Sistemas de Ecuaciones Lineales

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Sistemas de Ecuaciones en General. 2.- Sistemas Equivalentes. 3.- Sistemas de Cramer. 4.- Teorema de Rouché - Fröbenius. 5.- Sistemas Homogéneos. 6.- Método de Eliminación de Gauss. 7.- Método de Eliminación de Gauss - Jordan. 8.-Errores de Redondeo y algunas estrategias de redondeo. 9.- Métodos de Factorización: 9.1.- Factorización LU. 9.2.- Factorización LDU’. 9.3.- Factorización de Matrices Simétricas. 9.4.- Factorización de Matrices Simétricas Definidas Positivas. PROBLEMAS RESUELTOS. BIBLIOGRAFÍA

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INTRODUCCIÓN Muchos problemas de la vida cotidiana (todos aquellos que admitan una modelización lineal) requieren de la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. En su preparación preuniversitaria, el alumno ya se ha enfrentado con este tipo de sistemas, aunque en la mayor parte de los casos éstos se reducen a utilizar únicamente dos o a lo sumo tres incógnitas. En su futuro profesional esta herramienta le será imprescindible al futuro ingeniero para dar solución a numerosos problemas que se le irán presentando día a día. Es por esto que la inclusión de este capítulo es imprescindible en el temario de las matemáticas que el alumno curse a lo largo de su carrera. Los sistemas de ecuaciones lineales están íntimamente ligados a conceptos tales como matrices o determinantes que el alumno ha aprendido a manejar en el Bachillerato. Por otra parte tiene una conexión profunda con capítulos posteriores de la asignatura de Matemáticas I, tales como los espacios vectoriales (en realidad los subespacios vectoriales se presentan como el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo). En general, este capítulo se puede considerar básico para poder hacer frente a la mayor parte de los temas posteriores, ya que en casi todos ellos, la resolución de un sistema de ecuaciones lineales se convierte en un paso previo o intermedio a la aplicación de cualquier otra técnica específica para enfrentarse a problemas de mayor complejidad.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

OBJETIVOS •

Con el epígrafe de los Sistemas de Ecuaciones en General se pretende que alumno sea consciente de que en realidad trabaja con una herramienta que ya conoce del bachillerato y que únicamente se generalizará para que la pueda aplicar a un campo más amplio.

•

Con las definiciones de los distintos sistemas de ecuaciones lineales el alumno debe adquirir la destreza de reconocerlos sin dificultad, lo que le facilitará la elección del método más adecuado para resolverlo.

•

Ofreciendo al alumno distintos métodos de resolución de un sistema se le está dando más libertad de actuación. Se pretende que el alumno sea capaz de decidir en cada caso el método más conveniente.

•

Con los distintos métodos de factorización se persigue que el alumno logre manejar un algoritmo fácilmente programable para resolver un sistema de ecuaciones lineales de grandes dimensiones. De esta forma, con ayuda de un ordenador, cálculos que a mano resultarían muy tediosos de realizar, se podrían efectuar en cuestión de segundos.

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INTRODUCCION TEORICA 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN GENERAL Un sistema de n ecuaciones y m incógnitas se representa por: a11 x1 +

a12 x2 + " + a1m xm

=b1 ⎫⎪

a21x1 +

a22 x2 + " + a2 m xm

=b2 ⎪⎪

# # # # an1 x1 + an 2 x2 + " + an m xm

# ⎪⎪ ⎪ =bn ⎪⎪⎭

⎪

(1)

⎬

donde ai j son los coeficientes, x j las incógnitas y bi los términos independientes. Siendo 1 ≤ i ≤ n , y 1 ≤ j ≤ m . A la matriz formada por los coeficientes:

A=

a

a12 " a1m ⎞⎟

a

a22 " a2 m ⎟⎟

"

" "

a

an 2 " a

⎛ ⎜ 11 ⎜ ⎜ ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ n1

⎟

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ nm ⎠

"

la denominaremos matriz de coeficientes. Si a la matriz de coeficientes le añadimos una columna formada por los términos independientes del sistema, se obtiene la matriz: ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 A' = ⎜ # ⎜ ⎜ # ⎜a ⎝ n1

a12 a22 # # an 2

" a1m # b1 ⎞ ⎟ " a2 m # b2 ⎟ % # # ⎟ ⎟ % # # ⎟ % anm # bn ⎟⎠

(

)

que también se simboliza por A∗ o A | b que denominaremos matriz ampliada.

70

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Así, el sistema (1) se puede representar en notación matricial por: A⋅ x = b

siendo,

x=

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ m⎠

x1 x

# x

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ n⎠

b

y b=

b

# b

.

