresiones para calcular las componentes longitudinales se reducen a

Ex   Ey  

 E z

kc2 x

 E z k

2 c

y

j E z kc2 y

;

Hx  

;

j E z Hy   2 kc x

-Al igual que para los modos TE, en esta caso propagación 2 2

kc  0 y la cte de

  kc  k

es función de la frecuencia y de la geometría de la guía 16

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM - Para obtener Ez(x,y) debemos resolver la ec de Helmholtz:

 2 2 2  2  2  kc  E z ( x,y )  0 y  x  - Esta ec. debe resolverse junto con las condiciones de contorno - La componente Ez total queda

E z ( x, y, z )  E z ( x, y )e z - La impedancia de onda para modos TM vale

Ey Ex    Zw  Hy H x j 17

3.2 Soluciones generales para ondas TEM, TE y TM Modos TE y TM (RESUMEN) - Los pasos a seguir para obtener los modos TE y TM: 1. Resolución de la ec. de Helmholtz para el campo longitudinal

  k  E ( x,y)  0   k  H ( x,y)  0 2 t

2 t

2 c

2 c

z

para modos TM

z

para modos TE

- La solución contendrá varias ctes y el valor de kc a determinar en el paso 3 2. Cálculo de los campos transversales 3. Aplicación de las cond. de contorno para determinar las ctes de la solución general y kc 4. Obtención de la cte de propagación, impedancia de onda, etc…

  kc2  k 2

Zw 

 para modos TM j

Zw 

j



para modos TE 18

3.3 La guía de planos paralelos (Pozar 3.2) - Consideramos una guía de onda formada por dos planos conductores mutuamente paralelos, separados una distancia d

yd y

, 

d

z

x

y0 w - Suponemos que los campos no varían según x

F ( y , z )  F ( y )e

 z

 0 x

- Esta guía soporta un modo TEM y además modos TE y TM

19

3.3 La guía de planos paralelos - Modos TEM

E z  0; H z  0

- Resolvemos la ec. de Laplace para el potencial electrostático:

 2 2  2  2 y  x

  ( x,y )  0 

- No hay variación con x:

yd y

, 

d

y0

 ( y) 0 2 y 2

x

z

x0

- Como cond. de contorno suponemos  (0)  0 y

w

xw

 (d )  V0

- La solución general de la ec es  ( y )  A  By con A, B  ctes - Aplicando las cond. de contorno queda

 ( y )  V0 y d 20

3.3 La guía de planos paralelos - El campo eléctrico transversal vale

   ˆ E ( x, y )   t  ( x, y )   x yˆ  V0 d  yˆ x y

- y el campo eléctrico total:

  E ( x, y, z )  E ( x, y )e  jz  V0 d  e  jz yˆ

     k

- El campo magnético es

  V0  jz 1 H ( x, y, z )  zˆ  E ( x, y, z )  e xˆ  d y

x

- La velocidad de fase resulta

vp     1

 21

3.3 La guía de planos paralelos - La tensión entre placas es V  V0 e  jz - La corriente que circula por uno de los conductores vale

I 

C

  xw Vw H  d    H x dx  H x w  0 e  jz x 0 d C

 H

y

x

w

- La impedancia característica de la línea resulta

Z0 

V d  I w 22

3.3 La guía de planos paralelos - Modos TM

E z  0; H z  0

- Comenzamos resolviendo la ec. de Helmholtz para Ez :

- donde k c  k   2

2

 2 2  2  kc  E z ( y )  0   y

2

es el número de onda de corte.

