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Tema 3. Teoremas de la Teoría de Circuitos 3.1 Introducción 3.2 Superposición 3.3 Transformación de fuentes 3.4 Teorema de Thevenin
RTh VTh
3.5 Teorema de Norton
A
v
i RL
B
3.6 Máxima transferencia de potencia
José A. Pereda, Dpto. Ing. de Comunicaciones, Universidad de Cantabria.
1
Bibliografía Básica para este Tema: [1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitos eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006. [2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”, 7th ed., John Wiley & Sons, 2006.
Sadiku Tema 4 Dorf Tema 5 - Esta presentación se encuentra, temporalmente, en: http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm 2
3.1 Introducción - Como hemos visto en temas anteriores, las ecuaciones de Kirchhoff permiten analizar un circuito sin alterar su configuración original. - Sin embargo, la complejidad creciente de los circuitos que se usan en la práctica hace que los cálculos se vuelvan tediosos. - En este tema veremos un conjunto de técnicas que permiten reducir la complejidad que un circuito antes de proceder a su análisis: - El principio de superposición - La transformación de fuentes - Los teoremas de Thevenin y Norton
3
3.2 Superposición - Un circuito lineal es aquél que sólo tiene elementos lineales y fuentes - Un elemento lineal es aquél cuya relación i-v es lineal:
v a i, con a cte - En esta asignatura sólo se consideran circuitos lineales - Los circuitos lineales verifican el principio de superposición El principio de superposición establece que la tensión entre los extremos (o corriente a través) de un elemento de un circuito lineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través de ese elemento debidas a cada una de las fuentes independientes cuando actúa sola. - El principio de superposición ayuda a analizar un circuito lineal con más de una fuente independiente mediante el cálculo de la contribución de cada fuente independiente por separado 4
3.2 Superposición - La aplicación del principio de superposición tiene los siguientes pasos: 1. Apagar todas las fuentes independientes excepto una. Encontrar la salida (tensión o corriente) debido a la fuente activa. 2. Repetir el paso anterior para cada una de las fuentes independientes presentes en el circuito. 3. La contribución total vendrá dada por la suma algebraica de las contribuciones de cada una de las fuentes independientes. - Observaciones: - Apagar una fuente independiente de tensión implica reemplazarla por una fuente de tensión de 0V (cortocircuito) - Apagar una fuente independiente de corriente implica reemplazarla por una fuente de corriente de 0A (circuito abierto) - Las fuentes dependientes no se modifican
5
-Ejemplo 1: Calcular v en el circuito de la figura, aplicando el principio de superposición. Ra = 8 Ohm, Rb = 4 Ohm, Vs = 6 V, Is = 3 A A&S-3ª Ej. 4.3
Ra Vs
v Rb
Is
6
Solución: - Puesto que hay dos fuentes
v v1 v2
- v1 es la tensión debida a Vs con Is=0 - v2 es la tensión debida a Is con Vs=0
Ra Vs
- Cálculo de v1: (dejamos Is en circuito abierto) - Aplicando la KVL: - luego
Vs Ra i Rbi
Vs 6 0 .5 A i Ra Rb 8 4
- Por tanto
v Rb
VS
Is
Ra i
Rb
v1
v1 Rbi 4 0.5 2 V
7
- Cálculo de v2: (cortocircuitamos Vs ) - Aplicando la KCL: I s
v2 v2 Ra Rb
Ra Rb 8 4 - luego v2 Is 3 8 V 8 4 Ra Rb
- La solución final es:
Ra
Is
v2 Rb
v v1 v2 2 8 10 V
8
3.3 Transformación de fuentes - La transformación de fuentes se usa para simplificar circuitos Una transformación de fuentes es el proceso de sustituir una fuente de tensión vs en serie con una resistencia R por una fuente de corriente is en paralelo con una resistencia R, o viceversa
R
vs
i
i
A
v
circuito
is
A
R v
circuito B
B
vS RiS 9
3.3 Transformación de fuentes - Comprobación
R
i
A
v
vs
circuito
vs v vs Ri v i R R
B
i
is
is
A
R v
- Aplicando KCL: circuito
B
- Aplicando KVL:
vs R
v v is i i is R R ¡Debe cumplise para que ambos circuitos sean equivalentes! 10
