Tema 2. Sistemas de part´ıculas y teoremas de conservaci´ on.

David Blanco Curso 2009-2010

´INDICE

´Indice 1. Introducci´ on. Cinem´ atica 1.1. Espacio, tiempo y m´ ovil . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Relatividad del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Descripci´ on matem´ atica del movimiento . . . . . . . . 1.4. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Aceleraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Componentes intr´ınsecas de la aceleraci´on . . . . . . . 1.7. Tipos de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Movimiento rectil´ıneo uniforme . . . . . . . . . 1.7.2. Movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado 1.7.3. Movimiento con aceleraci´on constante . . . . . 1.8. Posiciones, velocidades y aceleraciones relativas . . . .

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2. Principios de la din´ amica de Newton 2.1. Fuerzas y masas . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Primera ley de Newton o ley de inercia . . 2.3. Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . 2.4. Momento lineal o cantidad de movimiento 2.5. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . .

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3. Tipos de fuerza 3.1. Fuerzas fundamentales . . . . . . . 3.2. Peso y peso aparente . . . . . . . . 3.3. Fuerza de rozamiento entre s´ olidos 3.4. Fuerza de rozamiento en fluidos . . 3.5. Fuerzas el´ asticas . . . . . . . . . . 3.6. Fuerzas de ligadura . . . . . . . . . 3.7. Fuerzas de inercia . . . . . . . . . .

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4. Trabajo y energ´ıa 4.1. Trabajo . . . . . . . . . 4.2. Potencia . . . . . . . . . 4.3. Energ´ıa . . . . . . . . . 4.4. Teorema de conservaci´ on

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5. Fuerzas conservativas. Energ´ıa potencial

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6. Conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica 6.1. Sistema no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. Sistemas de part´ıculas. Centro de masa 7.1. Principio de conservaci´ on del momento lineal para un sistema 7.2. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Coordenadas relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Energ´ıa cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Energ´ıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Principio de conservaci´ on de la energ´ıa mec´anica . . . . . . .

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de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8. Colisiones

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´ CINEMATICA ´ INTRODUCCION.

1.

Introducci´ on. Cinem´ atica

El movimiento es el fen´ omeno f´ısico m´as obvio y se define como el cambio de posici´on de una part´ıcula. Como la posici´ on se define mediante el vector de posici´on, cualquier cambio de este vector implicar´ a un movimiento. La mec´ anica es la parte de la f´ısica que estudia el movimiento, y se divide as´ı mismo en tres ramas: la cinem´ atica, la est´ atica y la din´amica. La cinem´ atica estudia el movimiento de part´ıculas sin atender a las causas (fuerzas) que producen estos movimientos, la est´ atica estudia las condiciones que se tienen que cumplir para que un sistema no se mueva, y por u ´ltimo, la din´ amica estudia las causas del movimiento, que se denominan fuerzas, y los movimientos que ´estas provocan. En esta secci´ on se estudiar´a la cinem´atica, y el resto del tema tratar´a sobre la din´ amica. La est´ atica, como tal, no se estudiar´a. Los conceptos (energ´ıa, posici´ on, velocidad, . . . ) y el m´etodo seguido en el estudio de la mec´ anica aparece en el resto de las ramas de la f´ısica y en gran parte de los problemas de ingenier´ıa, por lo que un tratamiento riguroso de estos es necesario para asegurar la comprensi´on profunda. En este tema se trata los principios b´asicos de la din´amica de Newton, primero aplicados a una masa puntual, y luego extendidos a un sistema de part´ıculas. Primero se comenzar´ a con una introducci´on sobre cinem´aticas en esta secci´on, donde se introducir´ an las magnitudes cinem´ aticas y distintos tipos de movimiento. En la Secci´on 2 se enunciar´ an las leyes de Newton que rigen todo el comportamiento din´amico de las part´ıculas, una vez conocidas las fuerzas. En la Secci´on 3 se hablar´a sobre distintos los distintos tipos de fuerzas que vamos a encontrarnos a lo largo del curso. En la Secci´on 4 se estudiar´an los conceptos de trabajo, potencia y energ´ıa, esta u ´ltima primero en general y luego la energ´ıa cin´etica en particular. Se relacionar´ an las magnitudes entre ellas y se enunciar´a el teorema de las fuerzas vivas. La Secci´ on 5 tratar´ a sobre un tipo espec´ıfico de fuerzas, las conservativas, y de como para estas fuerzas se puede definir una magnitud escalar conocida como energ´ıa potencial. En la Secci´ on 6 se enunciar´ a un teorema fundamental en la mec´anica, como es el principio de conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica. Hasta aqu´ı se habr´an introducidos los conceptos y resultados mec´ anicos m´ as importantes para una u ´nica part´ıcula, en la Secci´on 7 se generalizar´an todos los anteriores resultados para un sistema de part´ıculas. El tema finaliza en la Secci´on 8 estudiando las colisiones entre part´ıculas.

1.1.

Espacio, tiempo y m´ ovil

Los conceptos de espacio, tiempo y m´ovil son fundamentales para el desarrollo conceptual de la mec´ anica cl´ asica, y las definiciones intentan plasmar la intuici´on m´as com´ un sobre ellos. Espacio absoluto. Es el escenario donde ocurren los fen´omenos f´ısicos. Se considera homog´eneo y que las leyes de la f´ısica son v´alidas en todo el espacio. Tiempo absoluto. Transcurre uniformemente e igual en todas la regiones del espacio. M´ ovil. El m´ ovil m´ as simple ser´ıa la masa puntual o punto material, que ser´ıa un cuerpo muy peque˜ no (s´ olo ocupa un punto), pero que posee una masa finita. Por supuesto es un idealizaci´ on, pero muchos m´ oviles se pueden considerar puntuales dependiendo de la escala en la que se trabaje.

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´ CINEMATICA ´ INTRODUCCION.

1.2.

Relatividad del movimiento

Para poder hablar de posici´ on se necesita un sistema de referencia, ya que, como veremos, el movimiento es el cambio de posici´ on y la posici´on se define como el vector que va del origen del sistema de referencia hasta el punto. As´ı, una part´ıcula estar´a en movimiento cuando su vector de posici´ on var´ıe en el sistema de referencia considerado. Por tanto, el movimiento se considera relativo al sistema de referencia elegido. Por ejemplo, puedo ver que la silla en la que me siento no se mueve, por lo menos si utilizo un sistema de referencia fijo en el suelo. Sin embargo, visto desde el espacio, la silla se mueve junto con la tierra, que se desplaza a una velocidad enorme en el sistema solar. No s´ olo el hecho de si se mueve o no es relativo, sino que tambi´en lo ser´a el tipo de movimiento.

1.3.

Descripci´ on matem´ atica del movimiento

z

P r

O

P'

C r' y

x

La posici´on de una part´ıcula en el espacio queda determinada por su vector de posici´on ~r, que corresponde al vector que tiene como inicio el origen de coordenadas O y como final el punto P donde se encuentra el cuerpo. Al moverse la part´ıcula, el extremo del vector ~r describir´a una curva C en el espacio que se conoce como trayectoria, lo que queda representado en la Figura 1. El movimiento de una part´ıcula queda determinado si se conoce su posici´on en los distintos instantes de tiempo, es decir, si se conoce ~r = ~r(t). En un sistema de coordenadas cartesiano, conocer el vector ~r en todo instante es lo mismo que conocer cada una de sus coordenadas x = x(t), y = y(t) y z = z(t), ya que

Figura 1: Vector posici´ on ~r de ~r(t) = x(t)ˆı + y(t)ˆ  + z(t)~k una part´ıcula en dos instantes distintos y la trayectoria recorriA esta expresi´on se le conoce como ecuaci´ on del movimiento. da. El desplazamiento se define como el espacio recorrido por el m´ovil, es decir la longitud de la trayectoria recorrida, se notar´ a como s y tambi´en estar´ a en funci´on del tiempo s = s(t). El desplazamiento estar´a relacionado con la variaci´ on del p vector de posici´on ∆~r, de forma que para un movimiento rectil´ıneo se tiene que ∆s = ∆r = ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 . Sin embargo, si el movimiento es curvil´ıneo, en general, el desplazamiento no ser´ a igual al m´odulo de la variaci´on del vector de posici´on.

1.4.

Velocidad

Una part´ıcula pasa de un punto P a un punto Q en un intervalo de tiempo ∆t, siguiendo una trayectoria curvil´ınea. As´ı, recorrer´ a un espacio ∆s, al prasar del ~r a ~r + ∆~r. Esta situaci´on se esquematiza en la Figura 2. La relaci´ on entre el vector desplazamiento ∆~r y el tiempo transcurrido ∆t se denomina velocidad media < ~v >: < ~v >=

∆~r ∆t

La velocidad media es un vector secante a la trayectoria, de la misma direcci´on y el mismo sentido que el vector ∆~r.

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´ CINEMATICA ´ INTRODUCCION.

z C O

P r

Δs

La velocidad definida de esta manera depende del intervalo de tiempo ∆t empleada en medirla. Para evitar esta dependencia, se trabaja en el l´ımite ∆t → 0, definiendo la velocidad instant´ anea, ~v , como:

Q

Δr

~v = l´ım

∆t→0

r+Δr

d~r ∆~r = ∆t dt

Como cualquier vector, el vector velocidad se puede expresar en funci´on de sus componentes cartesianas:

y

x

~v =

d~r dx dy dz = ˆı + ˆ + kˆ = vxˆı + vy ˆ + vz kˆ dt dt dt dt

Figura 2: Desplazamiento de una La expresi´on ~v = ~v (t), es decir la expresi´on que proporciona part´ıcula. la velocidad de la part´ıcula en cualquier instante de tiempo, se conoce como ecuaci´ on de la velocidad. El vector velocidad se puede expresar como ~v = vˆ et , es decir, el vector velocidad es igual al su m´ odulo por un versor eˆt que lleva la misma direcci´on que d~r, por lo que es tangente a la trayectoria. Esto tambi´en se puede ver si se divide y multiplica por el espacio recorrido en la definici´ on de velocidad y se opera, de forma: ~v = l´ım

∆t→0

∆~r ∆s ds d~r ∆~r ∆s = l´ım l´ım = ∆t→0 ∆s ∆t→0 ∆t ∆s ∆t dt ds

Un desplazamiento infinitesimal d~r se puede considerar como recto, por lo que ds = |d~r|. Entonces el segundo cociente de la anterior expresi´on es igual al vector d~r dividido por su m´odulo, es decir, un versor on de d~r. Por otro lado, el espacio recorrido en el paso infinitesimal p en la direcci´ ds = dx2 + dy 2 + dz 2 , por lo que: r p ds dx2 + dy 2 + dz 2 dx2 + dy 2 + dz 2 = = = dt dt dt2 s   2  2 q 2 dx dy dz = + + = vx2 + vy2 + vz2 = v dt dt dt El resultado vuelve a ser ~v = vˆ et .

1.5.

Aceleraci´ on

La aceleraci´ on medir´ a la variaci´ on del vector velocidad por unidad de tiempo. De igual manera que se defini´ o velocidad media y, mediante el paso al l´ımite, velocidad instant´anea, se puede definir aceleraci´ on media, < ~a >: ∆~v < ~a >= ∆t Como esta definici´ on depende del intervalo de tiempo, se hace el l´ımite ∆t → 0 para definir la aceleraci´ on instant´ anea, ~a, como: ∆~v d~v d2~r = = 2 ∆t→0 ∆t dt dt

~a = l´ım

Como cualquier vector, el vector aceleraci´on se puede expresar en funci´on de sus componentes cartesianas: dvx dvy dvz ˆ d~v = ˆı + ˆ + k = axˆı + ay ˆ + az kˆ ~a = dt dt dt dt David Blanco ([email protected])

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´ CINEMATICA ´ INTRODUCCION.

