Análisis de Datos I

Esquema del Tema 9

Tema 9: Probabilidad: Definiciones 1. CONCEPTOS Experimento aleatorio Suceso Espacio muestral

2. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Enfoque clásico Enfoque frecuencialista

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4. TEOREMAS BÁSICOS Teorema de la suma Teorema del producto

5. EJERCICIOS

__________________

Bibliografía: Tema 9 (pág. 241-256) Ejercicios recomendados: 1, 4, 5, 6, 10, 11, 13, 15, 16, 18 y 20.

Carmen Ximénez

1

Análisis de Datos I

Esquema del Tema 9

1. CONCEPTOS: Experimento aleatorio: toda acción cuyo resultado no puede predecirse con certeza (por ejemplo, introducir 2 ratas en un laberinto con 3 salidas equiprobables) Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Su conjunto constituye el espacio muestral (E).

Suceso: cualquier subconjunto de los elementos de E. Tipos: Imposible: {  } suceso que tal y como está definido E, es imposible que ocurra Seguro: suceso que está incluido en E Complementario: A’ subconjunto de sucesos elementales de E que no está incluido en A Sucesos Incompatibles o excluyentes: no pueden darse simultáneamente: P(A B) = 0

Operaciones con sucesos: A

B

Unión: A  B ............. Subconjunto de elementos de E que están incluidos, al menos en uno de esos sucesos (A o B) Intersección: A  B ... Subconjunto de elementos de E que están incluidos simultáneamente en los subconjuntos de ambos sucesos (A y B).

AB Espacio muestral de un experimento aleatorio

Diferencia: A - B .......... Subconjunto de E integrado por los sucesos elementales que pertenecen a A pero no a B.

Espacio muestral, E: conjunto (población) de resultados posibles o sucesos elementales de un experimento aleatorio. Puede ser de dos tipos: a) Espacio muestral finito: sabemos cuántos resultados posibles (sucesos elementales) hay. b) Espacio muestral infinito: tiene infinitos sucesos elementales. Si se corresponden con los números naturales se trata de un espacio muestral infinito numerable. En caso contrario, infinito no numerable. EJEMPLO 1: Experimento aleatorio: “introducir 2 ratas en un laberinto con 3 salidas equiprobables (A, B y C)”

A

Espacio muestral: E = {AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC},

AB BA AC

AA CC

CA

Suceso A: Al menos una rata sale por A: A = {AA, AB, AC, BA, CA}, Suceso B: Las dos ratas salen por la misma salida: B = {AA, BB, CC},

B

BB

BC

CB

EJEMPLO 2: Experimento aleatorio: “Lanzar una moneda al aire 2 veces” Espacio muestral: E = {CC, CX, XC, XX}, donde: C (Cara) y X (Cruz) Suceso C: Al menos sale una cara: C = {CC, CX, XC} Suceso D: Las dos veces sale cara: D = {CC}

Carmen Ximénez

C

D

CX XC

CC

XX

2

Análisis de Datos I

Esquema del Tema 9

2. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD “La probabilidad de un suceso es un número que cuantifica en términos relativos las opciones de verificación de ese suceso” Enfoque clásico o a priori (Laplace, 1812) Nºcasos favorabes: nA P(A )  Nºcasos posibles: N 1. 2. 3. 4. 5.

Los elementos de E tienen la misma probabilidad de ocurrencia (equiprobables) 0  P(A)  1 Si A es un suceso imposible: P(A) = 0 Si A es un suceso seguro (contiene todos los sucesos elementales de E): P(A) = 1 P(A) + P(A’) = 1. Por tanto: P(A) = 1 - P(A’)

Ejemplo 1:

P(A) = nA / N = 5 / 9 P(B) = nB / N = 3 /9 P(A  B) = nA  B / N = 7 / 9 P(A  B) = nA  B / N = 1 / 9

Ejemplo 2:

P(C) = nC / N = 3 / 4 P(D) = nD / N = 1 / 4 P(C  D) = nC  D / N = 3 / 4 P(C  D) = nC  D / N = 1 / 4

Enfoque frecuencialista o a posteriori

nA N  N

P( A )  Lím

(N = nº de ensayos de Bernoulli que se repite el experimento aleatorio) La probabilidad del suceso A se determina a partir de la repetición sistemática (N veces) del experimento aleatorio -en N ensayos independientes y en las mismas condiciones- y el nº de veces que se verifican los sucesos

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL Probabilidad del suceso A, dada la verificación del suceso B

P(A | B ) 

P(A  B ) P(B )

- Si A y B son excluyentes: P(A  B) = 0 y P(A | B) = 0 - Si B es un suceso seguro: P(B) = 1 y P(A | B) = P(A B) = P(A)

EJEMPLO 3: Se definen los sucesos: A: Tener entrenamiento

B: Acertar una prueba de razonamiento espacial Tener entrenamiento No tener entrenamiento