-Ejemplo 2: Calcular v0 en el circuito de la figura. Para ello, reducir el circuito a un divisor de corriente aplicando transformación de fuentes A&S-3ª Ej. 4.6
3
2
4
3A
8
v0
12 V
11
Solución:
3
2
4
3A
8
v0
12 V
- Comenzamos transformando la fuente de corriente a una de tensión:
vS RiS 4 3 12 V 4
12 V
3
2
8
v0
12 V
- Ahora, asociamos las dos resistencias en serie: 12
6
12 V
3
8
v0
12 V
- Seguidamente, transformamos las fuentes de tensión:
vS 12 iS 4A R 3
vS 12 iS 2A R 6
2A
6
8
v0
3
4A
- Agrupando resistencias y fuentes: 13
i0 6 || 3
63 2 63 2A
2
8
v0
- Por último, usamos la fórmula del divisor de corriente:
i0
2 2 0.4 A 28
- y la ley de Ohm:
v0 Ri0 8 0.4 3.2 V
14
3.4 Teorema de Thevenin - Suele ocurrir que un elemento de un circuito sea variable (carga), mientras que los demás permanecen fijos. Entonces, cada vez que se cambia la carga debemos volver a analizar todo. - El teorema de Thevenin proporciona una técnica para sustituir la parte fija por un circuito equivalente sencillo. El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dos terminales puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de tensión VTh en serie con una resistencia RTh
i circuito lineal de dos terminales
RTh
A
v
carga B
Circuito original
VTh
i
A
v
carga B
Circuito equivalente de Thevenin
15
3.4 Teorema de Thevenin - Cálculo de la tensión equivalente de Thevenin: - Utilizamos como circuito de carga un circuito abierto
RTh i 0 A
i0A circuito lineal de dos terminales
voc
VTh
voc VTh B
B
- En esta situación se cumple
VTh voc
16
3.4 Teorema de Thevenin - Cálculo de la resistencia equivalente de Thevenin, RTh: - Se ponen a cero las fuentes independientes. Entonces la RTh coincide con la resistencia de entrada Rin vista en los terminales del circuito A
circuito con fuentes independientes puestas a cero
Rin
B
RTh VTh 0
A
RTh Rin B
- Entonces
RTh Rin (con las fuentes independientes a cero) - Poner las fuentes independientes a cero significa: 1. Cortocircuitar las fuentes independientes de tensión 2. Dejar en circuito abierto las fuentes independientes de corriente 17
3.4 Teorema de Thevenin - Determinación de la resistencia de entrada Rin: - CASO 1: Circuito SIN fuentes dependientes. 1. Se ponen las fuentes independientes a cero 2. Se calcula Rin mediante asociación de resistencias
A
circuito con fuentes independientes puestas a cero
Rin
B
18
-Ejemplo 3: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura A&S-3ª Ej. 4.8
4
32 V
12
1
A
2A
B
19
Solución:
4
32 V
1
12
A
2A
B
- Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos a cero las fuentes independientes y calculamos la resistencia de entrada 4
12
1
A
Rin
B
4 12 Rin 4 || 12 1 1 4 4 12
20
- Para obtener la tensión Thevenin calculamos la tensión de circuito abierto en los terminales A-B 4
32 V
1
A
i0
12
2A
VTh B
- Resolvemos por análisis de nudos - KCL:
4
i1 i3 i2
- Usando la ley de Ohm:
VTh 32 VTh 2 4 12 - Despajando:
32 V
i1 VTh
i3 i2
12
2A
VTh 30 V 21
- Por tanto: 4
32 V
1
12
A
2A
B
4
30 V
A
B
22
3.4 Teorema de Thevenin - Determinación de la resistencia de entrada Rin: - CASO 2: Circuito CON fuentes dependientes. 1. Se ponen las fuentes independientes a cero 2a. Se aplica una fuente de tensión v0 entre los terminales AB y se calcula la corriente i0 que circula por la fuente. 2b. O bien, se aplica una fuente de corriente i0 entre los terminales AB y se calcula la tensión v0 entre dichos terminales. Entonces Rin=v0/i0
i0
A
circuito con fuentes independientes puestas a cero
A
v0
circuito con fuentes independientes puestas a cero
B
(2a)
Rin v0 i0
v0
i0 B
(2b)
Rin v0 i0
23
-Ejemplo 4: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura A&S-3ª Ej. 4.9
2 vx 2
2
5A
4
vx
A
6
B
24
2 vx
Solución:
2
2
4
5A
vx
A
6
B
- Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos a cero las fuentes independientes, ponemos una fuente de tensión v0 entre los terminales y calculamos la corriente que pasa por ella.
