Teoria dels Jocs i de les Decisions. Professors: Stella Frances i Xavier Martinez-Giralt Curs 1999-2000 Llista de Problemes 1. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1 , u2 } cuyos pagos est´an resumidos en la matriz de pagos:

A M B

I 4,4 1,2 0,1

C 1,1 0,3 0,0

D 1,0 2,3 0,-1

Calcular los equilibrios de Nash, y los equilibrios que se obtienen del proceso de eliminaci´on sucesiva de estrategias estrictamente dominadas en este juego. Comentar. 0

0

2. Sean G = {Si , ui } y G = {Si , ui } con i = 1, · · · , n dos juegos en forma 0 normal donde para cada i ∈ I, ui = αi + βi ui (βi > 0). Demostrar que los 0 equilibrios de Nash de G y G coinciden. (En otras palabras, que transformaciones afines positivas de las funciones de pagos no cambian el conjunto de equilibrios de Nash). 3. Hallar las estrategias y los pagos de equilibrio de los juegos siguientes donde hay tres jugadores, S1 = {a, b}, S2 = {A, B}, S3 = {α, β} y las matrices de pago presentan los pagos de los jugadores las distintas combinaciones de estrategias, en el orden (u1 , u2 , u3 ): α (a)

a b

A 1,1,1 0,0,0

β B 0,0,0 0,0,0

α (b)

a b

A 1,1,-1 0,0,0

B 0,0,0 4,4,-8

1

A B 0,0,0 0,0,0 0,0,0 2,2,2 β A B 3,3,-6 0,0,0 0,0,0 1,1,-2

4. Consideremos el juego en forma normal definido por: I = {1, 2}, S1 = S2 = [0, 100], u1 (s1 , s2 ) = 25s1 − 4(s1 )2 + 15s1 s2 u2 (s1 , s2 ) = 100s2 − 50s1 − (s2 )2 − s1 s2 . a) Hallar los equilibrios de Nash de este juego y representar las correspondencias de mejor respuesta. b) Representar los equilibrios gr´aficamente. 5. Hallar las estrategias de equilibrio (en puras y mixtas) del juego: J1/J2 A a 5,-5 b 2,-2

B 4,5 4,-4

6. Hallar los equilibrios en estrategias mixtas de los juegos del ejercicio 3. 7. Consideremos la siguiente versi´on de la batalla de los sexos: J1/J2 O o 3,1 b a,0

B 0,0 1,3

donde 0 < a < 1. a) Calcular el equilibrio de Nash en estrategias mixtas en funci´on de a (es decir, sean x(a) e y(a) las probabilidades de equilibrio de que el jugador 1 y el jugador 2 vayan a la o´ pera). b) Comprobar que la derivada de x(a) respecto de a es nula y que la derivada de y(a) respecto de a es positiva. c) Sean Eu1 (a) y Eu2 (a) los pagos esperados en equilibrio en funci´on de a. Comprobar que Eu1 (a) es creciente en a y que Eu2 (a) es independiente de a. d) Comentar.

2

8. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1 , u2 } cuyos pagos est´an resumidos en la matriz de pagos:

A M B

I 2,0 3,4 1,3

C 1,1 1,2 0,2

D 4,2 2,3 3,0

Calcular los equilibrios de Nash (en estrategias puras), y los equilibrios que se obtienen del proceso de eliminaci´on sucesiva de estrategias estrictamente dominadas en este juego. 9. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1 , u2 } cuyos pagos est´an resumidos en la matriz de pagos:

A M B

I 1,-1 2,-2 3,-3

C 6,-6 0,0 2,-2

D 0,0 3,-3 4,-4

Calcular los equilibrios de Nash (en estrategias mixtes). 10. Hallar los equilibrios de Nash es estrategias mixtas del dilema del prisionero. 11. Escribir en forma normal el juego de duopolio de Bertrand, en el que participan dos empresas que venden bienes diferenciados. Cada empresa i elige el precio pi de su producto, sabiendo que la cantidad demandada de producto a la empresa i por los consumidores es: qi (pi , pj ) = a − pi + bpj , donde a y b son par´ametros, a, b > 0. a) Hallar los equilibrios de Nash (en estrategias puras) de este juego y representar las correspondencias de mejor respuesta. b) Representar los equilibrios gr´aficamente. 12. Hallar las estrategias de equilibrio (en mixtas) del siguiente juego: J1/J2 I A 2,1 B 1,2 3

D 0,2 3,0

13. En el juego, J1/J2 I A 0,0 B 1,0

D 0,1 0,0

mostrar que si eliminamos de forma iterativa estrategias dominadas (no estrictamente), podemos obtener resultados distintos seg´un el orden en el que eliminemos las estrategias. 14. Dos p´ajaros de la misma especie compiten por un territorio. Cada p´ajaro puede adoptar una estrategia de halc´on o de paloma en un juego simult´aneo con informaci´on completa. Si ambos adoptan el comportamiento de paloma se reparten el territorio; si uno adopta el de halc´on y otro el de paloma, el primero se queda con el territorio; si ambos adoptan la estrategia de halc´on hay lucha, y a pesar de que cada uno tiene una cierta probabilidad de vencer y quedarse con el territorio, la lucha implica costes. Las ganancias son: J1/J2 Paloma Halc´on

Paloma Halc´on 1,1 0,2 2,0 -1,-1

Calculad los equilibrios de Nash en estrategias mixtas. 15. Supongamos que los jugadores en el juego de negociaci´on de Rubinstein con tres periodos, tienen factores de descuento distintos: δ1 corresponde al jugador 1, y δ2 corresponde al jugador 2. El reparto del periodo 3 es ex´ogeno: (s, 1 − s). Calcular el equilibrio perfecto en subjuegos y discutir el resultado como funci´on de los factores de descuento. 16. Tres oligopolistas operan en un mercado con una demanda inversa igual a P (Q) = a − Q, donde Q = q1 + q2 + q3 , y qj es la cantidad producida por la empresa j. Cada empresa tiene un coste marginal de producci´on constante e igual a c, sin costes fijos. Las empresas escogen sus cantidades de la siguiente manera: (1) la empresa 1 escoge q1 ≥ 0; (2) las empresas 2 y 3 observan q1 y escogen simult´aneamente q2 y q3 respectivamente. ¿Cu´al es el resultado perfecto en subjuegos?

4

1 A

B

2 I

2 I

D

D

2

3

3

6

3

2

0

3

Figure 1: Juego del problema 17. 17. Escribir la forma normal del juego en forma extensiva representado en la figura 1: Buscar los equilibrios de Nash de este juego y los equilibrios perfectos en los subjuegos. Comentar. 18. Escribir la forma normal del juego en forma extensiva representado en la figura 2: Buscar los equilibrios de Nash de este juego y los equilibrios perfectos en los subjuegos. Comentar. 19. Dibujar el a´ rbol correspondiente al juego en forma simult´anea: J1/J2 I A 2,1 B 1,3

D 0,1 0,0

Calcular los equilibrios de Nash, y los equilibrios perfectos en subjuegos. 20. Calcular los equilibrios perfectos en subjuegos del juego representado en la figura 3: Buscar los equilibrios de Nash de este juego y los equilibrios perfectos en los subjuegos. Comentar.

5

1 A

B

2 I

2 I

D

D

2

3

3

6

3

2

0

3

Figure 2: Juego del problema 18.

1 A

B

2 I

2 I

D

D

0

3

2

1

2

0

1

3

Figure 3: Juego del problema 20.

6

1 A

B 2

1 α

2

β

1

4 3

a 2

b 3 1

4 Figure 4: Juego del problema 22.

21. El juego simult´aneo que a continuaci´on se describe se juega dos veces, observ´andose el resultado de la primera etapa antes de que comience la segunda.