1.1. Nomenclatura Un sistema que posea solución se dice que es compatible. Si la solución es única, se dice que es compatible determinado, en caso que no sea única, tendrá infinitas soluciones y se dice que es compatible indeterminado. Un sistema que no tenga solución se dice que es incompatible. 2. SISTEMAS DE EQUIVALENTES Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si admiten las mismas soluciones. Recordemos, brevemente, tres transformaciones permitidas en la resolución de sistemas de ecuaciones, para transformar un sistema dado en otro equivalente más sencillo de resolver: Una ecuación Ei puede multiplicarse (dividirse) por cualquier constante k (distinta de cero), obteniéndose otra ecuación equivalente a la primera.

Esta operación la indicaremos por Ei → k ⋅ Ei

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La ecuación E j puede multiplicarse por cualquier constante k y sumársela (restársela) a la ecuación Ei , obteniéndose una ecuación equivalente a ésta. Esta operación la indicaremos por: Ei → Ei + k ⋅ E j . Dos ecuaciones pueden intercambiarse entre sí, obteniéndose un sistema equivalente. Lo indicaremos por Ei ←→ E j . 3. SISTEMAS DE CRAMER Son los sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas, A ⋅ x = b , con A ≠ 0 . Estos sistemas tienen solución única y dicha solución es

−1

x = A ⋅ b , con x =

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

x1 ⎞⎟ ⎟

x2 ⎟⎟ ⎟

# ⎟⎟ ⎟ xn ⎟⎠

.

Otra forma de calcular su solución es: xi =

Ai A

, i = 1, 2,…, n

donde Ai es la matriz deducida de la matriz A al sustituir su columna i por la matriz columna b de los términos independientes. 4. TEOREMA DE ROUCHÉ - FRÖBENIUS

1.-El sistema A ⋅ X = B tiene solución si y sólo si rang ( A) = rang ( A′ ). En este caso: a) Si rang ( A) = rang ( A′ ) = m = n o de incógnitas ⇒ El sistema es compatible determinado.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales ′

b) Si rang ( A) = rang ( A ) < m = n

o

de incógnitas ⇒ El sistema es

compatible indeterminado. 2.-Si rang ( A) ≠ rang ( A′ ) ⇒ El sistema es incompatible. 5. SISTEMAS HOMOGÉNEOS

Si b = 0 , el sistema de ecuaciones se llama homogéneo (todos los términos independientes son 0).

⎛0⎞ ⎜ ⎟ 0 Todo sistema homogéneo admite al menos la solución trivial: x = ⎜ ⎟ . ⎜#⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ Una solución del sistema homogéneo

A⋅ x = 0

distinta de la

idénticamente nula se dice que es una solución no trivial. Un

sistema

homogéneo

tiene

soluciones

no

triviales

⇐⇒ rang ( A) < m = n o de incógnitas del sistema. Resumiendo, en los sistemas homogéneos se tiene que: a) Si rang ( A) = m = n o de incógnitas entonces el sistema sólo admite la solución x = 0 . b)

Si rang ( A) = m = n o de incógnitas entonces el sistema es

compatible indeterminado. 6. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

Dado el sistema general (1), el método de eliminación de Gauss consiste en efectuar las transformaciones necesarias hasta conseguir un sistema equivalente triangular de la forma:

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a11∗ x1 + a12∗ x2 + " + a1∗n xn

=b1∗ ⎫⎪

" + a2∗n xn

=b2∗ ⎪⎪

%

# ⎪⎪ ⎪ =bn∗ ⎪⎪⎭

∗ x + a22 2

# ∗ ann xn

⎪ ⎬

(2)

obtenido siempre que ai∗i sea distinto de cero (elemento pivote) por la transformación: Ej → Ej −

a∗j i ai∗i

Ei

para cada j = i + 1, i + 2,…, n . Efectuando en (2) sustitución regresiva o sustitución hacia atrás, de la última ecuación, se obtiene:

xn =

bn∗

(3)

∗ ann

Sustituyendo en la n − 1 ecuación el valor de xn , se obtiene: xn −1 =

bn∗−1 − an∗ −1, n xn an∗ −1, n −1

y continuando el proceso, llegamos a que: xi =

bi∗ −

n

∑

j = i +1 ai∗i

ai∗ j x j

para i = n − 1, n − 2,…, 2,1 . (4)

Existe una variante del proceso anterior, que consiste en hacer que todos los pivotes sean iguales a uno, es decir ai∗i = 1 , para todo i = 1, 2,…, n , esto se consigue dividiendo la fila pivote por ai∗i , es decir: Ei ⎯→

Ei

ai∗i

.

