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Trigonometría Arturo Ramírez December 8, 2011

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Contents

1 Trigonometría 1.1 Medidas de Segmentos y Angulos . . . . . . . 1.2 Triángulos Rectángulos . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Funciones Trigonométricas . . . . . . 1.2.2 Resolución de Triángulos Rectángulos 2 Funciones Trigonométricas 2.1 Las Funciones Trigonométricas . . . . . . 2.1.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Propiedades elementales . . . . . . 2.1.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Problemas. . . . . . . . . . . . . . 2.2 Presentación axiomática . . . . . . . . . . 2.2.1 Definiciones y axiomas . . . . . . . 2.2.2 Propiedades basicas . . . . . . . . 2.2.3 Identidades trigonométricas . . . . 2.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Números complejos . . . . . . . . . 2.3.2 Triángulos Rectángulos . . . . . . 2.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Identidades asociadas a los ángulos 2.3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . 3 El Triángulo

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1 2 2 3 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de un triángulo∗ . . . . . . . . . .

1 1 1 2 5 8 8 8 8 10 11 11 12 13 13 15

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19

iv

Contents

3.1 3.2

Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoremas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Polígonos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Problemas. Identidades trigonométricas en triángulos

19 21 22 26 29 30

4 Algoritmos 4.1 Propiedades de continuidad . . . . . . . . . . . 4.1.1 Medida de áreas . . . . . . . . . . . . . 4.2 Desigualdades de las Funciones Trigonométricas 4.3 Cálculo de las funciones trigonométricas . . . . 4.3.1 Reducción a ángulos agudos . . . . . . . 4.3.2 Caso del ángulo agudo . . . . . . . . . . 4.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 La función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Metodo de Arquimedes . . . . . . . . . 4.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . .

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33 33 33 34 36 36 37 38 39 39 40

5 Aplicaciones de la Trigomometría 5.1 Resolución de triángulos . . . . . 5.2 Aplicaciones a la geometría . . . 5.2.1 Triángulo . . . . . . . . . 5.2.2 Problemas . . . . . . . . . 5.3 Aplicaciones a la topografía . . .

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43 43 44 44 48 49

A Medición A.0.1 A.0.2 A.0.3 A.0.4 A.0.5 A.0.6 A.0.7 A.0.8 A.0.9 A.0.10 A.0.11 A.0.12 A.0.13 A.0.14

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Medidas de Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas de Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas de Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uso común: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para peso de la plata: . . . . . . . . . . . . . . . . . Para peso del oro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para usos medicinales: . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas de Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para liquidos se usaba el cuartillo que contiene 0.991347 libras de agua (0.456264 litros). . . . . . . . . . . . . Para medir los "aridos" se usaba la fanega que es igual a7200 pulgadas cúbicas. . . . . . . . . . . . . . Para medir granos se usaba: . . . . . . . . . . . . . . Medidas de Mananteales y Mercedes de Agua . . . . Medidas de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las monedas de oro tenian las siguientes denominaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 52 52 52 52 52 53 53 53 53 53 53 54 54

Contents

References

v

55

Contents

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INTRODUCCION

La palabra trigonometría significó originalmente medición de triángulos. Como tal se empiezó estableciendo relaciones entre los ángulos, lados y área de un triángulo y en particular definiendo lo que se llamaron las razones trigonométricas, esto es las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante además de senver y cosver que están prcticamente olvidadas (ver el problema (2.1, p.5)). Aunque los conceptos son anteriores los nombres de las funciones trigonométricas y sus abreviaturas se introdujeron en los siglos XVI y XVII. Sin embargo no es hasta que Euler publica en 1748 su obra Introductio in Anasysim Infinitorum que la trigonometría pasa a ser parte importante de las matemáticas. En un principio se definieron en función de los lados de un triángulo rectángulo y por lo tanto los ángulos que se usaban eran menores que un ángulo recto. Posteriormente se vio la necesidad de dar definiciones que no estuvieran restringidas a que los ángulos fueran agudos y además se desarrollaron una gran cantidad de relaciones e identidades que son de gran valor en muchas otras ramas de la matemática. Los conocimientos de trigonometría que necesitan los estudiantes para los cursos más avanzados, como son calculo y ecuaciones diferenciales, se centran en la habilidad de poder manipular las identidades trigonométricas. Por esto se toman un número muy reducido de estas propiedades básicas, ver (2.2.8, p. 8), las cuales se usaran como axiomas para deducir todas las otras identidades que son necesarias posteriormente. Para lograr esto lo único adicional que necesitamos es un conocimiento sólido de los números reales. Esto sirve tanto para practicar la manipulación de las identidades trigonométricas, como para poder dar un ejemplo elemental de cómo se puede hacer una teoría matemática reduciéndola a unos cuantos axiomas. Las otras funciones trigonométricas se definen en función del seno y del coseno y por lo tanto no se necesitan otras propiedades para dar todas las identidades trigonométricas. En el capítulo 4 se darán los algoritmos para el calculo de las funciones trigonométricas y de sus inversas. Además para estudiar de las funciones trigonométricas en el cálculo diferencial e integral necesitamos un resultado adicional que es el teorema (4.4.2, p. 34), con su ayuda se desarrollará esta teoría en el capítulo ??. Por lo tanto no se necesita la relación de las funciones trigonométricas con los triángulos rectángulos. Sin embargo una presentación de las funciones trigonométricas no estaría completa sin estudiar su relación con las propiedades de los triángulos. Este estudio se hará en el capítulo ??, donde siguiendo el método anterior se demuestran unas cuantas propiedades, ver teorema (??.3.1, p. 19), para ser usados como axiomas para deducir todos los demás teoremas. Los requisitos para estudiar estas notas son:

ii

Contents

• Algún curso elemental de geometría que incluya: igualdad de triángulos, triángulos semejantes, medida de ángulos (grados, radianes y conversión de un sistema a otro), áreas de triángulos y círculos. • Familiaridad con los números reales que incluya: propiedades algebraicas suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas; desigualdades, valores absolutos. Cada capítulo contiene todo el material básico necesario para el estudio de la trigonometría . Sin embargo para que el lector tenga acceso a un material más extenso en la última sección de cada capítulo se encuentran una extensa serie de ejercicios, agrupados según las secciones de cada capítulo. Su número es mayor que lo que se puede hacer en un curso normal, sin embargo se encuentran ahí en parte como referencia y para poder tener una lista de donde seleccionar problemas. Ademas de servir como referencia de resultados de la teoría de las funciones trigonométricas. Las secciones marcadas con un asterisco se pueden omitir en una primera lectura.

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1 Trigonometría

La palabra trigonometría significó originalmente medición de triángulos. Como tal se empiezó estableciendo relaciones entre los ángulos, lados y área de un triángulo y en particular definiendo lo que se llamaron las razones trigonométricas, esto es las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante además de senver y cosver que están prcticamente olvidadas (ver el problema (2.1, p.5)). Aunque los conceptos son anteriores los nombres de las funciones trigonométricas y sus abreviaturas se introdujeron en los siglos XVI y XVII. Sin embargo no es hasta que Euler publica en 1748 su obra Introductio in Anasysim Infinitorum que la trigonometría pasa a ser parte importante de las matemáticas. En un principio se definieron en función de los lados de un triángulo rectángulo y por lo tanto los ángulos que se usaban eran menores que un ángulo recto. Posteriormente se vio la necesidad de dar definiciones que no estuvieran restringidas a que los ángulos fueran agudos y además se desarrollaron una gran cantidad de relaciones e identidades que son de gran valor en muchas otras ramas de la matemática. Un área importante de la geometría es la que nos permite hacer cálculos. El estudio de la trigonometría fue la primera teoría que permitió hacer cálculos de una forma sistemática. Aunque las trigonometría permite hacer cálculos en una gran variedad de objetos geométricos, en estas notas nos centraremos en el caso de triángulos. Un triángulo queda determinado por seis elementos geométricos, tres ángulos y tres lados. Los teoremas de congruencia de triángulos nos dicen que tres de esos elementos (que incluyen al menos un lado) generalmente

2

1. Trigonometría

FIGURE 1.1.

determinan al triángulo. Sin embargo no nos dicen como encontrar los elementos faltantes.

1.1 Medidas de Segmentos y Angulos 1.2 Triángulos Rectángulos El estudio de la trigonometría empieza atacando este problema para el caso de los triángulos rectángulos. En este caso solo se necesitan dos de los elementos y siempre determinan al triángulo. La idea básica es que dos triángulos rectángulos son semejantes sii tienen igual uno de sus ángulos (distintos al ángulo recto). Dado un ángulo θ positivo y menor que 90o , entonces podemos tomar cualquier triángulo rectángulo ∆ABC tal que ∡BAC = θ. Con ayuda de este triángulo definimos las siguientes funciones (que claramente no dependen del triángulo escogido). seno coseno tangente cotangente secante cosecante

sen : (0, 90o ) → R cos : (0, 90o ) → R tan : (0, 90o ) → R cot : (0, 90o ) → R sec : (0, 90o ) → R csc : (0, 90o ) → R

donde donde donde donde donde donde

sen(α) = ac cos(α) = bc tan(α) = ab cot(α) = ab sec(α) = cb csc(α) = ac

En cursos avanzados de matemáticas (como cálculo diferencial e integral) se estudia como calcular estas funciones y sus inversas. Daremos algunas de las propiedades básicas de las funciones trigonométricas. Teorema 1.1 Las funciones trigonométricas satisfacen las siguientes propiedades:

1.2 Triángulos Rectángulos

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i) Si α y β son ángulos complementarios, entonces sen α = cos β tan α = cot β sec α = csc β ii) Tenemos las siguientes identidades sen α · csc α cos α · sec α tan α · cot α tan α cot α sen2 α + cos2 α tan2 α + 1 cot2 α + 1

= 1 = 1 = 1 sen α = cos α cos α = sen α = 1 = sec2 α = csc2 α

(*) (**) (***)

Demostración: La mayoría de estas propiedades son directas de las definiciones. Otras se siguen del teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2 y obtenemos a2 b2 + c2 c2 2 2 sen α + cos α

= 1 = 1

además a2 c2 + 1 = b2 b2 2 tan α + 1 = sec2 α 

1.2.1 Funciones Trigonométricas Es importante estudiar el comportamiento de las funciones trigonométricas. Dado un ángulo α menor que un ángulo recto, entonces todos los triángulos rectángulos que tengan un de sus ángulos igual a α son semejantes; además siempre existe uno y podemos suponer que uno de los lados es de longitud igual a uno. Supongamos que la hipotenusa es de longitud igual a uno. Dado un ángulo α menor que un ángulo recto sea ∆ABC el triángulo rectángulo tal que ∡CAB = α, AB = 1. Sean a = BC y b = AC, en este caso sen α = a

4

1. Trigonometría

FIGURE 1.2.

y cos α = b. Como la hipotenusa (AB = 1) es mayor que los catetos a y b tenemos que sen α, cos α < 1. Por lo tanto tenemos que sen y cos : (0, 90o ) → (0, 1), además sec y csc : (0, 90o ) → (1, ∞). Empezaremos estudiando la función seno. Dado un segmento a de longitud menor que 1, entonces podemos construir un único triángulo ∆ABC rectángulos con hipotenusa 1 y uno de los catetos igual a a. Esto es la función seno es suprayectiva. Además cuando α1 > α2 , entonces a1 > a2 (demostrar esta afirmación) lo que implica que la función seno es una función inyectiva y creciente. Por lo tantos la función seno es biyectiva. Análogamente la función coseno es una función biyectiva, aunque en este caso es decreciente. Análogamente dado un segmento a, entonces podemos construir un único triángulo ∆ABC rectángulos con AC = 1 y BC = a, Esto es la función tangente es suprayectiva. Recordando que dado un ángulo α menor que un ángulo recto te ∆ABC el triángulo rectángulo tal que ∡CAB = α, AB = 1. Cuando α1 > α2 , entonces a1 > a2 y b1 < b2 (demostrar esta afirmación) lo que implica que la función tangente es una función inyectiva y creciente. Por lo tantos la función seno es biyectiva. Análogamente la función totangente es una función biyectiva, aunque en este caso es decreciente. Como sen α · csc α = 1, tenemos que la función cosecante es biyectiva y decreciente. Análogamente la función secante es biyectiva y creciente. Un problema que la humanidad trabajo durante muchos siglos es el de evaluar explícitamente las funciones trigonométricas y sus inversas. Para esto se calcularon muchas tablas (con más o menos cifras decimales) como la que tenemos en la página ¿?; actualmente las calculadoras hicieron obsoletas estas tablas. Nosotros supondremos que el lector tiene acceso a una de

1.2 Triángulos Rectángulos

5

estas calculadoras y que la sabe manejar en caso contrario es un ejercicio aprender a usar una calculadora.