- La solución general es de la forma:

E z ( y )  A sin(kc y )  B cos(kc y )

- Para determinar las ctes A y B aplicamos las cond. de contorno:

E z (0)  0  A sin(kc 0)  B cos(kc 0)  0  B  0 E z (d )  0  A sin(kc d )  0  kc d  n con n  0,1,2... - Por tanto el número de onda de corte sólo puede tomar valores discretos dados por

n kc  con n  0,1,2,... d

23

3.3 La guía de planos paralelos - Una vez conocido kc podemos determinar la cte de propagación

  k k  2 c

2

 

n 2 d

k

2

(Relación de Dispersión)

- La solución para Ez queda:

E z ( y, z )  An sin( nd y )e z - y los campos transversales

Ey  

 E z

  An



cos( nd y )e z

kc2 y kc j E z j Hx   2  An cos( nd y )e z kc y kc  E z Ex   2 0 kc x j E z Hy   2 0 kc x

24

3.3 La guía de planos paralelos - Hemos obtenido una familia infinita de modos. Para distinguirlos, añadiremos el subíndice “n” al nombre: TM  TMn - Modo TM0: - Para n = 0

  j   

Ez  0

y

- Ey y Hx son ctes (no varían con y) - En conclusión el modo TM0 es el mismo que el modo TEM

d

12

TEM (TM0)

10 8

Diagrama de dispersión

6 4 2 0

0

2

4

6

8

10

12

kd

25

3.3 La guía de planos paralelos - Modo TMn (n >= 1): - En este caso la cte de propagación vale - Se pueden dar los siguientes casos: 1-

  kc2  k 2 

 nd 2  k 2

kc  k    R     (la cte de propagación es real) - Entonces los campos son de la forma

F ( y , z )  F ( y ) e z

- Los campos se atenúan exponencialmente con z, es decir, no hay propagación (ondas evanescentes) 2-

k  kc    I    j (la cte de propagación es imaginaria)

  k 2  kc2  k 2   nd 

2

- En este caso, los campos representan ondas viajeras

F ( y , z )  F ( y ) e  j z - Sí hay propagación de energía en la guía. 26

3.3 La guía de planos paralelos - En la frontera de los dos casos anteriores se verifica:

k  kc

- A partir de esta condición podemos obtener la frecuencia a partir de la cual habrá propagación y que llamaremos frecuencia de corte

2f c

nπ   d

fc 

n

2d 

- La frecuencia de corte depende de las dimensiones de la guía y de los materiales que la rellenan - Para frecuencias f  f c el modo N0 se propaga y se denomina modo evanescente o modo en corte - Para frecuencias

f  f c el modo SI se propaga

- Para un modo propagante, la longitud de onda se define como

g  2  - Se puede comprobar que

g    2 k

- También se define la longitud de onda de corte como c

 2 kc 27

3.3 La guía de planos paralelos - Diagrama de dispersión para los modos TM

d  12

d 

n 2  kd 2 kd 2  n 2

TEM (TM0) TM1

10

TM2

8

TM3

6

4

2

0 0

2

4

6

8

10

12

kd

28

3.3 La guía de planos paralelos - La impedancia de onda para los modos TM vale

  Zw   H x j Ey

- que es real para modos propagantes e imaginaria para modos en corte - La velocidad de fase

 vp   - es función de la frecuencia. - Se puede ver que la velocidad de fase del modo es mayor que la velocidad de la luz en el medio  k ya que   k

29

3.3 La guía de planos paralelos - El valor medio temporal de la potencia que atraviesa la sección transversal de la guía es …

  1 P  Re  S  ds S 2

  * - donde S  E  H es el vector de Poynting complejo - por tanto w 1 P  Re  x 0 2

 * w 1 y 0 ( E  H )  zˆ dxdy   2 Re x0 d



d

y 0

E y H x* dxdy

- Los campos valen

  E   An cos( nd y )e z yˆ kc

 j H  An cos( nd y )e z xˆ kc 30

3.3 La guía de planos paralelos - luego w 1 P   Re  x 0 2

w y 0 E y H dxdy | An | 2kc2 d

* x

2



d

y 0

cos 2 ( nd y ) dy

- Integrando resulta

wd P  | An | 4kc2 2

para n  0

- Si el modo se propaga, la potencia media temporal es real - Por el contrario, si el modo es evanescente la potencia media es cero. Un modo evanescente no transporta potencia.

31

3.3 La guía de planos paralelos - Modos TE E z  0; H z  0 - El proceso a seguir para obtener la solución para los modos TE es análogo al seguido para los modos TM.

