TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaria) ------------------------------------------------------------------------------TEMA 30 TEORÍA CUÁNTICA. PROBLEMAS PRECURSORES. LÍMITES DE LA FÍSICA CLÁSICA PARA RESOLVERLOS. FENÓMENOS QUE CORROBORAN LA TEORÍA CUÁNTICA. Esquema 1. Introducción a la Teoría Cuántica. 2. Problemas precursores de la Teoría Cuántica. 2.1. Radiación del cuerpo negro. 2.1.1. Ley de Rayleigh-Jeans 2.1.2. Ley de Planck de la radiación. 2.1.3. Hipótesis de Planck 2.2. Efecto Fotoeléctrico. 2.2.1. Limitaciones de la teoría clásica para su explicación. 2.2.2. Propiedades de la emisión fotoeléctrica. 2.3. El efecto Compton. 2.4. Espectros atómicos. 2.4.1. Serie de Balmer: Ecuación de Balmer. 2.4.2. Otras series espectrales: Lyman, Paschen, Brackett y Pfund. 2.4.3. Espectros de emisión y de absorción. 2.5. El átomo de Bohr. 2.5.1. Limitaciones de la física clásica. 2.5.2. Postulados de Bohr. 2.5.2.1. Demostración de la energía de los estados cuánticos. 2.5.2.2. Concordancia con los resultados empíricos de Balmer. 3. Consecuencias de la Teoría Cuántica. 3.1. Propiedades corpusculares de las ondas electromagnéticas. 3.2. Propiedades ondulatorias de las partículas. 3.2.1. Difracción de electrones. 3.3. Las transiciones atómicas estimuladas: el láser. 4. Conclusión final sobre la teoría cuántica.

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TEMA 30 TEORÍA CUÁNTICA. PROBLEMAS PRECURSORES. LÍMITES DE LA FÍSICA CLÁSICA PARA RESOLVERLOS. FENÓMENOS QUE CORROBORAN LA TEORÍA CUÁNTICA.

1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA CUÁNTICA Todos los fenómenos relacionados con la interacción de luz con luz, como es el caso de las interferencias y la difracción, así como la polarización, pueden ser descritos y explicados con una teoría basada en el modelo ondulatorio de la luz, en especial la teoría electromagnética de Maxwell. Pero cuando se intenta estudiar las interacciones de la luz con la materia, como emisión, absorción y dispersión de luz por la materia, se presentan serias dificultades con la teoría ondulatoria. En algunos fenómenos no se trata de pequeñas desviaciones entre teoría clásica y resultados experimentales, sino que la teoría predice resultados en completa contradicción con los resultados observados experimentalmente. Históricamente el primer caso de este tipo se encontró al intentar explicar la distribución de energía en el espectro de un cuerpo calentado a alta temperatura, (radiación del cuerpo negro). Posteriormente se hicieron patentes otros fallos de la teoría clásica, al intentar explicar fenómenos de emisión y absorción de luz en el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. Igualmente las rayas espectrales de la luz emitida por los elementos gaseosos a alta temperatura, resultaban inexplicables por la teoría clásica e igualmente la generación de rayos X producidos por el choque de electrones rápidos sobre superficies metálicas, requerían una revisión profunda de toda la teoría electromagnética clásica y de toda la mecánica newtoniana. Los ejemplos descritos son algunos de los más sencillos, en los cuales la teoría ondulatoria fallaba completamente. En otras interacciones más complejas entre radiación y materia, tropieza con dificultades insuperables cuando intenta dar una explicación cuantitativa de los hechos. Así el efecto Zeeman, el efecto Zeeman anómalo, y otros fenómenos atómicos, sólo se pueden explicar en el marco de una nueva teoría, surgida a principios de este siglo llamada teoría cuántica. Entre los años 1900 y 1930 hubo una revolución en la física que dio lugar a la Mecánica Cuántica. Este nuevo enfoque tuvo mucho éxito para explicar el comportamiento de los átomos, moléculas y núcleos. También se puede aplicar a los fenómenos macroscópicos ordinarios, aunque en este caso, las desviaciones de la mecánica newtoniana resultan despreciables. Como en el caso de la relatividad, la teoría cuántica requiere una modificación de nuestras ideas relacionadas con el mundo físico. Los conceptos básicos de la teoría cuántica fueron introducidos originalmente por Max Planck, pero los progresos matemáticos y las interpretaciones posteriores a la luz de estas ideas cuánticas se debieron a la aportación de un gran número de físicos entre los que podemos mencionar a Einstein, Bohr, Schrödinger, de Broglie, Heisenberg, Born y Dirac. Einstein frecuentemente desempeñó el papel de crítico.

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2. PROBLEMAS PRECURSORES DE LA TEORIA CUANTICA 2.1. Radiación del Cuerpo Negro. Cuando un cuerpo es calentado emite radiación térmica cuyas características dependen de la temperatura y propiedades del objeto. A bajas temperaturas, las longitudes de onda de la radiación se ubican principalmente en la región infrarroja y no se pueden observar a simple vista. A medida que se eleva la temperatura el cuerpo empezará a brillar con tendencia hacia el rojo. A temperaturas suficientemente altas, parece ser blanca. Un análisis cuidadoso de esta radiación muestra una distribución continua de longitudes de onda que incluyen las zonas infrarroja, visible y ultravioleta del espectro. A la luz de la teoría clásica la radiación térmica se origina por el movimiento de partículas cargadas perteneciente a los átomos y moléculas del objeto emisor. Las aceleraciones de estas cargas, en su movimiento aleatorio, presentan una distribución tan variada que explican el espectro continuo de la radiación emitida por el objeto. A finales del siglo XIX, llegó a ser evidente que la teoría clásica de la radiación térmica era inadecuada pues no explicaba con claridad la distribución de energía en la radiación. El problema principal se relacionaba con la interpretación de la disposición espectral de la radiación emitida por un cuerpo negro. Por definición, un cuerpo negro es un sistema ideal que absorbe toda la radiación que llega a él. Un símil que nos permite imaginar un cuerpo negro ideal es un material resistente al calor que contenga una cavidad y una abertura muy pequeña que conduce a la cavidad. La radiación que entra por la cavidad sufre en su interior múltiples reflexiones y absorciones que finalmente no sale por la cavidad ningún resto de la radiación incidente. La naturaleza de la radiación emitida por un cuerpo negro sólo depende de la temperatura de las paredes de la cavidad que se suponen en equilibrio térmico con la radiación. En la fig.1 se ilustran los datos experimentales de la distribución de energía de la radiación en función de la longitud de onda, para distintas temp eraturas.