Por simplificación, a la hora de aplicar el método de Gauss, se utilizan unas secuencias de matrices ampliadas de la forma:

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜" ⎜⎜ ⎝ an1

" a1n " a2 n " " " ann

| b1 ⎞ ⎛a ⎜ ⎟ | b2 ⎟ 0 →" → ⎜ ⎜" | "⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ | bn ⎠ ⎝ 0 * 11

" a

* 1n * 2n

" a

" " * " ann

| b1* ⎞ ⎟ | b2* ⎟ | "⎟ ⎟ | bn* ⎟⎠

7. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN

Dado el sistema general (1), el método de Gauss- Jordan consiste en realizar las transformaciones adecuadas, una vez hecha la eliminación de Gauss, hasta conseguir un sistema equivalente de la forma: a11∗ x1 +

"

+0

= b1∗ ⎫⎪

∗ x + " a22 2

+0

= b2∗ ⎪⎪

#

# ⎪⎪ ⎪ =bn∗ ⎪⎪⎭

0+

%

∗ ann xn

⎪ ⎬

(5)

Así, las soluciones se obtienen directamente de cada ecuación, es decir, xi =

bi∗

ai∗i

,

i = 1, 2,…, n .

(6)

que tiene la ventaja respecto al método de Gauss,

de evitar la

sustitución regresiva y la desventaja de requerir un mayor número de transformaciones. Existe, al igual que en el método de Gauss, una variante que consiste en conseguir que los coeficientes ai∗i = 1 , para todo i = 1, 2,…, n . De forma análoga al método de Gauss, se pueden utilizar las matrices ampliadas sucesivas, para su desarrollo simplificado.

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8. ERRORES DE REDONDEO Y ALGUNAS ESTRATEGIAS DE REDONDEO

Cuando se apliquen los métodos de eliminación estudiados, Gauss y Gauss-Jordan, y se obtenga algún elemento pivote ai∗i = 0 , será

necesario intercambiar ecuaciones para proseguir con el algoritmo iniciado.

Pues bien, en la práctica no solamente es necesario

intercambiar ecuaciones cuando ai∗i = 0 , sino en otros muchos casos, en los que se producen errores múltiples de redondeo al utilizar un número de dígitos limitados. Una estrategia muy simple consiste en seleccionar siempre como elemento pivote el elemento de la misma columna (por debajo de la diagonal), que tenga mayor valor absoluto, e intercambiar las ecuaciones, si fuera necesario, antes de realizar las transformaciones. Esta técnica se conoce como pivotamiento máximo de columna o pivotamiento parcial.

Aunque la técnica de pivoteo parcial es suficiente en la mayoría de los casos, a veces hay situaciones que resulta inadecuado. Para ello, se utiliza la técnica de pivotamiento total o máximo, que consiste en encontrar el elemento de máximo valor absoluto de la submatriz ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

aii∗ " " ⎞⎟ ⎟

# % # ⎟⎟ y elegirlo de pivote, intercambiándose tanto ecuaciones ⎟ ∗ ⎟ " " ann ⎟ ⎠

como incógnitas si fuera necesario.

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9. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Consisten esencialmente en descomponer la matriz A de un sistema de ecuaciones como producto de dos matrices triangulares, siendo los más frecuentes los que se exponen a continuación: 9.1. Factorización LU

En esta factorización se descompone la matriz A como producto de dos matrices tirangulares A = LU ( L , matriz triangular inferior y U matriz triangular superior). Si partimos del sistema A ⋅ X = B , se tiene que L ⋅ (U ⋅ X ) = B . Resolvemos primero L ⋅ Y = B y una vez calculado Y ,

resolvemos U ⋅ X = Y , y despejando aquí la X , obtenemos la solución del sistema. Teorema

Sea A una matriz cuadrada de orden n , tal que en el proceso de eliminación de Gauss del sistema Ax = b , donde b es una columna cualquiera, se verifica: (1) (2) ( n −1) a11(0) ≠ 0, a22 ≠ 0, a33 ≠ 0,…, an( n−−1 n2)−1 ≠ 0, ann ≠ 0,

(siendo aii( j ) , el elemento que ocupa la columna i y la fila i en el j − ésimo paso del método de Gauss), entonces existe la descomposición LU de A , donde:

i ) L es una matriz triangular inferior, con 1 en su diagonal principal, y

los elementos subdiagonales lij , con i > j , son los factores usados en el proceso de eliminación de Gauss y

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ii )

U es una matriz triangular superior, con los n pivotes en su

diagonal principal. Es decir: ⎛1 ⎜ ⎜ l21 L = ⎜ l31 ⎜ ⎜ # ⎜ ln1 ⎝

0

"

"

1

0

"

l32 #

1 #

" %

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ #⎟ 1 ⎟⎠

ln 2 " ln n −1

U es la matriz del sistema reducido final del método de Gauss, antes de

la sustitución hacia atrás, es decir, una matriz de la forma: ⎛ ⎜ 11 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝

u12

" " u1n ⎞⎟

0

u22

u23 " u2 n ⎟⎟

U= 0 #

0 #

u33 " u3n ⎟⎟ ⎟ % % # ⎟⎟

0

0

u

⎟ ⎟

"

0

unn ⎟⎟⎟⎠

con los elementos de su diagonal principal distintos de cero: uii = aii(i −1) ≠ 0, i = 1, 2,…, n.