En este caso, la direcci´ on del vector aceleraci´on, en general, no es ni tangente ni normal al movimiento, pero apunta siempre hacia la concavidad de la trayectoria (hacia el “interior” de la curva que est´e describiendo la trayectoria en ese punto).

1.6.

Componentes intr´ınsecas de la aceleraci´ on

El vector aceleraci´ on se puede descomponer en dos vectores, uno normal o perpendicular al movimiento, y otro tangente. La primera de estas dos componentes se conoce como aceleraci´ on normal, an , y la segunda como aceleraci´ on tangencial, at . S´ı la direcci´on normal a la trayectoria se caracteriza por el versor eˆn (apuntando hacia la concavidad), la aceleraci´on en funci´on de estas dos componentes queda: d~r = at eˆt + an eˆn ~a = dt Las expresiones de las dos componentes son: at =

dv v2 y an = dt R

(1)

donde R es el radio de curvatura de la trayectoria en un punto. A continuaci´on se deducen estas dos expresiones. El vector aceleraci´ on es la derivada del vector velocidad, pero este u ´ltimo se puede expresar como ~v = vˆ et . Introduciendo esto en la definici´on de la aceleraci´on queda ~a =

d(vˆ et ) dv dˆ et = eˆt + v dt dt dt

(2)

De la primera parte de la anterior expresi´on se deduce la expresi´on de at . Sobre la segunda parte, et hay que calcular cuanto vale dˆ ˆt · eˆt = 1. Si esta igualdad se deriva dt . Para ello, se parte de que e con respecto al tiempo: dˆ et dˆ et dˆ et d(ˆ et · eˆt ) = · eˆt + eˆt · = 2ˆ et · =0 dt dt dt dt et et Por lo que los vectores dˆ ˆt son perpendiculares. As´ı, el vector dˆ ˆt , en el plano dt y e dt es normal a e que definen dos tangentes consecutivas (plano oscuratriz) y hacia la concavidad, o lo que es lo mismo, lleva la misma direcci´ on que el versor eˆn . Falta obtener su m´odulo. Para ello se observa la Figura 3. En esta figura se ven dos puntos P y P 0 , que est´an separados un desplazamiento infinitesimal d~r. Por perpendicularidad de tri´angulos se puede ver que el tri´ angulo formado por eˆt , eˆ0t y dˆ et es equivalente al formado por los dos radios R y el vector desplazamiento d~r. Por tanto, se debe cumplir que:

|dˆ et | |d~r| = |ˆ et | R Ahora, la denominador del t´ermino de la izquierda es el m´odulo de un versor, por lo que es igual a uno, y el m´ odulo del vector desplazamiento infinitesimal es ds. Con esto, el m´odulo vector dˆ et queda: ds det = R

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´ CINEMATICA ´ INTRODUCCION.

det et

et El m´odulo del vector dˆ a por tanto: dt , ser´ dˆ et = det = 1 ds dt dt R dt

P' et'

pero ya se vio, cuando se habl´o de velocidad instant´anea, que et ds odulo de la velocidad, con lo que el vector dˆ dt es igual al m´ dt et' queda dˆ et v R = eˆn dt R Si esta u ´ltima expresi´on se tiene en cuenta en la expresi´ o n del vector aceleraci´on (2), se obtiene la expresi´on de la Figura 3: Esquema de dos puntos aceleraci´ o n normal que aparece en (1). 0 P y P , separados un desplazamiento infinitesimal.

P

R

dr

1.7.

Tipos de movimiento

A continuaci´ on se enumeran ciertos movimientos comunes y sus ecuaciones del movimiento y de la velocidad. 1.7.1.

Movimiento rectil´ıneo uniforme

En este caso ~a = 0, por lo que el vector velocidad ser´a una constante que llamaremos ~v0 . Como no hay aceleraci´ on, la velocidad ser´a siempre la misma, y la ecuaci´on de la velocidad queda: ~v = ~v0 Seg´ un la definici´ on de velocidad ~v0 =

d~r ⇒ ~v0 dt = d~r dt

y si en t = 0, la part´ıcula se encuentra en ~r0 , la anterior ecuaci´on se puede integrar Z

t

Z

~ r

d~r ⇒ ~v0 t = ~r − ~r0

~v0 dt = 0

~ r0

donde se ha tenido en cuenta que ~v0 es constante. Si se despeja la posici´on en funci´on del tiempo se obtiene la ecuaciones del movimiento: ~r = ~r0 + ~v0 t Puede verse que, como ~v0 es una constante, la ecuaci´on del movimiento es en realidad la ecuaci´ on de una recta, como era de esperar ya que el movimiento es rectil´ıneo. 1.7.2.

Movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado

En este caso la aceleraci´ on es constante ~a y la velocidad inicial ~v0 lleva la misma direcci´on que la aceleraci´ on (lo que se nota ~v0 ||~a). Para calcular la ecuaci´ on de la velocidad, se utiliza la definici´on de la aceleraci´on: ~a =

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d~v ⇒ ~adt = d~v dt 8

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´ CINEMATICA ´ INTRODUCCION.

Como en t = 0 la part´ıcula lleva una velocidad ~v0 , la anterior ecuaci´on se puede integran resultando Z t Z ~v ~adt = d~v ⇒ ~v − ~v0 = ~adt 0

~ v0

con lo que se obtiene la ecuaci´ on de la velocidad: ~v = ~v0 + ~at Para que el movimiento sea rectil´ıneo, la velocidad debe llevar siempre la misma direcci´on al variar el tiempo, y para que esto suceda es f´acil ver que en la anterior ecuaci´on que ~v0 y ~a deben tener la misma direcci´ on, que es la condici´on que se ha exigido inicialmente. Para obtener la ecuaci´ on del movimiento, s´olo hay que repetir los pasos que se realizaron para el movimiento rectil´ıneo uniforme, pero utilizando la ecuaci´on de la velocidad anteriormente calculada: d~r ~v = ⇒ ~v dt = d~r ⇒ (~v0 + ~at)dt = d~r dt y si en t = 0, la part´ıcula se encuentra en ~r0 , la anterior ecuaci´on se puede integrar Z t Z ~r 1 (~v0 + ~at)dt = d~r ⇒ ~v0 t + ~at2 = ~r − ~r0 2 0 ~ r0 Si se despeja la posici´ on en funci´ on del tiempo se obtiene la ecuaci´on del movimiento: 1 ~r = ~r0 + ~v0 t + ~at2 2 Se puede elegir el eje x en la misma direcci´on que la aceleraci´on y la velocidad, de esta manera las anteriores ecuaciones quedar´ıan:  x= x0 + v0 t + 21 at2  y= y0  z= z0 lo que corresponde con un movimiento rectil´ıneo. 1.7.3.

Movimiento con aceleraci´ on constante

Dentro de este caso se encuentra el anterior movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado, pero tambi´en engloba otros movimientos. Como su nombre indica, la aceleraci´on es constante, ~a = cte, y actuando de forma an´ aloga a la realizada anteriormente se puede obtener la ecuaci´on del movimiento y de la velocidad: 1 ~r = ~r0 + ~v0 t + ~at2 2 ~v = ~v0 + ~at La diferencia con el caso anterior es que ahora no se requiere que le velocidad inicial y la aceleraci´ on tengan la misma direcci´ on. Si se toma el eje y en la misma direcci´on que la aceleraci´on, tal que ~a = aˆ , las anteriores ecuaciones quedan:  x= x0 + v0x t  y= y0 + v0y t + 12 at2  z= z0 + v0z t  vx = v0x  vy = v0y + at  vz = v0z David Blanco ([email protected])

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´ PRINCIPIOS DE LA DINAMICA DE NEWTON

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El ejemplo m´ as t´ıpico de un movimiento de aceleraci´on constante que no sea un movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado es un tiro parab´olico. En este caso el cuerpo sale disparado con una velocidad ~v0 = v0xˆı + v0y ˆ desde un punto ~r0 . Una vez en el aire, s´olo afecta la fuerza de la gravedad y la aceleraci´ on que tiene es ~a = −gˆ , con g la aceleraci´on de la gravedad, el eje y es vertical y el eje x horizontal. Si la part´ıcula permanece suficientemente cerca de la superficie terrestre, la aceleraci´ on de la gravedad se puede considerar constante. Por tanto es un movimiento de aceleraci´ on constante pero es f´ acil de comprobar que su trayectoria no ser´a rectil´ınea sino una par´ abola (salvo si v0y = 0 que no ser´ıa un tiro parab´olico sino uno vertical).

1.8.

Posiciones, velocidades y aceleraciones relativas

z

P

z′ r′

r O x

y rO′ x′

O′

y′

Figura 4: Posici´ on de una part´ıcula desde dos sistemas de referencia.

Como ya se ha indicado con anterioridad, el movimiento de una part´ıcula es un concepto relativo, ya que depende del sistema de referencia que se est´e considerando. As´ı, si se tienen dos sistemas de referencias como los que se muestran en la Figura 4, el punto P donde se encuentra una part´ıcula se describir´a mediante distintos vectores de posici´on en cada uno de los sistemas de referencia. En el caso del sistema de referencia 1 (definido por los ejes x, y, z y el origen O), el punto P se describe mediante el vector de posici´on ~r; mientras que en sistema de referencia 2 (definido por los ejes x0 , y 0 , z 0 y el origen O0 ), el mismo punto se describe con el vector de posici´on ~r0 . El punto es el mismo, pero los vectores de posici´on son distintos al utilizarse distintos ´ sistemas de referencia en cada caso. Este es el sentido

del concepto relatividad del movimiento. Por supuesto, si se conoce el vector de posici´on ~rO0 del origen O0 (origen del sistema 2) en el sistema de referencia 1, es muy sencillo relacionar los vectores de posici´on del punto P en ambos sitemas: ~r = ~rO0 + ~r0 Esta misma discusi´ on realizada se puede realizar para la velocidad. As´ı, si se deriva la anterior ecuaci´ on se obtiene la relaci´ on entre la velocidad de la part´ıcula en el sistema de referencia 1, ~v , y la velocidad en el sistema de referencia 2, ~v 0 : ~v = ~vO0 + ~v 0 donde ~vO0 es la velocidad del origen de coordenadas del sistema 2, O0 , que ve el sistema de coordenadas 1. Por supuesto, si un sistema de referencia no se mueve respecto el otro ~vO0 = 0 y los dos sistema ver´ an la misma velocidad. Si se vuelve a derivar la u ´ltima ecuaci´on se obtiene la relaci´on entre las aceleraciones que ven los sistemas 1 y 2, ~a y ~a0 : ~a = ~aO0 + ~a0 donde ~aO0 es la aceleraci´ on de O0 vista desde el sistema de referencia 1.

2.

