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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO C-T

UNIDAD 2: ECUACIONES E INECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

IDENTIDADES Y ECUACIONES ECUACIONES POLINÓMICAS ECUACIONES BICUADRADAS ECUACIONES RACIONALES ECUACIONES IRRACIONALES ECUACIONES LOGARÍTMICAS ECUACIONES EXPONENCIALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 8.1. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas 8.1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas 9. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 10. INECUACIONES 11. INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA 2.1. Inecuaciones polinómicas de primer grado 2.2. Inecuaciones polinómicas de grado mayor que uno 2.3. Inecuaciones racionales

1. IDENTIDADES Y ECUACIONES Una expresión algebraica es una combinación de números y letras, unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Ejemplos:

Una igualdad algebraica se compone de dos expresiones algebraicas unidas por el signo igual. Ejemplos:

Se distinguen dos tipos de igualdades algebraicas: las identidades y las ecuaciones. • Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor que se le asigne a las letras. Ejemplo: 3 x + y 2 = 3x + 3 y 2 es una identidad

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Una ecuación es una igualdad algebraica que sólo se verifica para algunos valores asignados a las letras. Ejemplo: x + y = 10 es una ecuación

En una ecuación, a las letras se las denomina incógnitas. Ejemplo. Indica las incógnitas de las siguientes ecuaciones. a) x + y = 10 b) a 2 + 2a − 5 = 7a + 4 Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta. Ejemplo. Comprueba si los siguientes valores son soluciones de las ecuaciones que se indican. a) x = 3 ; 7 x + 4 = 25 b) x = 2 , y = 8 ; x + y = 10 c) x = 2 ; x 2 − 2 x + 3 = 0 d) a = 1 , b = 2 ; a 2 + 2b = 7 Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Nosotros sólo vamos a resolver ecuaciones que tengan una incógnita. 2. ECUACIONES POLINÓMICAS Una ecuación polinómica es una ecuación en la que sus dos miembros son polinomios. En una ecuación polinómica, llamamos grado de la ecuación al mayor exponente al que está elevada la incógnita. Para resolver ecuaciones polinómicas seguimos los siguientes pasos. • Quitamos denominadores. • Quitamos paréntesis. Llegados a este punto, nos fijamos en el grado de la ecuación. o Si obtenemos una ecuación de primer grado, agrupamos los términos con la incógnita en un miembro y los términos numéricos en el otro, para después despejar la incógnita. o Si obtenemos una ecuación de grado mayor que uno, agrupamos términos semejantes. Luego nos llevamos todos los términos obtenidos al primer miembro e igualamos a cero.

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v Si la ecuación obtenida es de segundo grado, la resolvemos dependiendo de −b ± b 2 − 4ac si es completa (si tenemos ax 2 + bx + c = 0 entonces x = )o 2a incompleta (si falta el término de la “x” despejamos la incógnita, y si falta el término independiente sacamos factor común). v Si la ecuación obtenida es de grado mayor que dos, buscamos las raíces del polinomio asociado tal y como se explicó en la factorización de polinomios. (Nota: Es muy importante que no olvidemos sacar factor común en este tipo de ecuaciones). Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7x + 4x − 25 = 8x + 50

