Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

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Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número “a” es raíz de un polinomio

si el valor numérico del polinomio para

es 0. Es decir

Ejemplo: Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio con el valor numérico del polinomio para

entre

. Es decir:

Demostración: Como

(dividendo es igual al divisor por el

cociente más el resto), sustituyendo x por a, se obtiene donde

coincide

, de

.

Consecuencia: Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 

es raíz de P(x).



es solución de la ecuación



, es decir, la división



es exacta

, siendo

el cociente de la división

.

Esta última afirmación nos proporciona una factorización del polinomio P(x) . Ejemplo:   

El resto de la división



es 0, es decir es una división exacta. , siendo

el cociente de la división

anterior.

FACTORIZAR UN POLINOMIO consiste en descomponerlo como producto de polinomios irreducibles, es decir, en producto de polinomios de grado uno o de grado mayor que uno sin raíces reales. Matemáticas I – 1º de Bachillerato de Ciencias

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Métodos para factorizar polinomios 

Si el polinomio es de segundo grado, resolviendo la ecuación podemos obtener: 1. Dos soluciones distintas

; en este caso podemos escribir

. 2. Una solución doble

; entonces

3. No existen soluciones reales, luego el polinomio es irreducible, es decir, no se puede factorizar. Ejemplos: a) b) c) no tiene solución real No se puede descomponer, es

d) irreducible. 

Para factorizar polinomios de grado mayor que dos, debemos: 1. Sacar factor común si es posible. 2. Encontrar sus raíces enteras o racionales aplicando la regla de Ruffini. 3. Cuando al aplicar Ruffini nos quede de cociente un polinomio de grado dos, podemos seguir aplicando Ruffini o aplicar la factorización de polinomios de segundo grado explicada antes.

Recuerda que: -

Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales (Teorema fundamental del Álgebra).

-

Para que un número entero “a” sea raíz de un polinomio con coeficientes enteros es necesario que sea divisor de su término independiente. Luego las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros las buscaremos entre los divisores del término independiente.

Ejemplo: Las únicas posibles raíces enteras del polinomio

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son los

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Otra técnica de factorización es usar las igualdades notables:

Ejemplos: a) Las posibles raíces enteras de este polinomio son los divisores de 12 . Aplicando la regla de Ruffini obtenemos que

es una raíz del polinomio,

es decir, que el resto de la división de cociente obtenido es

entre

es 0. El

. Por tanto:

Usando de nuevo la regla de Ruffini o resolviendo la ecuación se obtiene que

son raíces de

y, por tanto,

b) Como el polinomio no tiene término independiente podemos sacar factor común. Luego:

Las posibles raíces enteras de

son los divisores de 6

. Aplicando la regla de Ruffini obtenemos que decir, que el resto de la división de cociente obtenido es

es una raíz del polinomio, es entre

es 0. El

. Por tanto:

Usando de nuevo la regla de Ruffini o resolviendo la ecuación se obtiene que

son raíces de

y, por tanto,

c) Sacamos factor común. Luego Aplicando la tercera igualdad notable al polinomio

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, se tiene

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Ejercicios 1.- Comprueba si los siguientes números son raíces del polinomio

2.- Factoriza los siguientes polinomios.

3.- Obtén el valor de n para que el polinomio como raíz.

tenga al número -3

4.- Construye un polinomio de cuarto grado que tenga como raíces a los números , y tal que el resto que se obtiene al dividirlo por el binomio sea 2. (Indicación: Según lo dicho

.

Teniendo en cuenta esto y usando el teorema del resto obtendrás el valor del a)

5.- De un polinomio de segundo grado, P(x), se sabe que

y una

de sus raíces es 3. Determínalo.

6.- Obtén el valor de n para que el polinomio

7.- ¿Qué valor debe tomar a para que el resto de dividir

.

entre

sea 67?

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más polinomios. Para calcular el M.C.D y el m.c.m de dos o más polinomios se efectúa su descomposición factorial (se factorizan) y después se aplica la misma regla que para la obtención del M.C.D y m.c.m de números enteros.

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Ejercicio

8.- Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios

2.- Fracciones algebraicas: Simplificación y operaciones. Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios P(x) y Q(x) con Q(x) 0. Se escribe

.

Del mismo modo que para las fracciones numéricas se cumple que dos fracciones algebraicas son equivalentes si los productos cruzados dan el mismo resultado.



