TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

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2.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO • 2.1.1. Método general de resolución de ecuaciones EJEMPLO: Resolver

4𝑥−5 6

−

2(𝑥+7) 3

= 3(𝑥 − 1)

2.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS Y BICUADRADAS • 2.2.1. Ecuaciones cuadráticas Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad que se puede expresar de la forma ax 2  bx  c  0 , con a, b, c  R y a  0. Para resolver ecuaciones se segundo grado utilizamos 2 la fórmula que nos da sus soluciones: x   b  b  4ac 2a

ECUACIONES INCOMPLETAS:

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0

𝑎𝑥 2 + c=0

.

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•

2.2.2. Ecuaciones bicuadradas. Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado de la forma: (1)

ax 4  bx 2  c  0 .

Estas ecuaciones se resuelven transformando la ecuación en otra de segundo grado por medio de un cambio de variable. Efectivamente, si realizamos el cambio de variable x  t , la ecuación inicial se transforma en: 2

(2)

at 2  bt  c  0 .

Por cada solución t de la ecuación (2) obtendremos dos soluciones de la ecuación (1):

x1 

t

y

x2   t .

Por ejemplo, vamos a resolver la siguiente ecuación:

x 4  25 x 2  144  0

2.2. EJERCICIOS: Resuelve las siguientes ecuaciones:

b)

3x 4  21x 2  36  0  x 4  2 x 2  36  0

c)

36 x 4  5 x 2  1  0

a)

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2.3. Ecuaciones polinómicas • 2.3.1. Regla de Ruffini Para dividir un polinomio P(x) por un binomio de la forma ( x  a) existe un procedimiento alternativo a algoritmo de la división, denominada Regla de Ruffini que nos proporciona el cociente y el resto de la división de estos dos polinomios. Por

ejemplo,

Consideremos

los

polinomios p( x)  x6  6 x5  2 x3  12x 2  7 x  47

q( x)  x  6 . Utilizando la Regla de Ruffini obtenemos:

Ejemplo 2. Aplicar la Regla de Ruffini para obtener cociente y resto de

( x3  3x 2  7 x  2) : ( x  3)

y

CURSO CERO MATEMÁTICAS: 2. ECUACIONES , INECUACIONES Y SISTEMAS 2.3.2. Factorización de polinomios. Diremos que un polinomio polinomio de grado 0.

P(x)

es irreducible si solo es divisible por sí mismo o por un

Por ejemplo: son irreducibles x  1 y 2 x  5 . El polinomio 3( x  1) es irreducible, pues únicamente es divisible por el polinomio de grado 0 3 . El polinomio ( x 2  1) no es irreducible pues tiene dos divisores ( x  1), ( x  1) . El polinomios x 2  1 es irreducible pues no tiene raíces reales.

Diremos que x  a es una raíz del polinomio P(x) si P(a)  0 , es decir, si x  a es una solución de la ecuación P( x)  0 . En ese caso, el binomio ( x  a) es un factor del polinomio P(x) . Consideremos el polinomio P( x)  x4  8x3  23x2  28x  12 , si aplicamos la Regla de Ruffini para dividir P(x) y el binomio ( x  2) , obtenemos que el resto de la división es nulo. Diremos entonces que el polinomio tiene una raíz en x=2. Además podríamos afirmar que P( x)  ( x3  6 x 2  11x  6)  ( x  2) , es decir, el binomio ( x  2) es un factor divisor del polinomio P(x) .

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2.3. Ecuaciones polinómicas • 2.3.2. Factorización de polinomios (Método) Si P(x) es un polinomio de grado mayor que dos, entonces debemos encontrar las raíces del polinomio, teniendo en cuenta que un polinomio de grado n, tiene a lo sumo n-raíces reales (Teorema Fundamental del Álgebra). Para encontrar las raíces aplicaremos secuencialmente la Regla de Ruffini. Por ejemplo: Sea el polinomio x3  13x  12 , como sus coeficientes son enteros entonces sus raíces enteras pueden ser 1,  1, 2,2, 3,  3, 4,  4, 6,  6, 12,  12 . Si aplicamos la regla de Ruffini

Luego

x3  13x  12  ( x  1)(x  3)(x  4) .