b) 4 ( x + 2 ) − 7 ( x − 2 ) = x + 6

c) x − 1−

x − 2 3− x = 2 3

d) 3( 2 + x ) + 1 =

5x x + 1 Ej. 1 trabajo inicial − 2 3

e) ( 2x + 1) = 1+ ( x + 1) ( x − 1) Ej. 2 trabajo inicial 2

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f) x 2 + 4 −

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3( x + 2 ) 5x + 3 = 2 3

g) x 3 + 3x 2 − 6x − 8 = 0

h) x 4 − 5x 3 + 7x 2 − 3x = 0 Ej. 6 trabajo inicial

i) x 4 − x 3 − 11x 2 + 9x + 18 = 0

3. ECUACIONES BICUADRADAS Las ecuaciones bicuadradas son de la forma ax4 + bx2 + c = 0. Podrían resolverse por el método explicado para las ecuaciones de grado mayor que dos, pero lo haremos de otra forma. En este tipo de ecuaciones se hace el cambio de variable x2 = t. De esta manera, nuestra ecuación primera se transforma en la ecuación at2 + bt + c = 0, que es de segundo grado y muy fácil de resolver. Una vez obtenidos los valores de t, para hallar los valores de x simplemente los sustituimos en el cambio x2 = t y resolvemos esta sencilla ecuación de segundo grado. Apuntes unidad 2

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Ejercicio 2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 − 10x 2 + 9 = 0 Ej. 7 trabajo inicial

b) x 4 + 2x 2 − 3 = 0

c) x 6 + x 3 − 2 = 0

4. ECUACIONES RACIONALES Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que en alguno de sus dos miembros aparece una fracción algebraica. Para resolver este tipo de ecuaciones se sigue el mismo procedimiento utilizado para resolver ecuaciones polinómicas. La diferencia con las anteriores es que, una vez que obtengamos las soluciones, tenemos que comprobar que no anulan a ningún denominador de la ecuación de partida. Si así fuera, no se considerarían como soluciones. Ejercicio 3. Resuelve las siguientes soluciones: x 2x 6 a) Ej. 8 trabajo inicial + = 2 x−3 x+3 x −9

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b)

2x 3x + 2 = x+2 2x

c)

x+2 5x + 6 + 3x = x 2

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5. ECUACIONES IRRACIONALES Una ecuación irracional es una ecuación en la que intervienen radicales y cuya incógnita forma parte del radicando de alguno de estos radicales. Para resolver una ecuación irracional seguimos los siguientes pasos: 1. Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos. 2. Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3. Repetimos los pasos 1 y 2 hasta que no quede ningún radical. 4. Se resuelve la ecuación obtenida. 5. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación. Ejercicio 4. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 3 + 2 = x − 2 Ej. 9 trabajo inicial

b) 1− 5x + 4 = −2x

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c) 3 x − 1 + 11 = 2x

d)

x + x−4 =2

e)

2x − 1 + x + 4 = 6

6. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que aparecen logaritmos y la incógnita forma parte de la base o del argumento de alguno o algunos de ellos. Para resolver una ecuación logarítmica aplicamos las propiedades de los logaritmos hasta obtener una expresión del tipo log a M = log a N . De esta manera podemos “quitar” logaritmos y afirmar que M = N . El siguiente paso sería resolver la ecuación obtenida. En las ecuaciones logarítmicas es necesario comprobar que las soluciones obtenidas son válidas, ya que el argumento de un logaritmo ha de ser siempre mayor que cero y la base ha de ser mayor que cero y distinta de uno.

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Ejercicio 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5 log x = 3log x + 2 log 6

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b) log 3x 2 + 5x + 30 − log ( 3x + 8 ) = 1

c)

log x 1 = + log 2 2 2

7. ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación exponencial es una ecuación en la que aparecen potencias y la incógnita forma parte del exponente de alguna o algunas de ellas. Para resolver ecuaciones exponenciales podemos: • Aplicar la propiedad a m = a n ⇔ m = n . • Utilizar la definición de logaritmo ( x = log a N ⇔ a x = N ). • Aplicar las propiedades de las potencias. • Realizar un cambio de variable del tipo z = a x .

