TEMA I.2 Movimiento Ondulatorio Simple

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronom´ıa Universidad de Guanajuato DA-UG (M´ exico) [email protected]

Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA I.2:

Movimiento Ondulatorio Simple

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Ondas y Fluidos

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Velocidad de las ondas Una propiedad general del movimiento ondulatorio simple o de las ondas, es que su velocidad depende de las propiedades del medio y que es independiente del movimiento de la fuente de las ondas. Por ejemplo, la velocidad del sonido de la bocina de un coche depende s´olo de las propiedades del aire y no del movimiento del coche. En el caso de los pulsos de onda en una cuerda, es f´acil demostrar que cuando mayor es la tensi´on, m´as r´apidamente se propagan las ondas. Adem´as, las ondas se propagan m´as r´apidamente en una cuerda ligera que en una cuerda pesada bajo la misma tensi´ on. Veremos posteriormente que si FT (usamos FT para designar la tensi´ on porque reservamos T para el periodo) es la tensi´on y µ la densidad de masa lineal (masa por unidad de longitud), la velocidad de la onda es s FT (I.2.1) ν= µ TEMA I.2:

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Velocidad de la onda en una cuerda Ejemplo: El gusano que corre para salvar la vida. Un gusano est´a a 2.5 cm del extremo de la cuerda de un tendedero cuando alguien lo ve y da un golpe a la cuerda de modo que por ´esta se propaga un pulso de 3 cm de altura que se dirige hacia el animal. Si el gusano se mueve a 2.54 cm/s, ¿llegar´a al extremo de la cuerda antes que le alcance el movimiento generado? La cuerda tiene 25 m de largo y una masa de 0.25 kg y se mantiene gracias a un peso de 10 kg que cuelga de ella. Esta persona se encuentra a una distancia de 5 m del extremo de la cuerda opuesto a la posici´on del gusano. Planteamiento del problema: Hay que saber p a qu´e velocidad se mueve la onda. Para ello usamos la f´ ormula ν = FT /µ.

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Velocidad de la onda en una cuerda Soluci´ on del problema: 1

La velocidad est´a relacionada con al tensi´ on FT y la densidad de masa lineal µ

2

Calcular la densidad de masa lineal y la tensi´ on a partir de la mC informaci´on recibida: µ = L y FT = mg

3

Aplicar on de ν para calcular la velocidad: q a la expresi´ q estos valores (10 kg )(9.81 m/s 2 )(25 m) mg L ν= ; ν = 99.0 m/s mC = 0.25 kg

4

Usar esta velocidad para determinar el tiempo que tarda en recorrer los 20 m que le separan del otro extremo de la cuerda. ∆t = ∆x ν 20 m = 99.0 = 0.202 s m/s

5

Determinar el tiempo que interviene el gusano en moverse los 2.5 cm que le separan del extremo de la cuerda y, por lo tanto, de la 0 2.5 cm salvaci´on. ∆t = ∆x ν 0 = 2.54 cm/s = 0.984 s

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Velocidad de la onda en una cuerda

Ejercicio: Si se sustituye la masa de 10 kg por otra de 20 kg ¿cu´al ser´a la velocidad de la onda en la cuerda? q Ejercicio: Demostrar que las unidades de FµT son m/s cuando FT es expresa en Newtons y µ en kg /m.

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Velocidad de la onda en una cuerda

Ejercicio: Una cuerda cuelga verticalmente del techo. Cuando las ondas se mueven de abajo hacia arriba por la cuerda, ¿lo hacen m´as r´apidamente, m´as lentamente o a la misma velocidad que las ondas que se mueven de arriba hacia abajo? Razonar la respuesta. Ejercicio: El chasquido del l´atigo lo produce la velocidad de la punta que rompe la barrera del sonido. Explicar c´ omo la forma del l´atigo hace posible que la punta del mismo se mueva mucho m´as r´apido que la mano que lo mueve.

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Velocidad de la onda en un fluido En el caso de las ondas sonoras en un fluido como el aire o el agua, la velocidad ν viene expresada por s B (I.2.2) ν= ρ en donde ρ es la densidad del medio (en equilibrio) y B el m´odulo de compresibilidad. El m´odulo de compresibilidad es el cociente, con signo negativo, entre el cambio en la presi´on y el correspondiente cambio de volumen por unidad ∆P de volumen: B = − ∆V /V . Comprobar las unidades de ν =

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p B/ρ.