32

- Ejemplo 1: Una onda electromagnética se propaga entre dos placas paralelas separadas 5 cm entre sí. La frecuencia de la onda es 8 GHz. ¿Cuántos modos distintos hay propagándose en la guía?. ¿Cuánto vale la longitud de onda de cada modo? Neri Ej. 4-5 Solución: - Se propagarán aquellos modos cuya frecuencia de corte sea menor de 8 GHz

 0 , 0

d  5 cm

- El modo TEM se propagará, ya que no tiene frecuencia de corte - Para los modos TEn y TMn la frecuencia de corte viene dada por

  k k  k  2

2 c

2



n 2 d

- n = 1 (TE1 y TM1): f c ,1  - n = 2 (TE2 y TM2): f c , 2

0

2f c ,n c

nπ  d

f c ,n

nc  2d

c  3 GHz  8 GHz (se propagan) 2d

c   6 GHz  8 GHz (se propagan) d

33

- n = 3 (TE3 y TM3): f c ,3 

3c  9 GHz  8 GHz (no se propagan) 2d

- En resumen, se propagan los modos TEM, TE1, TM1, TE2 y TM2 - La longitud de onda de cada modo vale

g 

2





2 k k 2

- Modo TEM:  g , 0 

2 c



2  2f   2f c      c c     2

2



c f 2  f c2

c  3.75 cm (es igual a la longitud de onda en f el medio que rellena la guía)

- Modos TE1 y TM1:  g ,1  - Modos TE2 y TM2:  g , 2 

c f f 2

2 c ,1

 4.045 cm

c f f 2

2 c,2

 5.669 cm 34

3.4 La guía de onda rectangular (Pozar 3.3) - Consideramos una guía de onda de sección rectangular de dimensiones a x b, de contorno conductor y rellena de un material homogéneo.

b

, 

y z

x

a

35

3.4 La guía de onda rectangular - Modos TE: E z  0; H z  0 - Comenzamos resolviendo la ec. de Helmholtz para Hz :

 2 2 2  2  2  kc  H z ( x,y )  0 y  x  - Para resolver la ec. anterior aplicamos el método de separación de variables

H z ( x,y )  X ( x)Y ( y )

- sustituyendo esta solución en la ec. de Helmholtz resulta

1 d 2 X 1 d 2Y 2   k c 0 2 2 X dx Y dy - La expresión obtenida es de la forma f ( x)  f ( y )  cte  0 - Para que se verifique, tanto f(x) como f(y) deben ser constantes 36

3.4 La guía de onda rectangular - Introducimos las nuevas constantes kx y ky:

1 d 2 X 1 d 2Y 2   k c 0 2 2 X d x Y dy    2  k x

  k y2

- Entonces podemos poner

d2 X 2  k x X  0; 2 dx

d 2Y 2  k yY  0 2 dy

- que son dos ecs. diferenciales ordinarias de tipo armónico. - Además, se obtiene la ec. de separación

kc2  k x2  k y2

- Por tanto, la solución general para Hz es





H z ( x, y )  A cos(k x x)  B sin(k x x) C cos(k y y )  D sin(k y y )     X ( x)

Y ( y)

- donde A, B, C y D son ctes complejas a determinar a partir de las condiciones de contorno. 37

3.4 La guía de onda rectangular - Suponiendo que las paredes de la guía son conductores eléctricos perfectos, las condiciones de contorno son: E x ( x, b )  0

E x ( x, y )  0 en y  0, b E y ( x, y )  0 en x  0 , a

y

E y ( a, y )  0

E y (0, y )  0

b

E x ( x,0)  0

z

x

a

- Para aplicar estas condiciones, primero debemos determinar Ex y Ey a partir de Hz, esto es

j H z ( x, y ) ; E x ( x, y )   2 kc y j H z ( x, y ) ; E y ( x, y )   2 kc x 38

3.4 La guía de onda rectangular - Para Ex se obtiene

j E x   2 k y A cos(k x x)  B sin( k x x)  C sin( k y y )  D cos(k y y ) kc





- Ahora aplicamos las condiciones de contorno

E x ( x ,0 )  0  

j k y A cos(k x x)  B sin( k x x)D  0  D  0 2 kc

j k y A cos(k x x)  B sin( k x x) C sin( k y b)  0 E x ( x, b )  0  2 kc





- de esta condición se deduce sin( k y b)  0 , luego

n ky  con n  0,1,2,... b 39

3.4 La guía de onda rectangular - Para Ey se obtiene

j E y   2 k x  A sin( k x x)  B cos(k x x) C cos(k y y )  D sin( k y y ) kc





- Aplicamos las condiciones de contorno análogamente al caso de Ex:

E y (0, y )  0  B  0 E y ( a, y )  0  k x 

m con m  0,1,2,... a

- En conclusión, los modos TE forman una familia doblemente infinita que denotaremos como TEmn (m = 0,1,2,… y n = 0,1,2,…) - El modo TE00 no existe ya que tiene todas las componentes transversales de campo son nulas

40

3.4 La guía de onda rectangular - Recopilando los resultados anteriores podemos poner

H z ( x, y, z )  Amn cos( ma x) cos( nb y )e  mn z j n  mn z m n cos( x ) sin( y ) e a b kc2,mn b j m sin( ma x) cos( nb y )e  mn z E y ( x, y, z )   Amn 2 kc ,mn a  m H x ( x, y, z )  Amn 2 sin( ma x) cos( nb y )e  mn z kc ,mn a  n H y ( x, y, z )  Amn 2 cos( ma x) sin( nb y )e  mn z kc ,mn b E x ( x, y, z )  Amn

 mn  kc2,mn  k 2 k

2 c , mn



  

m 2 a

n 2 b

(Relación de dispersión) (Número de onda de corte) 41

3.4 La guía de onda rectangular - Diagrama de dispersión modos TEmn - Tomamos como ejemplo el caso a = 2b

a

a 

b

ka 2  m 2  2n 2

a

9 8

TE20 , TE01

7

TE10

6 5 4

TE21

3

TE11

2 1 0

3

4

5

6

7

8

9

10

ka

42

3.4 La guía de onda rectangular - El modo TE10 : (Modo dominante) - Suponiendo a > b, el modo dominante en la guía rectangular es el TE10 - Los campos se reducen a:

H z ( x, z )  A10 cos( a x)e  10 z j  sin( a x)e  10 z E y ( x, z )   A10 2 kc ,10 a H x ( x, z )  A10

 10 

kc2,10 a

sin( a x)e  10 z

 10  kc2,10  k 2 kc ,10   a

Ex  Ez  H y  0 - Impedancia de onda: Z w,TE10 

j

 10 43

3.4 La guía de onda rectangular - Frecuencia de corte - Es la frecuencia a la cual la cte de propagación es nula

 10  kc2,10  k 2  0

kc ,10  2f c ,10  

kc ,10   a - Para frecuencias

k

f c ,10 

1 2a 

f  f c ,10 el modo N0 se propaga (modo evanescente)

- Cte de atenuación vale

10  ( a) 2  k 2

- Para frecuencias f  f c ,10 el modo SI se propaga - Cte de fase vale

10  k 2  ( a ) 2

- Longitud de onda: - Velocidad de fase:

g ,10  2  10  vp,10  10

44

- Ejemplo 2: A la frecuencia de 10 GHz, el modo TE10 se propaga por una guía rectangular de dimensiones a = 1.5 cm y b = 0.6 cm, rellena de polietileno ( r  2.25,  r  1). Calcular la cte de fase, la longitud de onda en la guía, la velocidad de fase y la impedancia de onda

Cheng Ej. 9-4

Solución: - A la frecuencia de operación, el número de onda en el polietileno vale



2f k r  c c

2 1010 r  2.25  100 rad/m 8 3 10

- La cte de fase en la guía resulta

10  k 2  ( a) 2  100 1  (1 1.5) 2  234.16 rad/m - La longitud de onda:  g ,10  2  10  0.0268 m  2.68 cm 8 - La velocidad de fase: vp,10   10  2.68  10 m/s

- La impedancia de onda:

Z w,TE10 

j

 10



      10 10 10

k     337.4   10

45

3.4 La guía de onda rectangular - Campo eléctrico

sin( a x)e  j10 z

E y ( x, z )  y y

z x

g

a

x

g

z 46

- Ejemplo 3: Obtener las expresiones instantáneas de los campos para el modo TE10 en una guía rectangular de dimensiones a x b.