2.3. EJERCICIOS

Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

6 x3 ( x  2)(x  3)(x  4)  0

2 a) 2( x  5)( x  1)( x  4)  0

b)

4 3 2 c) 2 x  3x  15x  31x  15  0

4 3 2 d) 2x 19x  46x  7 x  60  0

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2.4. Ecuaciones con radicales. Ecuaciones racionales. • 2.4.1. Ecuaciones con radicales. Cuando en una ecuación la incógnita aparece en alguno de los términos dentro del signo radical, decimos que es una ecuación con radicales. Para resolver las ecuaciones con radicales se siguen los siguientes pasos: 1) Aislar en un miembro de la ecuación los términos en los que la incógnita está dentro de un signo radical. 2) Elevar los dos miembros de la ecuación al cuadrado. 3) Si ya no existen radicales, se resuelve la ecuación resultante teniendo en cuenta que las soluciones de la última ecuación pueden no ser soluciones de la ecuación inicial, por lo que es necesario comprobar cuáles de las soluciones obtenidas en la última ecuación son soluciones de la ecuación inicial. Si todavía existen incógnitas dentro de un radical, iniciamos con esta ecuación el paso 1). EJEMPLO. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales: a) x  4 x  1  5

b)

2x  3  x  2  3

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2.4. Ecuaciones con radicales. Ecuaciones racionales. • 2.4.2. Ecuaciones racionales. Las ecuaciones en las que la incógnita aparece en una fracción algebraica se denominan ecuaciones racionales. Para resolver ecuaciones con fracciones algebraicas multiplicamos las fracciones por el m.c.m. de los denominadores y después resolvemos la ecuación obtenida. Las soluciones resultantes deberán ser comprobadas en la ecuación inicial. EJEMPLO:

x  6 2x  3 9   2x x2 x2

2.4. EJERCICIOS 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

x  5  2  x 1

5  x  x 1

b)

5  x  x 1 2x  3  x  1  1

c) d) 2. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: x2 x x 1 2 x2  x 1  1   a) x . x( x  2) x 2  x  2 b) 3x  1 3x  1

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2.5. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. • 2.5.1. Ecuaciones exponenciales. Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente de una potencia. Se resuelven utilizando varias técnicas: 1) Expresando los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base y a continuación escribiendo la ecuación formada por la igualdad de los exponentes. Ejemplo:

6

x 2  2 x 15

1

2) Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación y aplicando las propiedades de los logaritmos. Ejemplo:

4 x 5  0,0001

3)Efectuando el cambio de variable a x  t . Ejemplo:

3  4 x  2 x2 

11 4

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2.5. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas • 2.5.2. Ecuaciones logarítmicas. Son ecuaciones en que la incógnita está dentro del argumento de un logaritmo. Se resuelven utilizando las propiedades de los logaritmos y comprobando las soluciones obtenidas en la ecuación inicial, ya que solo existen logaritmos de números positivos. EJEMPLO:

log( x  4)  log( x  5)  1

2.5. EJERCICIOS. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

 81 1 x2 2 x  0 c) 6 6

a) 3

x 2 5 x  2

b)

2 x2  25 x  2 x  26

d)

4 x5  0,0001

2.Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

log( 4 x  1)  log( x 2 )  log 3  log x 2 3 b) log( 4 x  1)  3 log x  log( 6 x  x)  log x c) log 4  log( x  2)  log(3x  4)  log x  0 a)

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2.6. Sistemas de ecuaciones lineales • 2.6.1. Definición de sistema de ecuaciones lineales x1 , x2 , x3 ,..., xn si se puede expresar de la forma a1 x1  a2 x2  a3 x3  ...  an xn  b , donde a1 , a2 ,..., an , b  R . Un sistema de

Una ecuación es lineal en las variables

ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de varias ecuaciones lineales en las variables x1 , x2 , x3 ,..., xn :

 a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1  a x  a x  a x  b  21 1 22 2 2n n 2 ,    am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm siendo a11 , a12 ,, a1n , a21 , a22 ,, a2 n , am1 , am 2 ,, amn , b1 ,, bm  R .

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2.6. Sistemas de ecuaciones lineales. • 2.6. 2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en: a) Sistemas compatibles: cuando el sistema tiene alguna solución. Si la solución es única diremos que el sistema es compatible determinado, y si existen infinitas soluciones diremos que es compatible indeterminado. EJEMPLO:El sistema lineal

2 x  y  2 es compatible determinado, ya que su única solución es x = 1, y = 0.   x  y 1

Gráficamente son dos rectas que se cortan en el punto (1,0) es compatible determinado única solución x=1, y=0

 2x  y  2 2) El sistema  es compatible indeterminado, su gráfica consta de dos rectas concurrentes 4 x  2 y  4 b) Sistemas incompatibles: si no existe ninguna solución.