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Ejercicio 6. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3⋅ 2 x+1 = 24

b)

3x =6 2

c) 4 ⋅ 2 x = 4 2 x

2

+1

d) 32 x−3 = 2

e) 3x + 2 ⋅ 3x−2 = 11

f) 2 2 x+4 − 5 ⋅ 2 x+3 = −9

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8. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 8.1. Sistemas dos ecuaciones con dos incógnitas Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma ⎧ax + by = c , ⎨ ⎩a ' x + b ' y = c ' donde a, a’, b, b’, c, c’ son números. Para resolver este tipo de sistemas podemos utilizar varios métodos. Método de sustitución 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye su expresión en la otra ecuación. 3. Se resuelve esta ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación despejada para hallar el valor de la otra incógnita. Método de igualación 1. Se despeja una de las incógnitas en las dos ecuaciones. 2. Se igualan las dos expresiones obtenidas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones despejadas para hallar el valor de la otra incógnita. Método de reducción 1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. Las sumamos y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. En algunas ocasiones, antes de aplicar cualquiera de estos tres métodos tenemos que “arreglar” antes el sistema. ¿Cómo? Pues quitando paréntesis y denominadores en las ecuaciones que forman al sistema y agrupando términos semejantes. Ejercicio 7. Resuelve los siguientes sistemas: ⎧ 3x − 2y = 1 (por los tres métodos) Ej. 10 trabajo inicial ⎨ ⎩ 4x − y = −2

⎧−2 ( x + 1) + 3( 2y − 4 ) = 16 ⎪ (por el método que quieras) ⎨x y − = −3 ⎪⎩ 3 2

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8.2. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas son de la forma ⎧ax + by + cz = d ⎪ ⎨a' x + b' y + c' z = d ' ⎪a'' x + b'' y + c'' z = d '' ⎩

donde a, a’, a’’, b, b’, b’’, c, c’, c’’, d, d’, d’’ son números. Diremos que la terna de números reales ( x0 , y0 , z0 ) es solución del sistema anterior si verifica las tres ecuaciones de forma simultánea. Estos sistemas pueden tener: • Una única solución (sistema compatible determinado). • Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado). • Ninguna solución (sistema incompatible). Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución. Para obtener un sistema equivalente a otro dado podemos sumar a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número (distinto de cero). Para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas vamos a utilizar el método de Gauss, que consiste en encontrar un sistema equivalente a nuestro sistema de partida de la forma ⎧ax + by + cz = d ⎪ b' y + c' z = d ' . ⎨ ⎪ c'' z = d '' ⎩

Para ello utilizaremos el procedimiento anteriormente citado (sumar a una ecuación otra multiplicada por un número). Ejercicio 8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: ⎧ x + 2y − 3z = 7 ⎪ a) ⎨2x + y − z = 6 ⎪ 3x − y − z = 6 ⎩

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⎧2y − z = −1 ⎪ b) ⎨5x − y − 3z = 2 ⎪ x − y + 2z = −2 ⎩

9. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES De todos los sistemas de ecuaciones no lineales nosotros vamos a trabajar con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Estos sistemas se pueden resolver utilizando cualquiera de los métodos explicados para los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Si aparecen en ellos ecuaciones logarítmicas también se pueden utilizar las propiedades de los logaritmos. Y si aparecen en ellos ecuaciones exponenciales también se pueden utilizar cambios de variable. Ejercicio 9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 2 2 ⎪⎧ x + 2y = 6 a) ⎨ 2 2 ⎩⎪ 3x − y = 11

⎧2x − y = 8 b) ⎨ 2 Ej. 11 trabajo inicial x − 5y = 16 ⎩

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⎧ 3x + 2y = 13 ⎪ c) ⎨ y ⎪⎩ x = 5

x y ⎪⎧2 + 3 = 5 d) ⎨ x+1 y ⎩⎪2 − 3 = 7

⎧2 log x − 3log y = 7 e) ⎨ ⎩log x + log y = 1

⎧ x − y = 21 f) ⎨ ⎩log x + log y = 2

10. INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Nosotros vamos a trabajar con inecuaciones en las que aparezcan una o dos incógnitas. En una inecuación con una incógnita, llamaremos solución de la inecuación al conjunto de números reales que la satisfacen. Y si la inecuación tiene dos incógnitas, llamaremos solución de la inecuación al conjunto de pares de números reales que la satisfacen.