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Velocidad de la onda en un fluido Comparando las ecuaciones I.2.1 y I.2.2 puede verse que, en general, la velocidad de las ondas dependen de una propiedad el´astica del medio (la tensi´on en el caso de la onda de las cuerdas y el m´ odulo de compresibilidad de las ondas sonoras) y de una propiedad inercial del mismo (la densidad de masa lineal o de la densidad de masa vol´ umica). Para las ondas sonoras en un gas, tal como el aire, el m´odulo de compresibilidad (este describe cambios en el volumen que ocurren a temperaturas constante) es proporcional a la presi´ on, la cual a su vez es proporcional a la densidad ρ y a la temperatura absoluta T del gas. La relaci´on B/ρ es por tanto, independiente de la densidad y simplemente proporcional a la temperatura absoluta T . M´as adelante demostraremos que en este caso, la ecuaci´ on I.2.2 es equivalente a r γRT (I.2.3) ν= M TEMA I.2:

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Velocidad del sonido en un gas En la ecuaci´on I.2.3, T es la temperatura absoluta medida en kelvins (K ) que est´a relacionada con la temperatura Celsius, tC por T = tC + 273

(I.2.4)

La constante γ depende del tipo de gas. Para mol´eculas diat´omicas como el O2 y N2 , γ tiene el valor 1.4 y como el O2 y N2 constituyen el 98 % de la atm´osfera, ´este es el valor que corresponde tambi´en al aire (para mol´eculas monoat´omicas como el He, el γ posee el valor 1.67). La constante R es la constante universal de los gases R = 8.314

J/(mol · K )

(I.2.5)

y M la masa molar del gas (es decir, la masa de 1 mol del gas), que para el aire es M = 29 × 10−3 TEMA I.2:

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kg /mol J.P. Torres-Papaqui

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Velocidad del sonido en un gas

Ejemplo: Velocidad del sonido en el aire. Calcular la velocidad del sonido en el aire (a) a 0 o C y (b) a 20 o C . Planeaci´ on del Problema: 1

Escribir la ecuaci´on I.2.3

2

Introducir los valores en la ecuaci´ on y despejar la velocidad. νa = 331 m/s

3

Calcular a 293 K o 20 o C . νb = 343 m/s.

Observaci´ on: En este ejemplo vemos que la velocidad del sonido en el aire es aproximadamente 340 m/s a temperaturas ordinarias.

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Velocidad del sonido en un gas

Ejercicio: Comprobar las unidades de ν =

q

γRT M .

Ejercicio: Para el Helio ¿cu´al es la velocidad de las ondas sonoras a 20 oC? Ejercicio: Verdadero o Falso La velocidad del sonido a 20o C es el doble que a 5o C.

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La Ecuaci´on de Onda Podemos aplicar las leyes de Newton a un segmento de cuerda para deducir una ecuaci´on diferencial llamada ecuaci´ on de onda que relaciona las derivadas espaciales de la funci´ on y (x, t) con sus derivadas temporales. La Figura I.2.1 muestra un segmento de una cuerda. Consideremos s´olo ´angulos peque˜ nos θ1 y θ2 . En este caso, la longitud del segmento es aproximadamente ∆x y su masa m = µ∆x (µ = m/∆x), en donde µ es la masa de la cuerda por unidad de longitud. Primero demostraremos que, para desplazamientos verticales peque˜ nos, la fuerza resultante horizontal sobre un segmento es cero y que la tensi´ on es uniforme y constante. Es decir, X

Fx = FT 2 cos(θ2 ) − FT 1 cos(θ1 ) = 0

en donde θ1 y θ2 son los ´angulos indicados y FT es la tensi´on en la cuerda. Como se supone que los ´angulos son peque˜ nos, podemos aproximar cos(θ) por 1. TEMA I.2:

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La Ecuaci´on de Onda

Figura I.2.1: Segmento de una cuerda tensa utilizado para la deducci´on de la ecuaci´ on de onda.