Se puede observar que la energía radiada varía con la longitud de onda y con la temperatura. Además, a medida que aumenta la temperatura aumenta la intensidad total (área bajo la curva), y el pico de la distribución se desplaza hacia longitudes de onda menores. 3/20

2.1.1. Ley de Rayleigh-Jeans. Cuando se intentó dar una interpretación física, basada en el modelo clásico, a estas curvas de distribución de energía, se llegó a un completo fracaso. Para describir el espectro de radiación conviene definir la magnitud que describe la energía radiada por el cuerpo negro como la Intensidad de radiación: I (λ, t ).dλ que es la potencia (energía por unidad de tiempo) que atraviesa la unidad de área normal a la dirección de propagación, emitida en un intervalo de longitud de onda dλ. El primer intento de interpretación basado en un modelo clásico de la radiación del cuerpo negro se conoce como ley de Rayleigh-Jeans: 2πckT I (λ, T ) = (1) λ4 donde k es la constante de Boltzmann. En este modelo, los átomos de la cavidad del cuerpo negro, se consideran como osciladores atómicos que emiten radiaciones electromagnéticas en todas las longitudes de onda del espectro y la energía media emitida es proporcional a la temperatura. La validez de la ley de Rayleigh-Jeans se muestra en la fig.2, donde, junto a la gráfica de distribución de energía del cuerpo negro se muestra la gráfica de distribución prevista por la ley de Rayleigh-Jeans. A grandes longitudes de onda, esta ley prevé resultados razonablemente concordantes con los datos experimentales, pero en longitudes de onda corta se producen grandes discrepancia. Se observa que cuando λ→0, la energía I(λ,t) se aproxima a infinito, lo cual es contrario a los resultados experimentales [I(A,t)→0 cuando λ→0]. Esta contradicción se denomina “catásFIG. 2 trofe del ultravioleta”. Otro problema es que predice una densidad de energía total infinita, pues todas las longitudes de onda son posibles y en la teoría del campo electromagnético, una energía infinita, es imposible. 2.1.2. Ley de Planck de la radiación. Max Planck propuso una fórmula empírica, en 1900, para explicar la radiación del cuerpo negro que coincidía con las curvas experimentales en todas las longitudes de 2πhc 2 onda: I (λ, T ) = 5 hc λkT (2) λ e −1 donde h es la constante de Planck: h=6’626.10-34 J.s k es la constante de Boltzmann: k=1’381.10-23J/K c es la velocidad de la luz: c=2’997929.108 m/s e es la base de los logaritmos neperianos.

(

)

Para longitudes de onda largas esta expresión se reduce a la de Rayleigh, como demostramos a continuación: x2 x3 x como: e = 1+ x + + + ... 2! 3! para: x = hc λkT resultará: e x = e hc λkT = 1 + hc λkT y e hc λkT − 1 = 1 + hc λkT − 1 = hc λkT y sustituyendo:

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2πhc 2 2πckT I (λ, T ) = 5 = λ .h c λkT λ4 2.1.3. Hipótesis de Planck. Para justificar la expresión (2), Planck tuvo que establecer hipótesis aventuradas sobre los modos de vibración de un oscilador armónico. La energía de un oscilador armónico es discreta, solamente puede tener valores que sean múltiplos enteros de una cantidad mínima o “cuanto” de energía de valor: E = hν (3) donde ν es la frecuencia de la oscilación. Esta hipótesis resultó de importancia transcendental en todo el desarrollo posterior de la física. 2.2. El Efecto Fotoeléctrico. El Efecto Fotoeléctrico, descubierto por Hertz, consiste en que al incidir la luz sobre ciertas superficies metálicas, éstas emiten electrones, llamados fotoelectrones. En la fig.3 se muestra un esquema del aparato que se puede emplear para la observación de efecto fotoeléctrico. Un tubo vacío contiene un cátodo metálico C y un ánodo A entre los que se mantiene una diferencia de potencial constante mediante un generador de c/c. Cuando el tubo está en oscuridad, el galvanómetro G indica cero, lo que significa que no detecta paso de corriente por el circuito. Sin embargo, cuando se ilumina el cátodo con la luz monocromática de A apropiada, el galvanómetro detecta una corriente que se debe a los fotoelectrones emitidos por el cátodo y recogidos por el ánodo cerrando el circuito. Se observa que para grandes valores de la diferencia de potencial V,la corriente alcanza un valor máximo que corresponde a la captación máxima de fotoelectrones por el ánodo. Se observa también que la corriente aumenta cuando se aumenta la intensidad de luz incidente, lo que resulta obvio. Sin embargo, cuando la diferencia de potencial Ves negativa y el cátodo se convierte en positivo, los fotoelectrones serán repelidos por el ánodo negativo. Sólo los que electrones tengan energías cinéticas mayores que un cierto valor, dado por eV0 alcanzarán el ánodo. V0 , llamado potencial de detención, representa el potencial de corte por debajo del cual ningún electrón alcanzará el ánodo y la corriente será cero. En la fig.4 se muestra una gráfica de la corriente fotoeléctrica frente a voltajes, para dos intensidades luminosas diferentes. La corriente eléctrica de los fotoelectrones aumenta con la intensidad luminosa, pero alcanza un nivel de saturación a grandes valores del potencial V. Para voltajes iguales o menores que –V0 la corriente no existe. La energía cinética máxima de los fotoelectrones viene dada por eV0 .