A M B

I 3,1 2,1 1,2

C 0,0 1,2 0,1

D 5,0 3,1 4,4

No hay descuento. ¿Puede alcanzarse en la primera etapa la ganancia (4, 4) en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos con estrategias puras? En caso afirmativo, especificar las estrategias que lo permiten. En caso negativo, demostrar por qu´e no. 22. Consideremos el juego en forma extensiva representado en la figura 4: a) Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos. b) Representar el juego en forma normal. c) Hallar todos los equilibrios de Nash (en estrategias puras y mixtas) y comprobar que el conjunto de equilibrios obtenido en el apartado a) es un subconjunto del conjunto de equilibrios de Nash. 7

23. Los jugadores 1 y 2 est´an negociando como repartirse 1000 pesetas. Ambos jugadores indican simult´aneamente la parte de las 1000 pesetas que querr´ıan conseguir, s1 y s2 , donde si ∈ [0, 1]. Si s1 + s2 ≤ 1, los jugadores ven cumplidos sus deseos; si s1 +s2 > 1, ambos jugadores reciben cero pesetas. a) ¿Cu´ales son los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego? b) Supongamos que el jugador 2, antes de tomar su decisi´on, conoce la decisi´on del jugador 1, y e´ ste lo sabe. Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras. Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos. 24. Considerar el siguiente juego, denominado “juego de oportunidades de mercado”. Hay dos jugadores, las empresas 1 y 2, y dos oportunidades de mercado, A y B. El juego est´atico est´a resumido en la matriz: J1/J2 A A 3,3 B 4,1

B 1,4 0,0

Si ambas empresas se aprovechan de la oportunidad de mercado A, obtienen una ganancia de 3 cada una. Sin embargo, si cualquiera de ellas abandona la oportunidad A y aprovecha la B, ella consigue una ganancia de 4, pero la otra empresa s´olo obtiene una ganancia de 1 en la oportunidad de mercado A. Finalmente, en la oportunidad de mercado B s´olo hay sitio para una empresa, si ambas empresas entran en B, ambas obtienen 0. a) Calcular los equilibrios de Nash en estrategias puras y en estrategias mixtas del juego est´atico. b) Sea el juego G(2), que consiste en jugar el juego est´atico anterior dos veces, observando los jugadores las decisiones de t = 1 antes de decidir sus acciones de la segunda etapa. Escribir las estrategias correspondientes a los equilibrios perfectos en subjuegos que llevan a los resultados: b.1) b.2) b.3) b.4)

(A, B), en t=1, y (B, A) en t=2. (A, B), en t=1, y (A, B) en t=2. (B, A), en t=1, y (B, A) en t=2. (A, B), en t=1, y (A, B) en t=2.

8

25. Razonar cuidadosamente c´omo son los equilibrios perfectos en subjuegos del juego din´amico que consiste en jugar en la primera etapa el juego: J1/J2 A A 1,1 B 0,5

B 5,0 4,4

y, despu´es de observar el resultado de esta etapa, jugar el juego: J1/J2 A A 3,3 B 4,1

B 1,4 2,2

26. Dos empresas est´an planeando introducir un nuevo producto. Cada empresa debe decidir si introducir el producto A, el producto B o el producto C. Deben tomar sus decisiones individualmente. Los pagos son:

a b c

A -10,-10 10,0 20,10

B 0,10 -20,-20 15,-5

C 10,20 -5,15 -30,-30

a) Buscar los equilibrios de Nash en estrategias puras. b) Si el juego se repite dos veces, y las empresas observan el resultado de la etapa 1 antes de jugar la etapa 2, ¿qu´e resultados se alcanzar´an en el juego repetido? Escribir las estrategias de uno de los equilibrios perfectos en subjuegos. 27. Verificar si el dilema del prisionero repetido un n´umero infinito de per´ıodos, con factor de descuento δ = 1/2, la estrategia: • En t =1 colaboro. • Si mi rival colabora en t-1, colaboro en t. • Si mi rival traiciona en t-1, yo traiciono en t (y en t+1 vuelvo a colaborar) si es seguida por ambos jugadores, lleva a un equilibrio de Nash del juego repetido. ¿A qu´e equilibrio?