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La Ecuaci´on de Onda Por lo tanto, la fuerza neta horizontal que act´ ua sobre el segmento de cuerda puede expresarse en la forma Fx = FT 2 − FT 1 = 0 Con lo cual, FT 2 = FT 1 = F T El segmento de cuerda se mueve verticalmente y la fuerza neta en esta direcci´on es Fy = FT sen(θ2 ) − FT sen(θ1 ) Se supone que los ´angulos son peque˜ nos, por lo tanto se puede aproximar sen(θ) por tan(θ) para cada uno de ellos. En estas condiciones la fuerza vertical neta sobre el segmento de cuerda se escribe como Fy = FT (sen(θ2 ) − sen(θ1 )) ≈ FT (tan(θ2 ) − tan(θ1 )) TEMA I.2:

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La Ecuaci´on de Onda La tangente del ´angulo formado por la cuerda con la horizontal es la pendiente de la curva formada por la cuerda. La pendiente S es la primera derivada de y (x, t) respecto a x para t constante. Una derivada de una funci´on de dos variables respecto a una de ellas, manteniendo la otra, se denomina una derivada parcial. La derivada parcial de y respecto a t se describe ∂y /∂x. As´ı tenemos S = tan(θ) =

∂y ∂x

Por lo tanto, Fy = FT (S2 − S1 ) = FT ∆S donde S2 y S1 son las pendientes de ambos extremos del segmento de cuerda y ∆S la variaci´on de la pendiente. Haciendo que esta fuerza neta sea igual a la masa µ ∆x multiplicada por la aceleraci´on ∂ 2 y /∂t 2 , se tiene FT ∆S = m a = m TEMA I.2:

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∂2y ∂2y = µ ∆x ∂t 2 ∂t 2 J.P. Torres-Papaqui

(I.2.6) Ondas y Fluidos

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o bien FT

∂2y ∆S =µ 2 ∆x ∂t

(I.2.7)

En el limite ∆x → 0, tenemos ∂S ∂ ∂y ∂2y ∆S = = = ∆x→0 ∆x ∂x ∂x ∂x ∂x 2 As´ı pues, la ecuaci´on I.2.7 se reduce a l´ım

∂2y µ ∂2y = ∂x 2 FT ∂t 2

(I.2.8a)

La ecuaci´on I.2.8a es la ecuaci´ on de onda para una cuerda tensa.

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La Ecuaci´on de Onda Ahora demostraremos que la ecuaci´ on de onda es satisfecha por cualquier funci´on de x − νt. Hagamos α = x − νt y consideremos cualquier funci´on de onda y = y (x − νt) = y (α) La derivada de y respecto α la denominaremos y 0 . Entonces, por la regla de la derivaci´on en cadena, tenemos ∂y ∂α ∂α ∂y = = y0 ∂x ∂α ∂x ∂x y ∂y ∂α ∂y ∂α = = y0 ∂t ∂α ∂t ∂t Dado que Se obtiene TEMA I.2:

∂α ∂x ∂y ∂x

=

∂(x−νt) ∂x

= y0 y

∂y ∂t

=1y

∂α ∂t

=

∂(x−νt) ∂t

= −ν

= −νy 0

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La Ecuaci´on de Onda Tomando segundas derivadas, tenemos ∂2y ∂ ∂y ∂ 0 ∂y 0 ∂α ∂α = = y = = y 00 = y 00 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂α ∂x ∂x y ∂2y ∂ ∂y ∂ ∂y 0 ∂y 0 ∂α 0 = = (−ν y ) = −ν = −ν = +ν 2 y 00 ∂t 2 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂α ∂t As´ı pues, 1 ∂2y ∂2y = 2 2 (I.2.8b) 2 ∂x ν ∂t Comparando las ecuaciones I.2.8a y I.2.8b vemos que la velocidad de p propagaci´on de la onda es 1/ν 2 = µ/FT despejando, ν = FT /µ, que es la ecuaci´on I.2.1. TEMA I.2:

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La Ecuaci´on de Onda Ejercicio: Demostrar que la ecuaci´ on de onda satisface la funci´on x + ν t. Hagamos α = x + ν t y consideremos cualquier funci´ on de onda y = y (x + νt) = y (α) La derivada de y respecto α la denominaremos y 0 . Entonces, por la regla de la derivaci´on en cadena, tenemos ∂y ∂α ∂α ∂y = = y0 ∂x ∂α ∂x ∂x y ∂y ∂y ∂α ∂α = = y0 ∂t ∂α ∂t ∂t Dado que Se obtiene TEMA I.2:

∂α ∂x ∂y ∂x

=

∂(x+νt) ∂x

= y0 y

∂y ∂t

=1y

∂α ∂t

=

∂(x+νt) ∂t

=ν

= νy 0

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La Ecuaci´on de Onda Tomando segundas derivadas, tenemos ∂2y ∂ ∂y ∂ 0 ∂y 0 ∂α ∂α = = y = = y 00 = y 00 ∂x 2 ∂x ∂x ∂x ∂α ∂x ∂x y ∂2y ∂ ∂y ∂ ∂y 0 ∂y 0 ∂α 0 = = (ν y ) = ν = ν = ν 2 y 00 ∂t 2 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂α ∂t As´ı pues, 1 ∂2y ∂2y = (I.2.8b) ∂x 2 ν 2 ∂t 2 Comparando una ves mas las ecuaciones I.2.8a y I.2.8b vemos que la velocidad de propagaci´on de la onda es 1/ν 2 = µ/FT despejando, ν = p FT /µ, que es la ecuaci´on I.2.1. TEMA I.2:

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La Ecuaci´on de Onda Ejemplo: Funci´on de onda arm´ onica En el apartado siguiente se define las ondas arm´ onicas mediante la funci´on de onda y (x, t) = A sen(κx − ωt), en donde ν = ω/κ. Demostrar, calculando expl´ıcitamente las derivadas, que la funci´on y (x, t) = A sen(κx − ωt) satisface la ecuaci´ on I.2.8b Planteamiento del problema: 1.- Calcular la primera y segunda derivada de y respecto a x ∂y ∂x

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∂ [A sen(κx − ωt)] ∂x ∂(κx − ωt) = A cos(κx − ωt) ∂x = κ A cos(κx − ωt) =

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La Ecuaci´on de Onda ∂2y ∂x 2

∂ ∂ ∂y = [κ A cos(κx − ωt)] ∂x ∂x ∂x ∂(κx − ωt) = −κ A sen(κx − ωt) ∂x = −κ2 A sen(κx − ωt)

=

2.- De igual modo, las dos derivadas parciales respecto al tiempo, t, son: ∂y ∂t

= = =

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∂ [A sen(κx − ωt)] ∂t ∂(κx − ωt) A cos(κx − ωt) ∂t −ω A cos(κx − ωt)

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∂2y ∂t 2

= = =

∂ [−ωA cos(κx − ωt)] ∂t ∂(κx − ωt) ω A sen(κx − ωt) ∂t −ω 2 A sen(κx − ωt)

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La Ecuaci´on de Onda

3.- Sustituyendo estos resultados en la ecuaci´ on I.2.8b se obtiene: −κ2 A sen(κx − ωt) =

1 [−ω 2 A sen(κx − ωt)] ν2

o bien A sen(κx − ωt) = (ω 2 /κ2 )/ν 2 A sen(κx − ωt)

4.- Sustituyendo κ utilizando ν = ω/κ se obtiene: A sen(κx − ωt) = ν 2 /ν 2 A sen(κx − ωt) = A sen(κx − ωt)

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La Ecuaci´on de Onda Observaci´ on: Hemos demostrado que la funci´ on y = A sen(κx − ωt) es una soluci´on a la ecuaci´on de onda si ν = ω/κ. Ejercicio: Demostrar que cualquier funci´ on y = A sen(κx + ωt) es tambi´en una soluci´on a la ecuaci´ on de onda si ν = ω/κ. Ejercicio: Demostrar que cualquier funci´ on y = A sen(κx) cos(ωt) es tambi´en una soluci´on a la ecuaci´ on de onda si ν = ω/κ. Utilizando las leyes de Newton puede deducirse tambi´en una ecuaci´on de onda para las ondas sonoras. En una dimensi´ on esta ecuaci´on es 1 ∂2s ∂2s = ∂x 2 νs2 ∂t 2 donde s es el desplazamiento del medio en la direcci´ on x y νs es la velocidad del sonido. TEMA I.2:

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