2 vx
2
2
4
vx
i0 A
6
Rin v0 i0
v0 25
B
- Resolvemos por análisis de nudos:
- NUDO C:
i2 i1 ix
- NUDO D:
i0 ix i2 i3
2 vx
4
- En función de las tensiones de nudo:
2v x v x ix 2 4 v0 3v x 2v 3v ix x x 2 2 6 - De la ley de Ohm en A-D:
2
C
i1
ix
vx
D
2
i0 A
i2
i3 6
v0
B
VC v x ; VD 3v x ; VA v0 2 v x v0 9
v0 3v x 2i0
v0 RTh 6 i0
26
- Para obtener la tensión Thevenin calculamos la tensión de circuito abierto
2 v x ix
- Resolvemos por análisis de nudos: - NUDO C:
i2 5 i1 ix
- NUDO D:
ix i2 i3
i1 5A
2
C
4
- En función de las tensiones de nudo:
vx
i2
2
D
i3
i0 6
VC v x ;
A
VTh B
VD VA VTh 3v x 2v x vx 5 ix 2 4 2v x 3v x ix 2 6
20 vx V 3
VTh 3v x 20 V 27
3.5 Teorema de Norton - El teorema de Norton es el dual del teorema de Thevenin
El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dos terminales puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de corriente IN en paralelo con una resistencia RN
i circuito lineal de dos terminales
i
A
v
carga B
Circuito original
IN
RN
A
v
carga B
Circuito equivalente de Norton
28
3.5 Teorema de Norton - Cálculo de la corriente de Norton: - Utilizamos como circuito de carga un corto circuito
isc circuito lineal de dos terminales
isc
A
A
v0
IN
RN v 0 B
B
- En esta situación se cumple
I N isc
29
3.5 Teorema de Norton - Cálculo de la resistencia de Norton: - Partimos del equivalente Thevenin y aplicamos transformación de fuentes
RTh
VTh
i
A
v B
i
RN RTh IN
VTh IN RTh
- Además, teniendo en cuenta que
RN
A
v B
VTh voc I N isc
- se obtiene
VTh voc RTh RN IN isc
30
- Ejemplo 5: Calcular el equivalente Norton del circuito de la figura. Is = 2 A, Vs = 12 V, R1 = 4 Ohm, R2 = R4 = 8 Ohm, R3 = 5 Ohm
A&S-3ª Ej. 4.11
R2
A
R1 R3
Is Vs R4
B
31
Solución: - Cálculo de la resistencia equivalente de Norton RN - Ponemos a cero las fuentes independientes
R2
A
R3
R1
R4 RN ( R1 R2 R4 ) || R3 20 || 5
RN
B
20 5 4 20 5 32
- Cálculo de la fuente de corriente equivalente de Norton IN - Calculamos la corriente de cortocircuito
V2
Is
- Malla 1:
R2 V1 R1 i1 Vs R4
i2 I S
- KVL para la malla 2:
V4
A
I N isc R3 i2
B
Vs V1 V2 V4 0 Vs R1 ( I S i2 ) R2i2 R4i2 0
- Resolviendo:
Vs R1 I S 12 4 2 i2 1A R1 R2 R4 4 8 8
I N i2 1 A 33
3.6 Máxima transferencia de potencia - En muchas situaciones prácticas un circuito se diseña para suministrar potencia a una carga En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, la transferencia de potencia a la carga es máxima cuando la resistencia de carga RL es igual a la resistencia del equivalente Thevenin del circuito fuente RTh visto desde la fuente
RTh circuito fuente
RL
A
VTh
RL B
p pmax RL RTh 34
3.6 Máxima transferencia de potencia - Demostración - Partimos del equivalente Thevenin del circuito fuente
RL v VTh RTh RL v VTh i RL RTh RL
RTh
VTh
RL 2 p vi V 2 Th RTh RL
A
v
i RL
B
p RTh RL 2 V - Para encontrar el máximo derivamos: Th RL RTh RL 3 p 0 RL RTh - Igualando a cero la derivada: RL 2p - Se puede comprobar que 0 2 RL VTh2 pmax - La potencia máxima resulta: 4 RL
35
- Ejemplo 6: Determinar el valor de RL para que la transferencia de potencia en el circuito de la figura sea máxima. Calcular la potencia máxima. A&S-3ª Ej. 4.13
6
12 V
12
3
2
A
RL
2A
B
36
Solución: - Comenzaremos determinando el equivalente Thevenin del circuito fuente - Cálculo de la resistencia Thevenin RTh 6
12
3
2
A
RTh B
6 12 RTh 6 || 12 3 2 3 2 9 6 12
37
- Cálculo de la tensión Thevenin VTh
12 V
6
3
2
A
i2 v x
12
i1
2A
VTh
B
- Malla 1: - Malla 2:
12 6i1 12(i1 2) 0
i1
i2 2 A
- Cálculo de VTh:
6
VTh 12 6i1 3i2 VTh 22 V
12 V
i1
3
i2
2 A 3 2
i0
A
VTh B
38
- Cálculo de la potencia máxima
RTh
A
VTh
RTh B
pmax
22 2 VTh2 13.44 V 4 RL 4 9
39