Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales

Estructura del tema. • Definiciones b´ asicas • Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales • Clasificaci´on de los sistemas seg´ un el n´ umero de soluciones. Teorema de Rouch´e-Frobenius • M´etodos de resoluci´on. M´etodo de Cramer. M´etodo de Gauss

0.1.

Definiciones b´ asicas

Una ecuaci´ on lineal es una ecuaci´on polin´omica de grado 1 en una o varias inc´ognitas. Es decir, es una expresi´ on de la forma a1 x1 + ... + an xn = b donde los t´erminos a1 , ..., an son n´ umeros reales conocidos que se llaman coeficientes; el t´ermino b es tambi´en un n´ umero real conocido que se llama t´ ermino independiente, y por u ´ltimo los s´ımbolos x1 , ..., xn se conocen como inc´ ognitas y son a priori desconocidas. Para un n´ umero peque˜ no de inc´ ognitas, ser´ a usual tambi´en denotarlas por las letras x, y, z, t, ... Una soluci´ on de una ecuaci´ on es una asignaci´on de valores a las inc´ognitas de forma que se verifique la igualdad. Definici´ on 0.1.1. Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas a un conjunto de m ecuaciones lineales en las mismas n inc´ognitas:  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n x2 = b2  . .... .... ... .... ....     am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm 

(1)

2

Llamaremos soluci´ on del sistema a cada asignaci´on de valores de las inc´ognitas {x1 = k1 , ..., xn = kn } que sea soluci´ on com´ un a todas las ecuaciones del sistema, es decir: que verifique todas las igualdades simult´ aneamente. Se llama soluci´ on general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Resolver un sistema es hallar su soluci´on general. Dos sistemas se dice que son sistemas equivalentes si tienen la misma soluci´on general, es decir, si tienen exactamente las mismas soluciones. Para transformar un sistema en otro sistema equivalente podemos realizar las siguientes operaciones elementales: • Intercambiar dos ecuaciones. • Multiplicar una ecuaci´ on por un escalar no nulo. • Sumar a una ecuaci´ on un m´ ultiplo de otra. • Eliminar las ecuaciones triviales del tipo 0 = 0, las ecuaciones repetidas o las proporcionales.

0.2.

Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial. Por ejemplo, (1) se puede escribir como AX = b, donde    A=  

a11 a12 a21 a22 ... ... am1 am2

... a1n ... a2n ... ... ... amn

   ,  

   X=  

x1 x2 .. .





    

  b=  

y

xn

b1 b2 .. .

   .  

bm

A la matriz A se le llama matriz del sistema o de coeficientes. El vector X es el vector de inc´ ognitas y el vector b es el vector de los t´ erminos independientes. Por u ´ltimo llamamos matriz ampliada a la matriz que se forma cuando a˜ nadimos a la matriz del sistema el vector de los t´erminos independientes:   a11 a12 ... a1n b1    a21 a22 ... a2n b2  ∗ .  A = (A|b) =  ... ... ... ...    ... am1 am2 ... amn bm Como caso particular de sistemas cabe destacar los sistemas homog´eneos: Definici´ on 0.2.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homog´ eneo si su vector de t´erminos independientes es el vector nulo. Observemos que un sistema homog´eneo siempre admite la soluci´on trivial {x1 = 0, ..., xn = 0}.

0.3 Clasificaci´ on de sistemas. Teorema de Rouch´ e-Frobenius

0.3.

3

Clasificaci´ on de los sistemas seg´ un el n´ umero de soluciones. Teorema de Rouch´ e-Frobenius.

Atendiendo a la existencia o no de soluciones de un sistema y al n´ umero de ´estas se da la siguiente clasificaci´ on. Definici´ on 0.3.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema incompatible si no tiene soluci´ on. Por el contrario se dice que es un sistema compatible si tiene alguna soluci´ on. En este u ´ltimo caso s´ olo caben dos posibilidades: o bien el sistema tiene una u ´nica soluci´on, y en este caso se dice que es un sistema compatible determinado, o bien tiene infinitas soluciones, llam´andose un sistema compatible indeterminado. Como ejemplo, v´ease que los sistemas homog´eneos siempre son compatibles. En consecuencia, la soluci´ on general de un sistema compatible determinado consistir´a en la u ´nica soluci´on posible del sistema mientras que la soluci´on general de un sistema compatible indeterminado vendr´ a expresada en funci´ on de uno o m´as par´ametros. En este u ´ltimo caso, para cada asignaci´on de valores que le demos a los par´ametros obtendremos una soluci´on concreta del sistema. Al hecho de decidir si un sistema es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado se le llama com´ unmente discutir el sistema. Para discutir un sistema no es necesario resolverlo. Nos basta con estudiar el rango de la matriz del sistema y de la matriz ampliada y aplicar el siguiente resultado. Teorema 0.3.2. Teorema de Rouch´ e-Frobenius. Sea AX = b la representaci´ on matricial de ∗ un sistema de ecuaciones lineales y sea A = (A|b) la matriz ampliada del sistema. Entonces, el sistema es compatible si y s´ olo si rg(A) = rg(A∗ ). En este caso el sistema es compatible determinado si rg(A) coincide con el n´ umero de inc´ ognitas, y es compatible indeterminado si rg(A) es menor que el n´ umero de inc´ ognitas. Como consecuencias inmediatas del Teorema 0.3.2 se tiene que: 1. Un sistema es incompatible si y s´ olo si rg(A) < rg(A∗ ), ya que por ser A una submatriz de A∗ la otra desigualdad estricta no es nunca posible. 2. Como el n´ umero de ecuaciones del sistema coincide con el n´ umero de filas de A y el n´ umero de inc´ognitas con el n´ umero de columnas, rg(A) siempre es menor o igual que el n´ umero de inc´ognitas del sistema y que el n´ umero de ecuaciones. En el caso de un sistema compatible indeterminado sabemos que su soluci´on general depende de par´ametros. El n´ umero de par´ ametros necesarios es igual a la diferencia entre el n´ umero de inc´ognitas y el rango de la matriz del sistema: no de par´ ametros = no de inc´ognitas − rg(A).