Principios de la din´ amica de Newton

Por la experiencia sabemos que los cuerpos se mueven debido como resultado de la interacci´ on que otros cuerpos que lo rodean realizan sobre ´el. Estas interacciones se describe con la David Blanco ([email protected])

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´ PRINCIPIOS DE LA DINAMICA DE NEWTON

introducci´ on del concepto f´ısico de fuerza. La mec´anica se encarga de establecer una relaci´on entra estas fuerzas o interacciones y los movimientos que provoca. La mec´ anica cl´ asica, que es la que estudiaremos en este curso, se encargar´a de establecer la relaci´ on entre interacci´ on y movimiento para las part´ıculas no demasiado grandes ni demasiado peque˜ nas, movi´endose a velocidades no demasiado altas. Es decir, para los fen´omenos que son observados com´ unmente. La mec´ anica relativista y la mec´anica cu´antica, son las partes de la f´ısica encargadas de extender la anterior relaci´on a los cuerpos grandes y/o movi´endose a gran velocidad, la primera, y para los cuerpos peque˜ nos, la segunda. La mec´ anica proporciona lo que se llama leyes del movimiento, que son relaciones entre las fuerzas y el movimiento que estas provoca. Sin embargo, no se encarga de obtener la expresi´ on propia de las fuerzas, sino que de esto se encarga otra ramas de la f´ısica o a trav´es de la experimentaci´ on. Estas expresiones de las fuerzas se recogen en las leyes de fuerzas. Las leyes de movimiento no son otras cosas que las tres leyes de Newton, y permiten obtener como se van a mover los cuerpos una vez que se tienen las leyes de fuerzas. Por otro lado las leyes de fuerza proporcionan las expresiones matem´aticas de ´estas en funci´on del medio ambiente que rodea a la part´ıcula que se considere.

2.1.

Fuerzas y masas

Estos dos conceptos son los m´ as importantes propios de la din´amica, ya que los conceptos concernientes al movimiento son propios de la cinem´atica. Masa. Es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento. Es escalar y aditiva. Fuerza. Es una medida de la interacci´on del medio ambiente que rodea a la part´ıcula sobre ´esta. Como la interacci´ on tiene car´acter direccional, las fuerzas ser´an vectoriales.

2.2.

Primera ley de Newton o ley de inercia

La primera ley de Newton dice Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectil´ıneo uniforme a menos que se le obligue a variar dicho estado mediante fuerzas que act´ uen sobre ´el. Esta ley viene a decir dos cosas fundamentales. Por un lado establece que el reposo y el movimiento rectil´ıneo son una misma cosa, y por otro permite determinar la ausencia de fuerza. La primera ley proporciona un procedimiento operacional para detectar cuando act´ ua una fuerza neta sobre un cuerpo: cuando no siga un movimiento rectil´ıneo uniforme. Por tanto, la presencia de aceleraci´ on implicar´ a la presencia de fuerza. El principal problema radica en que la aceleraci´ on es una magnitud relativa, dependiente del sistema de referencia elegido. La primera ley es v´ alida s´ olo si el sistema de referencia que se utiliza no tiene aceleraci´on, lo que se conoce como un sistema de referencia inercial. Si se trabaja como un sistema de referencia que tiene una cierta aceleraci´ on ~a, una part´ıcula en reposo se ver´ıa en este sistema como teniendo una aceleraci´ on −~a. Por ejemplo, si nos encontramos en un tren en reposo, con una bola en la mesa delante de nosotros y el tren comienza arranca y comienza a aumentar su velocidad, veremos como la bola se desplaza hacia nosotros. Un observador fuera del tren (inercial) podr´a explicar perfectamente por qu´e la bola se desplaza, pero un observador dentro del tren (no inercial) tendr´ a que recurrir a una fuerza misteriosa que hace rodar la bola.

David Blanco ([email protected])

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´ PRINCIPIOS DE LA DINAMICA DE NEWTON

Por tanto, hay que buscar sistemas de referencia que sean inerciales (sin aceleraci´on), lo que no es tan f´ acil como parece. Por ejemplo, un sistema de referencia centrado en la superficie 2 terrestre posee una aceleraci´ on debida a la rotaci´on de la Tierra, que es del orden de 0,03 m/s (dependiendo de la latitud). Si se toma un sistema de referencia en el centro de la Tierra, pero que no gire con ella, tambi´en tendr´ a una aceleraci´on debida a la traslaci´on en torno al Sol, siendo 2 del orden de 0,006m/s . Pero si nos vamos a un sistema de referencia fijo en el Sol, tambi´en existir´ a una aceleraci´ on debida a la rotaci´on del Sistema Solar entorno al centro de la galaxia, 2 que se estima del orden de 3 · 10−10 m/s .

2.3.

Segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton dice La variaci´ on del movimiento de una part´ıcula es proporcional a la fuerza que act´ ua sobre el cuerpo y se realiza en la direcci´ on de la recta en que act´ ua la fuerza. Matem´ aticamente, esta ley se puede expresar como: F~ = m~a

(3)

donde F~ es la resultante de las fuerza (la suma de todas las fuerzas), ~a es el vector aceleraci´on que se estudi´ o en cinem´ atica y representa “la variaci´on del movimiento”, y m es la constante de proporcionalidad entre las dos magnitudes que se conoce como masa de la part´ıcula. Es conveniente resaltar que la ecuaci´on (3) es una ecuaci´on vectorial, lo implica tres igualdades. La segunda ley de Newton proporciona una procedimiento operacional para medir fuerzas. Estas fuerzas son vectores, por lo que cumple el principio de superposici´ on, es decir, se pueden sumar vectorialmente. Esto, al igual que cualquier resultado obtenido directamente de las leyes de Newton, es un hecho experimental y no es el resultado de una definici´on o una deducci´on, ya que las leyes se obtuvieron directamente de la experimentaci´on. Las unidades de masa son el kilogramo en el S.I. y el gramo en el CGS.; por lo que las unidades 2 2 2 de fuerza ser´ an kg m/s en el S.I., que recibe el nombre de Newton (1 N = 1kg m/s ), y g cm/s 2 −5 en el C.G.S., que recibe el nombre de dina (1 din = 1g cm/s = 1 · 10 N).

2.4.

Momento lineal o cantidad de movimiento

La segunda ley de Newton se refiere a la “variaci´on del movimiento” de un cuerpo, y este “movimiento” se ha identificado con velocidad (ya que la variaci´on de movimiento se ha identificado con aceleraci´ on). Sin embargo, el estado de movimiento de un pu˜ no a 30 km/h y de un mosquito a 30 km/h no es el mismo (si no me cree p´ongase delante de un pu˜ no y de un mosquito y compruebe por s´ı mismo si la situaci´on f´ısica es la misma). Este estado de movimiento se describe m´ as correctamente con una magnitud llamada momento lineal o cantidad de movimiento, que se define como el producto de la masa de la part´ıcula por su velocidad: p~ = m~v El momento lineal se mide en kg m/s, en el S.I.. Con esta definici´ on la segunda ley de Newton se puede escribir de una forma m´as general, resultando: d~ p (4) F~ = dt David Blanco ([email protected])

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´ PRINCIPIOS DE LA DINAMICA DE NEWTON

Esta expresi´ on de la segunda ley incluye la expresi´on (3), en el caso de part´ıculas de masa constante, pero permite extender la segunda ley a part´ıculas de masa variable, como es el caso de cohetes o aviones a reacci´ on. La expresi´ on (4) de la segunda ley de Newton tambi´en permite reformular la primera ley, de forma que en ausencia de fuerza neta (F~ = ~0), se tiene que el momento lineal de la part´ıcula permanece constante (~ p = cte). Este resultado se conoce como principio de conservaci´ on del momento lineal para una part´ıcula.

2.5.

Impulso

De la expresi´ on (4), se puede obtener que para un intervalo de tiempo muy peque˜ no dt se cumple F~ dt = d~ p Como la anterior expresi´ on es cierta para cualquier intervalo de tiempo infinitesimal, ser´a v´alida tambi´en para una suma de estos intervalos. Es decir Z p~b Z tb d~ p = p~b − p~a F~ dt = ta

p ~a

~ se define como el t´ermino de la izquierda de esta u El impulso de una fuerza, I, ´ltima igualdad, es decir: Z tb I~ = F~ dt ta

El impulso se mide en Ns y el impulso de la resultante de las fuerzas cumple: I~ = ∆~ p Que se conoce como teorema de la cantidad de movimiento, e implica que el impulso de una fuerza puede verse como la efectividad de dicha fuerza para camibiar el estado de movimiento de un cuerpo.

2.6.

Tercera ley de Newton

La tercera ley de Newton dice A toda acci´ on se le opone siempre una reacci´ on igual: osea, las acciones mutuas entre dos cuerpos un sobre otro se dirigen siempre en sentidos opuestos Esto quiere decir que si la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2 se nota F~12 , y la fuerza que el cuerpo 2 ejerce 1 se nota como F~21 , se tiene F~12 = −F~21

(5)

As´ı, una fuerza por s´ı sola es u ´nicamente la mitad de una interacci´on mutua entre dos cuerpos, y cualquiera de las dos portes de la interacci´on se puede considerar como acci´on y cualquiera como reacci´ on. Es importante notar que las fuerzas F~12 y F~21 no se anulan, desde el punto de vista de la din´ amica de una part´ıcula, ya que act´ uan sobre cuerpos distintos. Si sobre los cuerpo 1 y 2 s´ olo act´ uan las anteriores dos fuerzas, aplicando la segunda ley de Newton sobre estos cuerpos 1 y 2, se tiene: d~ p2 d~ p1 y F~12 = F~21 = dt dt David Blanco ([email protected])

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TIPOS DE FUERZA

Sumando las dos ecuaciones se tiene: d~ p1 d~ p2 d(~ p1 + p~2 ) F~12 + F~21 = + = dt dt dt pero como se cumple (5), entonces la suma de los dos momentos lineales individuales de las dos part´ıculas es constante: p~1 + p~2 = cte Este anterior resultado se conoce como principio de conservaci´ on del momento lineal para dos part´ıculas. Este resultado es f´ acil de extender a m´as part´ıculas, resultando que para un sistema de part´ıculas, si s´ olo act´ uan fuerzas internas (entre las part´ıculas), la suma de los momentos lineal de todas las part´ıculas se conserva. Este hecho se volver´a a deducir en la Secci´on 7, cuando se trate m´ as extensamente con sistemas de part´ıculas.

3.

Tipos de fuerza

Como ya se dijo en la secci´ on anterior, una vez conocidas la fuerzas, las leyes de Newton proporcionan una descripci´ on completa del movimiento de la part´ıcula. Sin embargo, la obtenci´on de la expresi´ on de las fuerzas no es un trabajo propio de la mec´anica, sino que se tienen que obtener mediante experimentaci´ on u otras ramas de la f´ısica. Son las que antes hemos llamado leyes de fuerza. A continuaci´ on se estudiaran brevemente las fuerzas m´as comunes con las que podemos encontrarnos.

3.1.

Fuerzas fundamentales

Aunque existen muchas situaciones distintas donde las fuerzas toman expresiones dispersas, todas las interacciones se pueden reducir a cuatro interacciones o fuerzas fundamentales: gravitatoria, electromagn´etica, fuerte y d´ebil. La interacci´ on fuerte es la responsable de la estabilidad de los n´ ucleos at´omicos, estableci´endose entre hadrones; mientras que la interacci´on d´ebil se produce entre cualquier tipo de part´ıculas elementales, siendo de mucho menor valor que la interacci´on fuerte. Estas dos interacciones son de corto alcance y s´ olo tienen efectos a escala nuclear. La fuerza gravitatoria que una masa m1 ejerce sobre otra masa m2 resulta: m1 m2 ~ F~g = −G 3 R 12 R12 ~ 12 es el vector que va de m1 a m2 . donde G es la constante de gravitaci´ on universal y R La fuerza electromagn´etica se establece entre cargas. Para una carga, q, movi´endose dentro ~ y un campo magn´etico B, ~ la fuerza que los campos hacen sobre la carga de un campo el´ectrico E es: ~ + ~v ∧ B) ~ F~e = q(E donde ~v es la velocidad de la part´ıcula. Los dos tipos de fuerzas anteriores son fuerzas de largo alcance y, por tanto, son las u ´nicas que intervienen significativamente en los fen´omenos macroc´opicos. Sin embargo, para un electr´on se tiene que el cociente Fe /Fg es del orden de 1036 , por lo que siempre que haya fen´omenos el´ectricos el efecto de las fuerzas gravitatorias se puede despreciar. Por tanto, todos los fen´omenos macrosc´ opicos, salvo el peso, se deben a interacciones electromagn´eticas. A´ un as´ı, es imposible explicar muchas de las fuerzas cotidianas (tensiones, fuerzas de rozamientos, fuerzas impulsivas,. . . ) a partir de estas fuerzas fundamentales, y es necesario recurrir a la experimentaci´on para poder explicarlas. David Blanco ([email protected])

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TIPOS DE FUERZA

3.2.