La regularidad de A es una condición necesaria (no suficiente) para la descomposición LU de A . En lo que sigue se van a considerar variantes de la descomposición LU de A , que son útiles en la práctica. 9.2. Factorización LDU’

Si A = LU es la descomposición LU de A , entonces A = LUU ′ es una nueva descomposición de A , donde D es una matriz diagonal, con

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

los pivotes en la diagonal principal, y U

′

es una matriz triangular

superior, con 1 en la diagonal principal y el resto coincide con U . 9.3. Factorización de Matrices Simétricas

Si A = LDU ′ es la descomposición LDU ′ de A y A es una matriz simétrica, entonces A = LDLt . 9.4. Factorización de Matrices Simétricas Definidas Positivas (Método de Cholesky)

Si A = LDLt es la descomposición LDLt de la matriz real y simétrica

A , con sus n pivotes

estrictamente

mayores

que

cero, entonces

A = CC t , donde C es una matriz triangular inferior, siendo C = LD1/ 2 y

D1/ 2 =

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ nn ⎟⎠

d11

0

"

0

0

% %

#

#

% %

0

0

"

d

MATEMÁTICAS I

0

.

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PROBLEMAS RESUELTOS ⎛ x⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ a ⎞ 1.- Consideremos el sistema ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ ⎟ donde a, b y c ⎝1 1 b ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎝z⎠

son números reales. Estudiar si existen valores de a, b y c para los que el sistema es compatible indeterminado. SOLUCIÓN:

⎛1 1 1 ⎞ La matriz de los coeficientes es A = ⎜ ⎟ cuyo rango va a ser a lo ⎝1 1 b ⎠ sumo 2 , que no coincidirá nunca con el número de incógnitas del sistema que es 3 . Luego, el sistema nunca será compatible determinado. Si tomamos por ejemplo a = b = c = 1. Entonces, el rango de la matriz

⎛1 1 1⎞ A=⎜ ⎟ es 1 y el rango de la matriz ampliada ⎝1 1 1⎠ ⎛1 1 1 1⎞ A∗ = ⎜ ⎟ es también 1. ⎝1 1 1 1⎠ Rang ( A) = Rang ( A∗ ) = 1 < número de incógnitas ⇒ Sistema

compatible indeterminado. Por lo tanto, sí que existen valores de a, b y c para los que el sistema es compatible indeterminado.

Notar que también es posible encontrar valores de a, b y c para los que el sistema es incompatible: Sea por ejemplo b = 1 y a = 0 , y c = 2 .

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MATEMÁTICAS I

Sistemas de Ecuaciones Lineales

⎛ 1 1 1⎞ Se tiene entonces que el rango de la matriz A = ⎜ ⎟ es 1, pero el ⎝ 1 1 1⎠ ⎛1 1 1 0 ⎞ rango de la matriz ampliada A∗ = ⎜ ⎟ es 2, por lo tanto como ⎝1 1 1 2 ⎠ Rang ( A) ≠ Rang ( A∗ ) el sistema es incompatible. 2.- Sea el sistema de ecuaciones: (m + 2) x + y + z

= 0⎫ ⎪ mx + (m − 1) y + z = 0 ⎬ .Calcular el determinante de la matriz de (m + 1) x + (m + 1) z = 0 ⎭⎪

los coeficientes. SOLUCIÓN:

La matriz A de los coeficientes del sistema es la siguiente: 1 1 ⎞ ⎛m + 2 ⎜ ⎟ 1 ⎟ A=⎜ m m −1 ⎜ m +1 0 m + 1⎟⎠ ⎝

el determinante de

A

es fácilmente

calculable y se obtiene que A = m3 − m = m(m 2 − 1). 3.- Dado un sistema de 30 ecuaciones con 70 incógnitas, se sabe que el rango de la matriz del sistema es 30 y el rango de la matriz ampliada es de 30. Estudiar la compatibilidad del sistema. SOLUCIÓN:

Tenemos que el rango de la matriz del sistema coincide con el rango de la matriz ampliada, lo que nos indica que el sitema es compatible, como además dicho rango es menor que el número de incógnitas, de aquí ya obtenemos que es indeterminado

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4.- Dado el sistema de ecuaciones:

⎧ 3x − y + 2z = 1 ⎪ = b . ⎨ x+4y+z ⎪2 x − 5 y + a z = − z ⎩

Estudiar el sistema en función de los valores de los parámetros a y b.

