Teoría y ejercicios de Matemáticas II. Álgebra

Sistemas de ecuaciones lineales

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1 DEFINICION Una ecuación lineal es una ecuación de la forma

a1 x1 + a 2 x 2 + L + a n x n = b a1 , a2Lan son los coeficientes de las incógnitas x1 , x 2 L x n y b es el término independiente de la ecuación. Si b = 0 la ecuación se llama homogénea. en la que

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de

m ecuaciones lineales con las mismas

n incógnitas: a11 x 1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b  21 1 22 2 2n n 2  LLLLLLLLLL LLL  a m1 x 1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas que verifican simultáneamente todas las ecuaciones. En este tema utilizaremos la representación matricial de un sistema:

 a11 a12 L a1n  x 1   b1        a 21 a 22 L a 2n  x 2   b2  =  M M M M  x 3   b3       a    b  a L a m2 mn  x 4   m1  4 o en forma abreviada:

AX=B en la que

y

A X B

es la matriz de coeficientes es la matriz de incógnitas es la matriz de términos independientes

igualmente haremos uso de la matriz ampliada que representaremos por (AB)

 a11 a12 L a1n  a 22 L a 21 a (AB) =  21 M M M M  a  m1 a m 2 L a mn

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b1   b2  M   bm 

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Sistemas de ecuaciones lineales

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones 3.1.1

Propiedades de los sistemas equivalentes

Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de las otras, podemos eliminar dicha ecuación y el sistema que nos queda es equivalente al primero Así, por ejemplo, -

3 x + 2y = 8  el sistema 2 x − y = 3 5 x + y = 11 

es equivalente al sistema

3 x + 2y = 8 , pues la última ecuación del  2 x − y = 11

primer sistema es combinación lineal de las dos primeras; resulta fácil observar que los dos sistemas tiene por solución

-

x = 2  por lo tanto son equivalentes y = 1

Si en un sistema de ecuaciones lineales sustituimos una ecuación cualquiera por una combinación lineal de ella con alguna o algunas de las otras, el sistema obtenido es equivalente al primero.

x+y +z =3   El sistema 2 x − y + z = 2 es equivalente al sistema x − y + 2z = 2

x + y + z = 3  2 x − y + z = 2 en el que hemos sustituido la 2 x + 3z = 5 

ultima ecuación por la suma de la primera más la tercera 3.1.2

Clasificación de los sistemas lineales

Decimos que un sistema es compatible si admite alguna solución. En caso de que no tenga solución el sistema es incompatible. Los sistemas compatible pueden ser, a su vez, determinados si admite una única solución e indeterminado cuando admite infinitas soluciones,

 determinado(una sóla solución) Compatible(con solución) Sistema  indeterminado(infintas soluciones) Incompatible(sin solución)  3.2 REGLA DE CRAMER PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Un sistema se dice que es un sistema de Cramer si cumple las siguientes condiciones: a) Tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas b) El determinante de la matriz de coeficientes no es igual a cero Por ejemplo, el sistema:

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Sistemas de ecuaciones lineales

2 x − 3 y + z = 1   x − 2y − z = 3 2 x + y − 2z = 2  2 −3 1 es de Cramer pues tiene tantas ecuaciones como incógnitas y 1 − 2 − 1 = 15 ≠ 0 2 1 −2 Todo sistema de Cramer es compatible y determinado: Para resolver los sistemas de Cramer se puede emplear la regla de Cramer: -

La solución de un sistema de Cramer es:

xi =

Ai A

, i = 1, L , n

Ai la matriz que se obtiene a partir de la matriz de coeficientes, cambiando la columna de lugar i por la columna de términos independientes y A la matriz de coeficientes. siendo

Ejemplo 1. Aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema

5 x + 2y = 8  − 3 x + 7 y = 2

Primero comprobamos que se trata de un sistema de Cramer; para ello comprobamos que

A ≠0 A =

5 2 = 41 −3 7

así pues, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:

x=

8 2 2 7 5 2 −3 7

=

52 41

y=

5 8 −3 2 41

=

34 41

3 x − y + 2z = −1  Ejemplo 2. Aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema 2 x + y − 3z = 2  x − 3 y + 3z = 4 