1.2.2 Resolución de Triángulos Rectángulos Dado un triángulo rectángulo y dos de sus elementos (distintos del ángulo recto), uno de los cuales es un lado, entonces podemos encontrar los otros elementos del triángulo. Daremos las fórmulas para los distintos casos.

6

1. Trigonometría

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2 Funciones Trigonométricas

2.1 Las Funciones Trigonométricas 2.1.1 Definiciones Sean r una recta y S 1 un círculo de radio uno y centro O tales que L es tangente a S 1 en un punto U . Escogiendo la orientación de r de manera que la función E : r → S 1 que enreda la recta r en el círculo S1 dejando U fijo es tal que cuando los puntos de r se mueven en la dirección positiva los puntos correspondientes en S 1 se mueven en la dirección positiva, esto es, en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Dado un punto X en r podemos interpretar el segmento dirigido UX como la medida del ángulo ∡U OE(X), hay que notar que dos puntos de r tienen la misma imagen en círculo S si y solo si su distancia es un multiplo entero de 2π y por lo tanto para cada punto Q ∈ S 1 hay un número infinito de puntos de la recta r tales que bajo E van a Q. La trigonometría se basa en el estudio de la función E : r → S1 cuando se usa en el plano coordenadas cartesianas, tales que el S 1 tiene su centro en el origen y U es el punto de coordenadas (1, 0). Con estas convenciones las funciones seno y coseno no son más que la expresión en coordenadas de la función E. Podemos por tanto poner: E(x) = (cos x, sen x). El punto U lo podemos pensar como el origen de r y si escogemos otro puntoP en r entonces podemos identificar a la recta r con la recta real R de tal forma que U coincida con el cero de R y P con el uno. De esta forma definimos funciones de los reales a S 1 , dependiendo de la distancia de U a P se obtienen distintas formas de medir los ángulos. Si ρ es un punto

2

2. Funciones Trigonométricas

FIGURE 2.1.

de R tal que la distancia de U a ρ sea π/2 entonces ρ es la medida de un ángulo recto. Tomando P en distintas posiciones obtenemos las distintas maneras de medir ángulos. Si la distancia de U a P es uno (como en la figura) entonces esta medida es en radianes, si la distancia de U a P es π/180 entonces la medida es en grados. Como se ve de estos ejemplos es equivalente dar la distancia de U a P que dar la medida un ángulo recto. En estas notas se usara la medida en radianes al menos que se especifique otra cosa. Con esta identificación de los reales con la recta r vemos que dos reales x y y son tales que E(x) = E(y) si y solo si x − y = 4nρ con n entera. En la siguiente sección estudiaremos las propiedades elementales de las funciones trigonométricas que usaremos en la sección 2.2 para estudiar sus propiedades algebraicas. La propiedad más importante es la proposición 2.2 que toma en cuenta la estructura algebraica de los números reales.

2.1.2 Propiedades elementales En esta sección utilizaremos las expresiones de las funciones seno y coseno mencionadas anteriormente, para obtener la siguiente proposición. Proposición 2.1 Sea ρ la medida del ángulo recto, entonces las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes propiededes: i) Los valores de las funciones seno y coseno siempre está en el intervalo [−1, 1] esto es: sen, cos : R → [−1, 1]. ii) Se tiene la identidad: sen2 x + cos2 x = 1 iii) Las funciones seno y coseno son periódicas, con periodo 4ρ. Esto es sen(x + 4ρ) = sen x cos(x + 4ρ) = cos x

2.1 Las Funciones Trigonométricas

3

iv) Se tiene las igualdades: cos 0 = sen ρ = 1 sen(−ρ) = −1 sen 0 = cos ρ = cos(−ρ) = 0 v) Se tiene las identidades: sen(−x) = − sen x cos(−x) = cos x Demostración: La propiedad i) es inmediata.La condición de que el círculo es de radio uno se traduce en la identidad: sen2 x + cos2 x = 1 que nos da ii). Como el dar una vuelta al círculo coresponde a un ángulo de 4ρ se tiene que las funciones son periódicas, con periodo 4ρ. Esto es: sen(x + 4ρ) = sen x y cos(x + 4ρ) = cos x y se obtiene iii). Dado que los valores de E en los puntos 0, ρ y −ρ son los puntos U , A y B obtenemos: sen 0 = 0, cos 0 = 1, sen ρ = 1, cos ρ = 0, sen(−ρ) = −1 y cos(−ρ) = 0 que es la propiedad iv). La función E manda puntos simétricos respecto al cero de R en puntos simétricos respecto del eje de las equis, que no es más que la definición de los ángulos negativos. Las fórmulas que obtenemos son: sen(−x) = − sen x, cos(−x) = cos x. Sin embargo, la propiedad más importante es la que toma en cuenta la estructura algebraica (aditiva) de los números reales. Sean x, y dos números reales, entonces podemos interpretar x − y como la distancia del punto x al punto y. Tenemos, por lo tanto, que la distancia de E(x) a E(y) es la misma que la distancia de E(x − y) a U = E(0), de aquí obtenemos la propiedad vi), que como veremos en el capítulo II, es la base para estudiar todas las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas.

x π/2 y 1

E(x)

x-y E(x-y)

E(y)

O

E(0)

0

R

O

R

Proposición 2.2 Para todos los números reales x y y se tiene la identidad siguiente: cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y

4

2. Funciones Trigonométricas

Demostración: Se tiene: E(x) = (cos x, sen x), E(y) = (cos y, sen y), E(x − y) = (cos(x − y), sen(x − y)) y E(0) = (1, 0) igualando las distancias al cuadrado entre E(x) y E(y) y entre E(x − y) y E(0), se tiene (cos x − cos y)2 + (sen x − sen y)2 = (cos(x − y) − 1)2 + sen(x − y)2 usando la identidad 2.1 ii) obtenemos el resultado buscado. La trigonometría es una herramienta muy útil, no solo, en el estudio de la geometría sino también en muchas otras de las ramas de las matemáticas. Por esta razón enunciaremos los resultados más impotantes. Teorema 2.3 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes propiedades: i) Si x y y son complementarios, entonces sen x = cos y. ii) cos(−x) = cos x y sen(−x) = − sen x. iii) cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y iv) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y. v) sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y. vi) sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y. Demostración: El siguiente teorema, es un resumen de las identidades trigonométricas (en la que intervienen los senos cosenos únicamente) más importantes. Teorema 2.4 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes identidades: sen2 x i) 2 sen2 x2 = 1 − cos x = 1+cos x 2

sen x ii) 2 cos2 x2 = 1 + cos x = 1−cos x x+y vi) sen x + sen y = 2 sen( 2 ) cos( x−y 2 ) x−y vii) sen x − sen y = 2 cos( x+y ) sen( 2 2 ) x+y x−y viii) cos x + cos y = 2 cos( 2 ) cos( 2 ) x−y ix) cos x − cos y = −2 sen( x+y 2 ) sen( 2 )

Demostración:  Como las otras funciones trigonométricas tienen a la función seno o la función coseno en el denominador es importante saber donde se anulan las funciones seno y coseno. Esta información la encontramos en la siguiente proposición. Proposición 2.5 La función seno se anula en el conjunto Z(S) = 180 · Z. La función coseno se anula en el conjunto Z(C) = 180 · Z + 90. Esto es Z(S) = sen−1 (0) = {x ∈ R : sen x = 0} y Z(C) = cos−1 (0) = {x ∈ R : cos x = 0} Demostración: Claramente los puntos de S 1 donde se anula la ordenada son U = (1, 0) y (−1, 0) que corresponden a los ángulos cero y 180o y a

2.1 Las Funciones Trigonométricas

5

S

N B

T P

M

O

K

L

A

FIGURE 2.2.

cualquier otro que difiera de estos en un multiplo entero de 360o . Analogamente los puntos de S 1 donde se anula la abscisa son A y B que corresponden a los ángulos 90 y 270o y a cualquier otro que difiera de estos en un multiplo entero de 360o .  Definición 2.6 Definimos las funciones: x La función tangente: tan : R − Z(C) → R, tan(x) = sen cos x cos x La función cotangente: cot : R − Z(S) → R, tan(x) = sen x La función secante: sec : R − Z(C) → R, sec(x) = cos1 x La función cosecante: csc : R − Z(S) → R, csc(x) = sen1 x Teorema 2.7 i) tan(−x) = − tan x y cot(−x) = − cot x x sen x ii) tan x2 = 1−cos = 1+cos sen x x iii) tan(−x) = − tan x y cot(−x) = − cot x x sen x iv) tan x2 = 1−cos sen x = 1+cos x tan x+tan y v) tan(x + y) = 1−tan x tan y vi) tan2 x + 1 = sec2 x Demostración:

2.1.3 Problemas Sea C un círculo de radio uno y ∡AOB = ρ, P un punto del primer cuadrante. Trácense P M y P N perpendiculares a OA y OB respectivamente, ademas AT y BS son tangentes a C. Problema 1 Demostrar que: sen ∡AOP = P M , cos ∡AOP = P L, tan ∡AOP = AT , cot ∡AOP = BS, sec ∡AOP = OT , csc ∡AOP = OS, senv ∡AOP = P K y cosv ∡AOP = P N , donde senv es la función seno verso y cosv es la función coseno verso estas dos últimas ya casi no se usan.

6

2. Funciones Trigonométricas

Los nombres de las funciones trigonométricas vienen de la interpretación de estas en la figura anterior. Los siguientes problemas sirven tanto para practicar el uso de las identidades anteriores como para estudiar nuevas identidades. Problema 2 Demostrar las identidades del teorema 2.4,usando únicamente las identidades del teorema 2.3. Problema 3 sen 2x = 2 sen x cos x Problema 4 cos 2x = cos2 x − sen2 x Problema 5 sen 3x = 3 sen x cos2 x − sen3 x = 3 sen x − 4 sen3 x Problema 6 sen 3x = 4 sen x sen(600 + x) sen(60o − x) Problema 7 cos 3x = cos3 x − 3 sen2 x cos x = 4 cos3 x − 3 cos x Problema 8 sec(−x) = sec x y csc(−x) = − csc x Problema 9 tan2 x + 1 = sec2 x Problema 10 1 + cot2 x = csc2 x Problema 11 sen α =

2 tan α 2 1+tan2 α 2

.

Problema 12 cos α =

1−tan2 1+tan2

α 2 α 2

.