SOLUCIÓN: 2 1⎞ ⎛ 3 −1 ⎜ ⎟ La matriz ampliada del sistema es A = A | b = ⎜ 1 4 1 b⎟ ⎜ 2 −5 a + 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ∗

(

)

El determinante de la matriz de coeficientes es: 3 −1

2

A= 1 4 1 = 13a, se obtiene que A = 0 ⇐⇒ a = 0 2 −5 a + 1

Por lo tanto: a) Si a ≠ 0, entonces rang ( A) = 3 = rang ( A∗ ) = número de incógnitas

del sistema, como consecuencia el sistema es compatible determinado. b) Si a = 0, entonces rang ( A) < 3, tenemos que el menor

3 −1 ≠ 0, 1 4

por lo tanto como hemos encontrado un menor de orden 2 con determinante no nulo, obtenemos que rang ( A) = 2. Vamos a estudiar el rang ( A∗ ) según los valores de b . Si tomamos el 3 2 1

menor 1 1 b = b − 1 . Como consecuencia, se obtiene que: 2 1 0

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MATEMÁTICAS I

Sistemas de Ecuaciones Lineales ∗

b-1) Si b ≠ 1 ⇒ rang ( A ) = 3 ≠ rang ( A) = 2 ⇒ Sistema Incompatible. b-2) Si b = 1 ⇒ rang ( A∗ ) = 2 = rang ( A) = 2 < número de incógnitas

⇒ Sistema Compatible Indeterminado. 5.-

Sea

el

siguiente

α x + y + z = 1⎫ ⎪ x +α y + z = α⎬. x + y + α z = α ⎪⎭

sistema

Estudiar

de

para

ecuaciones

qué

valores

lineales: de

α

es

incompatible. SOLUCIÓN:

Para que el sistema sea incompatible tiene que darse que rang ( A) ≠ rang ( A∗ ) . ⎛α 1 1 1 ⎞ La matriz ampliada del sistema es: A = A | b = ⎜⎜ 1 α 1 α ⎟⎟ . ⎜1 1 α α⎟ ⎝ ⎠ ∗

(

)

En primer lugar, estudiamos el rang ( A) según los valores de α .

α

1

1

A = 1 α 1 = α 3 − 3α + 2 = (α + 2 )(α − 1) . 1 1 α 2

a)

Si α ≠ −2

y α ≠ 1 ⇒ rang ( A) = 3 = rang ( A∗ ) = número de

incógnitas ⇒ El sistema es compatible determinado. b)

Si α = −2

Como en A tenemos un menor de orden 2 , 0,

entonces,

MATEMÁTICAS I

rang ( A) = 2.

Veamos

−2 1 , que es distinto de 1 −2 cuál

es

el

rang ( A∗ ).

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Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

⎛ −2 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 −2 1 −2 ⎟ , en esta matriz podemos encontrar un menor ⎜ 1 1 −2 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ∗

de orden 3 que es no nulo:

−2

1

1 1

1 −2 = 9 ≠ 0 . −2 −2

1

Por lo tanto

rang ( A∗ ) = 3 ≠ rang ( A) = 2 ⇒ Sistema Incompatible. c) Si α = 1 ⎛1 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ En este caso tenemos que la matriz ampliada queda: A = ⎜1 1 1 1⎟ . ⎜1 1 1 1⎟ ⎝ ⎠ ∗

Es inmediato ver que rang ( A∗ ) = rang ( A) = 1 ⇒ Sistema compatible Indeterminado. Luego, el sistema de ecuaciones dado sólo es Incompatible si α = −2. (m + 2) x + y + z = m − 1 ⎫ ⎪ 6.- Dado el sistema mx + (m − 1) y + z = m − 1 ⎬ (m + 1) x + (m + 1) z = m − 1⎪⎭

Estudiar para qué valores del parámetro m

es compatible

indeterminado. SOLUCIÓN: 1 1 ⎞ ⎛m + 2 ⎜ ⎟ La matriz de coeficientes del sistema es A = ⎜ m 1 ⎟, m −1 ⎜ 0 m + 1⎠⎟ ⎝ m +1

esta matriz al ser cuadrada tendrá rango máximo cuando su determinante

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MATEMÁTICAS I

Sistemas de Ecuaciones Lineales

sea

distinto

de

cero.

A = m3 − m ; A = 0 ⇔ m3 − m = 0 ⇔ m ∈ {0,1, −1}.