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3 −1 2 A = 2 1 − 3 = −23 1 −3 3

x=

-1 -1 2 2 1 -3 4 -3 3 - 23

=−

4 23

y=

Ejemplo 3. Resolver el sistema Recordemos que

3 −1 2 2 2 −3 1 4 3 − 23

=−

75 23

z=

3 −1 −1 2 1 2 1 −3 4 − 23

=−

43 23

5 x + 2y = 8 por el método de la matriz inversa:  3 x 7 y 2 − + =  −1

X=A B

1 1 7 − 2  5 2 −1   → A =  (AdjA)t =  A =  A 41  3 − 5   − 3 7 luego

 52    x 7 − 2 8 52   1    1     =    =   =  41  que son las mismas que las encontradas en el y 3 5 2  34  41 41       34     41  ejemplo 1

3.3 TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

m ecuaciones con n incógnitas: a11 x 1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 S LLLLLLLLLL LLL  a m1 x 1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm

Dado un sistema S de

nos serviremos del teorema de Rouché-Fröbenius para estudiar si compatibilidad La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones sea compatible es que la matriz de coeficientes y la matriz ampliada tengan el mismo rango. La razón de ser de este teorema está en que la columna de términos independientes es una combinación lineal de las columnas de los coeficientes:

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 a11   a12   a1n   b1           a 21   a 22   a 2n   b2   L  x1 +  L  x 2 + L +  L  x n =  L          a  a  a  b   m1   m2   mn   m y si los términos independientes no son combinación lineal de los coeficientes, el sistema será incompatible y el rango de la matriz ampliada no coincidirá con el de la matriz de coeficientes. Así si indeterminado?

Ran(A ) = Ran(AB ) = r el sistema será compatible; pero ¿será determinado o

Cuando el número de incógnitas n es igual a r el sistema será compatible y determinado ya que el número de ecuaciones linealmente independiente es igual al número de incógnitas Cuando el número de incógnitas es mayor que r , el sistema será indeterminado; para resolverlo se toman r ecuaciones linealmente independientes y se pasan al otro términos n − r incógnitas

3 x − 2y − z = 3  Ejemplo 4. Discutir y resolver, en su caso, el siguiente sistema  x + y − z = −2 2 x − 3 y + 2z = 5  Estudiemos primero Ran (A) 3 − 2 −1  3 − 2 − 1 3 − 2 −1 3      1 1 − 1 = 10 ⇒ Ran 1 1 − 1 = 3 = Ran 1 1 − 1 − 2  2 − 3 2  2 − 3 2 2 −3 2 5     luego el sistema es compatible y determinado ya que el rango de la matriz coincide con el número de incógnitas. Para resolverlo podemos aplicar cualquiera de los métodos conocidos; en este caso aplicamos el método de Cramer:

x=

3 − 2 −1 − 2 1 −1 5 −3 2 10

=

3 3 −1 1 − 2 −1 2 5 2

−2 1 =− y= 10 5 3 −2 3 1 1 −2 2 −3 5 0 z= = =0 10 10

- 35 -

10

=

9 − 18 =− 10 5

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x + y − z = 4  Ejemplo 5. Discutir el siguiente sistema 2 x − y − z = 6  x + 4 y − 2z = 8  1 1 −1 1 1 Ran (A) → 2 − 1 − 1 = 0 → = −3 ≠ 0 ⇒ Ran (A) = 2 2 −1 1 4 −2 1 1 4  1 1 −1 4   Ran ( AB ) → Ran 2 − 1 − 1 6  → 2 − 1 6 = −6 ≠ 0 ⇒ Ran ( AB ) = 3  1 4 − 2 8 1 4 8   Dado que el rango de la matriz de coeficientes es distinto del rango de la matriz ampliada, el sistema es incompatible