9

1 L

R

2

2

I

D

I

D

1

1 i

d

i

d

1

3

4

4

2

0

1

3

d

d

i

2

0

3

1

1

0

0

6

i

Figure 5: Juego del problema 28. 28. La figura 5 ilustra el a´ rbol de un juego entre dos jugadores, 1 y 2. El juego tiene informaci´on completa. a) ¿Cu´ales son las estrategias puras de cada jugador? Y sus acciones en cada conjunto de informaci´on? b) Calcular los equilibrios perfectos en subjuegos. 29. Sea el siguiente juego en dos etapas. En la primera etapa, cada empresa decide entre “entrar” en el mercado, en cuyo caso debe pagar un coste irrecuperable F > 0, o “no entrar” (que no tiene coste). En la segunda etapa, si s´olo una empresa ha entrado, se comporta como un monopolista. Si ambas han entrado, compiten a la Cournot. Representar el juego, para una demanda de P = a − Q, donde Q es la cantidad total vendida en el mercado, y costes marginales y medios constantes e iguales a c. Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos.

10

30. Supongamos que en la batalla de los sexos siguiente, los pagos significan billetes de mil pesetas: El/Ella F´utbol Teatro

F´utbol 3,1 0,0

Teatro 0,0 1,3

a) Representar la forma extensiva del juego. b) Calcular los tres equilibrios de Nash, y sus respectivos pagos. Consideremos ahora la siguiente modificaci´on del juego: antes de que tanto e´ l como ella decidan (simult´aneamente) si ir al f´utbol o al teatro, e´ l puede quemar un billete de mil (en presencia de ella). c) Representar la forma extensiva de este juego. d) Encontrar las estrategias puras de los dos jugadores. e) Representar el juego en forma normal. f) Encontrar los equilibrios de Nash (y sus pagos) despu´es de eliminar sucesivamente las estrategias estrictamente dominadas. g) Comentar. 31. Sam Goldwyn dijo: “un contrato verbal vale menos que el papel en el que est´a escrito”. En esta l´ınea, en el halc´on malt´es (de Dashiel Hammett) se da el siguiente di´alogo: Spade levant´o la cabeza sonriendo y dijo: - Hab´ıamos hablado de m´as dinero que esto. - Si se˜nor, efectivamente - asinti´o Gutman -, pero entonces habl´abamos. Esto es dinero aut´entico, genuina moneda del reino. Con un d´olar de estos se puede comprar m´as que con diez d´olares de palabra. Podemos fiarnos de las promesas verbales?

11

32. Hallar todos los equilibrios bayesianos con estrategias puras en el siguiente juego bayesiano est´atico: 1) El azar determina si las ganancias son como en el juego 1 o como en el juego 2, siendo cada juego igualmente probable. 2) El jugador 1 se entera de si el azar ha escogido el juego 1 o el 2, pero el jugador 2 no. 3) El jugador 1 elige A o B; simult´aneamente el jugador 2 elige D o I. 4) Las ganancias son las que se dan en el juego que determina el azar. JUEGO 1 J1/J2 I D A 1,1 0,0 B 0,0 0,0

JUEGO 2 I D 0,0 0,0 0,0 2,2

33. Sea una subasta simult´anea con informaci´on completa en la que los valores del bien para los jugadores son v1 = 5, v2 = 4. Todas las pujas deben ser m´ultiplos de 2. Escribir la forma normal de la subasta al primer precio. Resolver. 34. Utilizando los datos del problema anterior, resolver la subasta al segundo precio. 35. Hallar todos los equilibrios bayesianos con estrategias puras en el siguiente juego bayesiano est´atico: 1) El azar determina si las ganancias son como en el juego 1 o como en el juego 2, siendo cada juego igualmente probable. 2) El jugador 1 se entera de si el azar ha escogido el juego 1 o el 2, pero el jugador 2 no. 3) El jugador 1 elige A o B; simult´aneamente el jugador 2 elige D o I. 4) Las ganancias son las que se dan en el juego que determina el azar. JUEGO 1 J1/J2 I D A 3,3 0,0 B 0,0 0,0