Si m ∉ {0,1, −1} , entonces rango( A) = 3, en este caso el rango de la matriz ampliada también sería 3, ya que A∗ es de orden 3x4, y tendríamos un Sistema Compatible Determinado. Si m = 0, ⎛ 2 1 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 −1 1⎟ , rango( A) = 2, ya que sabemos que no tiene rango 3 y ⎜ 1 0 1⎟ ⎝ ⎠

⎛2 1 ⎞ la submatriz ⎜ ⎟ tiene rango dos. ⎝ 0 −1 ⎠ ⎛ 2 1 1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 −1 1 −1⎟ , también tiene rango 2 porque la nueva columna ⎜ 1 0 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ∗

no aporta nada nuevo ya que es la tercera columna cambiada de signo. Luego si m = 0, tenemos un Sistema Compatible Indeterminado. Si m = 1,

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⎛3 1 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 0 1 ⎟, ⎜ 2 0 2⎟ ⎝ ⎠

rango( A) = 2, ya que por ejemplo la submatriz

⎛3 1⎞ ⎜ ⎟ tiene rango dos. ⎝1 0⎠ ⎛ 2 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ , también tiene rango 2 porque la nueva columna ⎜1 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ ∗

no aporta nada nuevo ya que es el vector nulo. Luego si m = 1, tenemos un Sistema Compatible Indeterminado. Si m = −1, ⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 −2 1 ⎟ , rango( A) = 2, ya que por ejemplo la submatriz ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠

⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ tiene rango dos. ⎝ −1 − 2 ⎠ Por otro lado, ⎛ 1 1 1 -2 ⎞ ⎛ 1 1 1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ rango( A∗ ) = rango ⎜ -1 -2 1 -2 ⎟ = rango ⎜ 0 −1 2 −4 ⎟ = 3 ⎜ 0 0 0 -2 ⎟ ⎜ 0 0 0 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ya que nos han quedado tres filas no nulas después de hacer la eliminación gaussiana. Luego si

m = −1,

tenemos un Sistema

Incompatible. El sistema, por tanto, sólo es compatible indeterminado si m = 0 ó m = 1.

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MATEMÁTICAS I

Sistemas de Ecuaciones Lineales

⎛ 1 2⎞ ⎛0 0⎞ 7.- Dadas las matrices A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ , resolver la ecuación ⎝ 2 4⎠ ⎝0 0⎠ matricial AX = B . SOLUCIÓN:

AX = B es un sistema matricial donde X es la matriz incognita, se plantea el este sistema matricial y se convierte en un sistema de ecuaciones lineales, igualando los elementos de la matriz del lado izquierdo con los de la matriz del lado derecho, en este caso obtenemos un sistema lineal homogeneo, por ser B la matriz nula, se resuelve ya que al ser homogéneo sabemos que es un sistema compatible y esta solución se traslada directamente a la solución matricial.

AX = B ⎛ 1 2 ⎞ ⎛⎜ x1 →⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ 2 4 ⎠ ⎜⎝ x3 x + 2 x3 ⎜ 2 x +4 x 1 3 ⎝ ⎛ ⎜ 1

→ ⎜⎜

⎛0 0⎞ =⎜ ⎟→ x ⎝0 0⎠ x2 ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟ 4⎠

x2 + 2 x4 ⎞⎟ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟ = 2 x2 + 4 x4 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠

igualando elemento a elemento nos queda el sistema lineal: x1 + 2 x3 = 0 ⎫ x1 = −2 x3 ⎫⎪ x1 + 2 x3 = 0 ⎫ 2 x1 + 4 x3 = 0 ⎪⎪ ⎬ ⎬→ ⎬→ x2 =−2 x4 ⎪⎭ x2 + 2 x4 = 0 ⎪ x2 + 2 x4 = 0 ⎭ 2 x2 + 4 x4 = 0 ⎪⎭

MATEMÁTICAS I

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Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. ⎛ ⎪⎧ ⎜ x1 Solucion = ⎨ X = ⎜⎜ ⎜x ⎝ 3 ⎩⎪

x2 ⎞⎟ x1 = −2 x3 ⎪⎫ ⎟∈M : x3 , x4 ∈ R ⎬ = 2x2 / ⎟ x4 ⎟⎠ x2 =−2 x4 ⎭⎪

⎛ ⎪⎧ ⎜ −2 x3 = ⎨ X = ⎜⎜ ⎜ x 3 ⎝ ⎩⎪

−2 x4 ⎞⎟ x4

⎟ ⎟⎟ ⎠

⎫⎪ ∈ M 2 x 2 / x3 , x4 ∈ R ⎬ = ⎭⎪

⎛ −2 0 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ = ⎜ ⎟,⎜ ⎟ ⎝ 1 0⎠ ⎝0 1 ⎠