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FIG. 4

2.2.1. Limitaciones de la teoría clásica para su explicación. La Física Clásica y la Teoría Electromagnética de la luz no pueden explicar satisfactoriamente el Efecto Fotoeléctrico y vamos a destacar aquí las características que resultan inexplicables por la teoría clásica: 1. No se emiten electrones por debajo de un cierto valor de la frecuencia de la luz incidente llamada frecuencia umbral que depende del material iluminado. La teoría ondulatoria, sin embargo predice que la emisión fotoeléctrica debe ocurrir a cualquier frecuencia, suponiendo que la intensidad luminosa es suficientemente alta. 2. Si la frecuencia de la luz es mayor que la frecuencia umbral se produce la emisión de fotoelectrones y el número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad luminosa. Sin embargo la energía cinética máxima de los fotoelectrones no depende de la intensidad de la luz, hecho que no se puede explicar por la teoría clásica. 3. La energía cinética máxima de los fotoelectrones aumenta únicamente con la frecuencia de la radiación luminosa y no con la intensidad de la luz incidente. 4. Los electrones se emiten desde el cátodo casi instantáneamente, incluso cua ndo las intensidades luminosas son bajas. Según la física clásica, era lógico un retraso en la emisión fotoelectrónica ya que los electrones requirieran un cierto tiempo para absorber la radiación ondulatoria incidente, antes de adquirir la energía suficiente para escapar del metal. 2.2.2. Propiedades de la emisión fotoeléctrica. En 1905, Einstein demostró que los resultados experimentales disponibles hasta entonces sobre este efecto, eran explicables aceptando como un hecho el que “la radiación electromagnética se emite y absorbe en forma de cuantos de energía hν, o fotones, y no de forma continua”. En el efecto fotoeléctrico, un fotón es asimilado íntegro por un electrón invirtié ndose su energía, en parte, en trabajo de extracción para salir del metal (Φ0 ) y el resto en energía cinética del electrón. Al ser la energía del fotón proporcional a la frecuencia de la radiación se comprende que el efecto fotoeléctrico sea provocado, únicamente, por las radiaciones de gran frecuencia. La energía cinética máxima del fotón emitido está dada por: ECMAX = hν − Φ 0 (5) A la luz de la teoría corpuscular (fotónica) de la luz pueden explicarse las características del efecto fotoeléctrico, que no se podrían explicar utilizando la teoría ondulatoria clásica: 1. El efecto fotoeléctrico no se observa por debajo de la frecuencia umbral. Se explica considerando que la energía cinética máxima es igual a hν-Φ0 , es decir, si la energía del fotón incidente no supera la función de trabajo Φ0 , los electrones nunca serán expulsados de la superficie, independientemente de la intensidad de la luz. 2. La energía cinética máxima ECMAX es independiente de la intensidad de la luz incidente. Se explica considerando en la teoría fotónica que si la intensidad luminosa se duplica también se duplica el número de fotones y por ello el número de fotoelectrones emitidos, pero su energía cinética depende exclusivamente de la energía de los fotones, que es función de su frecuencia y no del número de ellos. 6/20

3. La energía cinética máxima ECMAX aumenta con la frecuencia de los fotones. Se explica mediante la ecuación del efecto fotoeléctrico de Einstein, puesto que depende exclusivamente de la frecuencia. 4. Los electrones son emitidos casi instantáneamente. Se explica considerando que la partícula de luz (fotón) posee un paquete de energía hν concentrado en ella, en vez de extenderse la energía en una gran área, como ocurriría en la teoría ondulatoria. Los resultados experimentales de Millikan, obtenidos diez años después de que Einstein explicase el fenómeno se resumen en la fig.5, en la que la pendiente de la recta es h. Su intersección con el eje horizontal proporciona la frecuencia de corte ν0 , que se relaciona con la función de trabajo a través de ν0 =Φ/h. Esto co- FIG. 5 rresponde a una longitud de onda de corte: c c hc λc = = = (6) νc Φ h Φ Las longitudes de onda mayores que λc para un material con función de trabajo Φ no producen efecto fotoeléctrico. 2.3. El Efecto Compton. En 1921, Arthur H.Compton logró determinar el movimiento de un fotón y de un solo electrón, antes y después de un choque entre ellos, y encontró que se comportaban como cuerpos materiales que tenían energía cinética y momento lineal, cuyas dos magnitudes se conservan después del choque. Este experimento fue una evidencia experimental sobre la existencia de los fotones. El experimento de Compton consistía en la dispersión de rayos X por electrones en un blanco de carbono. Se midió la intensidad de los rayos X dispersados en función de su longitud de onda y para varios ángulos de dispersión. Se observó que los rayos X dispersados tenían una longitud de onda λ ligeramente mayor que la de los rayos X incidentes λ0 . Esta variación de la longitud de onda ∆λ=λ-λ0 se denominó corrimiento de Compton y varía con el ángulo de dispersión. Este resultado no puede explicarse mediante la teoría ondulatoria clásica ya que según este modelo, los rayos X se consideran como ondas electromagnéticas de frecuencia ν0 que inciden sobre un material que contiene electrones. Las ondas electromagnéticas causarían oscilación de los electrones y éstos a su vez emitirían de ondas electromagnéticas de la misma frecuencia ν0 , y por tanto las ondas dispersadas deberían tener igual frecuencia y longitud de onda que la incidente; lo que es contrario a los resultados experimentales. A la luz de la teoría fotónica, Compton interpretó el proceso de dispersión como una colisión elástica de una partícula (fotón) con otra (electrón). En este modelo el fotón se considera como una partícula con energía: c E = hν = h λ Se considera que la masa del fotón en reposo es nula, por lo que el momento lineal del fotón puede describirse por:

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E hν h h = = = (7) c c cν λ La colisión entre un fotón incidente de longitud de onda λ0 y un electrón inicialmente en reposo, se muestra en la fig.6. Como resultado del choque, parte de la energía del fotón se transfiere al electrón, que sufre una perturbación de su estado de reposo. La energía y la frecuencia del fotón dispersado se reducen y su longitud de onda aumenta. Suponiendo que la energía y el momento lineal se conservan durante la colisión, se obtiene la relación para el corrimiento en la longitud de onda del fotón dispersado: h ∆λ = λ − λ0 = (1 − cos θ ) (8) mc que vamos a demostrar detalladamente a continuación. p=

Llamaremos:

Energía del fotón incidente: E0 =hν0 Energía del electrón en reposo: Ee=m0 c2 Energía del fotón dispersado: E=hν Energía del electrón dispersado: E’ = m02 c 4 + p 2 c 2

(9)

