Tema IX: TOPOLOGÍA

Tema IX: TOPOLOGÍA

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.1. Distancia euclídea en Rn . Propiedades

Definición

DEF. Dados x, y ∈ Rn , se define la distancia euclídea como: q ~k d (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 = kxy n = 1: d (x, y) = |x − y| p n = 2: d (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 p n = 2: d (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.1. Distancia euclídea en Rn . Propiedades

Propiedades

1

d (x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ Rn d (x, y) = 0 ⇔ x = y ∀x, y ∈ Rn (Simetría)

2

d (x, y) = d (y, x)

3

d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (Desigualdad Triangular)

∀x, y, z ∈ Rn

DEF. Una distancia en Rn es una aplicación d : Rn × Rn → R+ ∪ {0} que verifica las propiedades anteriores.

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.1. Distancia euclídea en Rn . Propiedades

Bolas abiertas y cerradas DEF. Sea a ∈ Rn y r ∈ R+ , se define la bola abierta de centro a y radio r como el conjunto de los puntos cuya distancia al centro es estrictamente menor que el radio: B(a, r ) = {x ∈ Rn : d (x, a) < r } DEF. Sea a ∈ Rn y r ∈ R+ , se define la bola cerrada de centro a y radio r como el conjunto de los puntos cuya distancia al centro es menor o igual que el radio: ¯ r ) = {x ∈ Rn : d (x, a) ≤ r } B(a,

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.1. Distancia euclídea en Rn . Propiedades

Bolas abiertas y cerradas (II)

n = 1: B(a, r ) = (a − r , a + r ) ¯ r ) = [a − r , a + r ] B(a,  n = 2: B(a, r ) = (x, y) ∈ R2 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 < r  ¯ r ) = (x, y) ∈ R2 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 ≤ r B(a,

n =3: B(a, r ) = (x, y, z) ∈ R3 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 + (z − a3 )2 < r  ¯ r ) = (x, y, z) ∈ R3 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 + (z − a3 )2 ≤ r B(a,

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto

Puntos interiores

Sea A ⊂ Rn y a ∈ Rn . DEF. Se dice que a ∈ A es un punto interior de A si existe alguna bola abierta centrada en a y contenida en A: ∃r > 0/B(a, r ) ⊂ A Denotamos por Int(A) al conjunto de los puntos interiores de A. Observación: Los puntos interiores de A pertenecen a A.

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto

Puntos adherentes

DEF. Se dice que a ∈ Rn es un punto adherente de A cuando toda bola abierta centrada en a contiene algún punto de A: ∀r > 0, B(a, r ) ∩ A 6= ∅

El conjunto de todos los puntos adherentes a A se denomina ¯ clausura o adherencia de A y se denota por A

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto

Puntos de acumulación DEF. Se dice que a ∈ Rn es un punto de acumulación de A cuando toda bola abierta centrada en a contiene algún punto de A distinto de a: ∀r > 0, (B(a, r ) − {a}) ∩ A 6= ∅

El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se denomina conjunto derivado de A y se denota por A′ Observaciones: No tiene porqué suceder que A ⊂ A′ ni A′ ⊂ A. ¯ A′ ⊆ A

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto

Puntos aislados

DEF. Se dice que a ∈ A es un punto aislado de A si existe alguna bola abierta centrada en a cuyo único punto de A es el centro (a): ∃r > 0/B(a, r ) ∩ A = {a} El conjunto de todos los puntos aislados de A se denota por Ais(A) Observación: Ais(A) ⊆ A

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto

Puntos frontera

DEF. Se dice que a ∈ Rn es un punto frontera de A cuando toda bola abierta centrada en a contiene al menos un punto de A y un punto que no es de A: ∀r > 0,

B(a, r ) ∩ A 6= ∅,

B(a, r ) ∩ (Rn − A) 6= ∅

El conjunto de todos los puntos frontera de A se denota por Fr(A) o ∂A

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto

Relaciones 1

¯ Int(A) ⊂ A ⊂ A

2

¯ = A′ ∪ A A

3

¯ =Int(A) ∪ ∂A A

4

¯ = A′ ∪Ais(A) A

Observación: En las igualdades 3 y 4 las uniones son disjuntas: Int(A) ∩ ∂A = ∅ A′ ∩Ais(A) = ∅

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.3. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos

Conjuntos abiertos y cerrados DEF. Un conjunto A ⊂ Rn se dice que es abierto si todos sus puntos son interiores: A =Int(A). El interior de cualquier conjunto es siempre un conjunto abierto. DEF. Un conjunto A ⊂ Rn se dice que es cerrado si coincide ¯ con su clausura: A = A. Caracterizaciones de los conjuntos cerrados A es cerrado si y sólo si: 1

A′ ⊂ A

2

∂A ⊂ A

3

Rn − A es abierto.

Tema IX: TOPOLOGÍA IX.3. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos

Conjuntos cerrados, acotados y compactos La clausura de un conjunto cualquiera es un conjunto cerrado. Los únicos conjuntos abiertos y cerrados a la vez en Rn son ∅ y Rn . DEF. Un conjunto A ⊂ Rn se dice que es acotado cuando existe una bola que lo contiene. DEF. Un conjunto A ⊂ Rn se dice que es compacto cuando es cerrado y acotado. PROP. Un conjunto compacto en R siempre tiene máximo y mínimo.