Acabamos de ver que la solución del sistema matricial AX = 02 x 2 es un subespacio vectorial del espacio vectorial M 2 x 2 . La dimensión de M 2 x 2 es 4, y la dimensión del conjunto solución del sistema es 2, ya que hemos visto que esta generado por 2 matrices linealmente independientes. x+ y

= 1− a

8.- Estudiar cuándo el sistema de ecuaciones ax + y = 1 − a ax+ ay = 1 − a

⎫ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎬ ⎪ 2⎪ ⎪⎭

es

imcompatible. SOLUCIÓN: ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ a 0 ⎟ , rango( A) = ⎜ 0 a ⎟ = rango( A) = ⎜a a⎟ ⎜a a⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ = ⎜0 a ⎟ = 2, ya que si a ≠ 0 las dos primeras filas son linealmente ⎜ 0 a − 1⎟ ⎝ ⎠

independientes si a = 0 la primera y tercera fila son linealmente independientes.

88

MATEMÁTICAS I

Sistemas de Ecuaciones Lineales ∗

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 1 1− a

⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎠

A = a 0 1 − a , sabemos que su rango es al menos 2 ya que a a 1− a

contiene a la matriz A, su rango será tres cuando su determinante sea distinto

de

cero

(por

tratarse

de

una

matriz

cuadrada).

A∗ = − (1 − a ) a; A∗ = 0 ⇔ − (1 − a ) a = 0 ⇔ a = 0 ó a = 1. Si a = 0 ó a = 1 ⇒ rango( A) = rango( A∗ ) = 2 = n o de incógnitas ⇒ ⇒

Si

Sistema

a≠0

y

Compatible

Determinado.

a ≠ 1 ⇒ 2 = rango( A) ≠ rango( A∗ ) = 3 ⇒

Sistema

Incompatible. Por lo tanto el sistema es incompatible cuando a ≠ 1 . ⎛ 2 3 −1 ⎞ 9.- Dado el sistema de ecuaciones Ax = b . Donde A = ⎜⎜ b a 2 ⎟⎟ y ⎜5 5 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜ 0 ⎟ . Estudiar su compatibilidad en función de los parámetros a ⎜a⎟ ⎝ ⎠

y b. SOLUCIÓN:

MATEMÁTICAS I

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Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

Vamos a estudiar los rangos de A (matriz de los coeficientes del sistema) y de A∗ (matriz ampliada del sistema) en función de los valores de a y b . ⎛ 2 3 −1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ b a 2 ⎟ ⇒ A = 7 a + 10 − 8b . ⎜5 5 1 ⎟ ⎝ ⎠

Si

a)

7a + 10 − 8b ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = rang ( A∗ ) =

número de

incógnitas ⇒ Sistema Compatible Determinado. b) Si 7a + 10 − 8b = 0 ⇒ rang ( A) = 2 , ya que en A podemos encontrar

el menor de orden 2 :

2 −1 que es distinto de 0 . Vamos a estudiar 5 1

cuál sería el rango de ⎛ 2 ⎜ A = ⎜ 7 a8+10 ⎜ 5 ⎝ ∗

A∗ .

Como

b=

7 a +10 8

,

tenemos que

3 −1 2 ⎞ ⎟ a 2 0 ⎟ . Si tomamos el menor de orden 3 siguiente: 5 1 a ⎟⎠

3 −1 2 a 5

2 1

b-1)

0 = 8a + a 2 − 20 = (a + 10)(a − 2) . a

Si a ≠ −10

y

a ≠ 2 ⇒ rang ( A∗ ) = 3 ≠ rang ( A) ⇒ Sistema

Incompatible.

90

MATEMÁTICAS I

Sistemas de Ecuaciones Lineales

b-2)

⎛ 2 ⎜ Si a = −10 ⇒ A = ⎜ −430 ⎜ 5 ⎝ ∗

3

−1

−10

2

5

1

2 ⎞ ⎟ 0 ⎟ , cuyo rango es 2 −10 ⎟⎠

⇒ rang ( A∗ ) = rang ( A) = 2 < número de incógnitas ⇒ El sistema es Compatible Indeterminado.

b-3)

Si

⎛ 2 3 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ a = 2 ⇒ A = ⎜ 3 3 2 0⎟ , ⎜ 5 5 1 3⎟ ⎝ ⎠ ∗

cuyo

rango

es

3

⇒ rang ( A∗ ) = 3 ≠ rang ( A) = 2 ⇒ el sistema es Incompatible. 10.- Calcular el valor de a que hace equivalentes a los sistemas de ecuaciones siguientes: x + y − z = 1⎫ x + y − z =1 ⎫ ⎪ ⎪ y+z =2 ⎬ y y + z = 2 ⎬. x − 2 z = −1 ⎪⎭ ax − y + 5 z = 1⎪⎭

