Departamento de Matemáticas Colegio Inmaculada Niña de Granada

TEMA 3.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.-

INTRODUCCIÓN

Una ecuación lineal es una expresión del tipo: a1 x1  a 2 x 2  a3 x3  ...a n x n  b Por ejemplo: 3x+2y-z=1 Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales:

Donde las xi son las incógnitas, las a ij los coeficientes de las incógnitas y las b j los términos independientes. El sistema anterior tiene m ecuaciones y n incógnitas.

x  2y  z  2   Por ejemplo: 3 x  y  2 z  1   x  y  4 z  5 Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores que cumplen a la vez todas las ecuaciones del sistema. x  y  3  Así, una solución del sistema  es (1,2) (x=1, y=2) (Es fácil resolver por cualquiera de los 2 x  y  0 métodos conocidos) Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Así, los sistemas

2 x  y  5 x  3 y  6  y   son equivalentes puesto que ambos tienen como solución x  y  2  3x  2 y  7

(3,1)

Ejercicios: 1.-

Resolver los siguientes sistemas usando alternativamente los métodos conocidos de reducción, sustitución e igualación: 1 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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 4x - 3y = 5 a)   - 2x + 5y = 1 x - 6  x + 3y = d)   x - 1 = 2y + 2x  x + y = 8  g)   x + y = 3  2 3

 x + y = 1 b)   3x + 2y = 0  3 ( x - 2y + 1 ) = - 3y e)   x + 5y = 2x + 3y + 3  x + 2y = 9  h)   3x - y = 2  4

 5x - y = 3 c)   2x - 2y = - 2  4x - y = 3(x - 3 + y) f)   3x + 5y = - 3x + 2y  x + y = 3  i)   x + y = 2  3 2

2.-

Dentro de 2 años la edad de una persona será el triple de la otra, y dentro de 14 años sólo será el doble. ¿Cuál es la edad de cada una?

3.-

Un comerciante quiere gratificar a sus empleados y para ello reparte cierta cantidad de dinero. Si a cada uno da 100 euros le sobran 300; pero si da 150 euros le faltan 200. ¿Cuál era la cantidad y cuál el número de empleados?

4.-

Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?

5.-

Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.

6.-

Juan y Roberto comentan: Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuántas monedas tienen cada uno?

2.-

CLASIFICACIÓN DE UN S.E.L.

Según su número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:

Los ejemplos anteriores son sistemas Compatibles Determinados pues tienen una única solución.

2 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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 x  y  2 El sistema  es un sistema Compatible Indeterminado pues tiene infinitas soluciones (hay 2 x  2 y  4 infinitas parejas de números que sumen 2) como se puede comprobar al resolverlo.  x  y  2 El sistema  es un sistema Incompatible ya que no tiene solución (es imposible que dos números  x  y  1 sumen 2 y a la vez sumen 1) Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

3.-

SISTEMAS ESCALONADOS

Un sistema escalonado o triangular es un sistema de ecuaciones lineales del tipo:

x  2 y  z  7  Por ejemplo: 3 y  2 z  3   2 z  6  La ventaja de estos sistemas es que son muy fáciles de resolver. En el ejemplo anterior, despejando de la última ecuación sale z = 3, de la segunda sale y = -1 y de la tercera ecuación sale x = 2.

4.-

MÉTODO DE GAUSS DE RESOLUCIÓN DE S.E.L. (REDUCCIÓN)

El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales (también llamado método de reducción) consiste en transformar un sistema en otro escalonado que sea equivalente a él (es decir, tenga las mismas soluciones). Nota: al usar este método usaremos la matriz asociada al sistema para facilitar las

operaciones.

Para convertir un sistema en otro hay 3 operaciones válidas que no cambian las soluciones del sistema

3 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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Transformaciones Válidas: a) Intercambiar entre sí las ecuaciones del sistema b) Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de 0 c) Sustituir una ecuación por el resultado de multiplicar otra ecuación por un número y sumársela Ejemplo 1: Discutir y resolver el sistema:

x yz 2   2 x  3 y  5 z  11  x  5 y  6 z  29 

Solución: Queremos transformar el sistema en uno escalonado equivalente, y para ello debemos eliminar las variables x de la segunda y tercera ecuación, y la variable y de la tercera:

x yz  2

x y z  2  x y z  2  x  y  z  2     E  E   6 E2  E3 2 E1  E2 1 3 2x  3 y  5z  11   y  3z  7   y  3z  7   y  3z  7      x  5 y  6 z  29  x  5 y  6 z  29  6 y  5z  27  23z  69  Ya hemos conseguido un sistema escalonado, que es fácil resolver puesto que de la tercera ecuación se obtiene z = 3, sustituyendo en la segunda obtenemos y = -2, y por último si sustituimos en la primera tenemos x = 1. Se trata pues de un Sistema Compatible Determinado cuya solución es (1,-2,3) Nota: es importante seguir un orden al eliminar incógnitas. Primero eliminamos las x de la segunda y tercera ecuación, basándonos en la x de la primera. Para eliminar la y de la tercera ecuación nos basamos en la y de la segunda, pues si no volverían a aparecer incógnitas que antes habíamos eliminado A veces hay que multiplicar dos ecuaciones por diferentes números para conseguir eliminar una incógnita. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 2:

Resolver el sistema

2x  3 y  z  10   3x  y  z  2  4x  2 y  3z  3 

Solución: Como no se puede simplificar ninguna ecuación, para eliminar la x de la segunda ecuación tendremos que multiplicar la primera ecuación por -3 y la segunda por 2: 4 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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2x  3 y  z  10  2x  3 y  z  10  2x  3 y  z  10   3E1  2 E2  2 E1  E3  8 E2 11E3 3x  y  z  2    11y  5z  26    11y  5z  26    4x  2 y  3z  3  4x  2 y  3z  3  8 y  5z  23  2x  3 y  z  10   11y  5z  26   z  3 15z  45  Sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene y = -1, y sustituyendo en la primera obtenemos x = 2 Luego es un Sistema Compatible Determinado de solución  2, 1,3 

Ejemplo 3:

 y  z  2   Discutir y resolver el sistema x  2 y  4 z  3   2 x  4 y  8 z  1 Solución:

 y  z  2  x  2 y  4z  3  x  2 y  4z  3     2 E1  E3 E1  E2 x  2 y  4z  3    y  z  2     y  z  2     2x  4 y  8z  1 2x  4 y  8z  1 0  5  Como vemos la última ecuación no tiene sentido, y por tanto se trata de un Sistema Incompatible

Ejemplo 4:

2 x  4 y  6 z  2  Discutir y resolver el sistema y  2 z  3   x  3 y  z  4  Solución:

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2x  4 y  6 z  2  x  3y  z  4  x  3 y  z  4 x  3 y  z  4      2 E1  E3  2 E2  E3 E1  E3 y  2z  3   y  2z  3    y  2z  3    y  2z  3      x  3 y  z  4  2x  4 y  6 z  2  2 y  4z  6  0 0  En este caso se ha ido una ecuación, lo que significa que el sistema realmente tiene dos ecuaciones y tres incógnitas. Por tanto se trata de un Sistema Compatible Indeterminado. Para resolver este tipo de sistemas tratamos a una de las tres incógnitas como si fuese un número (le llamamos, por ejemplo,  ), y despejamos las restantes incógnitas: x  3 y  z  4    y  2   3  y  2  3   x  4  3 y  z  4  3  2   3     4  6   9     5  7  z 

Y las infinitas soluciones que tiene el sistema se expresan de la forma:

 5  7  ,  3  2 , 

Dándole distintos valores a  , podríamos obtener las infinitas soluciones del sistema. Por ejemplo, si  =1, una solución sería (-12,-5,1), si  =0, otra solución sería (-5,-3,0), si  =-1, otra solución sería (2,-1,-1),…

Ejercicios: 1.-

Discute y resuelve los siguientes sistemas:  x  9 y  5z  33 x  y  z  1   a )  x  3 y  z  9 b ) x  y  z  1    x  y  z  5  x  y  z  1

 x  2y  z  0  c )  2x  y  z  1  3x  2 y  z  10

 x  2 y  5z  4  d ) 3x  2 y  z  4   2x  y  3

2x  3 y  z  0  e)  y z  2   x  y  z  1

 2x  y  z  6  f )  x  y  2z  1    x  3 y  1

 2x  y  z  3  g ) x  2 y  z  4   x  8 y  5z  6

 x  2 y  5z  13  h )  2x  5 y  z  19   x  3 y  2z  4

 x y  z 7  i )  x  y  3z  1  2x  y  4z  5

6 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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2.-

En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que las bajas y medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas. ¿Cuál es el número de personas altas, medianas y bajas?