Cheng Ej. 9-5

Solución: - Los campos en el dominio del tiempo se obtienen a partir de la expresión: jt

f ( x, z , t )  Re[ F ( x, z )e

]

- donde F es la forma fasorial de cualquiera de las componentes del campo. - Debemos distinguir dos casos: a) modo en corte y b) modo propagante a) Modo en corte: kc ,10  k   10    R

e y ( x, z , t )  Re[ A

ja



sin( a x)e z e jt ]

 Re[| A |  a sin( a x)e z e j (t  / 2 ) ] | A |  a sin( a x)e z cos(t   2   ) | A |  a sin( a x)e z sin(t   ) 47

hx ( x, z , t )  Re[ A a sin( a x)e z e jt ] | A | a sin( a x)e z cos(t   ) hz ( x, z , t )  Re[ A cos( a x)e z e jt ] | A | cos( a x)e z cos(t   ) b) Modo en propagante: k c ,10  k   10  j (   R)

e y ( x, z , t )  Re[ A

ja



sin( a x)e  jz e jt ]

 Re[| A |  a sin( a x)e j (t  z  / 2 ) ] | A |  a sin( a x) cos(t  z   2   ) | A |  a sin( a x) sin(t  z   ) hx ( x, z , t )  Re[ A

j a



sin( a x)e  jz e jt ]

| A | a sin( a x) cos(t  z   )

hz ( x, z , t )  Re[ A cos( a x)e  jz e jt ] | A | cos( a x) cos(t  z   ) 48

  1 P  Re  S  ds S 2

3.4 La guía de onda rectangular - Potencia media a 1 P10  Re  x 0 2

 * a 1 y 0 ( E  H )  zˆ dydx   2 Re x0 b



b

y 0

E y H x* dydx

- Los campos son

j  sin( a x)e  10 z E y   A10 2 kc ,10 a

H x  A10

 10  kc2,10 a

sin( a x)e  10 z

- Sustituyendo arriba

2 a   2 P10 | A10 | 2 2

- Integrando

a

b

x 0

y 0

 

sin 2 ( a x) dydx

3  a b P10 | A10 |2 4 2

- Los modos evanescentes no llevan potencia real (potencia media) 49

- Ejemplo 4: Considérese una guía WR 137 (3.485 x 1.58 cm2) rellena de aire. Sabiendo que el campo de ruptura del aire es 1.5 MV/m, calcular la potencia máxima que soporta la guía a la frecuencia de operación de 6 GHz. Neri Ej 4.17 Solución: - A 6 GHz esta guía transmite únicamente el modo TE10.

y

x

- Según el enunciado, el campo eléctrico máximo es

| E y |max  | A |

a a sin( a x) | A |  1.5 MV/m   max

- Por otra parte, la potencia media vale

3 a b  P | A |2 4 2

50

- De las 2 ecs. anteriores, eliminamos A 2   | E y |max  a 3b | E y |max ab      2  4  a  4 2

Pmax

- La cte de fase a 6 GHz vale

  (2f c) 2  ( a ) 2  10 16  10 2  (1 3.485) 2  87.55 rad/m - Sustituyendo los datos, resulta

Pmax

| E y |2max ab    572.4 kW  4

51

3.4 La guía de onda rectangular - Modos TM E z  0; H z  0 - La solución para estos modos se obtiene siguiendo los mismos pasos que para el caso TE. - Comenzamos resolviendo la ec. de Helmholtz para Ez :

 2 2 2  2  2  kc  E z ( x,y )  0 y  x  - Aplicamos el método de separación de variables e imponemos las condiciones de contorno - Se obtiene

E z ( x, y, z )  Bmn sin( ma x) sin( nb y )e  mn z

 mn  k

2 c , mn

k

2

kc2,mn   ma    nb  2

2

- Las componentes transversales se obtienen sustituyendo esta solución en las ecs. de Maxwell