 x − 2y + z = 5  Ejemplo 5. Discutir y resolver, en su caso, el siguiente sistema 2 x + y − 2z = 3 − x − 8 y + 7 z = 9  1 −2 1 1 −2 = 5 ⇒ Ran ( A) = 2 Ran ( A) → 2 1 −2 = 0 → 2 1 −1 − 8 7 1 −2 1 5  1 −2 1 5   1 − 2 1 5       Ran(AB) → Ran 2 1 − 2 3 = Ran 0 5 − 4 − 7 = Ran 0 5 − 4 − 7 = 2 0 0 0 0   0 − 10 8 14   −1 − 8 7 9       Luego el sistema es compatible e indeterminado ya que el numero de incógnitas es igual a 3 Para resolver el sistema cogemos tantas ecuaciones como indica el rango, 2 en este caso, y pasamos una ( 3-2 ) incógnitas al segundo miembro:

 x − 2y = 5 − z  2 x + y = 3 + 2z que podremos resolver ya que el determinante de la matriz de coeficientes no es nulo. Aplicando la regla de Cramer:

x=

5−z −2 3 + 2z 1 1 −2 2 1

=

11+ 3z 5

y=

1 5−z 2 3 + 2z 5

- 36 -

=

4z − 7 5

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Soluciones que también podemos escribir en función de un parámetro t

11+ 3t  x = 5  4t − 7  y = 5  z = t  

; de esta

forma dando valores a t obtenemos las soluciones del sistema

x + y = 8 2 x − y = 1  Ejemplo 6. Discutir y resolver, en su caso, el siguiente sistema   x + 2y = 13 3 x − y = 4 1 1    1 1  2 − 1 Ran ( A) → Ran → = −3 ⇒ Ran( A) = 2  1 2 2 −1    3 − 1   1 1 8    1 1 8 1 1 8 1 1 8  2 −1 1  Ran( AB) → Ran → 2 − 1 1 = 0 → 2 − 1 1 = 0 → 1 2 13 = 0 → 1 2 13    1 2 13 3 −1 4 3 −1 4 3 −1 4    2 −1 1 1 1 → 1 2 13 = 0 → = −3 ⇒ Ran (AB ) = 2 2 −1 3 −1 4 Luego el sistema es compatible y determinado. El hecho de que el número de ecuaciones sea superior al número de incógnitas hace que el sistema sea redundante; por ello para resolverlo elegimos dos ecuaciones cuyo rango de la matriz de coeficientes no sea cero:

x + y = 8 2 x − y = 1    x + 2y = 13 3 x − y = 4

es equivalente a

- 37 -

x + y = 8  2 x − y = 1

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x=

8 1 1 −1 1 1 2 −1

=

−9 =3 −3

y=

Sistemas de ecuaciones lineales

1 8 2 1 −3

=

− 10 =2 −5

3.4 SISTEMAS HOMOGÉNEOS Un sistema de ecuaciones lineales en que los términos independientes son ceros se llama homogéneo

a11 x 1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 a x + a x + L + a x = 0 22 2 2n n  21 1  LLLLLLLLLLLLL a m1 x 1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = 0  En todo sistema homogéneo, se cumple :

Ran ( A) = Ran ( AB ) luego siempre es compatible Para que un sistema homogéneo sea compatible determinado deberá cumplirse que:

Ran (A) = nº de incógnitas por lo tanto para que el sistema sea determinado es condición imprescindible que y la solución del sistema será

x1 = x 2 = L = x n = 0

Para que el sistema sea indeterminado deberá cumplirse que:

Ran (A) < nº de incógnitas por lo que el sistema será indeterminado si

A =0

2 x − y + 3z = 0  Ejemplo 7. Discutir y resolver el siguiente sistema  x − 2y − z = 0 − x + 2 y − 2 z = 0 

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A ≠0

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2 −1 3 Ran ( A) → 1 − 2 − 1 = 9 ⇒ Ran ( A) = 3 −1 2 − 2 x = 0  Luego el sistema es compatible y determinado ; la única solución es la solución trivial  y = 0 z = 0 

Ejemplo 8. Discutir y resolver el siguiente sistema

x + y − z = 0  x + 4y − 5z = 0 2 x − y + 2 z = 0 

1 1 −1 1 1 Ran ( A) → 1 4 − 5 = 0 → = 3 ⇒ Ran ( A) = 2 1 4 2 −1 2 Como el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas , el sistema es compatible indeterminado con 3-2=1 grado de libertad; así para solucionar el sistema tomamos dos ecuaciones con determinante de coeficientes no nulo:

x + y = z   x + 4 y = 5z

y resolviendo por Cramer:

x=

o en función de un parámetro "t "

z 1 5z 4 1 1 1 4

=

−z 3

y=

1 z 1 5z 1 1 1 4

=

4z 3

1  x = − 3 t  4  y = t 3  z = t  

3.5 ELIMINACION DE PARÁMETROS EN UN SISTEMA LINEAL Eliminar parámetros consiste en pasar de un sistema de ecuaciones paramétricas u otro sistema equivalente que no contenga parámetros.