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Para resolver inecuaciones haremos uso de las siguientes propiedades de las desigualdades: • Si a los dos miembros de una desigualdad le sumamos un mismo número la desigualdad se mantiene. • Si a los dos miembros de una desigualdad los multiplicamos por un mismo número (distinto de cero) entonces: - la desigualdad se mantiene se el número es positivo; - la desigualdad se invierte si el número es negativo. 11. INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA 2.1. Inecuaciones polinómicas de primer grado Para resolver una inecuación polinómica de primer grado seguimos el mismo procedimiento que utilizamos para resolver una ecuación polinómica de primer grado. Para ello debemos tener en cuenta las propiedades de las desigualdades que mencionamos antes. x − 1 2x − 4 Ejemplo 1. Resuelve la siguiente inecuación: − ≤ 1 Ej. 12 trabajo 3 4 inicial

2.2. Inecuaciones polinómicas de grado mayor que uno Para resolver inecuaciones polinómicas de grado mayor que uno seguimos los siguientes pasos: • Se opera hasta obtener un polinomio en un miembro y cero en el otro. • Se hallan las raíces del polinomio y se estudia el signo del mismo Ejemplo 2. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 3x (1+ x ) − 2 x 2 − 1 > 3 Ej. 13 trabajo inicial

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b) x 3 + x ≤ 6 − 4x 2

2.3. Inecuaciones racionales Para resolver inecuaciones racionales seguimos los siguientes pasos: • Se opera hasta obtener una fracción algebraica en un miembro y cero en el otro. • Se estudia el signo de la fracción algebraica resultante. Para ello se estudian por separado el signo del numerador y del denominador y luego “se dividen” . • No olvidar que en la solución de la inecuación nunca se incluyen las raíces del denominador. x−7 Ejemplo 3. Resuelve la siguiente inecuación: ≤ −2x Ej. 14 trabajo inicial x+2

DEBERES • (Ecuaciones logarítmicas). Pág. 48: ej. 23, aptdo b; ej. 24, aptdo b. Pág. 59: ej. 100, aptdos a y c. • (Ecuaciones exponenciales). Pág. 49: ej. 25, aptdos a y b; ej. 26, aptdo b. 2 x−1 + 2 x + 2 x+1 = 7 . 5 2 x − 30 ⋅ 5 x + 125 = 0 . 9 x − 3x−1 = 3x+1 − 1 . • (Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Gauss). Pág. 82: ej. 64, aptdos a y b. Pág. 71: ej. 12, aptdo b. ⎧⎪2 x + 5 y = 9 • (Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas). ⎨ x+2 . y+1 ⎪⎩2 + 5 = 4 ⎧⎪ 3x + 7 y = 16 ⎧log x + 3log y = 5 ⎧ 3x + 2y = 64 . . ⎨ ⎨ x−1 ⎨ y+2 ⎪⎩ 3 − 7 = −340 ⎩log x − log y = 3 ⎩log x − log y = 1

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TRABAJO VOLUNTARIO • (Ecuaciones logarítmicas). Pág. 48: ej. 23, aptdo a; ej. 24, aptdo a. Pág. 59: ej. 100, aptdo d. Pág. 60: ej. 102, aptdo a. • (Ecuaciones exponenciales). Pág. 49: ej. 25, aptdos f y g; ej. 26, aptdo d. Pág. 60: ej. 109, aptdo a. 5 x+3 − 5 x−1 − 3120 = 0 . 2 ⋅10 2 x+4 + 3⋅10 x+2 − 5 = 0 . • (Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Gauss). Pág. 82: ej. 64, aptdos c y d. Pág. 71: ej. 12, aptdo a. x y ⎪⎧2 + 3 = 11 • (Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas). ⎨ x .. y ⎪⎩ 4 + 9 = 85 ⎧log x − log y = 1 ⎧ x + y = 33 . ⎨ ⎨ x−24 = 4y ⎩log x − log y = 1 ⎩2

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