52

3.4 La guía de onda rectangular - Al igual que en el caso TE, los modos TM forman una familia doblemente infinita que denotamos como TMmn (m = 1,2,… y n = 1,2,…) - Los modos TM00, TMm0 y TM0n no existen - Impedancia de onda

Z w,TM mn

 mn  j

- La frecuencia de corte, longitud de onda, velocidad de fase, etc… tienen la misma expresión que para los modos TEmn

53

54

3.4 La guía de onda rectangular - Algunos dispositivos en guía de onda rectangular: - Transición coaxial-guía

- Carga adaptada

- Filtro paso-banda

55

3.5 La guía de onda circular - El análisis de esta guía es análogo al realizado en el caso de la guía rectangular. - La diferencia está en que, debido a su geometría, es conveniente estudiar la guía circular en coordenadas cilíndricas.

a

,  - Al igual que en la guía rectangular existen dos familias de soluciones: los modos TEmn y los modos TMmn

56

3.6 El cable coaxial - Se trata de una guía formada por dos conductores, por tanto admite una solución de tipo TEM - Además, análogamente al caso del línea de planos-paralelos, pueden existir modos superiores de tipo TEmn y TMmn - El primer modo superior es el TE11

b

a

, 

57

3.7 Líneas planares 3.7.1 La línea triplaca (stripline) - La stripline esta formada por una tira conductora situada entre 2 placas conductoras, tal como se muestra en la figura. - El espacio situado entre las dos placas conductoras esta relleno de un dieléctrico homogéneo

,  b

w

y z

x

- Esta línea soporta un modo TEM que es el que suele usarse en la práctica - También pueden propagar modos superiores (TE y TM) que normalmente son indeseados. - La excitación de modos superiores se evita haciendo que las dos placas estén al mismo potencial (tierra) y limitando la separación entre ellas. 58

3.7 Líneas planares 3.7.1 La línea triplaca (stripline) - Campos para el modo TEM

59

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) (Pozar 3.8) - La microstrip esta formada por una tira conductora situada sobre un sustrato dieléctrico que en su cara inferior tiene un plano de tierra

t h

w

c  r , tan

y

z

x

- Es una línea muy utilizada porque es fácil de fabricar, permite la miniaturización de los circuitos y puede integrarse con dispositivos activos

60

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) - Esta línea NO soporta un modo TEM puro, ya que los campos no están contenidos en una región dieléctrica homogénea.

- Los modos son de tipo híbrido (HEM), tienen las 6 componentes del campo no nulas - En la mayoría de las aplicaciones prácticas se usan sustratos delgados ( h   ) y en consecuencia los campos son cuasi-TEM. - Por tanto, pueden utilizarse soluciones estáticas (o cuasi-estáticas)

61

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) - Es típico expresar la cte de fase y la velocidad de fase para el modo cuasi-TEM como

  k0  eff

vp 

c

 eff

- donde  eff es la cte dieléctrica efectiva de la microstrip - La cte dieléctrica efectiva puede interpretarse como la cte dieléctrica de un medio que rellena todo el espacio w

h

r problema original



w h

 eff problema equivalente

-  eff depende de  r , h, w y de la frecuencia. Además, 1   eff   r 62

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) - Fórmulas para la cte dieléctrica efectiva y la impedancia - Dadas las dimensiones de la línea, podemos aplicar las siguientes expresiones aproximadas para la determinar  eff y Z 0

 eff   Z0   

 r 1  r 1 2 60

 eff

 eff



2

1 1  12 h w

ln 8wh  4wh 

120 w 1.393  0.667 ln( w 1.444 ) h h

para w h  1 

para w d  1 Fórmulas de Análisis

w d



r 63

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) 9

200

7 6

 r = 10

5

r = 8

4

r = 6

3

r = 4

2

r = 2

1 -1 10

Characteristic Impedance (Ohm)

Effective Dielectric Constant

8

0

10 w/h

10

r = 2 r = 4

150

r = 6 r = 8

100

 r = 10

50

0 -1 10

1

0

10 w/h

10

w h

r t  0, tan   0 64

1

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) - Fórmulas para la cte dieléctrica efectiva y la impedancia - Desde el punto de vista del diseño, lo que interesa es valor de w/h que da lugar a la impedancia característica requerida. - Conocidos Z 0 y  r , las dimensiones de la línea se pueden obtener mediante las siguiente expresiones aproximadas 8e w  2A e 2  2  r 1 h   B  1  ln(2 B  1)  2 r ln( B  1)  0.39  0.61 r A