Aplicando el principio de conservación de la energía al impacto de las partículas: m0 c 2 + hν0 = E '+ hν (10) Aplicando el principio de conservación del momento lineal: h h Eje X: = cos θ + mv. cos φ λ0 λ h Eje Y: 0 = sen θ − mv. sen φ λ Despejando cosφ y senφ, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro las ecuaciones resultantes, tendremos: 2  h h   2 2 2 m v cos φ =  − cos θ   2 2  λ0 λ   p 2 = m2 v 2 =  h − h cos θ  +  h sen θ  (11)  λ λ  λ 2   0   h  m 2 v 2 sen 2 φ =  sen θ   λ   Despejando E’ de la expresión (10), elevando al cuadrado y sustituyendo (9) previamente elevada al cuadrado, resultará: E '2 = (hν 0 − hν + m0 c 2 )

2

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m02 c 4 + p 2 c 2 = (hν0 − hν + m0 c 2 ) sustituyendo en ésta, la expresión (11) resulta: 2 2   h h   2 2 2 4 2  h hν0 − hν + m0 c = m0 c + c  − cos θ  +  sen θ      λ0 λ  λ y desarrollando el corchete del último término: 2

(

)

2

h  2h2 h h c   + c 2   cos 2 θ − c 2 cos θ + c 2   sen 2 θ λ0 λ  λ  λ  λ0  c c y sustituyendo las frecuencias: ν= ν0 = λ λ0 2

(12)

(13)

2

2

(14)

(hν0 )2 + (hν)2 cos 2 θ − 2h 2ν0ν. cos θ + (hν)2 sen 2 θ (hν0 )2 + (hν)2 [cos 2 θ + sen 2 θ] − 2h 2ν0ν. cos θ (hν0 )2 + (hν)2 − 2h 2ν0ν. cos θ

y el segundo miembro de la ecuación (13) quedará: 2 2 m02 c 4 + (hν0 ) + (hν ) − 2h 2ν0ν. cos θ desarrollando ahora el primer miembro de la ecuación (13) tendremos: (hν0 − hν)2 + m02c 4 + 2(hν0 − hν)m0c 2

(15)

(hν0 )2 + (hν )2 − 2h 2ν0ν + m02c 4 + 2h (ν0 − ν)m0c 2

(16) e igualando ambos miembros ya desarrollados en las ecuaciones (16) y (15) y cancelando los términos comunes, tendremos: − 2 h 2ν0ν + 2 h(ν0 − ν )m0 c 2 = − 2 h 2ν0ν. cos θ y simplificando 2h:

− hν0ν + (ν0 −ν )m0 c 2 = − hν 0ν. cos θ

(ν0 −ν)m0 c 2 = h(1 − cos θ)ν0ν

ν0 − ν m0 c 2 = h(1 − cosθ ) ν 0ν

→

1 1  h  − c = (1 − cos θ) m0 c  ν ν0 

h (1 − cos θ) (8) m0 c En esta expresión, conocida como ecuación del corrimiento Compton, λ es la longitud de onda del fotón dispersado, m0 es la masa del electrón y θ es el ángulo entre las direcciones de los fotones incidente y dispersado. El factor h/m 0 c que tiene dimensiones de longitud, se denomina longitud de onda Compton. Obsérvese que el corrimiento depende del ángulo de dispersión θ y no de la longitud de onda. Los resultados experimentales de los rayos X dispersados desde varios blancos están en excelente concordancia con los datos teóricos obtenidos a partir de la ecuación (8), lo cual confirma nuevamente la validez de la hipótesis fotónica. λ − λ0 =

El efecto Compton es un fenómeno cuántico, lo que puede comprobarse considerando h próxima a cero, para ver si las predicciones cuánticas concuerdan con las leyes de la física clásica. En efecto, si en la ecuación (8), consideramos h→0 entonces ∆λ→0, es decir, no hay variación de la longitud de onda del fotón incidente lo que concuerda con la predicción de la física clásica.

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2.4. Espectros atómicos. Los gases cuando se encuentran enrarecidos, a baja presión, y se les somete a fuertes diferencias de potencial eléctrico en tubos debidamente preparados con electrodos o se les eleva suficientemente la temperatura, emiten luz visible y otras radiaciones no visibles del espectro electromagnético. La luz emitida por el gas, cuando se descompone en un espectroscopio muestra un espectro discreto (no continuo) formado por una serie de rayas separadas (imágenes de la ranura colimadora) con frecuencias diferentes. El espectro de cada gas es característico del gas y, a modo de documento de identidad, sirve para identificar el gas. Si consideramos que el gas se encuentra a baja presión, puede suponerse que cada átomo, al emitir luz, está libre de las influencias de otros átomos, por lo que el espectro de emisión es característico del átomo. Esta consecuencia experimental debe ser tenida en cuenta en cualquier modelo atómico que se establezca. Experimentalmente se realiza en un tubo vacío lleno de un gas a baja presión y sometido a una descarga eléctrica. El tubo emite luz, que se analiza en un espectroscopio que contenga una abertura estrecha. Se observará una serie de rayas correspondie ntes a longitudes de onda diferente. Esto se conoce como espectro de líneas. Las longitudes de onda contenidas en un determinado espectro permiten la identificación de los elementos contenidos en una sustancia química. 2.4.1. Serie de Balmer. Ecuación de Balmer. Los datos espectrográficos obtenidos en el análisis de los espectros de muchos gases demuestran que las rayas de los espectros atómicos se agrupan series espectrales, constituidas por rayas que al aumentar la frecuencia van disminuyendo de intensidad y aproximándose entre sí. El espectro mejor estudiado es el espectro del átomo de hidrógeno y en él, la primera serie fue estudiada por Balmer que encontró una serie de rayas en la región del visible, como se muestra en la fig.7:

FIG. 7

Balmer encontró que las longitudes de onda de estas líneas se podían describir matemáticamente por la expresión empírica siguiente: 1 1  1 (17) = R 2 − 2  λ n  2 donde n es un número natural que tomará los valores n=3,4,5,6, ... y R es una constante, denominada constante de Rydberg. En el Sistema Internacional, la constante valdrá: R=10.196.775’8 /m (ó 101.967’758 cm -1)