Peso y peso aparente

El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a los cuerpos que est´an sobre ella. Se puede medir a trav´es de la aceleraci´ on que adquiera un cuerpo en ca´ıda libre ~g , que ser´a independiente de la masa del cuerpo, de forma que el peso P~ es P~ = m~g La aceleraci´ on de la gravedad ~g depende de varios factores, como la latitud, la altura, la proximidad de grandes masas como monta˜ nas, etc.; por lo que P~ no es una propiedad intr´ınseca de los cuerpos, sino que var´ıa de unas posiciones a otras. La sensaci´ on que nosotros tenemos de la acci´on de la fuerza gravitatoria no proviene directamente del peso sino a trav´es de las fuerzas que compensan o act´ uan como reacci´on a este peso. El ejemplo m´ as habitual de estas fuerzas que compensan es la fuerza normal (se estudiar´a un poco m´ as adelante en la secci´ on de fuerzas de ligadura). Las fuerza de reacci´ on que equilibra el peso se conocen como peso aparente. Cuando no hay reacci´ on que lo equilibre, el peso aparente es nulo y se conoce como situaci´on de ingravidez. Ejemplo. Calcular el peso aparente de un cuerpo en suelo de un ascensor est´ a acelerando. Cuando un cuerpo est´ a situado en el suelo de un ascensor, las fuerzas que act´ uan sobre ´el son el peso, vertical y hacia abajo, y la fuerza normal que el suelo ejerce sobre el cuerpo y evita que el cuerpo “penetre” en el suelo, que ser´a tambi´en vertical pero hacia arriba. Por tanto, la suma de estas fuerzas ser´a igual a la masa del cuerpo por la aceleraci´ on. La componente vertical de la segunda ley de Newton quedar´ıa: N − mg = ma donde a es la aceleraci´ on que lleva el ascensor (y por ello el cuerpo que se mueve con ´el). La fuerza que aparece como reacci´on al peso es la normal, y por lo tanto esta es el peso aparente, y resulta: N = m(g + a) Si se coloca una balanza en el suelo del ascensor y el cuerpo encima, cuando el ascensor no acelera, la normal ser´a N = mg y ´este ser´a el peso aparente que medir´a la balanza. Pero si el ascensor acelera hacia arriba, a ser´a positiva, la normal ser´a N = m(g + a), mayor que mg, y la balanza medir´a un peso mayor que el que en realidad tiene. Y al contrario, si el ascensor lleva una aceleraci´on hacia abajo, a ser´a negativa, la normal ser´ a N = m(g − a), menor que mg, y la balanza medir´a un peso menor que el que en realidad tiene. El caso l´ımite ser´a cuando el ascensor tenga una aceleraci´on hacia abajo igual a la aceleraci´ on de la gravedad, entonces N = 0 y el peso aparente es nulo, lo que antes se ha llamado situaci´on de ingravidez. (¿Qu´e pasar´a cuando la aceleraci´ on sea hacia abajo y mayor que la gravedad?)

3.3.

Fuerza de rozamiento entre s´ olidos

Es una fuerza de tipo electromagn´etico y su origen es la repulsi´on que se ejerce entre mol´eculas de distintos materiales en las superficies imperfectas en contacto. A´ un as´ı, no es posible estudiar sus propiedades ni su expresi´ on partiendo de consideraciones electromagn´eticas, sino que hay que recurrir a la experiencia para poder tratarla. A trav´es de experimentos se observa que la fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento relativo entra las superficies en contacto, o bien a la tendencia al movimiento (no David Blanco ([email protected])

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TIPOS DE FUERZA

es necesario que se muevan para que aparezcan estas fuerzas). Dentro de ciertos m´argenes es independiente de la velocidad de las superficies y del ´area de las mismas, siendo directamente proporcional a la fuerza normal que se genera entre ellas (si no hay fuerza normal entre las superficies no existe fuerzas de rozamiento). Existe por tanto dos tipos de fuerzas de rozamiento: la fuerza de rozamiento est´atica y la fuerza de rozamiento din´ amica. En la primera existe una tendencia al movimiento, pero no se produce movimiento y es el caso que ocurre cuando empujamos algo sin llegar a moverlo. Si µe ~ es la fuerza normal a las dos es el coeficiente de rozamiento est´ atico entre las dos superficies y N superficies, el m´ odulo de la fuerza de rozamiento est´atica es: FRe ≤ µe N La direcci´ on es la misma que la “tendencia al movimiento” y el sentido oponi´endose a ´el. Es conveniente notar que la expresi´ on de esta fuerza nos da un l´ımite m´aximo, a partir del cual el cuerpo se mover´ a, pero no nos proporciona el valor num´erico de dicha fuerza (ser´a una inc´ognita). Por otro lado, si las superficies en contacto se mueven una respecto de otra y µd es el coeficiente de rozamiento din´ amico entre las dos superficies, el m´odulo de la fuerza de rozamiento din´amica es: FRd = µd N La direcci´ on es la misma que la velocidad relativa y el sentido contrario a esta.

3.4.

Fuerza de rozamiento en fluidos

Esta fuerza es tambi´en una fuerza de rozamiento, pero en este caso no existe fuerza est´atica. Como tal se opone al movimiento, pero en este caso depende de las propiedades del fluido (viscosidad), de la geometr´ıa del cuerpo y es directamente proporcional a la velocidad. F~r = −b~v donde b es una constante dependiendo de la geometr´ıa del cuerpo y de la viscosidad del fluido. Por ejemplo, para una esfera movi´endose en el seno de un fluido newtoniano, la fuerza de rozamiento viscosa queda F~r = −6πRη~v donde R es el radio de la esfera y η es la viscosidad del fluido. Ejemplo. Obtener la ecuaci´ on del movimiento de un cuerpo en ca´ıda libre sufriendo la fuerza de rozamiento debido al aire. Suponer que el cuerpo se encuentra suficientemente cerca de la superficie terrestre para considerarse la gravedad constante. Supongamos que el cuerpo parte del reposo, por la acci´on de la gravedad comienza a acelerar verticalmente hacia abajo y en el momento que adquiere velocidad, aparece la fuerza resistiva hacia arriba. Por tanto dos son las fuerzas que act´ uan sobre el cuerpo: el peso y la fuerza de rozamiento. Seg´ un la segunda ley de Newton en la direcci´ on vertical se tiene: FR − P = ma Sustituyendo el valor de la fuerza de rozamiento se tiene: −bv − mg = ma ⇒ −

David Blanco ([email protected])

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dv b v−g = m dt Curso 2009-2010

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TIPOS DE FUERZA

Si notamos B =

b m,

agrupamos las variables t y v en miembros distintos, se tiene:

dv dt = ⇒ −Bv − g

t

Z

Z dt =

0

0

v

dv 1 ⇒ t = − ln −Bv − g B



Bv + g g



Y despejando la velocidad y sustituyendo el valor de B se obtiene:  mg  − bt e m −1 v= b Se puede observar como inicialmente la velocidad es nula y va aumentado hacia abajo hasta que en el infinito toma un valor fijo, conocido como velocidad l´ımite e igual a: vl = −

mg b

Es f´ acil comprobar como la velocidad l´ımite corresponde con la situaci´on en la que FR = mg. Para obtener la ecuaci´ on del movimiento no hay m´as que integrar la ecuaci´on de la velocidad: Z y Z t   dy mg  − bt mg  − bt m =v= e −1 ⇒ dy = e m − 1 dt ⇒ dt b b y0 0  mg  m − bt m +t ⇒ y − y0 = − e m+ b b b Lo que permite obtener la ecuaci´on del movimiento:  bt mg  m y = y0 + t+ 1 − e− m b b Como puede verse, la ecuaci´ on del movimiento dista mucho de la t´ıpica ecuaci´on de ca´ıda libra, en la cual el espacio aumenta con el cuadrado del tiempo. Si el rozamiento es peque˜ no, la exponencial se puede expresar siguiendo un desarrollo en serie de Tailor (se estudiar´ a en c´ alculo m´ as adelante) como: bt

e− m = 1 −

1 b2 2 b t+ t + ... m 2 m2

Si nos quedamos a orden 2 (despreciamos potencias mayores de 2 de b, ya que ser´an muy peque˜ nas) y se sustituye este desarrollo en la ecuaci´on del movimiento nos queda: 1 y = y0 − gt2 2 Que corresponde con la ecuaci´ on del movimiento en ausencia de rozamiento.

3.5.

Fuerzas el´ asticas

La fuerza el´ astica es la fuerza recuperadora que aparece al deformarse un s´olido y tiende a que ´este recupere su forma original. En general depende de la naturaleza del cuerpo y de cuanto se haya deformado. Dentro del margen de elasticidad (antes de que la deformaci´on sea tan grande que se vuelva permanente o se rompa) y para deformaciones en una dimensi´on (que tomaremos como el eje x), la expresi´ on es F~e = −k∆xˆı David Blanco ([email protected])

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TIPOS DE FUERZA

donde k es la constante el´ astica del material y ∆x es la deformaci´on que sufre el material. Como puede verse la fuerza act´ ua en sentido contrario a la deformaci´on. El caso m´ as t´ıpico que se suele encontrar es el de muelles, de forma que k se conoce como la constante del muelle y ∆x es lo alargado o encogido que se encuentre el muelle desde su posici´on de relajo. Ejemplo. Obtener la ecuaci´ on del movimiento de un cuerpo sometido u ´nicamente a la acci´ on de una fuerza el´ astica. Suponer que cuando el cuerpo se encuentra en el origen de coordenadas el muelle est´ a relajado y que inicialmente el cuerpo se encuentra en reposo en x = A. Como el cuerpo se encuentra originalmente en reposo y el origen de coordenadas corresponde con la situaci´ on en la que el muelle est´a relajado, el cuerpo se mueve sobre el eje x bajo la acci´ on de una fuerza en la direcci´on ˆı y de m´odulo Fe = −kx. Aplicando la segunda ley de Newton en la direcci´on ˆı, queda Fe = ma ⇒ −kx = ma Si se tiene en cuenta la definici´ on de la aceleraci´on la ecuaci´on anterior queda: −

dv k x= m dt

Se observa como hay dos funciones x y v que dependen del tiempo de una forma desconocida. No se puede realizar el mismo procedimiento que se hizo para la fuerza de rozamiento en fluidos, ya que no hay una sola funci´on, a parte del tiempo, sino dos. Por eso, hay que intentar eliminar una de las funciones o el tiempo, para poder despejar y luego integrar. Para eso se multiplica y se divide el t´ermino derecho de la ecuaci´ on por la velocidad y luego se utiliza la definici´on de velocidad y se simplifica: −

k v dv v dv dv k dv x= = dx =v ⇒ − x=v m v dt dt dx m dx dt

Una vez realizado este procedimiento lo que se tiene es una igualdad funcional en la que s´ olo intervienen dos funciones x y v, por lo que se puede despejar y luego integrar: Z x Z v k k − xdx = vdv ⇒ − xdx = vdv m A m 0 donde se ha tenido en cuenta las condiciones iniciales indicadas. La integral es f´acil de realizar y permite obtener la velocidad en funci´on de la posici´on: r   k A2 x2 v2 k − = ⇒ v= (A2 − x2 ) m 2 2 2 m Sin embargo, esto no es lo que se pide, ya que la ecuaci´on del movimiento corresponde con la expresi´ on de la posici´on en funci´on del tiempo. Para obtenerla hay que tener en cuenta la definici´ on de la velocidad como v = dx dt , que sustituyendo en la anterior ecuaci´ on queda: r Z x Z t dx dx dx k q = (A2 − x2 ) ⇒ q = dt ⇒ = dt dt m k k A 0 (A2 − x2 ) (A2 − x2 ) m