 2x  y  2 EJEMPLO: El sistema  es incompatible, su gráfica consta de dos rectas paralelas. 2 x  y  1

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2.6. Sistemas de ecuaciones lineales. • 2.6.23. Métodos de resolución por sustitución, igualación y reducción. SUSTITUCIÓN: Despejar una incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir en las restantes, hasta conseguir una ecuación con una incógnita. IGUALACIÓN: Despejar la misma ecuación en todas las ecuaciones e igualar los segundos miembros de las ecuaciones resultantes. REDUCCIÓN: Reducir el sistema a otro con menos incógnitas realizando operaciones con las ecuaciones. EJEMPLO: Resolvamos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

 x1  x2  x3  0   2 x1  x2  x3  3  x  x  2 x  3  1 2 3

utilizando los tres métodos.

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2.6. Sistemas de ecuaciones lineales. • 2.6.4. Método de Gauss. Transformaciones para construir sistemas equivalentes: a) Si sustituimos una ecuación de un sistema por el producto de esta ecuación por un número, el sistema que se obtiene es equivalente. b) Si sustituimos una ecuación por la suma o diferencia de esta ecuación con otra ecuación del sistema, el sistema que se obtiene es equivalente. c) Si intercambiamos dos ecuaciones, el sistema que se obtiene es equivalente Diremos que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es triangular si tiene la siguiente forma:

a1 x  b1 y  c1 z  d1  b2 y  c2 z  d 2   c3 z  d 3 

Un método de resolución alternativo a los métodos clásicos de sustitución, igualación y reducción consiste en convertir un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente pero triangular: MÉTODO DE GAUSS.

x  y  2z  3 EJEMPLO: Resolver por el método de Gauss:  

 2x  y  z  6 2 x  y  2 z  4 

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2.6. EJERCICIOS. 1. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

 3x  2 y  z  1  a)  2 x  3 z  9 2 x  y  4 z  10   x  y  2 z  12  b)  2 y  2 z  14  x  5 y  4 z  30 

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2.7. Inecuaciones. • 2.7.1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Una inecuación es una desigualdad ( , , ,  ) entre dos expresiones algebraicas en las que aparecen una o más incógnitas y cuya solución es el conjunto de números reales que verifican la desigualdad. Las inecuaciones de primer gado con una incógnita son inecuaciones que se pueden convertir en una de las siguientes inecuaciones reducidas: ax  b , ax  b , ax  b o ax  b con a, b  R . Para reducir una inecuación de primer grado utilizamos las siguientes reglas:

b b b b Si a  0 : ax  b  x  , ax  b  x  , ax  b  x  , ax  b  x  . a a a a b b b b Si a  0 : ax  b  x  , ax  b  x  , ax  b  x  , ax  b  x  . a a a a 𝑥

EJEMPLO: 7𝑥 − 2 + 2 ≥ 8𝑥 + 5

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2.7. Inecuaciones. • 2.7.2. Inecuaciones polinómicas con una incógnita Son

inecuaciones

que

pueden reducirse a una p( x)  0, p( x)  0, p( x)  0, p( x)  0 , donde p(x) es un polinomio.

de

estas

formas:

Para resolver las inecuaciones polinómicas seguiremos los siguientes pasos: 1) Simplificar la inecuación de manera que en un miembro obtengamos un polinomio y en el otro miembro el valor nulo. 2) Factorizar el polinomio del primer miembro y obtener sus raíces. 3) Dividir la recta real en un conjunto de intervalos. Sobre estos intervalos analizamos el signo de cada uno de los factores del polinomio, para obtener el signo del polinomio total y determinar en qué intervalos se verifica la inecuación. EJEMPLO:

x3  2 x 2  5x  6

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2.7. Inecuaciones. • 2.7.3. Inecuaciones racionales con una incógnita Son

inecuaciones

que

pueden

reducirse a una de estas formas: r ( x)  0, r ( x)  0, r ( x)  0, r ( x)  0, donde r (x) es una fracción racional.

Para resolver las inecuaciones racionales podemos seguir los siguientes pasos: 1) Simplificar la inecuación a una de las formas reducidas indicadas. 2) Factorizar los polinomios que componen numerador y denominador. 3) Con la raíces del numerador y denominador descomponer la recta real en los intervalos; y analizar los signos de cada factor en cada intervalo para obtener el signo de la fracción racional. EJEMPLO:

x 2  11x  28 0 2 x  3x  18