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2.4.2. Otras series espectrales: Lyman, Paschen, Brackett y Pfund. Además de la serie de Balmer, que se presenta en el visible, el espectro del átomo de hidrógeno presenta otras cuatro serien más, situadas en otras zonas del espectro electromagnético y que llevan los nombres de sus descubridores. La primera de ellas, la serie de Lyman se presenta en el ultravioleta y las otras, serie de Paschen, serie de Brackett y serie de Pfund se presentan en el infrarrojo cada vez más lejano. 1 1 1 Serie de Lyman = R 2 − 2  n=2,3,4,5,6,… λ n  1 1 1 1 Serie de Paschen = R 2 − 2  n=4,5,6,7,8,… λ n  3 1 1 1 Serie de Brackett = R 2 − 2  n=5,6,7,8,9,… λ n  4 1 1 1 Serie de Pfund = R 2 − 2  n=6,7,8,9,10,… λ n  5 En todas las series aparece la misma constante R de Rydberg. Expresiones semejantes se obtienen para otros elementos distintos del hidrógeno, solo que hay ligeras variaciones en el valor de la constante R de un átomo a otro como consecuencia de las diferentes masas atómicas. 2.4.3. Espectros de emisión y de absorción. Un elemento tiene capacidad para emitir luz de longitudes de onda específicas, lo que da lugar a un espectro de emisión con la aparición de las rayas correspondientes. Dicho elemento puede también absorber luz de longitudes de onda determinadas, dando lugar a un espectro de absorción, en el cual sobre un espectro continuo de luz, aparecen unas rayas negras que representan la ausencia de esas determinadas frecuencias o longitudes de onda absorbidas por la sustancia. Experimentalmente, un espectro de absorción puede obtenerse mediante el paso de un haz continuo de luz blanca (espectro completo) a través del vapor del elemento que se está analizando. El espectro resultante consta de una serie de rayas oscuras superpuestas al espectro continuo emitido por la fuente luminosa. Se observa que cada raya oscura del espectro de absorción coincide con una raya luminosa del espectro de emisión. Sin embargo, normalmente, no todas las líneas del espectro de emisión de un elemento se ven en el espectro de absorción correspondiente. Para observar algunas series en un espectro de absorción, habitualmente se hace necesario elevar la temperatura del gas a valores extremadamente altos. El espectro de absorción de un elemento tiene muchas aplicaciones prácticas, por ejemplo, la luz blanca emitida por el Sol, al pasar a través de los gases fríos de la atmósfera solar y de la atmósfera terrestre sufre absorciones que se manifiestan como rayas oscuras que salpican el espectro continuo del sol. Las diferentes rayas de absorción observadas han sido útiles para identificar elementos en las atmósferas solar y terrestre. El mismo método se utiliza para analizar la composición de las estrellas y de las galaxias.

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2.5. El átomo de Bohr 2.5.1. Limitaciones de la Física Clásica. La Física Clásica entra en el siglo XX en una profunda crisis ante la imposibilidad de explicar el origen de los espectros atómicos y otras características que se postulaban en los incipientes modelos atómicos propuestos. Resultaba inexplicable, por ejemplo, la estabilidad de las órbitas circulares de los electrones alrededor del núcleo. Según la teoría electromagnética de Maxwell, toda partícula cargada acelerada (el electrón posee aceleración centrípeta) se convierte en emisora de radiación electromagnética y por tanto perdería energía al exterior. El electrón, como tal partícula cargada, al girar alrededor del núcleo, emitiría energía radiante, disminuiría su energía potencial y su radio orbital y terminaría por colapsarse contra el núcleo y el átomo no sería estable, lo que va en contra de la evidencia de un átomo estable. Además producirían un espectro continuo con toda clase de frecuencias en la radiación emitida y la realidad evidente es que el átomo da lugar aun espectro discontinuo de determinadas frecuencias, lo que resulta incompatible con la teoría electromagnética clásica. En 1913, el científico danés Niels Bohr, propuso la primera explicación con éxito de los espectros atómicos. Su teoría contenía una combinación de ideas que parten de la teoría cuántica original de Max Planck, del concepto fotónico de la luz propuesto por Albert Einstein y del modelo atómico de Ernest Rutherford que postula un núcleo pequeño cargado positivamente y rodeado por electrones en órbitas circulares. El modelo propuesto por Bohr contiene algunas características clásicas así como algunos postulados revolucionarios que no podían justificarse dentro del esquema de la Física Clásica. Este modelo puede aplicarse con bastante éxito a iones similares al átomo de hidrógeno como He+ y Li2+, sin embargo, no describe adecuadamente los espectros de muchos átomos e iones complejos. 2.5.2. Postulados de Bohr. Niels Bohr aplicó al modelo nuclear de átomo establecido por Rutherford, la teoría cuántica de la radiación tal y como la desarrollaron Planck y Einstein. La hipótesis de Bohr se fundamentaba en los siguientes postulados: 1. Los electrones se mueven alrededor del núcleo en órbitas circulares estables sin emitir energía radiante y sometidos a las fuerzas de atracción eléctricas que le produce el núcleo. Fig.8

FIG.8

2. Las únicas órbitas permitidas para los electrones son aquellas en las que el momento angular del electrón alrededor del núcleo es un múltiplo entero de un valor mínimo llamado cuanto de momento angular que es h/2π= . Es decir el momento angular está cuantizado, cumpliendo la condición de cuantización: h r .mv = n = nη (18) 2π siendo n un número entero, llamado número cuántico, que tomará valores: n=1,2,3,… Cuando el electrón se encuentra en una de estas órbitas permitidas, no radia energía y el