12

JUEGO 2 I D 0,0 0,0 0,0 2,2

36. Escribir las funciones de mejor respuesta de cada jugador y hallar las estrategias y los pagos de equilibrio del juego siguiente donde hay tres jugadores, S1 = {a, b}, S2 = {A, B}, S3 = {α, β} y las matrices de pago presentan los pagos de los jugadores las distintas combinaciones de estrategias, en el orden (u1 , u2 , u3 ): α A a 1,1,-1 b 0,0,0

β B 0,0,0 4,2,0

A 2,1,-2 0,0,0

B 0,0,0 2,2,2

37. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1 , u2 } cuyos pagos est´an resumidos en la matriz de pagos:

A M B

I 2,0 3,4 1,3

C 1,1 1,5 0,2

D 4,1 2,5 2,5

a) Calcular los equilibrios de Nash (en estrategias mixtas). b) Representar las correspondencias de mejor respuesta. c) Comentar. 38. El juego simult´aneo que a continuaci´on se describe se juega dos veces, observ´andose el resultado de la primera etapa antes de que comience la segunda.

A M B

I 4,3 3,3 2,4

C 1,2 2,4 1,3

D 6,2 4,3 5,6

No hay descuento. ¿Puede alcanzarse en la primera etapa la ganancia (5, 6) en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos con estrategias puras? En caso afirmativo, especifica las estrategias que lo permiten. En caso negativo, demuestra por qu´e no.

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1 C

A B 2

2

d

e

2

g

f

h

i

0

1

0

1

3

3

2

2

0

2

2

0

Figure 6: Juego del problema 39. 39. Considera el juego representado en la figura 6 en forma extensiva a) ¿De cu´antas estrategias dispone cada jugador? b) Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos (en estrategias puras) de este juego. Escribir expl´ıcitamente las estrategias de equilibrio. 40. Sea una subasta simult´anea con informaci´on completa en la que los valores del bien para los jugadores son v1 = 6, v2 = 4. Todas las pujas deben ser m´ultiplos de 2. a) Escribir la forma normal de la subasta al primer precio. b) Calcular los equilibrios de Nash (en estrategias puras). c) Comentar cuidadosamente el equilibrio (o los equilibrios) obtenidos. Si es preciso, apoya la discusi´on en un ejemplo.

14

1 C

A B 2

2

d

e

2

1

1

2

2

g

f

h

k

i

4

1

1

3

3

1

2

2

0

0

Figure 7: Juego del problema 42. 41.

a) Calcular los equilibrios de Nash en estrategias puras del juego simult´aneo que a continuaci´on se describe: A M B

I 4,4 3,3 4,3

C 1,2 2,5 1,3

D 8,4 4,3 5,6

Supongamos ahora que el juego simult´aneo anterior se juega dos veces, observ´andose el resultado de la primera etapa antes de que comience la segunda. Adem´as no hay descuento. b) Definir el concepto de equilibrio de Nash perfecto en subjuegos. c) ¿Puede alcanzarse en la primera etapa la ganancia (5, 6) en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos con estrategias puras? En caso afirmativo, especifica las estrategias que lo permiten. En caso negativo, demuestra por qu´e no. 42. Considera el juego representado en la figura 7 en forma extensiva a) ¿De cu´antas estrategias dispone cada jugador? Escribir cuidadosamente el conjunto de estrategias de cada jugador. b) Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos (en estrategias puras) de este juego. Escribir expl´ıcitamente las estrategias de equilibrio del juego anterior. Escribe tambi´en el resultado (o resultados) y los pagos asociados al equilibrio (o a los equilibrios si hay m´as de uno). 15