- donde



A

Z0 60

 r 1 2

  rr 11 (0.23  0.11 ) r

B

si w h  2 377  2Z0  r

Fórmulas de Diseño

w h



si w h  2

r

65

- Ejemplo 5: Calcular la anchura y la longitud de una línea microstrip para que su impedancia característica sea 50 Ohm y produzca un desfase de 90º a 2.5 GHz. El sustrato utilizado tiene una altura 0.127 Pozar 3ª Ed., Ej. 3-7 cm y la cte dieléctrica vale 2.20. w Solución: -Suponemos w/h > 2

B

377  7.985 2Z 0  r



r

h

Z 0  50 

 r  2.20





w 2   B  1  ln(2 B  1)  2rr1 ln( B  1)  0.39  0.61  3.081  2 r h - Luego w  3.081h  0.391 cm - La cte dieléctrica efectiva vale  eff 

 r 1  r 1 2



2

1  1.87 1  12 h w

- Cálculo de la longitud

   2

v p c      2.19 cm 2  2  2f 4 f  eff

66

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) - Atenuación - En realidad la cte de propagación es compleja:

    j

- La cte de atenuación  tiene esencialmente dos contribuciones

  d  c - La atenuación debida a las pérdidas dieléctricas

d 

k0 r ( eff  1) tan  2  eff ( r  1)

[Np/m]

- y la atenuación debida a las pérdidas en los conductores

RS c  [Np/m] Z0w

con RS   0 2 C

- Para la mayoría de los substratos las pérdidas más importantes se deben a los conductores 67

- Ejemplo 6: Calcular la cte de atenuación total a 10 GHz en una línea microstrip de impedancia 50 Ohm, realizada en substrato de alúmina de  r  9.9, tan   0.001 y h = 0.5 mm. La metalización es de cobre de conductividad  C  5.88  10 7 S/m y la anchura de la microtira vale w = 0.483 mm. Pozar 4ª Ed., Ej. 3-7

w

Solución: - Según hemos visto 

 d  c

h

 r , tan 

 r  9.9 tan   0.001

d 

k0 r ( eff  1) tan   0.255 Np/m  0.022 dB/cm 2  eff ( r  1)

k0  2f c  209.44 rad/m

 eff 

 r 1  r 1 2



2

1  6.665 1  12 h w 68

w

h

 r , tan 

 r  9.9 tan   0.001

RS c   1.08 Np/m  0.094 dB/cm Z0w

 C  5.88 10 7 S/m f  10 GHz

RS   0 2 C  0.026 

   d   c  0.022 dB/cm  0.094 dB/cm  0.116 dB/cm

69

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) - Dispersión y modos superiores -Todo lo visto hasta ahora sobre la microstrip es estrictamente válido solo en DC (o muy bajas frecuencias)  Aproximación cuasi-estática - Esto es debido a que la microstrip NO es una verdadera línea TEM - A más altas frecuencias los valores de la cte dieléctrica efectiva, impedancia y atenuación cambian. Además, pueden aparecer modos superiores - La variación de  eff con la frecuencia produce cambios de fase, mientras que la variación de Z 0 produce pequeñas desadaptaciones - Además, las señales de banda ancha sufrirán distorsión - El modelado del comportamiento dispersivo de la línea microstrip no es sencillo. Existen fórmulas aproximadas, pero hoy en día es mejor usar directamente herramientas de CAD (Ej. Tx-line) 70

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip)

http://www.awrcorp.com/products/optional-products/tx-line-transmission-line-calculator

71

3.7 Líneas planares 3.7.2 La línea microtira (microstrip) - Ejs de dispositivos en microstrip

Filtro paso-banda de líneas acopladas

Filtro paso-bajo de salto de impedancia Anillo híbrido

72

3.8 Comparación entre distintos tipos de líneas y guías

73