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átomo es estable. Estas órbitas se denominan niveles de energía o estados estacionarios, pues a cada órbita le corresponde una energía potencial determinada. 3. El átomo sólo irradia energía electromagnética cuando un electrón salta de un estado estacionario o nivel de energía permitido a otro. La frecuencia de la radiación emitida corresponde a la relación: hν = E1 − E2 (19) siendo E1 y E2 las energías correspondientes a los estados estacionarios o niveles de energía 1 y 2. Esta expresión para la energía del fotón, concuerda con la que propuso Einstein para llegar a su ecuación del efecto fotoeléctrico. 2.5.3. Demostración de la energía de los estados cuánticos Tomando como base los postulados establecidos vamos a determinar las energías de las órbitas permitidas o estados estacionarios para el electrón en el átomo de hidrógeno por ser el sistema más sencillo. La energía de un electrón en una órbita permitida se compone de dos términos: la Energía Cinética y la Energía Potencial Eléctrica, y siendo: 1  EC = mv 2  1 e2 2  2 la energía total será: E = EC + EP = mv − k (20)  2 r e2  EP = −k r  siendo k la constante de la Ley de Coulomb en el sistema electrostático. Considerando que el electrón describe una trayectoria circular de radio r sometido a la fuerza culombiana, ke2 /r2 , esta fuerza se comporta como fuerza centrípeta que vale mv2 /r e igualando ambas expresiones: e2 v2 e2 1 2 k 2 =m ⇒ k = mv (21) r r 2r 2 y sustituyendo este resultado en la expresión de la energía, (20), resulta: 1 e2 e2 e2 e2  1  e2 E = mv 2 − k = k − k = k  − 1 = −k (22) 2 r 2r r r 2  2r Se puede deducir una expresión para el radio r a partir de las ecuaciones (18) y (21), despejando v 2 en ambas: de (18) de (21)

v=n

η

mr

v2 = n2 v2 =

η

2

m 2r 2

ke2 mr

e igualando ambas expresiones resulta: 2 2 η ke2 η n2 2 2 = ⇒ r = n2 (23) m r mr mke2 Los radios de las diferentes órbitas permitidas tienen valores discretos, que son múltiplos enteros de un valor mínimo. La órbita que tiene el radio más pequeño, denominado radio de Bohr r0 , corresponde a n=1 y tiene el valor siguiente:

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r0 =

η

2

= 0'529 Å (24) mke2 Las energías de los estados estacionarios se obtienen sustituyendo la expresión (23) del radio de la órbita en la expresión (22) de la energía: mk 2 e 4  1  En = − (25)   2η 2  n 2  y si se sustituyen los valores numéricos de los parámetros y las constantes, se obtiene: 1 En = −13'6 ⋅ 2 eV (26) n 2.5.4. Concordancia con los resultados empíricos de Balmer. A partir de las ecuaciones (19) y (25) se encuentra que si el electrón salta de una órbita, de número cuántico n1 a una segunda órbita de número cuántico n2 , emite un fotón de frecuencia ν, dada por la expresión: E − E2 1   mk 2 e 4 1   mk 2 e 4 1   mk 2 e 4  1 1  ν= 1 =   − ⋅ 2 −  −  − ⋅ 2 −   =  − 2  2 2 2  2 h h   2η n1   2η n2   2 hη  n2 n1  mk 2 e 4  1 1   ν= − (27) 4πη 3  n22 n12  Para comparar este resultado con las fórmulas empíricas propuestas para las diferentes series espectrales, se usa la expresión λν=c y la expresión anterior quedará: 1 ν mk 2 e 4  1 1   − 2  = = (28) 3  2 λ c 4πcη  n2 n1  y si se identifica esta expresión con la ecuación empírica propuesta por Balmer, (17), se obtiene para la constante de Rydberg: mk 2 e 4 R= (29) 4πcη 3 donde, sustituyendo los valores numéricos de las constantes fundamentales que figuran en la expresión se obtiene para R el valor siguiente: 2 4 9'1095.10 −31 Kg × 8'988.10 9 N . m 2 C 2 × 1'602.10 −19 C R= = 10.970.459'48 /m =… 3 − 34   6 ' 626 . 10 J . s  4π.2'997929.108 m / s ×  2π   …= 109.704’59 cm-1

(

) (

)

valor que está en concordancia con el obtenido en los cálculos experimentales La ecuación anterior (28), se puede expresar así:  1 1 1  = R 2 − 2  (30) λ  n2 n1  más apropiada para determinar las longitudes de onda de las distintas series del espectro del hidrógeno.

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3. CONSECUENCIAS DE LA TEORÍA CUÁNTICA 3.1. Propiedades corpusculares de las ondas electromagnéticas. En este tema se han presentado evidencias experimentales que apoyan el concepto corpuscular de la luz. Se ha descrito a la onda electromagnética en términos de partículas, que tienen energía hν y momento lineal h/λ, propiedad ésta típicamente corpuscular. Pero la luz y otras ondas electromagnéticas producen fenómenos de interferencia y difracción, que son típicamente ondulatorios. Se plantea el interrogante de qué modelo es el correcto y la respuesta depende del fenómeno que se esté observando. Algunos fenómenos observados pueden explicarse a partir del concepto de fotón, mientras que otros se describirán mejor mediante la teoría ondulatoria de la luz. Es decir, se deben aceptar ambas teorías y reconocer que el mismo haz luminoso que puede expulsar fotoelectrones de una superficie metálica (corpúsculo), puede ser difractado por una rejilla (onda). La teoría ondulatoria y la teoría corpuscular se complementan entre sí. Para ilustrar cómo los fotones son compatibles con las ondas examinemos el siguiente hecho: las ondas de radio, de gran longitud de onda, no presentan características corpusculares. En ondas de radio de frecuencia ν=2 MHz, la energía de un fotón, del orden de 8.10-9 eV, es demasiado pequeña para ser detectada como un único fotón. Un receptor de radio muy sensible podría detectar unos 1010 fotones por segundo, lo que representa un flujo de fotones tan elevado que parecería una onda continua. Análogamente si se consideran frecuencias elevadas, como en el visible, es posible observar tanto el carácter corpuscular como el ondulatorio de la luz. A frecuencias aún más altas, (rayos X y rayos γ), el momento lineal y la energía de los fotones aumentan y por tanto la descripción fotónica de la luz comienza a predominar sobre la ondulatoria. Podemos decir que todas las formas de radiación electromagnética pueden describirse desde dos puntos de vista. En consecuencia, se concluye que la luz tiene una naturaleza dual, exhibe ambas características ondulatoria y corpuscular. 3.2. Propiedades ondulatorias de las partículas. Con objeto de explicar los experimentos de interacción entre la energía radiante y la materia, y ante el doble comportamiento de onda y corpúsculo que presenta la radiación en estos fenómenos, Louis de Broglie, en 1924, introdujo la hipótesis dual de la radiación. En ella se sugería que las partículas materiales, de momento lineal p deberían de tener propiedades semejantes a las ondas y por tanto poseerían una longitud de onda asociada. Para entonces se conocían experiencias en las que la luz, que había sido considerada exclusivamente como una onda electromagnética, presentaba un comportamiento corpuscular. Esto le indujo a proponer que, de forma análoga, debería observarse un comportamiento ondulatorio en las partículas de la materia. De Broglie supuso que la relación entre el momento lineal y la longitud de onda de la onda asociada a la partícula, verifica la misma relación encontrada para el fotón en el efecto Compton: h h λ= = p mv