Para simplificar una fracción algebraica, descomponemos en factores tanto el numerador como el denominador y simplificamos los factores comunes del numerador y denominador si los hubiera.



Las operaciones con fracciones algebraicas cumplen las mismas propiedades que las operaciones con fracciones.

Observación: Antes de efectuar el producto o el cociente de fracciones es conveniente factorizar los polinomios para simplificar los factores, si procede. Por ejemplo:

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9.- Simplifica estas fracciones algebraicas.

10.- Realiza esta operación y simplifica el resultado.

11.- Realiza las operaciones y simplifica el resultado.

3.- ECUACIONES. 3.1.- ECUACIONES POLINÓMICAS. ECUACIONES BICUADRADAS Son ecuaciones de cuarto grado de la forma:

La resolución de estas ecuaciones se realiza transformando dicha ecuación en otra de segundo grado por medio del cambio de variable

; de esta forma, la ecuación

inicial se transforma en Por cada solución positiva de t, de la ecuación (2) podemos obtener dos soluciones de la ecuación (1) Ejemplo:

Observación: Siguiendo el mismo razonamiento se pueden resolver todas las ecuaciones del tipo

. Bastaría con hacer el cambio de variable

. Por ejemplo:

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3.2.- ECUACIONES FACTORIZADAS Son ecuaciones de la forma

.

Para resolverlas hay que igualar cada uno de los factores a cero y resolver las ecuaciones resultantes:

··· Ejemplo:

3.3.- ECUACIONES RACIONALES Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el denominador de una fracción algebraica. Para resolverlas se transforma la ecuación en otra equivalente sin denominadores y, después, resolvemos la ecuación resultante.

Ejemplo:

Multiplicamos ahora todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores:

Simplificando las fracciones algebraicas:

Resolvemos la ecuación

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3.4.- ECUACIONES RADICALES Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en alguno de los términos de la ecuación dentro de un signo radical. Para resolverlas, se aíslan las raíces, una a una, en uno de los miembros y se eleva la ecuación al cuadrado Ejemplo:

Elevamos ambos miembros de la ecuación al cuadrado

Resolvemos la ecuación resultante (sin raíces)

Como al elevar al cuadrado pueden introducirse soluciones que no pertenecen a la ecuación, tenemos que comprobar si las soluciones obtenidas son soluciones o no de la ecuación original

3.5.- ECUACIONES EXPONENCIALES Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente de una potencia. Se pueden resolver utilizando distintas técnicas: 

Expresando, si es posible, los dos miembros de la ecuación como potencia de la misma base y resolviendo a continuación la ecuación formada por la igualdad de los exponentes (ejemplo a)).



Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación y aplicando las propiedades de los logaritmos (ejemplo b)).



Efectuando el cambio de variable

Ejemplos: a) b)

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(ejemplo c)).

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Como -5 no es raíz de los polinomios que aparecen en la ecuación anterior, se tiene:

De donde

c)

Deshaciendo ahora el cambio se tiene

3.6.- ECUACIONES LOGARÍTMICAS Son ecuaciones en las que la incógnita está del argumento de un logaritmo. Se resuelven utilizando las propiedades de los logaritmos y comprobando las soluciones obtenidas en las ecuaciones iniciales, ya que solo existen logaritmos de números positivos. Ejemplo:

Aplicando las propiedades podemos expresar el primer término como un solo logaritmo y el segundo también

De donde:

Comprobemos si las soluciones obtenidas cumplen la ecuación inicial

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Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Ejercicios: 12.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

13.- Resuelve las ecuaciones:

14.- Resuelve las ecuaciones:

15.- Halla la solución o soluciones de las siguientes ecuaciones:

16.- Resuelve las ecuaciones:

17.- Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales:

18.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

19.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

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4.- INECUACIONES. 4.1.- INECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA 

DE PRIMER GRADO: Se resuelven de manera análoga a las ecuaciones de primer grado. La única precaución que tenemos que tener es que si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo la desigualdad la tenemos que cambiar de sentido Ejemplo:



DE GRADO

: Para resolverlas se siguen los siguientes pasos:

1. Se transforma en una en la que un miembro nos quede un polinomio y en el otro 0. Es decir:

2. Se resuelve la ecuación

.