4

0.4.

M´ etodos de resoluci´ on

0.4.1.

M´ etodo de Cramer

Del Teorema 0.3.2 y de las observaciones que le suceden se sigue que si tenemos un sistema de ecuaciones lineales con n inc´ ognitas, el menor n´ umero de ecuaciones para que sea compatible determinado es tambi´en n. En este caso la matriz del sistema A es cuadrada, y para que rg(A) = n ha de tener determinante no nulo. Es decir, A tiene que ser una matriz regular. Los sistemas que cumplen estas caracter´ısticas se denominan sistemas de Cramer: Definici´ on 0.4.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema de Cramer si es un sistema compatible determinado de n ecuaciones con n inc´ognitas. O equivalentemente, si la matriz del sistema A es una matriz cuadrada regular. Es posible dar la soluci´ on de un sistema de Cramer mediante determinantes. De hecho, un sistema de Cramer gen´erico viene dado por  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n x2 = b2  , .... .... ... .... ....     a x + a x + ... + a x = b  n1 1

y se puede probar que b a 1 12 ... b2 a22 ... ... ... ... bn an2 ... x1 = |A|

su soluci´ on es a1n a2n ... ann , x2 =

n2 2

nn n

a 11 b1 a21 b2 ... ... an1 bn

... a1n ... a2n ... ... ... ann

|A|

,

n

...,

xn =

a 11 a12 a21 a22 ... ... an1 an2 |A|

... b1 ... b2 ... ... ... bn

.

Obtener la soluci´ on de un sistema compatible determinado mediante determinantes es lo que se conoce como m´etodo de Cramer. Los principales incovenientes del m´etodo de Cramer son: un alto coste computacional, y solamente se puede aplicar a sistemas de Cramer. Sin embargo, siguiendo la filosof´ıa del m´etodo de Gauss que hemos expuesto en el Tema ?? podemos discutir y resolver simult´aneamente cualquier sistema de ecuaciones lineales.

0.4.2.

M´ etodo de Gauss

Hay una serie de sistemas de ecuaciones lineales muy f´aciles de discutir y de resolver, los sistemas escalonados. Definici´ on 0.4.2. Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema escalonado si la matriz ampliada es una matriz escalonada por filas tal y como se defini´o en el Tema ??.

0.4 M´ etodos de resoluci´ on

5

Si la matriz ampliada del sistema es una matriz escalonada por filas, la matriz del sistema tambi´en lo ser´ a, y por tanto ser´ a inmediato hallar y comparar los rangos de ambas matrices. En consecuencia, gracias al Teorema 0.3.2 la discusi´on del sistema es inmediata. Con respecto a la resoluci´ on: • Si el sistema es incompatible no hay nada que resolver. • Si el sistema es compatible determinado se podr´a resolver de forma regresiva: en la u ´ltima ecuaci´on se despeja la u ´ltima inc´ognita y se sustituye en la pen´ ultima ecuaci´on. En esta pen´ ultima ecuaci´ on se despeja la pen´ ultima inc´ognita y se sustituye en la anterior, y as´ı hasta llegar a la primera ecuaci´ on d´ onde despejaremos la primera inc´ognita. • Si el sistema es compatible indeterminado lo resolveremos de modo similar, pero nos quedaran inc´ognitas “libres” que no podamos despejar. Estas inc´ognitas ser´an los par´ametros de la soluci´on general del sistema. El m´etodo de Gauss para la resoluci´on de sistemas consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente que sea escalonado, para discutirlo y resolverlo como se acaba de explicar. Para ello, basta con escribir el sistema en forma matricial y aplicarle transformaciones elementales de filas a la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada por filas. Tambi´en podemos eliminar las filas nulas, o las que sean iguales o proporcionales. La matriz que obtengamos ser´a la matriz ampliada correspondiente a un sistema equivalente al inicial y escalonado. Si se prefiere se puede hacer el mismo proceso sin escribir el sistema en forma matricial, manipulando directamente las ecuaciones.

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