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A toda partícula que se mueve con un momento lineal de módulo p, se le puede asociar una onda cuya longitud de onda viene expresada por la relación anterior. Además, en analogía con los fotones, postuló que la frecuencia de las ondas asociadas a las partículas de materia, obedece la relación de Einstein E=hν, de manera que: E ν= h En estas ecuaciones se pone de manifiesto la naturaleza dual, pues contiene parámetros corpusculares, como momento lineal y energía, y parámetros ondulatorios, como frecuencia y longitud de onda. El efecto fotoeléctrico confirma la validez de la E=hν para los fotones y el efecto Compton confirma la validez de p=h/λ para las ondas.

3.2.1. Difracción de electrones. La proposición de De Broglie relativa a que cualquier clase de partícula exhibe propiedades tanto de onda como de partícula, fue considerada inicialmente como una pura especulación. Si partículas tales como los electrones tuvieran propiedades similares a las ondas entonces, bajo condiciones concretas, deberían exhibir fenómenos de interferencia. Tres años más tarde, en 1927, C.J.Davisson y L.H.Germer, en Estados Unidos, obtuvieron con gran éxito, la medición de la longitud de onda de los electrones, en un histórico experimento de difracción de electrones, utilizando un sólido cristalino. Su importante descubrimiento proporcionó la primera confirmación experimental de las ondas asociadas a las partículas, propuesta por de Broglie. A grandes rasgos, el experimento de Davisson y Germer, consistía en que los electrones emitidos por un filamento caliente son acelerados por una diferencia de potencial V hasta tener una energía cinética eV, a continuación son difractados por un monocristal de níquel por reflexión en su superficie y se producen máximos de interferencia para determinados ángulos de incidencia cuya medida junto con el dato del espaciado de la red y con ayuda de la ley de Bragg, permite calcular la longitud de onda λ de los electrones. El desarrollo de los aceleradores de partículas y de los reactores de haces de ne utrones de alta intensidad, ha permitido observar interferencias de protones, neutrones e incluso de átomos completos. La naturaleza ondulatoria de la materia ha sido demostrada de muchos modos diferentes, y se manifiesta tanto más acentuadamente cuanto mayor es la longitud de onda de De Broglie, y las propiedades corpusculares son más ma rcadas para longitudes de onda cortas. 3.3. Las transiciones atómicas estimuladas: el Láser. Cuando Una masa de gas se encuentra sometida a elevada temperatura o excitada por otra fuente de energía, sus átomos emiten múltiples radiaciones a frecuencias discretas dando lugar a espectros de muchas rayas. Estas emisiones corresponden a la separación de energías existente entre las órbitas permitidas o niveles de energía estables. Ilustramos esta situación considerando un átomo con muchos estados permitidos descritos en la fig.9 por E1 , E2 , E3 , etc, donde el estado E1 se considera el estado fundamental. Cuando dicho átomo se excita por una fuente de luz, ciertos fotones interaccio16/ 20

nan con el átomo y son aquellos que cumplen la condición de que su energía hν es completamente absorbida por los electrones en saltos desde el estado fundamental a estados permitidos, es decir, cuando la energía del fotón hν es igual a la separación de energía ∆E entre los dos niveles. En este fenómeno de interacción entre la luz (considerada de constitución fotónica) y la materia (formada por átomos) podemos considerar tres tipos de procesos diferenciados que vamos a describir:

FIG. 9

1) Un electrón situado en su nivel fundamental o en cualquier otro nivel permitido absorbe la energía del fotón y pasa a ocupar un nivel de energía superior en un proceso que llamaremos absorción estimulada y que queda ilustrado en la fig.10, y como consecuencia de ello, algunos átomos son promovidos a muy diversos niveles de energía superiores llamados estados excitados.

FIG.10

2) Cuando el átomo se encuentra en el estado excitado, por causa del proceso anterior, existe una cierta probabilidad de que el electrón regrese a un nivel de energía inferior, mediante la emisión de un fotón, como se ilustra en la fig.11, en un proceso que llamaremos emisión espontánea.

FIG. 11

3) Existe también la posibilidad de un tercer proceso llamado emisión estimulada, en el cual un átomo que se encuentra en un estado excitado, fig.12, al recibir a un fotón incidente aumenta la probabilidad de que el átomo regrese a su estado fundamental, produciéndose la emisión de dos fotones idénticos que son, el fotón incidente y el fotón emitido. Este último estará en fase con el fotón incidente y estos fotones en fase, estarán en disposición, a su vez, de estimular a otros átomos excitados para emitir fotones en una cadena de procesos similares.