Problema 13 tan α =

2 tan α 2 1−tan2 α 2

Problema 14

tan x+tan y cot x+cot y

= tan x tan y

Problema 15 Demostrar que las funciones trigonométricas son periódicas de periodo 360o . Para los siguiente problemas se necesita hacer uso del hecho de que las funciones trigonométricas son positivas en el intervalo [0, ρ] (ver la proposición [??.4.4;35]). Problema 16 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los valores 4ρ, 2ρ, 2ρ/3, 4ρ/3, ρ/2, 2ρ + x, 2ρ − x. Problema 17 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo ρ4 . Problema 18 Usando que cos

ρ 6

=

√

3+1 √ . 2 2

ρ 6

=

ρ 2

−

ρ 3

encontrar que sen

ρ 6

=

√ 3−1 √ 2 2

y que

2.1 Las Funciones Trigonométricas

7

P

α θ O

FIGURE 2.3. 3ρ Problema 19 Usando que 2ρ 5 = ρ − 5 y el problema [7;6] encontrar que √ √ √ 5 sen ρ5 = 5−1 y que cos ρ5 = 10+2 . 4 4

Problema 20 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del o ángulo 452 . Problema 21 Usando que 15o = 45o − 30o encontrar que sen 15o =

y que cos 15o =

√

√ 3−1 √ 2 2

3+1 √ . 2 2

Problema 22 Usar el problema anterior para dar una construcción, usando regla y compás, de un pentágono regular. Problema 23 Para todo entero positivo n tenemos las identidades: sen((θn/2) cos θ + cos 2θ + ... + cos nθ = cos(θ(n+1)/2) sen(θ/2) sen((θn/2) sen θ + sen 2θ + ... + sen nθ = sen(θ(n+1)/2) sen(θ/2) (sugerencia: usar las siguientes identidades: sen(θ(2i + 1)/2) − sen(θ(2i − 1)/2) = 2 cos(iθ) sen(θ/2) cos(θ(2i + 1)/2) − cos(θ(2i − 1)/2) = −2 sen(iθ) sen(θ/2))

En los siguientes problemas se estudiara la relación de las coordenadas cartesianas y polares y con la ayuda de las identidades básicas para dar las fórmulas de rotación de ejes coordenados. Si O es el origen y P es un punto en el plano cartesiano entonces. Problema 24 Si (x, y) son las coordenadas cartesianas de P y (r, α) son las coordenadas polares de P entonces: x = r cos α y

= r sen α

8

2. Funciones Trigonométricas

Problema 25 Si se tienen otros ejes coordenados que forman un ángulo θ con los ejes originales y (x′ , y ′ ) son las coordenadas cartesianas de P y (r, α′ ) son las coordenadas polares de P entonces: α′ x′ y′

= α−θ = cos θ x + sen θ y = − sen θ x + cos θ y

2.1.4 Problemas. Los siguientes problemas sirven tanto para practicar el uso de las identidades anteriores como para estudiar nuevas identidades.

2.2 Presentación axiomática 2.2.1 Definiciones y axiomas Esta sección contiene todos las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas y por lo tanto se puede ver como un curso corto, pero completo, de las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas. La presentación que daremos es semejante a la presentada en [McShane, ??], aunque ese trabajo tiene un error al demostrar que sen(−x) = − sen x. Basaremos el estudio algebraico de las funciones trigonométricas en las siguientes propiedades, las que tomaremos como axiomas de las funciones seno y coseno. Estas propiedades fueron probadas en las secciones anteriores. Axioma 2.8 Las funciones seno y coseno satisfacen los siguientes axiomas. A1) Las funciones seno y coseno tienen como dominio y contradominio a los números reales, esto es: sen, cos : R → R A2) Existe un número real ρ > 0 tal que sen ρ = 1, ademas cos 0 = 1 A3) Para todos los números reales x y y se tiene la identidad siguiente: cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y Todas las otras propiedades algebraicas se pueden demostrar a partir de estas tres, lo que significa que estas tres propiedades pueden considerarse los axiomas algebraicos de las funciones trigonométricas. Diremos que ρ es la medida de un ángulo recto.

2.2.2 Propiedades basicas Lo primero que haremos es definir las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante como los cocientes o inversas multiplicativas del seno y

2.2 Presentación axiomática

9

del coseno. Como la funciones seno y coseno tienen puntos donde se anulan se sigue que los dominios de las restantes funciones trigonométricas no son los números reales sino subconjuntos propios.

Definición 2.9 Sean los conjuntos Z(S) = sen−1 (0) = {x ∈ R : sen x = 0} y Z(C) = cos−1 (0) = {x ∈ R : cos x = 0}, definimos: x La función tangente: tan : R − Z(C) → R, tan(x) = sen cos x cos x La función cotangente: cot : R − Z(S) → R, tan(x) = sen x La función secante: sec : R − Z(C) → R, sec(x) = cos1 x La función cosecante: csc : R − Z(S) → R, csc(x) = sen1 x En todas las expresiones algebraicas que siguen si se entenderá que los ángulos usados son tales que no se anulan los denominadores. Con ayuda de estos axiomas podemos demostrar el siguiente teorema, el que nos da las identidades basicas para el estudio de las identidades algebraicas de las funciones trigomométricas. Recordemos que dos ángulos son complementarios cuando su suma es igual a ρ.

Teorema 2.10 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes propiedades: i) sen2 x + cos2 x = 1 ii) sen(R) ⊂ [−1, 1] y cos(R) ⊂ [−1, 1] ii) cos ρ = 0 y sen 0 = 0 iv) Si x y y son complementarios, entonces sen x = cos y. v) cos(−x) = cos x y sen(−x) = − sen x. vi) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y. vii) sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y. viii) sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y.

Demostración: Si en A3) tomamos x = y, obtenemos i). Que a su vez implica ii). Usando i) y A2) se tiene iii). Para demostrar iv) como x = ρ − y, se tiene cos x = cos ρ cos y + sen ρ sen y = sen y. Como cos(−x) = cos(0−x) = cos x por lo tanto cos(−ρ) = 0 y sen(−ρ) = σ = ±1, de lo que obtenemos: sen(−x) = cos(x−(−ρ)) = σ sen x y cos(x+y) = cos x cos y+σ sen x sen y además ρ/2 es complementario a si mismo por lo que i) y iv) implican: cos(ρ/2) = sen(ρ/2) = δ con 2δ 2 = 1, cos(ρ) = cos(ρ/2 + ρ/2) = δ 2 + σδ 2 = 0 y por lo tanto σ = −1. Lo que demuestra v) y vi). La demostración de vii) y viii) es como sigue. sen(x − y) = cos((ρ − x) + y) = cos(ρ − x) cos y − sen(ρ − x) sen y sen(x + y) = sen(x − (−y)) = sen x cos y + cos x sen y.

10

2. Funciones Trigonométricas

2.2.3 Identidades trigonométricas Con ayuda de las propiedades estudiadas en las secciones anteriores demostraremos el siguiente teorema, el cual es un resumen de las identidades trigonométricas más importantes. Teorema 2.11 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes identidades: sen2 x i) 2 sen2 x2 = 1 − cos x = 1+cos x 2

sen x ii) 2 cos2 x2 = 1 + cos x = 1−cos x iii) tan(−x) = − tan x y cot(−x) = − cot x x sen x iv) tan x2 = 1−cos sen x = 1+cos x tan x+tan y v) tan(x + y) = 1−tan x tan y

x−y  vi) sen x + sen y = 2 sen x+y 2 cos
2 
x+y vii) sen x − sen y = 2 cos 2 sen x−y

2  viii) cos x + cos y = 2 cos x+y cos x−y 2 2 

x−y ix) cos x − cos y = −2 sen x+y sen 2 2

Demostración: Las propiedades i) y ii) se demuestran viendo que: x x x + = cos2 − sen2 2 2 2 2 x x = 2 cos2 − 1 = 1 − 2 sen2 2 2 La propiedad iii) se obtiene como sigue: cos x = cos

tan

x

sen x/2 2 sen x/2 cos x/2 sen x x = = = 2 cos x/2 2 cos2 x/2 1 + cos x

Además para demuestrar iv) tenemos: tan(x + y) =

sen(x + y) sen x cos y + cos x sen y = cos(x + y) cos x cos y − sen x sen y

Las últimas cuatro propiedades se demuestran en forma semejante y por esto solo daremos la demostración de v). Definimos A y B por las igualdades x = A+B y = A−B y obtenemos A = (x + y)/2 B = (x − y)/2 y por lo tanto: sen x + sen y = sen(A + B) + sen(A − B) = 2 sen A cos B

2.3 Aplicaciones

11

2.3 Aplicaciones En esta sección daremos algunas aplicaciones donde solo se utilizan las identidades algebraicas de las funciones trigonométricas.

2.3.1 Números complejos Hay una relación muy estrecha entre las funciones trigonométricas y los números complejos. En esta sección daremos una introducción a este tema. Si identificamos R2 con los números complejos C, la función E : R → R2 nos da la función , e : R → C que tiene la forma e(θ) = cos θ + i sen θ y que satisface las propiedades de la siguiente proposición. Proposition 2.12 La función e satisface las propiedades siguientes:

e(θ + ϕ) e(0) e(−θ) |e(θ)|

= = = =

e(θ)e(ϕ) 1 e(θ) = e(θ)−1 1

más aun si n ∈ N, entonces e(nθ) = e(θ)n . Demostración: Esta proposición es equivalente a las identidades basicas del teorema (2.10, p. 9). Con ayuda de esta función podemos estudiar las propiedades de las funciones trigonométricas con ayuda de las identidades siguientes: sen θ

=

cos θ

=

e(θ) − e(−θ) 2i e(θ) + e(−θ) 2

usaremos lo anterior para demostrar algunas de las propiedades de las funciones trigonométricas. Teorema 2.13 Tenemos las siguientes identidades: i) Se tiene que sen2 θ + cos2 θ = 1. ii) 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ. iii) 2 sen2 θ = 1 − cos 2θ. iv) 4 cos3 θ = cos 3θ + cos θ. v) 4 sen3 θ = − sen 3θ + 3 sen θ.

12

2. Funciones Trigonométricas

Demostración: 2

2

sen θ + cos θ

=

2 cos2 θ

=

2 sen2 θ

=

4 cos3 θ

=

4 sen3 θ

=



  2 e(θ) − e(−θ) 2 e(θ) + e(−θ) 1 1 + = + =1 2i 2 2 2  2 e(θ) + e(−θ) e(2θ) + e(−2θ) 2 = + 1 = 1 + cos 2θ 2 2  2 e(2θ) + e(−2θ) e(θ) − e(−θ) =− + 1 = 1 − cos 2θ 2i 2  3 e(θ) + e(−θ) e(3θ) + e(−3θ) e(θ) + e(−θ) = +3 = cos 3θ + 3 cos θ 2 2 2  3 e(θ) − e(−θ) e(3θ) − e(−3θ) e(θ) − e(−θ) =− +3 = sen 3θ + sen θ 2i 2i 2i

2.3.2 Triángulos Rectángulos En esta sección daremos fórmulas que nos dan todos los triángulos rectángulos cuyos lados son enteros. Identificaremos al círculo unitario con S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}, pero también lo identificaremos con S1 = {E(θ) : θ ∈ R}. Sean A = (1, 0), D = (−1, 0). Primero definiremos las siguentes funciones.  

La función N : R2 − O → S1 , donde N (x, y) = √ 2x 2 , √ 2y 2 , x +y x +y −−→ 1 si B ∈ S entonces N manda el rayo OB en el punto B. Si el triángulo ∆P QR es rectángulo, con lados enteros, tenemos que p2 +q 2 = r2 , entonces las coordenadas del punto N (p, q) son racionales. Inversamente si un punto (x, y) ∈ S 1 tiene coordenadas racionales, entonces como x = pr y y = pr , entonces existe un triángulo ∆P QR es rectángulo de lados p, q y r. La función D : S 1 → S 1 , donde D(E(θ)) = D(E(2θ)), esto es D duplica el ángulo que define a un complejo, esto es D(x, y) = (x2 − y 2 , 2xy). La función F = D ◦ N . El siguiente teorema es el resultado básico. Teorema 2.14 Con las definiciones anteriores tenemos las propiedades:  2 2 2xy i) F (x, y) = xx2 −y , . +y 2 x2 +y 2

ii) Si (x, y) ∈ Q2 − O, entonces las coordenadas del punto F (x, y) son racionales. iii) Si C ∈ S 1 tiene coordenadas racionales, entonces existe un punto P = (x, y) ∈ Z2 − O tal que D(P ) = Q. Demostración: La propiedad i) es un cálculo directo y ii) es inmediato. Sea C = (c, s) ∈ S 1 , entonces existe un ángulo θ tal que C = E(2θ) y sea B = E(θ). Entonces 2 · ∠ODC = ∠AOC, por lo tanto G = (1 + c, s) está en el rayo OB y por lo tanto F (G) = C y además las coordenadas de G son racionales sii las coordenadas de C son racionales. En este caso hay un punto P en el rayo OB y P = (x, y) ∈ Z2 .

2.3 Aplicaciones

13

P C G B

θ θ

θ

D

A O

Corolario 2.15 Dados dos enteros (n, m) con n > m, entonces a = n2 − m2 , b = 2mn y c = n2 + m2 son los lados de un triángulo rectángulo. Problema 26 Dados dos enteros (n, m) tales que a = n2 − m2 , b = 2mn y c = n2 + m2 son enteros relativamente primos. Entonces n y m son relativamente primos y no son ambos impares. Problema 27 Dado un triángulo ∆ABC rectángulo (C = 90o ), sean c = λ2 , A = 2θ, u = λ cos θ y v = λ sen θ. Entonces se tienen las fórmulas: a = u2 − v2 , b = 2uv y c = u2 + v 2 . Problema 28 Si C = (c, s) ∈ S 1 y G = (1 + c, s), demostrar directamente que F (G) = C.