Acierto 11 3 14

Error 1 5 6

12 8 20

Probabilidad de acierto dado que el sujeto extraído no tiene entrenamiento: 3 / 8 = 0,375 O bien: P( B | A') 

Carmen Ximénez

P( B  A ' ) 3 / 20   0, 375 P( A ') 8 / 20

3

Análisis de Datos I

Esquema del Tema 9

4. TEOREMAS BÁSICOS.  Teorema de la suma La probabilidad de la unión de los sucesos A y B es:

P A  B   P(A)  P(B)  P A  B 

 Teorema del producto Dos sucesos A y B son independientes si se cumple la siguiente igualdad:

P (A  Β  P  A   P  B  O lo que es lo mismo, si la verificación de uno no altera la probabilidad del otro:

P (A | B) = P (A) Demostración: P(A | B) 

P(A  B) P(A)  P(B)   P(A) P(B) P(B)

5. EJERCICIOS EJERCICIO 1 Sujeto

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sexo Escolarización

V V M V M M V V M M

0 1 0 1 1 0 1 0 1 1

CI

72 95 75 100 110 78 105 65 115 105

Se extrae un sujeto al azar y se definen los siguientes sucesos: A: El sujeto extraído es varón (V) B: El sujeto extraído está escolarizado (0: no; 1: sí) C: el sujeto extraído supera la puntuación CI = 92

Conteste a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el sujeto extraído sea un niño? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esté escolarizado? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que puntúe en CI más de 92? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que sea niño y escolarizado? 5. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un niño y tenga CI > 92? 6. ¿Cuál es la probabilidad de que sea niño, esté escolarizado y tenga CI > 92? 7. Si el sujeto extraído es una niña, ¿cuál es la probabilidad de que esté escolarizada? 8. Si el sujeto extraído está escolarizado, ¿cuál es la probabilidad de que sea niña? 9. ¿Cuál es la probabilidad de que sea niño o esté escolarizado? 10. ¿Cuál es la probabilidad de que sea niña o tenga CI > 92? 11. ¿Son los sucesos A y B independientes? ¿y A y C? Carmen Ximénez

4

Análisis de Datos I

Esquema del Tema 9

EJERCICIO 2 En un colegio de 4000 alumnos de ‘primaria’, ‘secundaria obligatoria’ y ‘bachillerato’ se realiza una encuesta sobre la actitud hacia la selectividad. Los resultados obtenidos son los siguientes: Primaria Secundaria obligatoria Bachillerato A favor 1250 465 270 1985 En contra 1530 350 135 2015 2780 815 405 4000 Si se extrae un sujeto al azar: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de la selectividad? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de primaria? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de bachillerato? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de primaria y esté a favor? 5. ¿Son independientes los sucesos ‘ser de secundaria’ y ‘estar a favor de la selectividad’? 6. Calcule la probabilidad de que el sujeto extraído cumpla al menos uno de los siguientes sucesos: ‘ser de secundaria’ o ‘estar a favor de la selectividad’ 7. Si el sujeto extraído está a favor de la selectividad, ¿cuál es la probabilidad de que sea de bachillerato? 8. Si el sujeto extraído está en contra, ¿cuál es la probabilidad de que sea de primaria?

EJERCICIO 3 Un psicólogo clínico evalúa a un grupo de 100 pacientes. Les administra una prueba sobre “satisfacción con el estilo de vida” y otra sobre “depresión”. Los resultados indicaron que las puntuaciones en satisfacción superaron la media en 40 casos, que había 65 sujetos depresivos y de ellos sólo 10 obtuvieron puntuaciones superiores a la media en satisfacción. Se definen dos sucesos: A: Tener una puntuación superior a la media en “satisfacción con el estilo de vida” B: Ser depresivo Conteste a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que, al extraer un sujeto al azar, sea depresivo? 2. Si se selecciona un sujeto que puntúa por encima de la media en satisfacción, ¿cuál es la probabilidad de que sea depresivo? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que, al extraer un sujeto al azar, sea depresivo y no tenga una puntuación superior a la media en satisfacción? 4. ¿Son los sucesos A y B independientes? 5. ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos? 6. Si se selecciona un sujeto que no es depresivo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una puntuación superior a la media en satisfacción? Soluciones: Ejercicio 1: 1. 0,50; 2. 0,60; 3. 0,60; 4. 0,30; 5. 0,30; 6. 0,30 7. 0,60; 8. 0,50; 9. 0,80; 10. 0,80; 11. Sí (en ambos casos). Ejercicio 2: 1. 0,496; 2. 0,695; 3. 0,899; 7. 0,136; 8. 0,759 Ejercicio 3: 1. 0,65; 2. 0,25; Carmen Ximénez

3. 0,55;

4. 0,3125;

4. No;

5. 0,95;

5. No;

6. 0,58;

6. 0,86. 5