3. Con las soluciones dividimos la recta real en un conjunto de intervalos. 4. Sobre estos intervalos analizamos el signo de

para obtener la

solución de la inecuación. Ejemplo: Resuelve la inecuación Primer paso: Segundo paso: Resolvemos la ecuación

Tercer paso: Las soluciones determinan sobre la recta real los intervalos

Cuarto paso: Analizamos el signo del polinomio

en cada

intervalo.

-

Como queríamos resolver la inecuación

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+

-

+

, la solución es

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4.2.- INECUACIONES RACIONALES CON UNA INCOGNITA Para resolverlas se transforman en una inecuación del tipo:

Después, se resuelven las ecuaciones Por último, se analiza el signo del cociente

en los intervalos determinados en la

recta real por las soluciones de las ecuaciones

.

Ejemplo: Resuelve la inecuación Primer paso:

Segundo paso:

Tercer paso: Analizamos el signo del cociente

Numerador:

-

+

+

Denominador:

-

-

+

Cociente

+

-

+

Obsérvese que cambio,

es solución de la inecuación porque el cociente da 0. En no, pues, el cociente no existe para este valor. Por tanto la

solución de la inecuación es:

Ejercicios: 20.- Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado con una incógnita:

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21.- ¿Cuál es la solución de estas inecuaciones?

22.- Resuelve las siguientes inecuaciones de grado superior:

23.- Resuelve estas inecuaciones que contienen fracciones algebraicas.

24.- Calcula k en cada caso.

5.- SISTEMAS DE ECUACIONES. 5.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Una ecuación lineal es una ecuación del tipo (El exponente de las incógnitas es 1 y éstas aparecen sumándose o restándose). Por ejemplo:

Es una ecuación lineal. Es una ecuación lineal. . No es una ecuación lineal. No es una ecuación lineal. . No es una ecuación lineal.

Un sistema lineal es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales para el que se quiere encontrar, si es que existe, su solución o soluciones comunes.

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Para resolver los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, se utilizan los métodos de sustitución, igualación y reducción.

25.- Resuelve por los métodos de sustitución, igualación y reducción el sistema:

Según del número de soluciones que tenga un sistema lineal se clasifica en: 

Sistema incompatible: el sistema no tiene ninguna solución.



Sistema compatible: el sistema tiene alguna solución. Si la solución es única se dice que el sistema es compatible determinado, y si existen infinitas soluciones se dice que es compatible indeterminado.

Existen ciertas transformaciones que podemos realizar en los sistemas lineales que nos permiten construir sistemas equivalentes más fáciles de resolver: 1. Sustituir una ecuación de un sistema por el producto de esta ecuación por un número distinto de cero. 2. Sustituir una ecuación por la suma o la diferencia de esta ecuación con otra ecuación del sistema. 3. Intercambiar dos ecuaciones.

Un método alternativo a los métodos de sustitución, igualación y reducción consiste en convertir el sistema inicial en otro equivalente pero triangular.

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Método de Gauss para resolver sistemas lineales El método de Gauss consiste en obtener un sistema triangular equivalente al sistema inicial utilizando los tres tipos de transformaciones descritos más arriba. Ejemplo:

El sistema resultante es triangular y su solución se obtiene resolviendo primero la tercera ecuación, después la segunda y, por último, la primera:

Este sistema tiene una única solución

(sistema compatible

determinado).

26.- Resuelve los siguientes sistemas:

27.- Resuelve por el método de Gauss:

5.2.- SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.

Un sistema de ecuaciones no lineal es un conjunto de ecuaciones en el que hay al menos una ecuación no lineal. Para resolver un sistema de ecuaciones no lineal se suelen emplear los métodos clásicos de sustitución, igualación y reducción.

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Ejemplo: Vamos a utilizar el método de sustitución

28.- Resuelve los sistemas.

6.-

SISTEMAS

DE

INECUACIONES

CON

UNA

INCÓGNITA. Para resolverlos, se calcula la intersección de los intervalos que resuelven cada una de las inecuaciones. Ejemplos:

29.- Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones.

30.- Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones.

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Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Soluciones 1.- a) sí b) no c) no d) sí. 2.-

3.4.5.6.7.8.9.10.11.a 12.13.14.15.-

16.17.18.19.20.21.-

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Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 22.-

23.24.25.26.27.28.29.30.-

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