2.3.3 Problemas Problema 1 Demostrar que:  n/2
    Σ k cos((2k − n)θ) k=0 n 2n−1 cosn θ = n/2

    Σ nk cos((2k − n)θ) + n/2 n k=0

n non n par

Problema 2 Demostrar que:  n/2
    Σ (−1)k nk sen((2k − n)θ) k=0 2n−1 senn θ = n/2

    Σ (−1)k nk sen((2k − n)θ) + (−1)n/2 n/2 n k=0

n non n par

2.3.4 Identidades asociadas a los ángulos de un triángulo∗

Como en muchas aplicaciones a la geometría los ángulos que se usan son los de un triángulo, las identidades donde aparecen ángulos A, B y C positivos y tales que A + B + C = 2ρ son muy importantes. Nosotros solo supondremos que A + B + C = 2ρ y no que son ángulos positivos.

14

2. Funciones Trigonométricas

Daremos solo un par de ejemplos para dar las ideas principales de cómo usar la hipótesis. Nos referiremos a los problemas del final del capítulo para muchos otros resultados. Proposición 2.16 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = 2ρ entonces A B C sen A + sen B + sen C = 4 cos cos cos . 2 2 2 Demostración: Como 10) (5) y (6) obtenemos: sen A + sen B + sen C

A+B 2

y

C 2

son complementarios usando (2.2.3, p.

A+B A−B C C cos + 2 sen cos 2 2 2 2 C A−B A+B = 2 cos (cos + cos ) 2 2 2 A B C = 4 cos cos cos 2 2 2 = 2 sen

Si utilizamos algunas substituciones de ángulos que por lado preserven el hecho que la suma de los ángulos sea dos rectos y por otro tengamos alguna identidad que relacione el ángulo original con el final podemos de una identidad se pueden deducir muchas otras. Veremos un par de ejemplos. Proposición 2.17 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = 2ρ entonces sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C Demostración: Si α = 2ρ − 2A, β = 2ρ − 2B y γ = 2ρ − 2C entonces α + β + γ = 6ρ − 4ρ = 2ρ, además sen α = sen 2A y cos α2 = sen A. Usando el resultado de la proposición anterior obtenemos el resultado. Proposición 2.18 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = 2ρ entonces

cos

A B C 2ρ − A 2ρ − B 2ρ − C + cos + cos = 4 cos cos cos 2 2 2 4 4 4

Demostración: Si α = ρ − A2 , β = ρ − B2 y γ = ρ − C2 entonces α + β + γ = 3ρ − ρ = 2ρ, además sen α = cos A2 y cos α2 = cos 2ρ−A 4 . Usando el resultado de la primera proposición obtenemos el resultado. Proposición 2.19 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = 2ρ entonces

2.3 Aplicaciones

cos

15

A B C 2ρ + A 2ρ + B 2ρ − C + cos − cos = 4 cos cos cos 2 2 2 4 4 4

B+2ρ Demostración: Si α = A+2ρ y γ = C−2ρ entonces α+β+γ = 2 ,β = 2 2 A ρ + ρ = 2ρ, además sen α = cos 2 y sen γ = − cos C2 . Usando el resultado de la primera proposición obtenemos el resultado.

2.3.5 Problemas Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. La idea principal es que estos problemas sirvan como practica en la manipulación de las identidades trigonométricas. Pero también se pueden ver como un catalogo de identidades trigonométricas. Problema 1 Dado un ángulo α ∈ (0, ρ) y el valor de sen α encontrar el valor de las otras cinco funciones trigonométricas del ángulo α en función de sen α. Problema 2 Como en el problema anterior, dado un ángulo α ∈ (0, ρ) y el valor de de alguna de las funciones trigonométricas encontrar el valor de las otras cinco funciones trigonométricas del ángulo α en función del valor dado. Demostrar las siguientes identidades. Problema 3

tan2 α 1+tan2 α

+

cot2 α 1+cot2 α

Problema 4 sen(α + ρ2 ) = Problema 5 cos(α + ρ2 ) =

=

2−sen2 2α sen 2α

√ 2 2 (sen α + cos α). √ 2 2 (cos α − sen α).

Problema 6 sen(α + β) sen(α − β) = sen2 α − sen2 β. Problema 7 cos(α + β) cos(α − β) = cos2 α − sen2 β. Problema 8 cos(α + β) cos(α − β) = cos2 β − cos2 α. Problema 9 cos(α − β) − sen(α + β) = (cos α − sen α)(cos β − sen β). Problema 10 cos(α + β) + sen(α − β) = (cos α + sen α)(cos β − sen β). Problema 11

sen(α−β) cos α cos β

+

sen(β−γ) cos β cos γ

+

sen(γ−α) cos γ cos α

Problema 12

sen(α−β) sen α sen β

+

sen(β−γ) sen β sen γ

+

sen(γ−α) sen γ sen α

Problema 13 tan(α + β + γ) =

= 0. = 0.

tan α+tan β+tan γ−tan α tan β tan γ . 1−tan α tan β−tan β tan γ−tan γ tan α

16

2. Funciones Trigonométricas

Problema 14

sen α+sen β cos α+cos β

= tan( α+β 2 ).

Problema 15

sen α−sen β cos α+cos β

= tan( α−β ). 2

Problema 16

sen α+sen β cos α−cos β

= − cot( α−β ) 2

Problema 17

sen α−sen β cos α−cos β

= − cot( α+β 2 ).

En los siguientes problemas usaremos la definición s = α + β + γ. Problema 18 Demostrar que: sen s + sen(2α − s) + sen(2β − s) + sen(2γ − s) = 4 sen α cos β cos γ. Problema 19 Demostrar que: sen(s − 2γ) + sen(s − 2α) + sen(s − 2β) − sen s = 4 sen α sen β sen γ. Problema 20 Demostrar que: cos s + cos(2α − s) + cos(2β − s) + cos(2γ − s) = 4 cos α cos β cos γ Problema 21 Demostrar que: cos(s − 2γ) + cos(s − 2α) − cos(s − 2β) − cos s = 4 sen α cos β sen γ. Problema 22 Demostrar que: sen 2α + sen 2β + sen 2γ − sen 2s = 4 sen(α + β) sen(β + γ) sen(γ + α). Problema 23 Demostrar que: cos 2α + cos 2β + cos 2γ + cos 2s = 4 cos(α + β) cos(β + γ) cos(γ + α). Problema 24 Demostrar que: cos(α + β) sen(α − β) + cos(β + γ) sen(β − γ) = − cos(γ + δ) sen(γ − δ) − cos(δ + α) sen(δ − α) Problema 25 Demostrar que: tan(α − β) + tan(β − γ) + tan(γ − α) = tan(α − β) tan(β − γ) tan(γ − α). Problema 26 Demostrar que: β−γ γ−α sen(α − β) + sen(β − γ) + sen(γ − α) + 4 sen α−β 2 sen 2 sen 2 = 0. Problema 27 Demostrar que: cos2 (α−β)+cos2 (β −γ)+cos2 (γ −α) = 1+2 cos(α−β) cos(β −γ) cos(γ − α). En los siguientes problemas usar la igualdad A + B + C = 2ρ. Problema 28 sen A = sen(B + C). Problema 29 cos A = − cos(B + C). Problema 30 tan A = − tan(B + C). Problema 31 cot A = − cot(B + C).

2.3 Aplicaciones

17

Problema 32 sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C. Problema 33 sen 2A − sen 2B + sen 2C = 4 cos A sen B cos C. Problema 34 sen 2A + sen 2B − sen 2C = −4 sen A cos B cos C. Problema 35 cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C. Problema 36 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C. Problema 37 sen A + sen B + sen C = 4 cos A2 cos B2 cos C2 . Problema 38 sen A + sen B − sen C = 4 sen A2 sen B2 cos C2 . Problema 39 cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sen A2 sen B2 sen C2 . Problema 40 cos A − cos B + cos C = −1 + 4 cos A2 sen B2 cos C2 . Problema 41

sen A+sen B−sen C sen A+sen B+sen C

= tan A2 tan B2 .

Problema 42 tan A2 tan B2 + tan B2 tan C2 + tan C2 tan A2 = 1. Problema 43

1+cos A−cos B+cos C 1+cos A+cos B−cos C

= tan B2 cot C2 .

Problema 44 (cot A+cot B)(cot B+cot C)(cot C+cot A) = csc A csc B csc C Problema 45 cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C. Problema 46 cos2 2A + cos2 2B + cos2 2C = 1 + 2 cos 2A cos 2B cos 2C. Problema 47 sen2

A 2

+ sen2

B 2

+ sen2

Problema 48

cot A+cot B tan A+tan B

Problema 49

tan A+tan B+tan C (sen A+sen B+sen C)2

+

C 2

cot B+cot C tan B+tan C

=

= 1 − 2 sen A2 sen B2 sen C2 .

+

cot C+cot A tan C+tan A

B C tan A 2 tan 2 tan 2 2 cos A cos B cos C

= 1.

.

B+C C+A Problema 50 cos A2 + cos B2 + cos C2 = 4 cos A+B 4 cos 4 cos 4 . π−B π+C Problema 51 cos A2 − cos B2 + cos C2 = 4 cos π+A 4 cos 4 cos 4 . π−B π−C Problema 52 sen A2 + sen B2 + sen C2 = 1 + 4 sen π−A 4 sen 4 sen 4 .

18

2. Funciones Trigonométricas

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3 El Triángulo

3.1 Propiedades basicas En un triángulo△ ABC de lados a, b y c se tiene definidos los siguientes conceptos geométricos: a) R = Radio del círculo circunscrito b) Σ = Area del triángulo c) r = Radio del círculo inscrito d) ra , rb , rc = Radios de los círculos excritos e) s = a+b+c = Semiperímetro del triángulo 2 f ) Mediremos los ángulos en grados. Esto es que el ángulo recto mide 90o . Los cuales aparecen en el siguiente teorema fundamental. Los resultados de este teorema los usaremos como axiomas para el estudio de las relaciones entre las funciones trigonométricas y la geometría del triángulo. Estos axiomas son la base para demostrar todas las propiedades restantes, más aun cada uno de estos teoremas relacionan un concepto geométrico con las funciones trigonométricas. De hecho son los únicos resultados que demostraremos usando alguna propiedad geométrica, para todas las otras usaremos las identidades trigonométricas de la sección 2.2.2.

Teorema 3.1 (Fundamental de la Trigonometría)En todo triángulo se satisfacen las siguientes propiedades:

20

3. El Triángulo

T 1) T 2) T 3) T 4) T 5)

A + B + C = 180o 2R = sena A A Σ = bc sen 2 r tan(A/2) = s−a ra tan(A/2) = s

(ley de los senos)

Demostración: Para demostrar (T 2) en las figuras BA′ es un diámetro y por lo tanto los triángulos △A′ BC son rectángulos y ∡BAC = ∡BA′ C (o ∡BAC = 180o − ∡BA′ C) de lo anterior obtenemos: sen A = sen A′ = a BC BA′ = 2R .

C

A' A'

a

C

O

b O

A

b c

a c

A

B

B

Para demostrar (T 3) claramente la altura del triángulo es h = b sen A y bc sen A por lo tanto Σ = ch . 2 = 2

C

b

A

h

c

F

a

B

Para demostrar (T 4) sean X, Y y Z los puntos de contacto del círculo inscrito con los lados del triángulo. Como el centro del círculo inscrito está en la bisectriz de ∡BAC tenemos que A/2 = ∡IAZ y entonces tan(A/2) = r AZ pero: AY = AZ = x, BZ = BX = y, CX = CY = z de donde se obtiene que x + y + z = s, y + z = a y por lo tanto AZ = s − a.