FIG. 12

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El gran número de fotones en fase que puede dar lugar este proceso genera un potente rayo de luz coherente e intensa que es lo que se denomina luz láser. La absorción y emisión estimuladas son dos procesos igualmente probables. Normalmente cuando la luz excita a un sistema de átomos, se produce una absorción neta de energía debido, debido a que hay muchos más átomos en el estado fundamental que en los estados excitados. Sin embargo, si se pudiera invertir la situación, de manera que existan más átomos en un estado excitado que en el estado fundamental (inversión de la población), puede aumentar la probabilidad de que se produzca emisiones estimuladas sobre las absorciones estimuladas. Este es el principio fundamental en que se basa el funcionamiento de un láser (L.A.S.E.R.= Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation = Amplificación de luz por emisión estimulada de radiación). Para conseguir la emisión de luz láser se deben satisfacer tres condiciones: 1. Debe existir una población invertida, es decir, deben predominar los átomos en estados excitados sobre los átomos en estado fundamental de energía. 2. El estado excitado debe ser metaestable, es decir, su vida media debe superar a las vidas medias de los estados excitados restantes. Sólo así el proceso de emisión estimulada ocurrirá antes que tenga lugar la emisión espontánea. 3. Los fotones emitidos deben estar encerrados en el sistema, el tiempo suficiente para que puedan dar lugar a nuevas emisiones estimuladas de otros átomos excitados. Esto se consigue utilizando espejos reflectores en los extremos del sistema. Un extremo se hace totalmente reflector y devuelve los fotones al sistema y el otro se hace ligeramente transparente para que permita la salida del rayo láser. Desde 1960 que se desarrolló del primer láser, la tecnología de la luz láser ha avanzado espectacularmente. Los láseres que se construyen actualmente cubren longitudes de onda en las regiones del infrarrojo, visible y ultravioleta. Las aplicaciones de la tecnología láser abarca campos muy amplios de la actividad humana, por ejemplo, como instrumento quirúrgico en cirugía y microcirugía, como fuente de energía potencial para producir reacciones de fusión nuclear, para la comunicación telefónica a través de fibras ópticas, para generar imágenes tridimensionales de objetos (holografía), etc.

4. CONCLUSIÓN FINAL SOBRE LA MECÁNICA CUÁNTICA Como se ha visto, no se puede asignar una descripción exclusivamente ondulatoria a las ondas electromagnéticas, ni exclusivamente corpuscular a las partículas, ambas participan de los dos tipos de comportamientos. Los trabajos realizados para unificar la dualidad onda-corpúsculo en una sola teoría consistente, condujeron al establecimiento de la Mecánica Cuántica. Por un lado Werner V.K.Heisenberg y Max Born en 1925 desarrollan su mecánica de matrices, teoría matemática que describe las ecuaciones del movimiento de un sistema cuántico, como ecuaciones entre matrices y permite calcular las transiciones electrónicas entre los distintos niveles energéticos de un átomo con resultados más ajustados a los valores experimentales que los obtenidos a partir de los postulados de Bohr.

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Por otro lado, Erwin Schrödinger desarrolla la mecánica ondulatoria y basándose en la teoría de ondas clásica y en la teoría de De Broglie establece la correspondencia entre las variables dinámicas del corpúsculo y las variables características de la onda asociada. Un sistema cuántico se representa mediante una función de onda cuya propagación se describe mediante la ecuación de Schrödinger. Ambas mecánicas, que en principio fueron consideradas como rivales debido a sus formulaciones diferentes, son matemáticamente idénticas como demostró posteriormente el propio Schrödinger. Son dos formulaciones particulares de la mecánica cuántica, cuya formulación general fue expuesta por Dirac en 1929 incluyendo consideraciones relativistas. La mecánica cuántica es la teoría adecuada para la descripción de los fenómenos microscópicos. Por una parte en ella se incluyen como casos particulares todos los conceptos que son válidos en la mecánica clásica, y por otra, de ella se derivan como consecuencias lógicas los tres aspectos inexplicables por la teoría clásica: el comportamiento corpuscular de las ondas, el comportamiento ondulatorio de las partículas y la cuantización de las magnitudes físicas.

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Gerald HOLTON y Duane H.ROLLER. Fundamentos de Física Moderna. Editorial Reverté. 1963. BARCELONA. Irving KAPLAN. Física Nuclear. Editorial Aguilar. 1962. MADRID. Raymond A.SERWAY. Física. Nueva Edit. Interamericana, S.A. 1985. MEJICO. Francis W.SEARS. Fundamentos de Física III. Óptica. Editorial Aguilar. 1967. MADRID. Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCÍA y Carlos GRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA. Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física. Fundamentos y Aplicaciones. Tomo I- Ediciones McGraw-Hill. 1990. MADRID. Robert W:CHRISTY y Agnar PYTTE. Estructura de la materia: una introducción a la Física Moderna. Editirial Reverté. 1971. BARCELONA.

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Tratamiento Didáctico OBJETIVOS Poner de manifiesto las limitaciones de la física clásica en la interpretación de ciertos fenómenos relacionados con la luz y las partículas atómicas. Sentar las bases conceptuales teórico-matemáticas para interpretar los fenómenos atómicos, el funcionamiento del átomo y las fuerzas que actúan entre ellos, lo que resulta fundamental en el estudio del enlace químico. UBICACION Este tema se ubicará en el 2° curso de bachillerato dentro de la asignatura de Física, en el bloque temático de “Elementos de Física Cuántica”. TEMPORALIZACION El tema debe exponerse en un periodo de 12 horas, para la explicación exhaustiva y detallada y un periodo de al menos 2 horas para la resolución de problemas numéricos relacionados con el tema. METODOLOGIA Por su complejidad conceptual debe explicarse teóricamente con todo detalle los conceptos fundamentales del tema, los planteamientos experimentales y las interpretaciones físicas. Debe cuidarse la comprensión de los conceptos básicos, mediante una explicación activa y participativa por parte del alumnado. Cuando sea posible, deben realizarse experiencias de cátedra (como la espectroscopía) que apoyen la explicación teórica. CONTENIDOS MÍNIMOS Hipótesis de Planck. El cuerpo negro. El cuanto de energía. El efecto fotoeléctrico. Características básicas. Función de trabajo. Frecuencia umbral. El efecto Compton. Corrimiento Compton (cualitativo). Espectros. Serie de Balmer. Otras series. Ecuación empírica. Atomo de Bohr. Postulados de Bohr. Niveles de energía. Frecuencia vibración. Propiedades ondulatorias de las partículas. Onda asociada. Emisión espontánea. Emisión estimulada. Láser. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS Apuntes de clase. Libros de consulta que los complementen. Equipo de láser de laboratorio. Equipo de espectroscopía para la obtención de espectros de gases. Colección de problemas cuidadosamente recopilados relacionados con los distintos apartados del tema. EVALUACION Ejercicio escrito sobre cuestiones fundamentales del tema y conceptos básicos relacionados con la teoría cuántica, con los fenómenos relacionados con ella y las consecuencias que se derivan. Prueba escrita de opción múltiple, con preguntas de varias respuestas, en las que el alumno razone ante diferentes situaciones planteadas.

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