David Blanco ([email protected])

m

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TIPOS DE FUERZA

La integral de la izquierda se puede hacer f´acilmente sin m´as hacer la transformaci´on r Z x Z x m dx dx q √ = 2 − x2 k k A 2 2 A A m (A − x )
x que es una integral inmediata, cuya primitiva es arcsen A . Con esto la igualdad que relaciona x y t queda: r    x A m − arcsen arcsen =t k A A pero el arcoseno de uno es igual a cero, con lo que la anterior ecuaci´on queda: r x r k x m = t ⇒ arcsin = arcsen t k A A m Si se toma seno en ambas partes de la igualdad, se obtiene la ecuaci´on del movimiento: r ! k x = Asen t m Si se define ω =

q

k m

la anterior ecuaci´on queda como: x = Asen (ωt)

que corresponde con la ecuaci´ on de un movimiento oscilatorio arm´onico simple, de frecuencia angular ω, amplitud A y fase inicial nula.

3.6.

Fuerzas de ligadura

Todas las fuerzas que se han estudiado hasta ahora son fuerzas activas, es decir, pueden actuar sobre el cuerpo cambiando el estado de movimiento. Las fuerzas de ligadura, por el contrario no son fuerzas activas, sino que son responsables de mantener ciertas condiciones geom´etricas. Por ejemplo, para un cuerpo movi´endose encima de una superficie horizontal, una condici´on geom´etrica del problema ser´ a que todo el movimiento que realice el cuerpo debe restringirse a la regi´ on por encima de la mesa, aunque haya fuerzas verticales hacia abajo. En este caso la mesa generar´ a una fuerza perpendicular que se conoce como fuerza normal y que impedir´a que el cuerpo atraviese la mesa. La fuerza normales suelen aparecer cuando existen superficies r´ıgidas y es el ejemplo m´as com´ un de las fuerzas de ligadura, pero existen otras muchas, como por ejemplo un cuerpo obligado a moverse a lo largo de un alambre o un canal.

3.7.

Fuerzas de inercia

Consideremos una part´ıcula en reposo, por lo que su aceleraci´on cumple ~a = ~0. Si describimos su movimiento desde un sistema de referencia no inercial, con aceleraci´on ~a0 , lo que se ver´a es que la part´ıcula se mueve con una aceleraci´on ~a0 = −~a0 . Si en el sistema de referencia no inercial intentamos aplicar la segunda ley de Newton (lo que sabemos que es incorrecto, ya que las leyes de Newton s´ olo son v´ alidas en sistemas de referencia inerciales) quedar´ıa F~ = −m~a0 David Blanco ([email protected])

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TRABAJO Y ENERG´IA

Por lo tanto deducimos que debe haber una fuerza, de valor −m~a0 que provoque la aceleraci´on que vemos, aunque no podamos encontrar una agente que genera dicha aceleraci´on. Por tanto, para encontrar las fuerzas de inercia en un sistema de referencia no inercial, hay que saber de antemano cual es la aceleraci´ on a0 del sistema de referencia; en cuyo caso, la fuerza de inercia que act´ ua sobre la part´ıcula quedar´ıa F~i = −m~a0 Estas fuerzas no son necesarias si se trabaja en sistemas de referencias inerciales, que es lo m´ as c´ omodo y lo aconsejado en este curso. Se suele decir que las fuerzas de inercia son fuerzas ficticias, porque no existe nada que las genere, y en este curso pensaremos precisamente esto: no existen fuerzas de inercia. La anterior afirmaci´ on es incorrecta a la luz del principio de relatividad general de Einstein, en el que se afirma que son indistinguibles un campos de aceleraciones y un campo gravitacional. Decir que una fuerza de inercia no existe ser´ıa equivalente, seg´ un ese principio, a decir que la aceleraci´on de la gravedad no existe.

4.

Trabajo y energ´ıa

Las leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de una part´ıcula cuando se conoce la fuerza en funci´ on del tiempo, es decir F~ = F~ (t). Sin embargo, en la mayor´ıa de las situaciones pr´ acticas, lo que se conoce es la fuerza en funci´on de la posici´on, es decir, F~ = F~ (~r). Es por esto que es conveniente introducir el concepto de energ´ıa para estudiar el movimiento de sistemas cuyas fuerzas dependan de la posici´on. Adem´as, el concepto de energ´ıa permitir´a abordar problemas incluso desconociendo la ley de fuerzas, siempre que se puedan realizar suposiciones razonables sobre su naturaleza. Este concepto de energ´ıa relaciona campos de la f´ısica aparentemente inconexos, como electromagnetismo, mec´anica o f´ısica de part´ıculas. El concepto de energ´ıa se introducir´a a partir del de trabajo, aunque hist´oricamente surgieran al rev´es.

4.1.

Trabajo

Una fuerza F~ = F~ (~r) se puede ver como un campo vectorial, por lo que se puede definir la circulaci´ on de la fuerzas entre dos puntos, a lo largo de una determinada trayectoria. El trabajo W de la fuerza se define como esta circulaci´on. Z ~rb W = F~ · d~r ~ ra C

Por tanto, el trabajo es una magnitud escalar que depende de los puntos iniciales y finales y de la trayectoria C. La unidade del trabajo en el S.I. es el julio que equivale a un Newton por metro 1 J = 1 Nm. En es sistema CGS, la unidad se conoce como ergio, que equivale a una dina por cent´ımetro, 1 erg = 1 din cm. Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento en todos los puntos de la trayectoria, el trabajo es nulo. Esto sucede sucede, por ejemplo, si un hombre levanta un cuerpo de 100 kg y, mientra los sostiene, lo traslada horizontalmente con velocidad constante. Durante el traslado, la u ´nica fuerza que genera el hombre es una fuerza vertical hacia arriba que contrarresta al peso. Es f´acil ver que si se desplaza horizontalmente, la fuerza que genera el hombre y el desplazamiento son perpendiculares, y por tanto el trabajo es nulo. David Blanco ([email protected])

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TRABAJO Y ENERG´IA

Las trayectorias pueden ser cerradas, es decir, parten de un punto y terminan en el mismo punto. En este caso el trabajo realizado a trav´es una trayectoria cerrada C se nota como: I W = F~ · d~r C

Ejemplo 1. Trabajo realizado por el peso de un objeto situado cerca de la superficie terrestre cuando describe una trayectoria arbitraria desde Pi = (xi , yi , zi ) hasta Pf = (xf , yf , zf ). La fuerza peso que se ejerce sobre un cuerpo cerca de la superficie terrestre es consˆ donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleraci´on de tante y cumple F~ = −mg k, la gravedad es esa regi´ on y el versor kˆ es vertical y hacia arriba. La trayectoria se ˆ Si se realiza el producto vectorial supone gen´erica, por lo que d~r = dxˆı + dyˆ  + dz k. ~ F · d~r = −mgdz. Introduciendo este resultado en la definici´on de trabajo queda: Z

Pf

W =

F~ · d~r = −

Pf

Z

Z

zf

mgdz = −mg

Pi

Pi

dz = −mg(zf − zi ) = −mg∆z zi

Por tanto, el trabajo realizado no depende de la trayectorias ni de las coordenadas x e y de los puntos iniciales y finales, sino s´olo de la diferencia de alturas entre el punto inicial y el punto final, ∆z. Ejemplo 2. Calcular el trabajo realizado por la fuerza centr´ıpeta en un movimiento circular. En un movimiento circular la trayectoria es un c´ırculo, por lo que la velocidad ~v y el desplazamiento d~r son dos vectores tangentes a dicho c´ırculo. La fuerza centr´ıpeta, por definici´ on, apunta siempre hacia el centro de curvatura, lo que en este caso coincide con con un radio del c´ırculo. Por tanto, la fuerza centr´ıpeta y el vector desplazamiento son perpendiculares lo que producen que: Z

B

F~ · d~r = 0

W = A

ˆ calcular el trabaEjemplo 3. Dada la fuerza F~ = 2xyˆı + (x2 + 2yz 3 )ˆ  + 3y 2 z 2 k, jo realizado entre los punto P1 = (0, 0, 0) y P2 = (1, 2, 3) siguiendo las siguientes trayectorias: a) (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 2, 0) → (1, 2, 3); b) por la recta que pasa directamente por los puntos P1 y P2 . (Nota: todas las unidades est´ an en S.I.) a) El trabajo total W se puede ver como la suma de los trabajos empleados en recorrer cada uno de los trozos: W = W1 + W2 + W3 . En el trozo 1, d~r = dxˆı, por lo que Z

P2

W1 =

F~ · d~r =

P1

Z

1

Z Fx dx =

0

1

2xydx 0

Como en este primer trozo y = 0 durante todo el trayecto, hay que sustituir y por 0 en la anterior integral y resulta W1 = 0. En el trozo 2, d~r = dxˆ , por lo que Z

P2

W2 = P1

David Blanco ([email protected])

F~ · d~r =

Z

2

Z Fy dy =

0

2

(x2 + 2yz 3 )dy

0

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TRABAJO Y ENERG´IA

Como en este segundo trozo x = 1 y z = 0 durante todo el trayecto, sustituyendo queda Z 2 W2 = dy = 2 J 0

. ˆ por lo que En el trozo 3, d~r = dxk, Z Z P2 ~ F · d~r = W3 =

3

Z

0

P1

3

Fz dz =

3y 2 z 2 dz

0

Como en este tercer trozo x = 1 y y = 2 durante todo el trayecto, sustituyendo queda Z 3  3 W3 = 12z 2 dz = 4z 3 0 = 108 J 0

. El trabajo total ser´ a W = W1 + W2 + W3 = 110 J b) En este segundo caso, el vector desplazamiento lleva siempre la direcci´on de la l´ınea que une P1 con P2 . El vector que une dichos dos puntos se puede construir f´ acilmente restando las correspondientes coordenadas. As´ı, si ~r1 y ~r2 son los vectores de posici´ on de los puntos P1 y P2 , el vector que une los dos puntos ser´a ~r12 = ~r2 − ~r1 = ˆı + 2ˆ  + 3kˆ La trayectoria en este caso es una recta de vector director ~r12 y que pasa por el origen, por lo que la ecuaci´ on de la recta en param´etricas ser´a: x = λ; y = 2λ; z = 3λ lo que diferenciando queda: dx = dλ; dy = 2dλ; dz = 3dλ Esta es la condici´ on que cumple cada una de las coordenadas del vector desplazamiento d~r es su movimiento de P1 a P2 , por lo que el vector desplazamiento queda: d~r = dλˆı + 2dλˆ  + 3dλkˆ Con esto se puede calcular ya el trabajo total W : Z P2 Z P2 ~ W = F · d~r = (Fx dλ + 2Fy dλ + 3Fz dλ) = P1 1

Z

0

P1


4 2 216 324 4λ2 dλ + 2(λ2 + 108λ4 )dλ + 324λ4 dλ = + + + = 2 + 108 3 3 5 5

con lo que W = 110 J Se ha visto que el trabajo de dos mismos puntos a trav´es de dos trayectorias iguales ha David Blanco ([email protected])

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Curso 2009-2010

4

TRABAJO Y ENERG´IA

resultado id´entico. Esto no significa que si se toma una tercera trayectoria entre los dos puntos, el trabajo vaya a salir igual que en los dos casos anteriores. Se estudi´o que para que esto sea as´ı, el rotacional de la fuerza debe ser cero en todo punto. Comprobemos si es as´ı: ˆı ˆ kˆ ˆ kˆ ˆı ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ~ ∧ F~ = ∂ = rotF~ =∇ ∂x ∂y ∂z = ∂x ∂y ∂z F 2 3 2 2 Fy Fz 2xy x + 2yz 3y z x (6yz 2 − 6yz 2 )ˆı − (0 − 0)ˆ  + (2x − 2x)kˆ = 0 Por lo tanto, el trabajo entre los puntos P1 y P2 a trav´es de cualquier trayectoria es W = 110 J

4.2.