3.2 Teoremas generales

21

Para demostrar (T 5) ver el problema (2, p. 23). C z z Y X r

x

I

r y

r A

x

Z

y

B

3.2 Teoremas generales Teorema 3.2 En el △ABC se tiene la igualdad: c = a cos B + b cos A Demostración: De la ley de los senos T 1, [(3.1;19], tenemos: c = 2R sen C = 2R sen(180o − A − B) = 2R sen(A + B) = a cos B + b cos A  Teorema 3.3 (Ley de los cosenos) En el △ABC se tiene la igualdad: c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Demostración: Por el teorema anterior tenemos a = c cos B + b cos C además c2

= c2 sen2 B + c2 cos2 B = b2 sen2 C + (a − b cos C)2 = a2 + b2 − 2ab cos C

 Teorema 3.4 (Ley de las Tangentes) En el △ABC se tiene la igualdad:
 tan A+B a+b 2
 = a−b tan A−B 2

22

3. El Triángulo 2R sen A+2R sen B a+b a−b = 2R sen A−2R sen B , por el A+B 2 sen( 2 ) cos( A−B a+b 2 ) = 2 cos( A+B A−B que implica a−b 2 ) sen( 2 )

Demostración: Por la ley de los senos, teorema (2.2.2.3, p. 10) tenemos que el teorema.

Teorema 3.5 En el △ABC se tiene las igualdades: S1) sen2 (A/2) = (s−b)(s−c) bc S2) cos2 (A/2) = s(s−a) bc S3) tan2 (A/2) = (s−b)(s−c) s(s−a) Demostración: Claramente la tercera igualdad es consecuencia de las otras dos. Como las dos primeras igualdades tiene una demostración semejante demostraremos únicamente la primera fórmula. Para esto se usa la ley de los cosenos y las identidades siguientes: b2 + c2 − a2 2bc a2 − (b − c)2 (a + b − c)(a + c − b) = 2bc 2bc 4(s − b)(s − c) 2bc

2 sen2 (A/2) = 1 − cos A = 1 − = = 

Teorema 3.6 En el △ABC se tiene las expresiones para calcular el área de un triángulo.  Σ1) Σ = s(s − a)(s − b)(s − c) Σ2) Σ = rs Σ3) Σ = abc/4R Σ4) Σ = 2R2 sen A sen B sen C Demostración:Usando el teorema anterior vemos que: 2 2 2 C = a2 b2 sen2 (C/2) cos2 (C/2) = s(s − a)(s − b)(s − c) Σ2 = a b sen 4 Usando la ley de los senos obtenemos: C 2 Σ = ab sen = abc 2 4R = 2R sen A sen B sen C 2 (s−b)(s−c) r Usando tan2 (A/2) = (s−a) 2 = s(s−a) , obtenemos r2 s2 = s(s − a)(s − b)(s − c) = Σ2 

3.2.1 Problemas Problema 1 Dado un triángulo ∆ABCD,sean X, Y y Z los puntos de contacto del excírculo Ca con los lados del triángulo. Demostrar que AZ ′ =

3.2 Teoremas generales

23

AY ′ = s, BX ′ = BZ ′ = s − a y CX ′ = CY ′ = s − b. Y' C

C O

X'

A

B

a

a

Z'

En los siguientes problemas se supone dado un triángulo ∆ABC. Problema 2 tan(A/2) =

ra s .

Problema 3 ∗ Si sen A = sen B, entonces A = B. Análogamente si cos A = cos B, entonces A = B. Problema 4

a+b a−b

=

cot( C 2 ) tan( A−B ) 2

Problema 5 Σ = ra (s − a) Problema 6 Σ2 = rra rb rc Problema 7 sΣ = ra rb rc Problema 8

1 r

=

1 ra

+

1 rb

+

1 rc

Problema 9 s2 = ra rb + rb rc + rcra Problema 10 r + 4R = ra + rb + rc Problema 11 2Σ = R(a cos A + b cos B + c cos C) Problema 12 Demostrar que: r = 4R sen A/2 sen B/2 sen C/2 = R(cos A + cos B + cos C − 1) Problema 13 Demostrar que: ra = 4R sen A/2 cos B/2 cos C/2 = R(− cos A + cos B + cos C + 1) Problema 14 Usar el problema 42, pag. 42 para demostrar el insiso Σ1) del teorema 3.6 (ver [1]). Problema 15 En un triángulo rectángulo ∆ABC tenemos que Σ = (s − a)(s − b).

24

3. El Triángulo

B

I

A

X

Y

C

FIGURE 3.1.

Problema 16 Dado un triángulo rectángulo ∆ABC y r su inradio. Estonces s − a = b − r o equivalentemente 2r = a + b − c. Demostrar que si a, b y c son enteros, entonces r es entero. Usando la notación del corolario [2.15;13] demostrar que r = m(m − n). Problema 17 Dado un entero N , demostra que existe un triángulo rectángulo ∆ABC, de lados enteros, tal que su inradio es igual a N . (Nota: usar el problema anterior). Problema 18 Demostrar que dados a, b y c entonces existe 2 los2 segmentos −c2 < 1 (notar que no suponemos un triángulo con lados a, b y c sii a +b 2ab que los segmentos están ordenados de ninguna forma). Problema 19 Usar la fórmula

  16Σ2 = (a + b)2 − c2 c2 − (a − b)2

para demostrar que de todos los triángulos, que tienen la misma base c y el mismo perímetro, el isósceles es el que tiene área máxima. (Sugerencia: usar el teorema ??, pág ??). Problema 20 Demostrar la fórmula 16Σ2 = P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c) donde P = 2s es el perímetro. Usarla para demostrar que de todos los triángulos, que tienen el mismo perímetro, el equilátero es el que tiene área máxima. (Sugerencia: usar el teorema ??, pág ??). Problema 21 Demostrar que podemos construir un ángulo sii podemos construir su coseno. Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. Idea principal es que estos problemas sirvan como practica en la manipulación de las identidades trigonométricas. Pero también se pueden ver como un catalogo de propiedades del triángulo. En todo triángulo se tienen las siguientes identidades.

3.2 Teoremas generales

Problema 22 (a2 − b2 ) cot C + (b2 − c2 ) cot C + (c2 − a2 ) cot C = 0. Problema 23 Demostrar que: a(sen B − sen C) + b(sen C − sen A) + c(sen A − sen B) = 0. Problema 24 2(ab cos C + bc cos A + ca cos B) = a2 + b2 + c2 . C 2

Problema 25 2(a sen2 Problema 26

cos2 a

A 2

Problema 27

b−c a

cos2

+ c sen2

cos2 b

+

A 2

B 2

+

A ) 2

+

cos2 c

c−a b

cos2

= a + c − b.

C 2

=

s2 . abc

+

a−b c

B 2

cos2

C 2

=0

Problema 28 a sen(B − C) + b sen(C − A) + c sen(A − B) = 0. Problema 29 cot A =

c−a cos B a sen B a2 −b2 c2 .

Problema 30

sen(A−B) sen(A+B)

Problema 31

c sen(A−B) b sen(C−A)

Problema 32

a2 sen(B−C) sen B+sen C

+

b2 sen(C−A) sen C+sen A

+

c2 sen(A−B) sen A+sen B

=0

Problema 33

a2 sen(B−C) sen A

+

b2 sen(C−A) sen B

+

c2 sen(A−B) sen C

=0

=

=

a2 −b2 . c2 −a2

Problema 34 b2 sen 2C + c2 sen 2B = Σ. Problema 35 b cos2

A 2

+ a cos2

B 2

= s.

Problema 36 b sen2

A 2

+ a sen2

B 2

= s − c.

Problema 37 s tan A2 tan B2 = s − c. Problema 38 Si tan θ = Problema 39 Si tan θ = Problema 40 Si sen θ = Problema 41

ra −r a

+

√ 2 ab a−b

sen C2 entonces c = (a − b) sec θ.

a+b C C a−b tan 2 entonces c = (a − b) cos 2 √ 2 bc cos A2 entonces a sec θ = b + c. b+c

rb −r b

=

c . rc

Problema 42 ra + rb = c cot C2 . Problema 43 (ra − r)(rb + rc ) = a2 . Problema 44 ra rb + rb rc + rc ra = s2 . Problema 45 r + ra + rb − rc = 4R cos C. Problema 46 a2 − b2 = 2Rc sen(A − B).

sec θ.

25

26

3. El Triángulo

Problema 47 (ra − r)(rb − r)(rc − r) = 4Rr2 . Problema 48 (ra + rb )(rb + rc )(rc + ra ) = 4R(ra rb + rb rc + rc ra ). Problema 49 ( 1r − Problema 50

a−b rc

1 1 ra )( r

+

b−c ra

− +

1 1 rb )( r c−a rb

−

1 rc )

=

4R r 2 s2 .

= 0. √ ra +rb +rc . ra rb +rb rc +rc ra

Problema 51 tan A2 + tan B2 + tan C2 =

Problema 52 4Σ(cot A + cot B + cot C) = a2 + b2 + c2 . Problema 53 a2 b2 c2 (sen 2A + sen 2B + sen 2C) = 32Σ3 . Problema 54 a cot A + b cot B + c cot C = 2(R + r). Problema 55 Demostrar que: (a + b) tan C2 + (b + c) tan A2 + (c + a) tan B2 = 4R(cos A + cos B + cos C). Problema 56 cos2 Problema 57

A 2

+ cos2

2

b2 sen B

a2 −b2 cos A+cos B

+

+

C 2

+ cos2

a sen A+b sen B+c sen C B C 4 cos A 2 cos 2 cos 2

a + Problema 58 ( sen A

Problema 59

B 2

=

=2+

r . 2R

a2 +b2 +c2 . 2s

c2 ) sen A2 sen C

b2 −c2 cos B+cos C

+

sen B2 sen C2 = Σ.

c2 −a2 cos C+cos A

=0

Problema 60 bc cot A2 + ca cot B2 + ab cot C2 = 4Rs2 ( a1 +

1 b

+

1 c

− 3s ).

3.3 Polígonos Cíclicos Teorema 3.7 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA su área está dada por la fórmula:   A+C Σ2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2 2 donde s es el semiperímetro. Demostración: Si ∆ = 4(ad + bc)2 − (a2 + d2 − b2 − c2 )2 encontraremos la siguiente identidad:

 ∆ = (a + d)2 − (b − c)2 ][(b + c)2 − (a − d)2 = (a + b + c − d)(a + b + d − c)(a + c + d − b)(b + c + d − a) = 16(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

3.3 Polígonos Cíclicos

27

usando T 3) y la ley de los cosenos en los triángulos △ABD y △BCD obtenemos las identidades siguientes: a2 + d2 − b2 − c2 = 2ad cos A − 2bc cos C 4Σ = 2ad sen A + 2bc sen C elevando al cuadrado y sumando obtenemos: 16Σ2 + (a2 + d2 − b2 − c2 )2

= 4(a2 d2 + b2 c2 ) − 8abcd cos(A + C) 1 + cos(A + C) = 4(ad + bc)2 − 16abcd 2

y por lo tanto 16Σ2 = ∆−16abcd 1+cos(A+C) y usando la identidad anterior 2 obtenemos el resultado buscado. Corolario 3.8 De todos los cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA el de área maxima es el cíclico y su área está dada por la fórmula: Σ2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) Teorema 3.9 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de diagonales x y y, que se cortan en un ángulo θ, entonces su área está dada por la fórmula: Σ=

xy sen θ 2

Demostración: En la siguiente figura tenemos que: Σ(ABC) = Σ(ABP ) + Σ(BP C) AP · P B sen(180o − θ) CP · P B sen θ = + 2 2 x · P B sen θ = 2 análogamente: Σ(CDA) =

Σ=

x·P D sen θ 2

y por lo tanto:

x · P B sen θ x · P D sen θ xy sen θ + = 2 2 2

28

3. El Triángulo

 C c

x

b

θ

D

P

d

y

B

a A

Nota: El resto de la sección se puede omitir en una primera lectura. Los teoremas anteriores nos dicen que el área de un cuadrángulo cíclico solo depende de las longitudes de sus lados y no del orden de los mismos; además el problema 3, pág. 29, demuestra que el radio del circuncírculo también solo depende de las longitudes de sus lados. Estas propiedades son compartidas por cualquier polígono convexo cíclico. El siguiente teorema dan la historia completa. Teorema 3.10 Dados n segmentos a1 ,. . . ,an (tales que el mayor de ellos es menor que la suma los demás segmentos), entonces existen un círculo C y un polígono P convexo A1 ...An inscrito en C y tal que ai = Ai Ai+1 . Además ni el radio del círculo C ni el área del polígono A1 ...An depende del orden de los segmentos. Demostración: Sea A1 A2 un segmento de longitud a1 , en su mediatriz tomamos un punto O y sea C el círculoque pasa por A1 , A2 y O. Sea σ el arco de C que contiene a O. Si la distancia de O al segmento A1 A2 es igual a a2 + ... + an entonces podemos tomar A2 ,..., An ∈ σ tale que ai = Ai Ai+1 para i = 2, ..., n. Cuando O se acerca al segmento A1 A2 el la longitud del arco σ se aproxima a A1 A2 tanto como queramos; por lo tanto en algún momento tendremos que An = A1 . Si el centro O de C es un punto interior de P, entonces los triángulos Ti = ∆OAi Ai+1 son tales que su área  αi y ángulo θ i,i+1 = ∡Ai OAi+1 n solo dependen del segmento ai ; además i=1 θ i,i+1 = 360o . Por lo tanto podemos ver a los los triángulos Ti como piezas de un rompe cabezas que podemos colocar en cualquier posición y obtener otro polígono cíclico con lados iguales, n aun que en otro orden obteniendo otros polígonos de la misma área α = i=1 αi , e inscritos en el mismo círculo C. Si el centro O de C no es un punto interior de P hay uno de los triángulos, que podemos suponer que es Tn tal que el lado An A1 separa al centro n−1 de los otros vértices A2 ,..., An−1 en este caso el área de P es α = i=1 αi − αn pero el resto del razonamiento es el mismo.