3.-

Dos kilos de naranjas más un kilo de plátanos más dos kilos de mangos, valen 12 euros. Dos kilos de naranjas más dos kilos de plátanos más tres kilos de mangos, valen 18 euros. Tres kilos de naranjas más un kilo de plátanos, más dos kilos de mangos, valen 13 euros. ¿Cuánto vale un kilo de naranjas? ¿Cuánto vale un kilo de plátanos? ¿Cuánto vale un kilo de mangos?

4.-

En una heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos, le cobran 15 euros un día. Otro día, por cuatro copas de la casa y cuatro horchatas, le cobran 20 euros y, un tercer día, le piden 12 euros por una horchata y cuatro batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días le han presentado una cuenta incorrecta?

5.-

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Son sistemas en los que aparecen ecuaciones que no son lineales, es decir, en las que aparecen operaciones diferentes a la suma, resta o multiplicación de las incógnitas por números: multiplicaciones entre las incógnitas, potencias, fracciones, … Por ejemplo:

x 2  y  8   2x  y  0  Veremos sólo sistemas no lineales con dos incógnitas. Estos sistemas se resuelven habitualmente por sustitución, si bien los métodos de reducción e igualación también son válidos. En el ejemplo anterior, si despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

x 2  y  8  2 2   y  2x  x  2x  8  x  2x  8  0 2x  y  0  Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado obtenida: 2  4  32 2  6  x  4 x   2 2  x  2 Cada valor de x tendrá su correspondiente valor de y: Si x  4  y  8 Si x  2  y  4

Y por tanto las dos soluciones que tiene este sistema son:

 4,8  ,  2, 4 

7 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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A diferencia de los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas no lineales pueden tener ninguna, una, dos, tres, cuatro,… soluciones, dependiendo de la ecuación que se obtenga al hacer sustitución.

Veamos otro ejemplo:

x 2  y 2  25   xy  12  0  Despejamos y:

y

12 x 2

144  12  Sustituimos en la primera ecuación: x      25  x 2  2  25 x  x  4 2 4 2 Quitamos denominadores: x  144  25x  x  25x  144  0 2

Resolvemos la ecuación bicuadrada:

 t  9 t  x 2  t 2  25t  144  0   t  16 Si t  9  x  3 Si t  16  x  4 Y sustituyendo en y tendremos las cuatro soluciones del sistema:

 3,4  , 3, 4  , 4,3  , 4, 3 

Ejercicios: 1.-

Resuelve los siguientes sistemas:  2x  y  1  0  x  y  2 a)  b)  2  x  7  y  2  xy  8

2 2  x  y  290 c )  x  y  24

1 1 5    d ) x y 6   xy  6

y  1  2x  e)  2 2  x  y  6 x  16

2 2  x  y  13 f ) 2 2  x  yx  y  7

 x  3 y  1  g )  1 1 1    x y 2

4x 2  xy  2  x  y  h ) yx1 

 x  y  3 i)   2x  y  4

8 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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2.-

Hallar dos números naturales cuya diferencia es 8 y cuyo producto es 105.

3.-

Calcular las dimensiones de un rectángulo de 30 cm de perímetro y 54 cm2 de área

4.-

Un cuadrado tiene 44 m2 más de área que otro, y éste dos metros menos de lado que el primero. Hallar los lados de los dos cuadrados

5.-

Descomponer el número 15 en dos sumandos tales que el triple del cuadrado del primero y el doble del segundo sumen 255.

9 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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EJERCICIOS 1.-

Discute y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas: 1  3x - y + z =  a)  2y + z = 4   2x - z = -2

 x + 2y + z = - 1  b)  2x + 3y - z = 0   x + y + 2z = 1

 2x + 3y + z = - 4  c)  - x + y + 2z = 3   x - 2y - 3z = 3

x + y + z = 3   d)  - x + 3y - z = 5   - 3x + y - 3z = - 1

1  2x + y + z =  e)  x - y + z = - 4   3x - y + z = - 2

 x +   f)  y +    z +

x+1 2 x-1 + g) 3 x +

y+2 = 0   4 y + z = 2   2  y-z = 1   4 x+ z = y -1  3   x + y z = 1 i)  y+ z = x+2   2

2.-

 x + 2y + z = 2 2  h)  x - y + z = -1  2   x + y - 2z = 1  x  2 y  3z  0  j) x  2 y  3 z  0   2 x  3 y  2 z  4 

Resuelve los siguientes sistemas: x 2  y 2  2 y  9  8 x  y 2  a) b)   x  y  5  2 x  y  8

x  y  4  d)  x 2  y 2  17 

y = 7 2 z = 8 2 x = 5 4

x  y  2 z  2   k) 3 x  3 y  6 z  1  2 x  2 y  z  0 

x 2  y 2  25 c)  x  y  7 

x 2  y 2  8 e)  x  y  3 

2 x 2  y 2  22  f)  2 x  y  4 

x 2  x  y  6  g)  2 x  y  6  0 

10 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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3.-

En un teatro, hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son 5, 10 y 20 euros, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de 11.000 euros. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, averigua cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día.