SOLUCIÓN:

Los dos sistemas de ecuaciones serán equivalentes cuando tengan el mismo conjunto solución. En el primer sistema se tiene que la tercera ecuación es la suma de la primera más la segunda cambiada de signo. Como en el segundo sistema las dos primeras ecuaciones son idénticas a las del primer sistema, para que sean equivalentes es suficiente conque la tercera ecuación sea combinación lineal de las dos primeras: 1er miembro ⎯→ ax − y + 5 z = λ ( x + y − z ) + µ ( y + z ) ⎫ ⎬⇒ 2o miembro ⎯→ 1 = λ ⋅ 1 + µ ⋅ 2 ⎭

MATEMÁTICAS I

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Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

a=λ ⎫ λ + µ = −1⎪⎪ ⇒ ⎬ −λ + µ = 5 ⎪ λ + 2µ = 1 ⎪⎭ De este sistema se obtiene que µ = 2 y λ = −3 por lo que a = −3 . Por lo tanto, si a = −3 los dos sistemas de ecuaciones dados son equivalentes. 11.-

Si

el

sistema

de

ecuaciones

Ax = b

es

compatible

indeterminado, siendo A ∈ M nxn ( R) , ¿qué se puede afirmar sobre la dependencia o independencia lineal de sus filas o de sus columnas? SOLUCIÓN:

Al ser el sistema compatible indeterminado, sabemos que: rang ( A) = rang ( A∗ ) < número de incógnitas, donde A∗ es la matriz ampliada del sistema (matriz A añadiéndole la columna de los términos independientes del sistema). El hecho de que A ∈ M nxn ( R ) , lo que nos indica es que el sistema está formado por n -ecuaciones y n -incógnitas, y al ser rang ( A) < número de incógnitas, lo que sabemos es que rang ( A) < n , de aquí, ya deducimos que A = 0 o equivalentemente que la matriz A tiene al menos dos columnas y dos filas que son linealmente dependientes. 12.- Si x 1 y x 2 son soluciones del sistema de ecuaciones lineales

Ax = b,

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MATEMÁTICAS I

Sistemas de Ecuaciones Lineales

b ≠ 0, entonces, ¿se podría afirmar que alguna de las siguientes combinaciones lineales de x 1 y sistema? x 1 + x 2 ; x 1 − x 2 y

1 2

x 2 son también solución del

x1 + 2 x 2 . 1

SOLUCIÓN:

Nos dicen que A x 1 = b y A x 2 = b. A( x 1 + x 2) = A x 1 + A x 2 = b + b = 2b ≠ b ⇒

x 1 + x 2 no es solución del

sistema. A( x 1 − x 2) = A x 1 − A x 2 = b − b = 0, luego x 1 − x 2 tampoco es solución

de Ax = b.

A( 12 x 1 + 12 x 2) = 12 A x 1 + 12 A x 2 = 12 b + 12 b = b, luego

1 2

x1 + 2 x 2 1

sí es

solución de Ax = b.

MATEMÁTICAS I

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Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

BIBLIOGRAFIA ANZOLA, M.; CARUNCHO, J.; PÉREZ-CANALES, G. (1981). Problemas de Álgebra (Tomos 1-7). Madrid. SSAG. BURGOS, J. (1999).

Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana. Madrid.

McGraw-Hill. CARBO, R.; DOMINGO, LL. (1987). Álgebra Matricial y Lineal. España. McGraw-Hill. DE LA VILLA, A. (1994). Problemas de Álgebra. Madrid. Clagsa. ESPADA BROS, E. (1984). Problemas resueltos de Álgebra. Barcelona. EUNIBAR. FLAQUER, J; OLAIZOLA, J; OLAIZOLA, J. (1996). Curso de Álgebra Lineal. Navarra EUNSA. FRALEIGH, J.B.; BEAUREGARD, R.A. (1989). Álgebra Lineal. U.S.A. Addison-Wesley Iberoamericana. GARCÍA, J.; LÓPEZ, M. (1990). Álgebra Lineal y Geometría. Alcoy. Marfil. GRANERO, F. (1994). Álgebra y Geometría Analítica. Madrid . McGraw-Hill. GROSSMANN, S.I. (1996). Álgebra Lineal con aplicaciones. México. McGraw-Hill. GUERRA, N.; LÓPEZ, B. (1999). Problemas resueltos tipo test de Álgebra Lineal (Con esquemas teóricos). Las Palmas de G.C. El Libro Técnico.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

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