3.3 Polígonos Cíclicos

29

A4 A3 A5 A2 O

A1

A6

FIGURE 3.2.

A3

A2

A2

A4 A5

A3 θ 1,2 A1

A6

θ 1,2 A1

A4 A6

A5

Nota: Claramente el hecho de exista el polígono cíclico no implica que se pueda construir con regla y compás. Sin embargo existe una construcción para el caso de un cuadrángulo cíclico.

3.3.1 Problemas Problema 1 En un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA y diagonales x y y su área está dada por la fórmula: Σ2 = 4x2 y 2 − (a2 + d2 − b2 − c2 )2 Problema 2 Dados cuatro segmentos a, b, c y d existe un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA sii s − a, s − b, s − c, s − d son positivos (donde a+b+c+d ). En este caso existe un 2 cuadrilátero ciclico. Problema 3 Dado un cuadrilátero cíclico convexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA y diagonales x = AC y y = BD, inscrito

30

3. El Triángulo C

x

b

c y D

B

P

d

a A

FIGURE 3.3.

en un círculo de radio R demostrar que: x2

=

y2

=

(ad + bc)(ac + bd) ab + cd (ab + cd)(ac + bd) ad + bc 1  (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) 4Σ ac + bd (Teorema de Ptolomeo) ad + bc ab + cd

R = xy x y

= =

3.3.2 Problemas. Identidades trigonométricas en triángulos Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. Como en el capítulo 1 la idea principal es que estos problemas sirvan como practica en la manipulación de las identidades trigonométricas. Pero también se pueden ver como un catalogo de propiedades del triángulo. En todo triángulo ∆ABC se tienen las siguientes identidades. Problema 1 (a2 − b2 ) cot C + (b2 − c2 ) cot C + (c2 − a2 ) cot C = 0. Problema 2 a(sen B − sen C) + b(sen C − sen A) + c(sen A − sen B) = 0. Problema 3 2(ab cos C + bc cos A + ca cos B) = a2 + b2 + c2 . Problema 4 2(a sen2 2

C 2

+ c sen2

Problema 5

cos (A/2) a

+

Problema 6

b−c a

A 2

cos2

2

A 2)

cos (B/2) b

+

c−a b

= a + c − b.

+

cos2

cos2 (C/2) c

B 2

+

a−b c

=

s2 abc .

cos2

C 2

=0

3.3 Polígonos Cíclicos a+b c

Problema 7 a−b c

=

sen( A−B ) 2 cos

C 2

cos( A−B 2 )

=

C 2

sen

. Formulas de Molweide.

Problema 8 a sen(B − C) + b sen(C − A) + c sen(A − B) = 0. c−a cos B a sen B

Problema 9 cot A =

a2 −b2 c2 .

Problema 10

sen(A−B) sen(A+B)

Problema 11

c sen(A−B) b sen(C−A)

Problema 12

a2 sen(B−C) sen B+sen C

+

b2 sen(C−A) sen C+sen A

+

c2 sen(A−B) sen A+sen B

=0

Problema 13

a2 sen(B−C) sen A

+

b2 sen(C−A) sen B

+

c2 sen(A−B) sen C

=0

=

a2 −b2 c2 −a2 .

=

Problema 14 b2 sen 2C + c2 sen 2B = Σ. Problema 15 b cos2

A 2

+ a cos2

B 2

= s.

Problema 16 b sen2

A 2

+ a sen2

B 2

= s − c.

Problema 17 s tan A2 tan B2 = s − c. Problema 18 Si tan θ =

√ 2 ab a−b

Problema 19 Si tan θ =

a+b a−b

Problema 20 Si sen θ =

√ 2 bc b+c

Problema 21

ra −r a

+

rb −r b

=

sen C2 entonces c = (a − b) sec θ.

tan C2 entonces c = (a − b) cos C2 sec θ. cos A2 entonces a sec θ = b + c. c rc .

Problema 22 ra + rb = c cot C2 . Problema 23 (ra − r)(rb + rc ) = a2 . Problema 24 ra rb + rb rc + rc ra = s2 . Problema 25 r + ra + rb − rc = 4R cos C. Problema 26 a2 − b2 = 2Rc sen(A − B). Problema 27 (ra − r)(rb − r)(rc − r) = 4Rr2 . Problema 28 (ra + rb )(rb + rc )(rc + ra ) = 4R(ra rb + rb rc + rc ra ). Problema 29 ( 1r − Problema 30

a−b rc

1 1 ra )( r

+

b−c ra

− +

1 1 rb )( r c−a rb

−

= 0.

1 rc )

=

4R r 2 s2 .

31

32

3. El Triángulo √ ra +rb +rc . ra rb +rb rc +rc ra

Problema 31 tan A2 + tan B2 + tan C2 =

Problema 32 4Σ(cot A + cot B + cot C) = a2 + b2 + c2 . Problema 33 a2 b2 c2 (sen 2A + sen 2B + sen 2C) = 32Σ3 . Problema 34 a cot A + b cot B + c cot C = 2(R + r). Problema 35 Demostrar que: (a + b) tan C2 + (b + c) tan A2 + (c + a) tan B2 = 4R(cos A + cos B + cos C). Problema 36 cos2 Problema 37

A 2

+ cos2

2

b2 sen B

a2 −b2 cos A+cos B

+

+

C 2

+ cos2

a sen A+b sen B+c sen C B C 4 cos A 2 cos 2 cos 2

a Problema 38 ( sen A +

Problema 39

B 2

=

=2+

r 2R .

a2 +b2 +c2 . 2s

c2 A sen C ) sen 2

b2 −c2 cos B+cos C

+

sen B2 sen C2 = Σ.

c2 −a2 cos C+cos A

=0

Problema 40 bc cot A2 + ca cot B2 + ab cot C2 = 4Rs2 ( a1 +

1 b

+

1 c

− 3s ).

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4 Algoritmos

En este capítulo se estudiarán las propiedades de las funciones trigonométricas que están relacionadas con problemas de continuidad y de graficación el método que usaremos es completamente elemental sin hacer uso de la teoría del cálculo diferencial e integra. Sin embargo la desigualdad (4.2, p. 34) es suficiente para calcular todos los limites que aparecen en los cursos de cálculo y que son necesarios para estudiar las propiedades analíticas de las funciones (ver capítulo ??). Uno de los problemas centrales de la trigonometría consiste en estudiar los algoritmos para el cálculo de la función E y de su inversa. Actualmente este cálculo se facilita gracias a las computadoras, sin embargo, es importante entender como se obtienen estos algoritmos. Nosotros estudiaremos algunos de los algoritmos para estudiar la función E en la sección (4.3, p. 36) y los de la función inversa de E en la sección (??, p. ??), sin embargo estos algoritmos son muy poco eficientes, para estudiar algoritmos más eficientes necesitamos usar cálculo diferecial e integral eso lo haremos en el capítulo ?? (ver también ??).

4.1 Propiedades de continuidad 4.1.1 Medida de áreas En esta sección usaremos como medida de los ángulos los radianes. Es geométricamente claro que el área de un sector circular es proporcional a la longitud s del arco, usando esta propiedad es facil demostrar el teorema

34

4. Algoritmos

siguiente. Para esto se usara la definición del número π, como la razón del perímetro de un círculo al diámetro del mismo. Además de usar el hecho de que π = 3.14156295.... Teorema 4.1 El área de un sector circular A está dada por r2 s/2, donde r es el radio del círculo y s la longitud del arco que define al sector. Demostración: Como el área de un sector circular es proporcional a la longitud s del arco que define al sector, la fórmula del área es de la forma λsπr2 donde πr2 es el área del circulo. Por lo tanto λ debe ser tal que para s = 2π se tenga 2λππr2 = πr2 y por lo tanto λ = 1/2π. .

4.2 Desigualdades de las Funciones Trigonométricas Para poder estudiar las propiedades de continuidad y diferenciabilidad de las funciones trigonométricas necesitamos los siguientes dos resultados. Además de mostrar que medir los ángulos en radianes es la forma natural, es la base del estudio de las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. Teorema 4.2 Para todo real θ ∈ (−π/2, π/2), θ = 0 se tienen las desigualdades siguientes: 0 < cos θ < ademas de que ρ =

sen θ 0, que son desigualdades claramente equivalentes a las del teorema. El caso cuando θ es negativa se sigue del caso θ > 0 recordando

4.2 Desigualdades de las Funciones Trigonométricas

35

(2.2.1.v), p. 2). B

T P

θ O

Q

A

Corolario 4.3 Las funciones trigonométricas estan definidas en (0, π2 ) y son positivas en el intervalo. Más aun: {θ

∈ R : sen θ = 0} = πZ

{θ

∈ R : cos θ = 0} = πZ+

π 2

El siguiente teorema nos da una estimación de que tan bien sen (θ + δ) y cos(θ + δ) aproximan a sen θ y a cos θ cuando θ y θ + δ ∈ (0, π2 ). Proposición 4.4 Las funciones seno y coseno son continuas, además son positivas en el intervalo (0, π2 ). Más aun si θ, θ + δ y δ ∈ (0, π2 ): i) La función seno es estríctamente creciente en el intervalo [0, ρ] ademas | sen(θ + δ) − sen θ| < δ. ii) La funcion coseno es estríctamente decreciente en el intervalo [0, ρ] ademas | cos(θ + δ) − cos θ| < δ. Demostración: Usando el teorema (4.4.2, p. 34) se tiene la desigualdad sen x > x cos x y po lo tanto el seno es positivo en el intervalo (0, π2 ). Lo cual demuestra que todas las funciones trigonométricas son positivas en el intervalo (0, π2 ). Ademas si δ > 0 y θ, y θ + δ estan en (0, π2 ) se tiene la igualdad δ δ sen(θ + δ) − sen θ = 2 cos( θ + ) sen 2 2 que demuestra que la función seno es estrictamente creciente, ademas usando la desigualdad, |2 sen 2δ | < δ, demuetra i). La proposición ii) se sigue de la igualdad δ δ cos(θ + δ) − cos θ = −2 sen( θ + ) sen 2 2

36

4. Algoritmos

De la desigualdad sen δ < δ se siguen las desigualdades δ | sen(θ + δ) − sen θ| < 2 sen < δ 2 δ | cos(θ + δ) − cos θ| < 2 sen < δ 2 que demuestran que las funciones seno y coseno son continuas. Corolario 4.5 La restricción de la función seno al intervalo [− π2 , π2 ] da una biyección entre [− π2 , π2 ] y [−1, 1]. La restricción de la función coseno al intervalo [0, π] da una biyección entre [0, π] y [−1, 1]. Demostración: Como las funciones seno y coseno son estrictamente crecientes y decrecientes respectivamente son funciones inyectivas, por esto, lo único que falta demostrar es que son suprayectivas y esto se sigue del teorema del valor intermedio ya que son funciones continuas.