4.-

En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños es igual al doble del número de hombre. a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? b) Si además se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?

5.-

El señor García deja a sus hijos herederos de todo su dinero con las siguientes condiciones: al mayor le deja la media de lo que les deja a los otros dos más 30.000 euros; al mediano, exactamente la media de lo de los otros dos; y al pequeño, la media de lo de los otros dos menos 30.000 euros. Conociendo estas condiciones solamente, ¿pueden los hijos saber cuánto dinero ha heredado cada uno?

6.-

A la proyección a una película asisten 500 personas, de las cuales algunas pagan el precio completo de la entrada que son 9 €, algunas son jubilados que pagan el 20% de la entrada, y algunas son niños que pagan sólo el 50%. Sabiendo que el número de jubilados es el doble del de personas que pagan la entrada completa y que en total se han recaudado 2115 €, calcular cuántas personas de cada tipo fueron al cine.

7.-

Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, acción y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las de acción representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las de acción más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más de acción que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo

8.-

Una persona ha obtenido 6.000 € de beneficio por invertir un total de 60.000 € en tres empresas A, B y C. La suma del dinero invertido en A y B fue 5 veces el invertido en C, y los beneficios fueron del 5% en A, el 10% en B y el 20% en C. Averigua la cantidad invertida en cada empresa.

9.-

Se quiere diseñar una dieta especial a partir de tres ingredientes básicos: El ingrediente A contiene 5 unidades de proteínas, 2 de lípidos y 4 de carbohidratos por kilo El ingrediente B contiene 6 unidades de proteínas, 1 de lípidos y 2 de carbohidratos por kilo El ingrediente C contiene 3 unidades de proteínas, 6 de lípidos y 2 de carbohidratos por kilo Para que la dieta sea equilibrada debe contener 2354 unidades de proteínas, 1310 de lípidos y 1240 de carbohidratos. ¿Cuántos kilos se necesitarán de cada ingrediente? 11 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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10.-

Halla dos números naturales cuya suma es 12 y la suma de sus cuadrados 80

11.-

El perímetro de un triángulo rectángulo es de 56 m y la hipotenusa 25 m. Hallar los catetos

12.-

La suma de dos números naturales es 8, y la de sus inversos

13.-

La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 dm2, y su diferencia es 28 dm. Hallar los lados de los cuadrados

14.-

El perímetro de un rectángulo es 34 cm., y su diagonal mide 13 cm. Calcula sus lados.

15.-

Un padre y su hijo se llevan 22 años. La raíz cuadrada de la edad que tendrá el padre dentro de cuatro años coincide con la edad que tenía el hijo hace cuatro años. Averigua la edad de cada uno.

8 . Calcula dichos números 15

12 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones

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Soluciones: 1.-

a) x=0, y=1, z=2; d) S.C.I.; x=λ; y=2; z=1-λ; g) x=1, y=2, z=2 j) x=8-13λ , y=8λ-4 , z=

2.-

a) (1,-4), (3,-2)

b) (2,-4), (8,8)

d) (4,1), (-4,-1)

e) (3,-1) (-3,1)

b) x=3, y=-2,z=0 e) x=1; y=2; z=-3 h) x=0, y=1, z=0 k) S.I. c) (3,4), (4,3)  1 14  f) (3,2),   ,    3 3

3.-

600 de A, 400 de B y 200 de C

4.-

a) No b) 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños

5.-

No

6.-

50 niños, 300 jubilados y 150 personas sin descuento

7.-

500 infantiles, 600 de acción y 900 de terror

8.-

20.000 € en A, 30.000 € en B y 10.000 € en C

9.-

136 kg de A, 210 de B y 138 de C

10.-

4y8

11.-

7 y 24 cm.

12.-

5y3

13.-

6y8

14.-

5 y 12 cm.

15.-

El padre 32 años y el hijo 10 años

c) S.I.; f) x=4, y=6, z=4 i) x=3, y=4, z=6

g) (0,-6) , (3,0)

13 Matemáticas Aplicadas CCSS I: Sistemas de Ecuaciones