Potencia

La potencia es una magnitud que relaciona el trabajo realizado por una fuerza y el tiempo empleado en realizar dicho trabajo. En principio si una fuerza realiza un determinado trabajo al llevar una part´ıcula de una posici´ on a otra, no hay nada en esta informaci´on que permita indicar si la fuerza ha tardado m´ as o menos tiempo en realizar dicho trabajo y por tanto en recorrer el trayecto. Por lo tanto se pueden tener situaciones en las que el trabajo realizado por fuerzas muy distintas sea el mismo. La potencia que realiza una fuerza se define, por tanto, como la derivada del trabajo realizado por una fuerza con respecto al tiempo: dW P = dt Es por tanto una magnitud escalar, y sus unidades en el S.I. es el watio, 1 W = 1J/s, y en el CGS las unidades ser´ an ergios por segundo. Es f´ acil encontrar otra expresi´ on para la potencias sin m´as que sustituir la expresi´on del trabajo diferencial dW = F~ · d~r en la definici´on: P =

dW F~ · d~r d~r = = F~ · = F~ · ~v dt dt dt

es decir, la potencia que realiza una fuerza es el producto escalar de dicha fuerza por la velocidad.

4.3.

Energ´ıa

La energ´ıa es una magnitud f´ısica que mide la capacidad que un sistema o un cuerpo tiene de producir un trabajo. Se podr´ıa decir que es como un “almac´en de trabajo”. Es tambi´en una magnitud escalar y se mide en las mismas magnitudes que el trabajo. Los dos tipos de energ´ıa que aparecen en mec´anica son: Energ´ıa cin´etica: la capacidad que tiene un cuerpo de producir trabajo debido a la velocidad que lleva el cuerpo. Energ´ıa potencial: la capacidad que tiene un cuerpo de producir trabajo debido a la posici´on o configuraci´ on que tiene el cuerpo, respecto de una campo de fuerzas externo.

David Blanco ([email protected])

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Curso 2009-2010

5

FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERG´IA POTENCIAL

4.4.

Teorema de conservaci´ on de la energ´ıa cin´ etica

Este teorema tambi´en se conoce cl´ asicamente con el nombre de Teorema de las Fuerzas Vivas. Consideremos una part´ıcula de masa m que se mueve bajo la acci´on de una fuerza resultante F~ . En este caso, el trabajo que realiza dicha fuerza resultante para ir del punto A al punto B es: Z B WA→B = F~ · d~r A C

pero como F~ es la resultante de las fuerza cumple la segunda ley de Newton: Z B Z B Z B Z B d~r d~v d~v · d~v · ~v · d~r = m =m m~a · d~r = m WA→B = dt A A A dt A Para hacer esta integral s´ olo hay que diferenciar la igualdad ~v · ~v = v 2 , que produce d(~v · ~v ) = d~v · ~v + ~v · d~v = 2~v · d~v = d(v 2 ) por tanto ~v · d~v = 21 d(v 2 ). Si esto se sustituye en la expresi´on del trabajo: Z B 1 1 1 2 2 d(v 2 ) = mvB WA→B = m − mvA 2 2 2 A Si se define la energ´ıa cin´etica de una part´ıcula como Ec = 21 mv 2 , el resultado anterior implica que el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas es igual a la variaci´on de energ´ıa cin´etica: W = ∆Ec Es importante notar que este resultado s´olo es v´alido para la resultante de las fuerzas. Si, por ejemplo, sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas F~1 y F~2 , los trabajos W1 y W2 realizados por estas dos fuerzas en el desplazamiento de un cuerpo en general no ser´an igual a la variaci´on de energ´ıa potencial (W1 6= ∆Ec y W2 6= ∆Ec ). Por u ´ltimo, una duda que se nos podr´ıa presentar es que tanto W como Ec dependen del sistema de referencia inercial que se tomen (a trav´es de la velocidad y la posici´on respectivamente). Sin embargo, es f´ acil comprobar que el teorema de conservaci´on de la energ´ıa cin´etica se cumple para cualquiera de estos sistemas inerciales.

5.

Fuerzas conservativas. Energ´ıa potencial

En general WA→B es una funci´ on de camino, es decir, depende de la trayectoria recorrida para ir de A a B. Sin embargo, existen ciertas fuerzas para las que el trabajo no depende del camino, es decir: Z B Z B WA→B = F~ · d~r = F~ · d~r A C1

A C2

para dos caminos cualquiera C1 y C2 distintos. La primeraHconsecuencia de esta definici´on es lo que sucede con el trabajo sobre un camino cerrado W = F~ · d~r. En cualquier trayectoria cerrada como la que se muestra en la Figura 5, se pueden definir dos puntos A y B, de forma que sobre la trayectoria total se definen dos trayectorias parciales, C1 que va de A a B siguiendo C, y C2 que va de B a A siguiendo C (ver Figura 5). Entonces, el trabajo a trav´es de la trayectoria cerrada C se puede escribir como: I Z B Z A F~ · d~r = F~ · d~r + F~ · d~r (6) C

David Blanco ([email protected])

A C1

B C2

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5

FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERG´IA POTENCIAL

z

C1 A

O

B

C

Igual que se puede ir de B a A a trav´es de C2 , tambi´en se puede ir de A a B a trav´es del mismo camino, sin m´as que invertir cada uno de los pasos infinitesimales que componen la circulaci´on, lo que supone cambiar d~r en cada paso por −d~r. Por lo tanto se cumple: Z B Z A F~ · d~r F~ · d~r = − A C2

B C2

C2 y

x

Si este resultado se sustituye en (6), el trabajo a trav´es de una trayectoria cerrada queda: Z B I Z B F~ F~ · d~r − F~ · d~r = A C1

C

Figura 5: Trayectoria cerrada.

A C2

Pero si la fuerza es conservativa el trabajo entre dos puntos no depende del camino, y se llega a la conclusi´on: I F~ · d~r = 0 C

Es decir, el trabajo a trav´ es de cualquier trayectoria cerrada de una fuerza conservativa es nulo. Esto ya se enunci´ o en el tema anterior para cualquier campo vectorial conservativo, pero no se demostr´ o como se acaba de hacer. De hecho, todo lo que estudi´ o en el tema anterior para campos vectoriales conservativos se puede aplicar a fuerzas conservativas (como caso particular de campo vectorial conservativo). ~ ∧ F~ = 0. Por ejemplo, seg´ un el teorema de Stokes, para fuerzas conservativas se cumple ∇ Otra propiedad que se estudio para campos vectoriales conservativos es que se pueden expresar como el gradiente de un campo escalar, lo que implica que la circulaci´on entre dos puntos se puede expresar como la variaci´ on de esta funci´on escalar entre los dos puntos extremos de la trayectoria. Si f (~r) es el campo escalar al que nos referimos para la fuerza F~ , esto significa: Z ~rB ~ F~ = ∇f and W~rA →~rB = F~ · d~r = f (~rB ) − f (~rA ) ~ rA

Por motivos hist´ oricos no se utiliza esta funci´on escalar f sino menos esta funci´on escalar, y se la denomina energ´ıa potencial, Ep . Por tanto, para toda fuerza conservativa se puede definir una energ´ıa potencial y el trabajo de esta fuerza es igual a menos la variaci´ on de la energ´ıa potencial:
WA→B = −∆Ep = − Ep B − Ep A Ejemplo 1. Estudiar si la fuerza gravitatoria cerca de la superficie terrestre es conservativa y calcular su energ´ıa potencial. En el primer ejemplo de la Secci´ on 4.1 se calcul´o el trabajo realizado por el peso para ir de un punto A a otro B, y el resultado fue: W = −mg(hB − hA ) donde m es la masa del cuerpo, g la gravedad y hA y hB la altura de los puntos A y B. Por tanto, es f´ acil ver que la fuerza es conservativa (el trabajo no depende el camino) y que la energ´ıa potencial, en este caso llamada energ´ıa potencial gravitatoria es Ep = mgh. David Blanco ([email protected])

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5

FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERG´IA POTENCIAL

Ejemplo 2. Estudiar si las fuerzas centrales son conservativas. Una fuerza central es aquella que se puede expresar en coordenadas esf´ericas como: F~ = F (r)ˆ r Es decir, la fuerza lleva la direcci´ on de la l´ınea que une el punto donde se considere la fuerza y el origen de coordenadas, que se llama centro de fuerzas, y cuyo m´odulo s´olo depende de la distancia a ese centro. Se vio en el tema anterior que el vector desplazaˆ miento en coordenadas esf´ericas se puede expresar como d~r = drˆ r + rsenθdϕϕˆ + rdθθ. Por tanto, el producto escalar de F~ y d~r queda F~ · d~r = F (r)dr. Con esto, el trabajo entre dos puntos A y B queda: Z B WA→B = F (r)dr A

Esta expresi´ on es una integral escalar en una dimensi´on, por lo que no depende del camino, lo que indica que las fuerzas centrales son conservativas. Otra forma alternativa demostrar que las fuerzas centrales son conservativas habr´ıa sido calcular ~ ∧ F~ (haciendo uso de coordenadas esf´ericas) y comprobar efectivamente que es ∇ igual a cero. Ejemplo 3. Estudiar si la fuerza gravitatoria lejos de la superficie terrestre es conservativa y calcular su energ´ıa potencial. La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa m es MT m F~g = −G 2 rˆ r donde el origen del sistemas de coordenadas est´a en el centro de la tierra, G es la constante de gravitaci´ on universal, MT es la masa de la tierra y ~r es el vector de posici´ on del cuerpo. Como puede verse, esta expresi´on corresponde a una fuerza central, por lo que es una fuerza conservativa seg´ un lo visto en el ejemplo anterior (otro ejemplo cl´ asico de fuerza de este tipo ser´ıa la fuerza electrost´atica, que se estudiar´a m´as adelante en el curso). Para calcular la energ´ıa potencial hay que calcular el trabajo entre dos puntos A y B. Este ser´a   Z B MT m MT m MT m WA→B = −G 2 dr = G −G dr r rB rA A por lo que la energ´ıa potencial ser´ıa Ep = −G MTr m (cuidado con el signo). Ejemplo 4. Estudiar si la fuerza el´ astica de un muelle es conservativa y calcular su energ´ıa potencial. En una dimensi´ on hemos visto que la fuerza de un muelle es F = −kx, suponiendo que cuando el cuerpo est´ a en el origen el muelle est´a relajado. En este caso el trabajo para ir de un punto a otro ser´ a:   Z B Z B 1 2 1 WA→B = F dx = − kdx = − kxB − kx2A 2 2 A A por lo que no depende del camino, ser´a una fuerza conservativa y la energ´ıa potencial ser´ a Ep = 21 kx2 . En el caso m´ as general que el origen no est´e en el punto de reposo del muelle, la fuerza queda F = −k∆x donde ∆x es lo que se ha estirado o contra´ıdo el muelle, y la energ´ıa potencial quedar´ıa Ep = 21 k∆x2 . David Blanco ([email protected])

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Curso 2009-2010

6

´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ CONSERVACION

Para terminar esta secci´ on s´ olo hay que indicar que hay una arbitrariedad a la hora de elegir la f´ ormula de la energ´ıa potencial, ya que a˜ nadiendo cualquier constante a la f´ormula se sigue cumpliendo que el trabajo de la fuerza conservativa es igual a menos la variaci´on de la energ´ıa potencial. Por ejemplo, para el caso del peso (cerca de la superficie terrestre), la energ´ıa potencial es Ep = mgh, pero tambi´en se podr´ıa definir como Ep 0 = mgh + 27, ya que ∆Ep = ∆Ep 0 . Se dice que el origen de la energ´ıa potencial (el lugar donde se hace cero) es arbitrario.