4.3 Cálculo de las funciones trigonométricas Usaremos los resultados anteriores para dar un algoritmo para calcular las funciones seno y coseno.

4.3.1 Reducción a ángulos agudos En esta sección calcularemos los valores de las funciones seno y coseno reduciendo el problema al cálculo de las funciones para ángulos en el intervalo [0, π2 ]. Para eso usaremos que para todo real θ existe un entero n tal que θ = nr + α donde α esta en el intervalo [0, π2 ]. Recordemos el concepto de congruencia, esto es que los números enteros a y b son congruentes módulo n si n divide a a − b y lo escribiremos como a ≡ b (mod n). En particular cuando dividimos a a entre 4 y obtenemos como residuo a b, entonces a y b son congruentes módulo 4. Además a ≡ 0 (mod 2) si y solo si a es un número par. Teorema 4.6 Si  n es un entero entonces:  1 si n ≡ 1 (mod 4) A) sen n π2 = −1 si n ≡ 3 (mod 4)   0 si n ≡ 0 (mod 2)  1 si n ≡ 0 (mod 4) −1 si n ≡ 2 (mod 4) B) cos n π2 =  0 si n ≡ 1 (mod 2) C) Si θ  es un real y n un entero tales que θ = n π2 + α entonces: sen α si n ≡ 0 (mod 4)    cos α si n ≡ 1 (mod 4) sen θ = − sen α si n ≡ 2 (mod 4)    − cos α si n ≡ 3 (mod 4)

4.3 Cálculo de las funciones trigonométricas

37

D) Si θ  es un real y n un entero tales que θ = n π2 + α entonces: cos α si n ≡ 0 (mod 4)    − sen α si n ≡ 1 (mod 4) cos θ = − cos α si n ≡ 2 (mod 4)    sen α si n ≡ 3 (mod 4)

Como consecuencia del teorema anterior se ve que si conocemos los valores de las funciones seno y coseno en el intervalo [0, π2 ], entonces conocemos el valor de estas funciones para todos los reales. Más aun basta conocer los valores en el intervalo [0, π4 ] ya que sen α = cos( π2 − α).

4.3.2 Caso del ángulo agudo En esta subsección se usan radianes para medir los ángulos. En esta sección calcularemos los valores de las funciones seno y coseno en ángulos en el intervalo [0, π/2]. En este intervalo el valor del seno y del coseno es siempre mayor o igual a cero, por lo tanto cuando tenemos que en una fórmula aparece una raíz cuadrada se toma siempre el valor positivo. En particular daremos los valores para π/4, π/3, π/6. Si conocemos el valor de la función coseno para un ángulo α ∈ [0, π/2] daremos fórmulas para los valores del seno y del coseno en el ángulo α/2. Teorema 4.7 Se tiene√los siguientes valores de las funciones seno y coseno. A) sen π4 = cos π4 = 22 . B) sen π6 = cos π3 = 12 . √ C) sen π3 = cos π6 = 23 . Demostración: Como π4 es complementario a si mismo tenemos sen π4 = cos π4 que y por lo tanto 2 sen2 π4 = 1, de donde obtenemos A. Como π6 es complementario a π3 tenemos sen π3 = cos π6 que y por lo tanto sen π3 = 2 sen π6 cos π6 = 2 sen π6 sen π3 de donde obtenemos B. Análogamente sen π6 = cos π3 y por lo tanto sen2 π6 + cos2 π6 = sen2 π6 + 14 = 1 de donde obtenemos C. El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de (2.2.2.3, p. 10). Será la base del algoritmo para calcular las funciones trigonométricas. Teorema 4.8 Si α ∈ [0, π/2] y se conoce cos α se tiene los siguientes valores de las funciones seno y coseno para el ángulo α/2.  A) sen a2 =

B) cos α2 =



1−cos α . 2

1+cos α . 2

Con ayuda de los teoremas anteriores podemos conocer los valores de k  sen 2πn y cos 2πn de para n = 2, 3, .... Más aun si α = an 2πn , con an igual n=2

38

4. Algoritmos

a menos uno, a cero o a uno, entonces (2.2.2.2, p. 8) nos dan formulas para calcular sen α y cos α. ∞  Además si θ ∈ [0, π/2) entonces θ es de la forma θ = an 2πn , con an n=2

igual a menos uno, a cero o a uno,. Por lo tanto si α =

k 

n=2

an 2πn , entonces

θ = α+δ con δ < 2πk y por lo tanto | sen θ − sen α |< 2δ y por lo tanto sen α es una aproximación se sen θ, análogamente cos α es una aproximación se cos θ. Con ayuda de estos resultados podemos dar el siguiente algoritmo: Algoritmo 4.9 Sea ρ el valor del ángulo recto. Se tiene el siguiente algoritmo que dado un número real ϕ aproxima los valores de las funciones seno y coseno de ϕ. Al 1) Dar un real positivo ε que representa el grado de aproximación deseado. Al 2) Encontrar un entero n y un real θ ∈ [0, ρ] tal que ϕ = nρ + θ. Al 3) Encontrar k tal 2πk < ε2 . ∞  Al 4) De la expresión θ = an 2ρn encontrar las ai , para i = 1, ..., k y n=2

definiendo α =

k 

n=2

an 2ρn

por el teorema anterior se ve que | sen θ−sen α| <

ε y que | cos θ − cos α| < ε. Al 5) Calcular sen α y cos α. Al 6) Expresar las funciones de ϕ en función de las de θ y usar las aproximaciones por el ángulo α.

4.3.3 Problemas Problema 1 Enunciar y demostrar el teorema equivalente al teorema (4.6, p. 4.6) para las funciones tangente y cotangente. Problema 2 Si θ ∈ [0, ρ) entonces θ es de la forma θ =

∞ 

n=1

an 2ρn , con

an igual a cero o a uno. Dar un algoritmo para encontrar as ai , para i = 1, ..., k. Problema 3 Si θ ∈ [0, ρ) entonces θ es de la forma θ =

∞ 

n=0

an 2ρn , con an

igual a cero, a uno o a menos uno. Dar un algoritmo para encontrar as ai , para i = 0, ..., k. Dar ejemplos donde esta representación es mas eficiente (en el sentido que necesita menos sumandos para expresar un número dado) que la dada en el problema anterior.

4.4 La función inversa

39

4.4 La función inversa 4.4.1 Metodo de Arquimedes En esta sección y en la siguiente usaremos los radianes para medir los ángulos. La función E no tiene una inversa porque no es inyectiva, sin embargo, si la restringimos al intervalo (−π, π] es biyectiva y por lo tanto podemos estudiar su inversa. La si P1 ∈ S 1 entonces E −1 (P1 ) ∈ R no es otra que la longitud del arco que une el punto P1 = (c, s) con el punto U = (1, 0) ( la consideramos negativa en el caso de que s sea negativo ). No es posible dar un algoritmo exacto para el cálculo de la inversa de E, sin embargo, el método de Arquímedes nos permite calcular la longitud del arco con la precisión que se desee. Este método se basa en el siguiente lema. Lema 4.10 Sea P1 un punto de S 1 y l1 su distancia a U . Y sea P2 el puntoque bisecta el arco P1 U , entonces su distancia a U está dada por:  l2 = 2 − 4 − l12

Demostración: Si ∡UOP1 = θ entonces l1 = 2 sen θ y por lo tanto l2 = 2 sen 2θ P1

l

2

P2

l

1

θ U O

y como 2 sen2 se tiene que



 θ = 1 − cos θ = 1 − 1 − sen2 θ 2

  2 2 θ l 2 2 l2 = 4 sen = 2−2 1− 1 2 2

 Dado el punto P1 = (c, s), si definimos l1 = (c − 1)2 + s2 y definimos Pn para n = 2, 3, ... como el punto que bisecta el arco Pn−1 U y ln como la longitud de la secante Pn U , entonces nln se aproxima a la longitud del arco P1 U . En otras palabras E −1 (c, s) = lim nln . Es fácil implementar n→∞ un programa que calcule nln , en una computadora, y por lo tanto nos de la inversa de E con la aproximación que necesitemos, sin embargo es muy

40

4. Algoritmos

ineficiente por lo que veremos en el capítulo ?? un método más eficiente. Una de las razones por lo que es muy ineficiente este algoritmo es por que converge muy lentamente y otra de las razones es por que se están multiplicando dos números reales uno que crece mucho y otro que tiende a cero y esto causa muchos problemas con la precisión en la computadoras. Si nos dan un número real c, tal que −1 < c < 1, siempre hay dos puntos C y D de S 1 tales que√c es la ordenada de C y D, esto es C = (c, s) y D = (c, −s) donde s = 1 − c2 . Por esta razón no existe la función inversa de la función coseno ni aún en el intervalo [−π, π], lo mismo pasa con la función seno. Sin embargo si nos restringimos a: cos : [0, π] → [−1, 1] el coseno es biyectivo y por lo tanto existe su inverso.

4.4.2 Problemas Problema 1 Si sen α =

4 5

entonces tan α + sec α = 3.

2 2ρ Problema 2 sen2 α + sen2 ( 2ρ 3 + α) + sen ( 3 − α) = 3/2.

Problema 3 cos 2ρ cos 4ρ cos 8ρ = 1/8. 9 9 9 √

4ρ 8ρ 3 Problema 4 sen 2ρ 9 sen 9 sen 9 = 8 .
 α Problema 5 tan ρ2 + α = 1+tan 1−tan α .

La substitución t = tan θ2 ,ver [8], se puede usar en la solución de ecuaciones en donde las incógnitas aparecen como argumentos de una o más funciones trigonométricas. Esta substitución tiene la ventaja de que todas las funciones trigonométricas de son expresiones racionales en . Si t = tan θ2 2t obtenemos tan θ = 1−t 2 y por lo tanto: 2

tan θ + 1 = = cos θ

=



2t 1 − t2

2

+1=


2 4t2 + 1 − t2

(1 − t2 )2  2 1 + t2 1 = sec2 θ = 2 1−t cos2 θ 2 1−t 1 + t2



análogamente: 2

sen θ

2 1 − t2 = 1 − cos θ = 1 − 1 + t2

2 2 1 + t2 − 1 − t2 4t2 = = (1 + t2 )2 (1 + t2 )2 4t = sen θ = 1 + t2 2



4.4 La función inversa

41

En las ecuaciones planteadas con funciones trigonométricas será suficiente con dar la solucione donde el ángulo sea el más pequeño. En cada uno de los siguientes problemas existe al menos una solución donde el ángulo es un múltiplo racional de ρ. Encontrar estas soluciones y si hay otras dejarlas indicadas. Problema 6 4 cos α = 3 sec α. Problema 7 3 sec2 α = 8 tan α − 2. Problema 8 4 sen α = 3 csc α. Problema 9 tan α = 2 sen α. Problema 10 sec2 α = 2 tan2 α. Problema 11 csc2 α = 4 cot2 α. Problema 12 2 cos2 α + 4 sen2 α = 3. Problema 13 4 sen α = 12 sen2 α − 1. Problema 14 1 + 2 sec2 α tan2 α − sec4 α − tan4 α = 0. Problema 15 6 sen2 α − 11 sen α + 4 = 0.

42

4. Algoritmos

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5 Aplicaciones de la Trigomometría

5.1 Resolución de triángulos Podemos decir que conocemos bien un triángulo cuando conocemos sus lados y sus ángulos. Cuando se dan tres de estos elementos se puede tratar de encontrar los otros tres. Sin embargo no siempre es posible hacerlo o hacerlo de forma única. En los siguientes problemas se dan tres de estos elementos y se pide dar las fórmulas para calcular los otros tres, es importante que den varias formas de calcular los otros tres elementos y discutir las ventajas de cada una de ellas. Especial cuidado se debe tener en dar las condiciones para que existan soluciones y cuando estas son únicas, dar tanto razones geométricas como algebraicas A este proceso se le suele llamar el resolver el triángulo. Problema 16 Resolver un triángulo dado sus tres lados. Problema 17 Resolver un triángulo dado dos de sus lados y el ángulo comprendido. Problema 18 Resolver un triángulo dado dos de sus ángulos y un lado. Problema 19 Resolver un triángulo dado dos de sus lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Problema 20 Resolver un triángulo dado sus tres ángulos.