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Sea un sistema de ecuaciones lineales λ1 , λ 2 , L λ n que pretendemos eliminar

en la que nos encontramos con los parámetros

 x 1 = b1 + a11λ1 + a12 λ 2 + L + a1n λ n x = b + a λ + a λ + L + a λ  2 2 21 1 22 2 2n n  ·································································  x m = bm + a m1λ1 + a m 2 λ 2 + L + a mn λ n

para ello consideramos el sistema en la forma

a11λ1 + a12 λ 2 + L + a1n λ n = x 1 − b1 a λ + a λ + L + a λ = x − b  21 1 22 2 2n n 2 2  ································································· a m1λ1 + a m 2 λ 2 + L + a mn λ n = x m − bm en la que las incógnitas son los parámetros λ1 , λ 2 , L λ n Según el teorema de Rouché-Fröbenius, si: - Ran ( A) = m , los no parámetros se podrán eliminar - Ran ( A) < m , los parámetros podrán eliminarse

 x = 3 − 2λ − µ + ω  Ejemplo 9. Eliminar, si es posible, los parámetros λ , µ , ω del sistema  y = −1− λ − 2µ + 2ω z = λ + 2 µ − ω  Escribiendo el sistema en la forma:

− 2λ − µ + ω = x − 3  − λ − 2µ + 2ω = y + 1 λ + 2µ − ω = z  − 2 −1 1 Rag ( A) → − 1 − 2 2 = 3 ⇒ Ran( A) = 3 = nº de ecuaciones ; luego los parámetros no 1 2 −1 pueden eliminarse

 x = 2 − 3α + β  Ejemplo 10. Eliminar, si es posible, los parámetros α , β del sistema  y = α − β z = 1+ 2α − β 

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Pasemos el sistema a la forma.

− 3α + β = x − 2  α − β = y 2α − β = z − 1  −3 1    −3 1 = 2 ⇒ Ran ( A) = 2 < nº de ecuaciones Ran ( A) ⇒ Ran 1 − 1 → 1 − 1  2 − 1   luego para que el sistema sea compatible:

−3 1 x −2  − 3 1 x − 2   Ran 1 − 1 y  = 2 ⇒ 1 −1 y =0  2 −1 z −1 2 −1 z −1   es decir

x − y + 2z − 4 = 0

ecuación equivalente al anterior sistema en la que han desaparecido los parámetros

 x = 1− 3α + 2 β − 5γ  Ejemplo 11. Eliminar, si es posible, los parámetros α , β del sistema  y = 2 + α − β + 3γ z = 1− 2α + β − 2γ  Escribimos el sistema en la forma:

− 3α + 2 β − 5γ = x − 1  α − β + 3γ = y − 2 − 2α + β − 2γ = z − 1  −3

2 −5 −3 2 = 1 ⇒ Ran ( A) = 2 Ran ( A) → 1 − 1 3 = 0 → 1 −1 −2 1 −2 Para que el sistema sea compatible deberá cumplirse

 − 3 2 − 5 x − 1   Ran 1 − 1 3 y − 2  = 2  − 2 1 − 2 z −1   

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Sistemas de ecuaciones lineales

luego el determinante de cualquier submatriz de orden 3 debe ser cero; es decir:

− 3 2 x −1 1 − 1 y − 2 = 0 ⇒ − x − y + z = −2 − 2 1 z −1 o...

− 3 − 5 x −1 1 3 y − 2 = 0 ⇒ x + y + −z = 2 − 2 − 2 z −1 o...

2 − 5 x −1 −1 3 y − 2 = 0 ⇒ x + y − z = 2 1 − 2 z −1 Así pues la ecuación aparecen ya los parámetros

x + y − z = 2 es equivalente al sistema original pero en ella no

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