6.

Conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica

Por un lado hemos visto que el trabajo de la fuerza resultante era igual a la variaci´on de la energ´ıa cin´etica, es decir WA→B = ∆Ec . Por otro parte, si todas las fuerzas que act´ uan sobre un cuerpo son conservativas se puede definir una energ´ıa potencial para cada una de ellas, y se cumple para el trabajo de la resultante de las fuerzas: Z BX X XZ B ~ F~i · d~r = −∆Ep i WA→B = Fi · d~r = A

i

A

i

i

Si se define la energ´ıa potencial total Ep como la suma de las energ´ıa potenciales, Ep = se tiene que para la resultante de las fuerzas, si todas son conservativas, el trabajo es:

P

i

Ep i ,

WA→B = −∆Ep Si se igualan las dos expresiones para el trabajo de la resultante de las fuerzas se tiene: ∆Ec = −∆Ep ⇒ EcB − EcA = Ep A − Ep B ⇒ EcB + Ep B = EcA + Ep A Por lo tanto, si se define la energ´ıa mec´ anica de un cuerpo como la suma de la energ´ıa cin´etica m´as la potencial, Em = Ec + Ep , entonces se tiene que la energ´ıa mec´anica cumple, para cualesquiera dos puntos A y B que: EmB = EmA Lo que se conoce como Principio de Conservaci´ on de la Energ´ıa Mec´ anica y s´olo se cumple si todas las fuerzas que act´ uan son conservativas.

6.1.

Sistema no conservativos

Si alguna de las fuerzas que act´ uan sobre el cuerpo no es conservativa, el trabajo de la resultante de las fuerzas no es igual a menos la variaci´on de la energ´ıa potencial. En este caso, las fuerzas se pueden separar en conservativas F~iC y no conservativas F~iN C , y para las primeras, su trabajo s´ı es igual a menos la variaci´on de la energ´ıa potencial, y se cumplir´a: Z BX Z BX Z BX Z BX X F~iN C · d~r = − ∆Ep i + F~iN C · d~r F~iC · d~r + WA→B = F~i · d~r = A

i

A

i

A

i

i

A

i

Si ıas potenciales, Ep = P al igual que antes, la energ´ıa potencial total es la suma de las energ´ NC E , y el trabajo de las fuerzas no conservativas se nota como W , se tiene: i pi WA→B = −∆Ep + W N C Por otro lado, el trabajo de la resultantes de las fuerzas siempre es igual a la variaci´on de la energ´ıa potencial, con lo que la anterior igual queda: ∆Ec = −∆Ep +W N C ⇒ EcB −EcA = Ep A −Ep B +W N C ⇒ EcB +Ep B = EcA +Ep A +W N C David Blanco ([email protected])

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SISTEMAS DE PART´ICULAS. CENTRO DE MASA

Esto significa que la energ´ıa mec´ anica no se conserva, sino que cumple: EmB = EmA + W N C El ejemplo m´ as t´ıpico de esta situaci´on es cuando existe una fuerza de rozamiento. Como la fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento, su trabajo siempre ser´a negativo (para cada paso infinitesimal se tiene F~R · d~r < 0), por lo que al pasar de un punto inicial A a un punto final B, la energ´ıa del punto final siempre ser´a menor que la del punto inicial.

7.

Sistemas de part´ıculas. Centro de masa

Hasta este punto del tema se ha estudiado la din´amica de una u ´nica part´ıcula puntual. En las dos secciones que restan se tratar´ a el problema de sistemas de part´ıculas, es decir, de como se mueven un conjunto de part´ıculas puntuales. Se parte de un sistema de N part´ıculas, cada una con un vector de posici´on ~ri . Sobre la part´ıcula i, gen´erica, act´ ua una fuerza resultante F~i , que ser´a la suma de las fuerzas debidas a agentes externos e internos. Por supuesto, sobre cada part´ıcula se puede aplicar lo que se ha visto hasta ahora en el tema, en concreto la segunda ley de Newton. El resultado ser´ıa un sistema de N ecuaciones diferenciales acopladas tal como m1

mi

mN

d2~r1 = F~1 dt2 .. . d2~ri = F~i dt2 .. .

(7)

d2~rN = F~N dt2

Este sistema de ecuaciones est´ a acoplado, ya que las fuerzas que act´ uan sobre la part´ıcula i depender´ a en general de la posici´ on relativa de esta part´ıcula respecto del resto del sistema. Aunque en teor´ıa se podr´ıa solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales, en la pr´actica no es posible cuando existen fuerzas entre las part´ıculas del sistema que var´ıan con la distancia relativa, como son las fuerzas gravitatorias o electromagn´eticas. En este caso, solo se pueden resolver anal´ıticamente para un sistema de dos cuerpos. Aunque para sistemas de tres o m´ as cuerpos no se puede resolver el problema anal´ıticamente, se podr´ a descomponer en complejo movimiento de un sistema como el de una part´ıcula puntual, de masa la masa total del sistema, m´as un movimiento relativo en torno al de esta part´ıcula puntual. Esto es lo que se ver´ a en el resto de la secci´on.

7.1.

Principio de conservaci´ on del momento lineal para un sistema de part´ıculas

La resultante de la fuerzas F~i que act´ ua sobre la part´ıcula i se puede descomponer, en general, como: F~i = F~i,ext + F~i,int

David Blanco ([email protected])

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SISTEMAS DE PART´ICULAS. CENTRO DE MASA

donde F~i,ext es la suma de de todas las fuerzas debidas a agentes externos y F~i,int es la suma de todas la fuerzas que el resto de las part´ıculas del sistema ejercen sobre la part´ıcula i. Si se realiza esta descomposici´ on, el sistema de ecuaciones diferenciales (7) queda d~ p1 = F~1,int + F~1,ext dt .. . d~ pi = F~i,int + F~i,ext dt .. . d~ pN = F~N,int + F~N,ext dt donde p~i es el momento lineal de la part´ıcula i. Si se suman todas las anteriores ecuaciones el resultado es N N N X X X d~ pi = F~i,int + F~i,ext (8) dt i=1 i=1 i=1 Ahora bien, como se ha dicho antes la fuerza F~i,int es la suma de las fuerzas que el resto de las part´ıculas ejercen sobre la part´ıcula i, es decir F~i,int = F~i,1 + F~i,2 + · · · + F~i,i−1 + Fi,i+1 + · · · + F~i,N =

N X

F~i,j

j=1(j6=i)

donde F~i,j es la fuerza que la part´ıcula j ejerce sobre la i, y la sumatoria recorre todas las part´ıculas menos PN la misma i, ya que la part´ıcula i no puede ejercer una fuerza sobre s´ı misma. En la suma i=1 F~i,int estar´ a la fuerza que el resto de la part´ıculas ejerce sobre la i, pero tambi´en la fuerza que el resto de las part´ıculas ejerce sobre la j. As´ı, dentro de la primera se encontrar´a F~i,j y dentro de las segunda estar´ a F~j,i . Pero por la tercera ley de Newton se tiene que F~j,i = −F~j,i , por lo que se anular´ an en la suma. Como esto sucede para cualquier dos part´ıculas, el resultado es que : N N N X X X F~i,int = F~i,j = 0 i=1

i=1 j=1(j6=i)

Si estos se sustituye en (8) el resultado es N X d~ pi i=1

dt

=

N X

F~i,ext

i=1

Si se define el momento lineal total del sistema PN p~T como la suma de los momentos lineales individuales de las part´ıculas, es decir, p~T = i=1 p~i , y la suma de todas las fuerzas exteriores PN que act´ uan sobre el sistema se nota como F~ext = i=1 F~i,ext , la u ´ltima ecuaci´on queda como: d~ pT = F~ext dt

(9)

Este u ´ltima ecuaci´ on es fundamental en el estudio de la din´amica de sistema de part´ıculas. Por ejemplo, si la resultante de las fuerzas exteriores que act´ uan sobre el sistema es nula, F~ext = 0, David Blanco ([email protected])

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SISTEMAS DE PART´ICULAS. CENTRO DE MASA

de introducir esto en la ecuaci´ on (9), se tiene p~T = 0 =⇒ p~T = cte dt es decir, el momento lineal total del sistema se conserva. A este resultado se conoce como principio de conservaci´ on el momento lineal, e implica que si p~iA y p~iB son el momento lineal de la part´ıcula i en los instantes A y B, entonces: N N X X p~iA = p~iB i=1

7.2.

i=1

Centro de masa

La expresi´ on (9) se parece mucho a la segunda ley de Newton para una part´ıcula puntual, lo que induce a pensar que hay algo en los sistemas que se comporta respecto a las fuerzas exteriores como una masa puntual. Este algo ser´ a el centro de masas. Se define el centro de masas de un sistema de part´ıculas como un punto geom´etrico cuyo vector de posici´ on en el punto N X mi~ri ~rCM =

i=1 N X

mi

i=1

Si se llama mT = posici´ on

PN

i=1

mi a la masa total del sistema, el centro de masas se encuentra en la ~rCM =

N 1 X mi~ri mT i=1

Se puede calcular la velocidad del centro de masas, sin m´as que derivar su posici´on con respecto al tiempo. El resultado es: ~vCM =

N N N 1 X d~ri 1 X 1 X p~T d~rCM = mi = mi~vi = p~i = dt mT i=1 dt mT i=1 mT i=1 mT

Es decir, el momento total del sistema es igual a la masa total del sistema por la velocidad del centro de masa. Tambi´en se puede encontrar la aceleraci´on del centro de masas ~aCM Pero se ten´ıa que

~T dP dt

N d~vCM 1 X 1 d~ pT = = mi~ai = dt mT i=1 mT dt

= F~ext , por lo que se obtiene mT ~aCM = F~ext

Esto implica que el centro de masas de un sistema de part´ıculas, por muy complejo que sea el sistema, se mueve como una part´ıcula puntual, de masa mT y sometida a la acci´on de las u ´nicamente de las fuerzas exteriores.