44

5. Aplicaciones de la Trigomometría

5.2 Aplicaciones a la geometría Una de las primeras aplicaciones de la trigonometría fue a la geometría. En esta sección estudiaremos algunos ejemplos de esta teoría.

5.2.1 Triángulo Teorema 5.1 De los triángulos inscritos en un círculo de radio R el triángulo equilátero es el mayor perímetro y área.

Demostración: Si (A, B, C) son los ángulos de un triángulo su perímetro esta dada por 2R(sen A + sen B + sen C), por lo que es suficiente encontrar el máximo de la función sen A + sen B + sen C. Si el triángulo no es equilátero, podemos suponer que A = B, entonces: A−B A+B cos 2 2 A+B < 2 sen 2 A+B A+B = sen + sen 2 2

sen A + sen B

= 2 sen

A+B y por lo tanto el triángulo isóceles de ángulos ( A+B 2 , 2 , C) tiene un perímetro mayor. El área del triángulo esta dada por Σ = 2R2 sen A sen B sen C, por lo que es suficiente encontrar el máximo de la función sen A sen B sen C. De la misma forma si el triángulo no es equilátero, podemos suponer que A = B, entonces:

sen A sen B

cos(A + B) − cos(A − B) 2 cos(A + B) − 1 < 2 A+B A+B sen = sen 2 2 =

A+B y por lo tanto el triángulo isóceles de ángulos ( A+B 2 , 2 , C) tiene una área mayor.

5.2 Aplicaciones a la geometría

45

En el triángulo △ABC se tienen las alturas AD, BE y CF que se cortan en el ortocentro H. C

E

H

D

A F

B

el triángulo △DEF se llama el triángulo pedal del triángulo △ABC. De la figura obtenemos el siguiente resultado: Teorema 5.2 En el triángulo △DEF , de ángulos agudos, se tiene: i) Las rectas AD, BE y CF son las bisectrices. Más aun ∡F DH = ∡HDE = 90o − A

ii) Los ángulos del triángulo △DEF son D = 180o − 2A, E = 180o − 2B y F = 180o − 2C. iii) Los lados del triángulo △DEF son d = a cos A = R sen 2A, e = b cos B = R sen 2B y f = c cos C = R sen 2C. iv) El área del triángulo △DEF es 21 R2 sen 2A sen 2B sen 2C. v) El radio del círculo circuncrito del triángulo △DEF es R2 . Demostración: Como el círculo de diametro HC pasa por D y E, se tiene que ∡HED = ∡HCD = 90o −B; análogamente el círculo de diametro AH pasa por D y F , se tiene que ∡HEF = ∡HAF = 90o − B y por lo tanto se tiene i) y ii). Se tiene que ∡ACB = ∡AF E porque ambos son complementarios del ángulo ∡DF E, igualmente ∡ABC = ∡AEF y por lo tanto △ABC ∼ △AEF . Por lo tanto: AE EF d = = AB BC a que junto con la ley de los senos nos da iii). El área del triángulo △DEF es 12 ef sen(180o − 2A) = 12 R2 sen 2A sen 2B sen 2C. De la ley de los senos d vemos que el radio del círculo circuncrito del triángulo △DEF es 2 sen D = R sen 2A R = . o 2 sen(180 −2A) 2 cos A =

Teorema 5.3 (Euler) Sea △ABC un triángulo de circunradio R, inradio r y distancia d entre el circuncentro e incentro, entonces: 1 1 1 + = R+d R−d r

46

5. Aplicaciones de la Trigomometría

Demostración: Sean α = A2 y γ = C2 y D la otra intersección de la recta CI con el circuncírculo. Entonces en el triángulo △ACI el ángulo exterior ∡AID es igual a α + γ. También tenemos que ∡BAD = γ. Por lo tanto el triángulo △AID es isósceles. Por lo tanto tenemos las igualdades: IC ID

r sen γ = AD = 2R sen γ

=

C

Y I

B

A

D

por lo tanto la potencia del incentro I respecto al circuncírculo esta dada por: d2 − R2 = IC · ID = −2rR que es equivalente a 1 1 1 + = R+d R−d r  Teorema 5.4 En un triángulo △ABC se tiene las fórmulas: i) La distancia del ortocentro H al circuncentro O esta dada por: HO2 = R2 − 8R2 cos A cos B cos C ii) La distancia del vertice A al incentro I esta dada por: AI = 4R sen

B C sen 2 2

iii) La distancia del ortocentro H al incentro I esta dada por: HI 2 = 2r2 − 4R2 cos A cos B cos C

5.2 Aplicaciones a la geometría

47

Demostración: Usando la ley de los cosenos, para el triángulo △AOH, obtenemos: C

E

H

O

A

D

B

F

N

HO2 = AO2 + AH 2 − 2AO · AH cos ∡HAO ademas: ∡AHF AO AH ∡SAO

= = = = =

90o − ∡HAF = 90o − ∡DAB = B R AF csc B = b cos A csc B 2R sen B cos A csc B = 2R cos A ∡HAB − ∡OAB = (90o − B) − (90o − C) = C − B

por lo tanto obtenemos i) de la siguiente forma: HO2

= R2 + 4R2 cos2 A − 4R2 cos A cos(C − B) = R2 − 4R2 cos A(cos(B + C) + cos(C − B)) = R2 − 8R2 cos A cos B cos C

Usando el problema (3.12, p. 23), obtenemos: C

E

H

I

A

F

D

B

48

5. Aplicaciones de la Trigomometría

sen

A 2 r

=

r AI

A 2 A B C = 4R sen sen sen 2 2 2 = AI sen



5.2.2 Problemas Problema 1 En el triángulo △ABC con C > 90o con triángulo pedal △DEF , se tiene: i) Los ángulos del triángulo △DEF son D = 2A, E = 2B y F = 2C − 180o . ii) Los lados del triángulo △DEF son d = a cos A = R sen 2A, e = b cos B = R sen 2B y f = −c cos C = −R sen 2C. Problema 2 En el triángulo △ABC se tiene que OH 2 = 9R2 −a2 −b2 −c2 . Problema 3 En el triángulo △ABC con triángulo pedal △DEF , se tiene: i) El semiperímetro de △DEF es 2R sen A sen B sen C. ii) El radio del círculo inscrito de △DEF es 2R cos A cos B cos C. iii) Los radios de los círculos excritos son: 2R cos A sen B sen C, 2R sen A cos B sen C y 2R sen A sen B cos C. Problema 4 Si ha , hb , hc son las alturas del triángulo, entonces 1 1 1 1 1 1 hc = r y ha + hb − hc = rc . AP PB

Problema 5 En la figura tenemos:

=

AC sen BCP BC sen P CB

C

A

P

B

1 ha

+ h1b +

5.3 Aplicaciones a la topografía

49

Problema 6 (Steward) En la figura tenemos: pb2 = xc2 + ya2 + xyp

P

a

c

b

y

x p

B

p

C

Problema 7 Si en problema 6 la recta AD es la bisectriz del ángulo ∡BAC AB entonces BD DC = AC y si es la bisectriz exterior del ángulo ∡BAC entonces BD AB DC = − AC . Además:   2 a x2 = b · c 1 − (b + c)2 Problema 8 Si en un triángulo △ABC las bisectrices de los águlos A y B son iguales, entonces a = b. Problema 9 Si en problema 6 BD = DC (esto es si AD es la mediana 2 2 2 del △ABC) entonces x2 = 2(b +c4 )−a .

5.3 Aplicaciones a la topografía Sección no escrita.

50

5. Aplicaciones de la Trigomometría

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Appendix A Medición

10n 106 = 10000 103 = 1000 102 = 100 101 = 10 100 = 1 10−1 = 0.1 10−2 = 0.01 10−3 = 0.001

Nombre (M)-Miria (K)-Kilos (H)-Hecto (D)-Deca Unidad (d)-deci (c)-centi (m)-mili

Unidades (m)-metro lineal (a)-área supeficie (l)-litro volumen (es)-Estereo volumen (gr)-gramo peso

Decámetro2 decimetro3 metro3 centimetro3 de agua

Nota: El 20 de febrero 1896 la secretaría de Fomento (de México) publico Reglamento de unidades. En este reglamento se definió el decámetro cuadrado como ara. Esto era conveniente ya que distinguía la unidad de la clase de extensión. Nota: Llamar estereo al metro cubico ya casi no se usa. Igual con el miriámetro como un kilometro cuadrado.

A.0.1 Medidas de Longitud 1 vara: 0.838 metros. 1 vara: 3 pies. 1 pie: 12 pulgadas. 1 pulgada: 12 lines. 1 linea: 12 puntos.

52

Appendix A. Medición

Tenemos además: 1 vara: 4 cuartas 1 cuarta: 12 dedos 1 vara: 2 medias 1 media: 6 sesmas 1 legua: 5000 varas

A.0.2 Medidas de Area Sitio de ganado mayor: Cuadrado de lado una legua. Criadero de ganado mayor: Cuadrado de lado media legua. Igual a un cuarto de sitio de ganado mayor. Sitio de ganado menor: Cuadrado de lado dos tercios de legua. Criadero de ganado menor: Cuadrado de un tercio de legua. Igual a un cuarto de sitio de ganado menor. Caballería: Un rectángulo de lados 1104 varas por 552 varas. Fanega de sembladura de maiz: Un rectángulo de lados 276 varas por 184 varas. Igual a 1/12 de Caballería.

A.0.3 Medidas de Peso Libra: 460 gramos. Sus subdivisiones dependen del uso, como se ve en la siguiente información:

A.0.4 Uso común: Quintal: 100 libras. Arroba: 25 libras. Libra: 16 onzas. (9216 granos). Onza: 16 adarmes. Adarme: 3 tomines. Tomin: 12 granos.

A.0.5 Para peso de la plata: Libra: 2 marcos. (9216 granos). Marco: 8 onzas. Onza: 8 ochavas. ochava: 6 tomines. Tomin: 12 granos.

A.0.6 Para peso del oro: Libra: 2 marcos. (9600 granos)

Appendix A. Medición

53

Marco: 50 castellanos. Castellano: 8 tomines. Tomin: 12 granos.

A.0.7 Para usos medicinales: Libra: 16 onzas. (9216 granos) Onza: 8 dracmas. Dracma: 3 escrúpulos. Escrúpulo: 24 granos.

A.0.8 Medidas de Volumen Aparte de las varas cubicas y pies cubicos se usaban las siguientes medidas:

A.0.9 Para liquidos se usaba el cuartillo que contiene 0.991347 libras de agua (0.456264 litros). Jarra: 18 cuartillos. Barril: 9 jarras. Nota: Para el aceite se usaba el cuartillo que contiene 1.099764 libras de agua (0.506162 litros).

A.0.10 Para medir los "aridos" se usaba la fanega que es igual a7200 pulgadas cúbicas. A.0.11 Para medir granos se usaba: Cuartillo: 150 pulgadas cúbicas. Almudes: 4 cuatillos. Cuartilla: 3 almudes. Medias: 2 cuartillas. Fanega: 2 medias, que es igual a7200 pulgadas cúbicas. Carga: 2 fanegas.

A.0.12 Medidas de Mananteales y Mercedes de Agua La medida básica era la paja que es igual a una libra de agua por minuto. Real: 18 pajas. Naranja: 8 reales. Surco: 3 naranjas. Buey: 48 surcos. Nota: La paja que hemos definido es la ordenada por el Virrey Revillagigedo. El se basó en los esperimentos de Don Miguel Constasó en mayo

54

Appendix A. Medición

de 1792. Pero la ley del 2 de agosto de 1861 cambio a se igual a 0.45 de litro por minuto.

A.0.13 Medidas de Monedas Un franco de plata pesa 5 gramos, con 4.5 gramos de plata y 0.5 gramos de cobre. Un franco de oro pesa 5 gramos, con 4.5 gramos de oro y 0.5 gramos de cobre. Peso de plata que pesa 1/17 de libra, con 65/72 partes de plata y 7/72 partes de cobre. Peso de oro que pesa 1/17 de libra, con 7/8 partes de plata y 1/8 partes de cobre. 1 peso de plata = 5.431 francos de plata. 1 peso de oro = 5.100 francos de oro.

A.0.14 Las monedas de oro tenian las siguientes denominaciones: Escudo: 2 pesos. Onza: 8 escudos. Peso: 8 reales. Real: 8 tlacos.

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References

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