David Blanco ([email protected])

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Curso 2009-2010

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SISTEMAS DE PART´ICULAS. CENTRO DE MASA

En el caso de que el sistema de part´ıcula no est´e constituido por part´ıculas discretas, sino que sea un sistema continuo, la posici´ on del centro de masas quedar´ıa: Z 1 ~rdm ~rCM = mT es decir, las componentes del vector de posici´on del centro de masa ser´ıan Z Z Z 1 1 1 xdm , yCM = ydm , zCM = zdm xCM = mT mT mT La velocidad y la aceleraci´ on del centro de masa quedar´ıan definidas como Z Z 1 1 ~v dm y ~aCM = ~adm ~vCM = mT mT Si se tiene en cuenta que la densidad ρ es ρ = dm on del centro dV , con V el volumen, la posici´ de masa para un sistema continuo de part´ıculas queda Z 1 ~rρdV ~rCM = mT y si el cuerpo es homog´eneo, es decir ρ = cte, quedar´ıa Z Z ρ 1 ~rCM = ~rdV = ~rdV ρV V La parte derecha de la anterior igualdad no es otra cosa que la expresi´on del centro geom´etrico del sistema. As´ı, si el sistema continuo es homog´eneo, el centro de masas se encuentra en el centro geom´etrico del sistema. 7.2.1.

Coordenadas relativas

Se puede elegir un sistema de coordenadas centrado en el centro de masa, de forma que la posici´ on de una part´ıcula i en este sistema se notar´a ~ri0 , que se denomina posici´on de la part´ıcula i relativa al centro de masa, o simplemente posici´on relativa de la part´ıcula i. Teniendo esto en cuenta se tiene que para cualquier part´ıcula i, su vector de posici´on se puede expresar como: ~ri = ~ri0 + ~rCM Si la anterior ecuaci´ on se multiplica por mi y se suma la para todas las part´ıculas del sistema, el resultado es N N N X X X 0 mi~ri = mi~ri + mi~rCM i=1

i=1

i=1

Pero la parte izquierda de la igualdad es mT ~rCM , y el segundo sumatorio de la parte derecha tambi´en resulta mT ~rCM , por lo que se cumple: N X

mi~ri0 = 0

i=1

Al igual que se ha hecho con la posici´on, la velocidad y la aceleraci´on de las part´ıculas se puede expresar como las velocidades y aceleraciones relativas al centro de masa, m´as la velocidad y la aceleraci´ on del centro de masa, respectivamente. Es decir: ~vi =~vi0 + ~vCM ~ai =~a0i + ~aCM David Blanco ([email protected])

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(10)

Curso 2009-2010

7

SISTEMAS DE PART´ICULAS. CENTRO DE MASA

Repitiendo el mismo proceso que se hizo con la posici´on relativa se obtiene que: N X

mi~vi0 = 0 y

N X

i=1

7.3.

mi~a0i = 0

(11)

i=1

Energ´ıa cin´ etica

Para una u ´nica part´ıcula se obtuvo que el trabajo de la resultante de las fuerzas era igual a la variaci´ on de la energ´ıa cin´etica. Siguiendo con la misma idea, ahora interesa calcular el trabajo de la resultante de las fuerzas que act´ ua sobre todo el sistema, y se ver´a como se puede definir una energ´ıa cin´etica total del sistema de forma an´aloga a como se hizo para una part´ıcula. Esta energ´ıa cin´etica total se podr´ a descomponer en una energ´ıa cin´etica relativa y una del centro de masa, simplificando su c´ alculo. Para calcular el trabajo de la resultante de las fuerzas F~T que act´ uan sobre un sistema, hay que tener en cuenta que esta fuerza total es igual a la suma de las resultantes de las fuerzas que act´ uan sobre cada una de las part´ıculas: F~T =

N X

F~i

i=1

donde F~i es la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre la part´ıcula i. Como el trabajo que realiza la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre la part´ıcula i es igual a la variaci´on de la energ´ıa cin´etica, el trabajo de la resultante total F~T queda: Z B Z BX N Z B N N N N X X X X F~i · d~r = F~i · d~r = ∆Eci = EciA − EciB F~T · d~r = A

A

i=1

i=1

A

i=1

i=1

i=1

donde Eci es la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula i. De esta forma, si se define la energ´ıa cin´etica de un sistema de part´ıculas como N X Ec = Eci i=1

entonces el trabajo de la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre el sistema queda Z B F~T · d~r = ∆Ec A

La energ´ıa cin´etica del sistema se puede descomponer en energ´ıa cin´etica relativa o interna y energ´ıa cin´etica del centro de masa. Para ello, hay que utilizar la expresi´on de la velocidad de la part´ıcula i dada en (10). Teniendo en cuenta esta expresi´on, la energ´ıa cin´etica de un sistema de part´ıculas queda: Ec =

N X

Eci =

i=1

=

i=1

N X 1 i=1

N X 1

2

2 mi vi0

+

2

mi vi2 =

i=1

N X 1 i=1

N X 1

2

2 mi vCM

2 +

mi (~vi0 + ~vCM ) · (~vi0 + ~vCM ) N X

mi~vi · ~vCM =

i=1

N X 1 i=1

2

2 mi vi0

1 2 + mT vCM + 2

N X

! mi~vi

· ~vCM

i=1

El u ´ltimo sumando es igual a cero, teniendo en cuenta la expresi´on (11), de forma que, si se define 2 la energ´ıa cin´etica relativa, Ec 0 , y la energ´ıa cin´etica del centro de masas como EcCM = 12 mT vCM , la energ´ıa cin´etica del sistema de part´ıculas se puede descomponer como: Ec = Ec 0 + EcCM David Blanco ([email protected])

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SISTEMAS DE PART´ICULAS. CENTRO DE MASA

7.4.

Energ´ıa potencial

Si todas las fuerzas que act´ uan en el sistema y sobre el sistema son conservativas, tanto las exteriores como las interiores, para cada una de ellas se podr´a definir una energ´ıa potencial, y para el sistema completo se podr´ a definir una energ´ıa potencial total Ep T que ser´a la suma de las energ´ıas potenciales individuales. Ep T =

N X

Ep i

i=1

donde Ep i es la energ´ıa potencial total de la part´ıcula i, tal y como se defini´o en la Secci´on 5. As´ı, el trabajo de la resultante de las fuerzas que act´ ua sobre el sistema de part´ıculas quedar´ıa: Z

B

F~T · d~r =

A

Z

N BX

A

F~i · d~r =

i=1

N Z X i=1

B

F~i · d~r =

A

N X

−∆Ep i = −∆Ep T

i=1

A parte de como la suma de las distintas energ´ıas potenciales de las part´ıculas del sistema, la energ´ıa potencial total del sistema se puede separar en dos t´erminos, uno debido a las fuerzas interiores y otro debido a las fuerzas exteriores. As´ı: Z ∆Ep T = −

N BX

A

F~i · d~r = −

i=1

Z

N BX

A

F~i,ext · d~r −

Z

N BX

A

i=1

F~i,int · d~r = ∆Ep ext + ∆Ep int

i=1

Donde Ep i,ext es la energ´ıa potencial debido a las fuerzas externas y que en general s´olo depender´ a de la configuraci´ on del centro de masa, y Ep i,int es la energ´ıa potencial debido a fuerzas internas y que s´ olo depender´ a de las posiciones relativas. Por ejemplo, para un s´olido r´ıgido, en el que la distancia entre dos part´ıculas no puede variar, la energ´ıa potencial interna no puede variar, por lo que no hay que considerarla y a efectos de energ´ıa potencial, s´olo habr´a que tener en cuenta la variaciones de energ´ıa potencial que sufra el centro de masa.

7.5.

Principio de conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica

Cuando todas las fuerzas que act´ uan sobre un sistema son conservativas, el trabajo de la resultante de las fuerzas que act´ ua sobre el sistema F~T se ha visto que se puede expresar como la variaci´ on de la energ´ıa cin´etica total o como menos la variaci´on de la energ´ıa potencial total. Si se tiene esto en cuenta se tiene una ecuaci´on similar a la que se encontr´o para una part´ıcula: ∆Ec = −∆Ep ⇒ EcB − EcA = Ep A − Ep B ⇒ EcB + Ep B = EcA + Ep A donde se ha eliminado el sub´ındice “T ” en la energ´ıa potencial. Si se aplican las descomposiciones a las energ´ıas cin´etica y potencial realizadas en los dos anteriores apartados, la anterior ecuaci´on queda: (Ec0 )B + (EcCM )B + (Ep int )B + (Ep int )B = (Ec0 )A + (EcCM )A + (Ep int )A + (Ep int )A En el caso del s´ olido r´ıgido, la anterior ecuaci´on se simplifica enormemente, ya que se puede eliminar Ep int y Ec0 toma una forma muy sencilla. Si se define la energ´ıa mec´ anica del sistema de part´ıculas como la suma de la energ´ıa cin´etica m´ as la potencial, se vuelve a cumplir que la energ´ıa mec´anica de un sistema de part´ıculas se conserva cuando todas las fuerzas que intervienen son conservativas, es decir: EmB = EmA David Blanco ([email protected])

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COLISIONES

lo que se conoce como el principio de conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica para un sistema de part´ıculas. Para terminar con el apartado, s´ olo indicar que si existen fuerzas no conservativas actuando sobre el sistema (pueden ser externas y/o internas), el f´acil comprobar que la ecuaci´on energ´etica queda: EmB = EmA + W N C Donde W N C es el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas.

8.

Colisiones

En la Secci´ on 7.1 se demostr´ o que si no existen fuerzas exteriores el momento lineal total de un sistema permanece constante. Este apartado se demuestra que en el caso de colisiones, el momento lineal total de un sistema permanece constante aunque haya fuerzas externas, con tal de que estas no sean impulsivas. Por colisi´ on o choque se entender´ a una interacci´on que dura muy poco tiempo, de forma que se puede considerar instant´ anea. En la Secci´ on 7.1 se estudi´ o que la derivada del momento lineal total cumpl´ıa (9), por lo que si ∆t es el tiempo que dura la interacci´on, la variaci´on de momento lineal que se produzca ser´a: ∆~ pT ≈ F~ext ∆t Si la interacci´ on dura muy poco, ∆t ser´a muy peque˜ na, y si la hacemos tender a cero, ∆~ pT tender´ a a cero tambi´en. Por lo que en el caso en el que la interacci´on se instant´anea se tendr´a: ∆~ pT = 0

(12)

Existe una excepci´ on a la anterior deducci´on y es el caso en el que se tengan fuerzas exteriores F~ext que tomen valores muy altos durante el peque˜ no tiempo que dura la interacci´on. En este caso, al hacer el intervalo durante el que dura la interacci´on tender a cero, no tienen por qu´e resultar una ∆~ pT nula, ya que el producto de algo muy peque˜ no (el tiempo) por algo muy grande (la fuerza) no tiene que dar algo muy peque˜ no. Este tipo de fuerzas se denominan impulsivas y son fuerzas que toman valores muy altos durante intervalos de tiempo peque˜ no. Ejemplos de este tipos de fuerzas hay muchos, por ejemplo, la fuerza que un palo de golf realiza sobre la pelota, la fuerza entre dos bolas de billar, etc. Es importante notar que puede haber (y casi siempre habr´a) fuerzas impulsivas dentro del sistema de part´ıculas, pero no puede haber fuerzas externas impulsivas, si se quiere que se cumpla la ecuaci´on (12). Los choque pueden ser el´ asticos o inel´ asticos. Los choques el´asticos son aquellos en los que se conserva la energ´ıa (la energ´ıa antes del choque es igual a la energ´ıa despu´es del choque), mientras que los choques inel´ asticos son aquellos choques donde no se conserva la energ´ıa (generalmente se pierde energ´ıa en el choque). Dentro de los choques inel´asticos, est´an los choques denominados pl´ asticos o perfectamente inel´ asticos que son aquellos choques inel´asticos con la mayor p´erdida de energ´ıa posible, lo que implica que los cuerpos que chocan permanecen unidos despu´es del choque.

David Blanco ([email protected])

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